Mécanique 1 · Tutoriel

Puissances, racines et exposants

La mécanique à maîtriser avant de passer aux exercices.

Tout le calcul algébrique repose sur une poignée de règles sur les exposants. Les voici, avec l'intuition qui permet de ne jamais les confondre.

À retenirles quatre règles de base des exposants

Pour des bases $a,b\in\mathbb{R}_0$ (non nulles) et des exposants $n,m\in\mathbb{Z}$ :

a^{n}\times a^{m}=a^{n+m}\ ;\qquad \frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}\ ;\qquad a^{n}\times b^{n}=(ab)^{n}\ ;\qquad \bigl(a^{n}\bigr)^{m}=a^{nm}.

Intuition : même base, on multiplie $\Rightarrow$ on additionne les exposants ; on divise $\Rightarrow$ on soustrait. Une puissance de puissance $\Rightarrow$ on multiplie les exposants. Même exposant $\Rightarrow$ on peut regrouper les bases.

À retenirexposant nul, négatif, fractionnaire

a^{0}=1\quad(a\neq 0);\qquad a^{-n}=\frac{1}{a^{n}};\qquad \sqrt[n]{c}=c^{\frac1n}\quad\text{et}\quad \sqrt[n]{c^{\,p}}=c^{\frac pn}\quad(c>0).

Un exposant négatif veut dire « passer à l'inverse » ; une racine n'est qu'un exposant fractionnaire. C'est la clé pour tout ramener à une seule forme $c^{k}$ .

Exempletransformer, étape par étape

\begin{align*} \frac{a^{5}}{a^{2}}&=a^{5-2}=a^{3} &\text{(quotient, même base $\to$ soustraction)}\\ \bigl(2^{x}\bigr)^{3}&=2^{3x} &\text{(puissance de puissance $\to$ produit)}\\ \sqrt[3]{c^{6}}&=c^{6/3}=c^{2} &\text{(racine $\to$ exposant fractionnaire)}\\ a^{-m}\times b^{m}&=\frac{b^{m}}{a^{m}}=\Bigl(\frac{b}{a}\Bigr)^{m} &\text{(inverse, puis même exposant $\to$ quotient)} \end{align*}

Piègele signe et le parenthésage : $(-2)^2 \neq -2^2$

Le « $-$ » ne se comporte pas de la même façon selon qu'il est dans la base ou devant :

(-2)^{2}=(-2)\times(-2)=+4,\qquad\text{mais}\qquad -2^{2}=-(2\times 2)=-4.

Règle de parité (pour $a>0$ ) : $(-a)^{2n}=+a^{2n}$ (exposant pair), $(-a)^{2n+1}=-a^{2n+1}$ (exposant impair). Autre piège : pour tout réel $A$ , $\ \sqrt{A^{2}}=|A|$ , pas $A$ .

Méthodesimplifier une expression à exposants

convertir toutes les racines en exposants fractionnaires ;
empiler de l'intérieur vers l'extérieur avec $(a^{n})^{m}=a^{nm}$ ;
regrouper : multiplier les exposants emboîtés, additionner ceux d'un même produit ;
simplifier la fraction d'exposants finale.

Exempleracines emboîtées

Pour $c>0$ et $n\in\mathbb{N}_0$ : $\ \sqrt[n]{\sqrt[n]{c^{\,2n^{2}}}} =\Bigl(\bigl(c^{2n^{2}}\bigr)^{1/n}\Bigr)^{1/n} =\bigl(c^{2n^{2}}\bigr)^{1/n^{2}}=c^{\,2n^{2}/n^{2}}=c^{2}.$ Tout le « bruit » en $n$ se simplifie : le résultat ne dépend plus de $n$ .

La fonction exponentielle $x\mapsto a^{x}$ . On fixe la base $a>0$ ( $a\neq1$ ) et on fait varier l'exposant. Le comportement dépend de la position de $a$ par rapport à $1$ .

À retenirmonotonie et injectivité

$a>1$ : $x\mapsto a^{x}$ est croissante ;
$0<a<1$ : elle est décroissante ;
dans tous les cas $a^{x_1}=a^{x_2}\Rightarrow x_1=x_2$ .

Méthoderésoudre une équation exponentielle $a^{u(x)}=a^{v(x)}$

Puisque l'exponentielle est injective : ramener les deux membres à une même base $a$ , puis égaler les exposants $u(x)=v(x)$ et résoudre. Pour une inéquation, on garde le sens si $a>1$ et on inverse le sens si $0<a<1$ .

Exempleune équation exponentielle

$\displaystyle\Bigl(\frac{2^{2x+1}}{2^{x}}\Bigr)^{3}=1$ . On simplifie l'intérieur : $\frac{2^{2x+1}}{2^{x}}=2^{x+1}$ , donc $\bigl(2^{x+1}\bigr)^{3}=2^{3x+3}=2^{0}\Rightarrow 3x+3=0\Rightarrow x=-1$ . Ainsi $S=\{-1\}$ .

Ensuite, 3 niveaux d'exercices :

FacileMoyenDifficile

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