Intégration par parties

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Facile15 exercices

Exercice 11

Calculer $\displaystyle \int x\,e^{x}\,\mathrm{d} x$ .

$\displaystyle\int x\,e^x\,\mathrm{d} x$ . Choix : $U=x$ , $V'=e^x$ , donc $U'=1$ , $V=e^x$ .

\int x\,e^x\,\mathrm{d} x=x\,e^x-\int e^x\cdot 1\,\mathrm{d} x=x\,e^x-e^x+C=\boxed{(x-1)\,e^x+C.}

Vérif. $\bigl[(x-1)e^x\bigr]'=e^x+(x-1)e^x=x\,e^x$ .

Exercice 22

Calculer $\displaystyle \int x\cos x\,\mathrm{d} x$ .

$\displaystyle\int x\cos x\,\mathrm{d} x$ . Choix : $U=x$ , $V'=\cos x$ , donc $U'=1$ , $V=\sin x$ .

\int x\cos x\,\mathrm{d} x=x\sin x-\int \sin x\cdot 1\,\mathrm{d} x=x\sin x-(-\cos x)+C=\boxed{x\sin x+\cos x+C.}

Vérif. $\bigl[x\sin x+\cos x\bigr]'=\sin x+x\cos x-\sin x=x\cos x$ .

Exercice 33

Calculer $\displaystyle \int x\sin x\,\mathrm{d} x$ .

$\displaystyle\int x\sin x\,\mathrm{d} x$ . Choix : $U=x$ , $V'=\sin x$ , donc $U'=1$ , $V=-\cos x$ .

\int x\sin x\,\mathrm{d} x=x(-\cos x)-\int(-\cos x)\cdot 1\,\mathrm{d} x=-x\cos x+\int\cos x\,\mathrm{d} x=\boxed{-x\cos x+\sin x+C.}

Vérif. $\bigl[-x\cos x+\sin x\bigr]'=-\cos x+x\sin x+\cos x=x\sin x$ .

Exercice 44

Calculer $\displaystyle \int x\,e^{-x}\,\mathrm{d} x$ .

$\displaystyle\int x\,e^{-x}\,\mathrm{d} x$ . Choix : $U=x$ , $V'=e^{-x}$ , donc $U'=1$ , $V=-e^{-x}$ .

\int x\,e^{-x}\,\mathrm{d} x=x(-e^{-x})-\int(-e^{-x})\,\mathrm{d} x=-x\,e^{-x}+\int e^{-x}\,\mathrm{d} x=-x\,e^{-x}-e^{-x}+C=\boxed{-(x+1)\,e^{-x}+C.}

Vérif. $\bigl[-(x+1)e^{-x}\bigr]'=-e^{-x}-(x+1)(-e^{-x})=-e^{-x}+(x+1)e^{-x}=x\,e^{-x}$ .

Exercice 55

Calculer $\displaystyle \int (x+2)\,e^{x}\,\mathrm{d} x$ .

$\displaystyle\int (x+2)\,e^{x}\,\mathrm{d} x$ . Choix : $U=x+2$ , $V'=e^x$ , donc $U'=1$ , $V=e^x$ .

\int (x+2)e^x\,\mathrm{d} x=(x+2)e^x-\int e^x\,\mathrm{d} x=(x+2)e^x-e^x+C=\boxed{(x+1)\,e^{x}+C.}

Vérif. $\bigl[(x+1)e^x\bigr]'=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x$ .

Exercice 66

Calculer $\displaystyle \int (2x-1)\,e^{x}\,\mathrm{d} x$ .

$\displaystyle\int (2x-1)e^{x}\,\mathrm{d} x$ . Choix : $U=2x-1$ , $V'=e^{x}$ , donc $U'=2$ , $V=e^{x}$ .

\int (2x-1)e^{x}\,\mathrm{d} x=(2x-1)e^{x}-\int 2e^{x}\,\mathrm{d} x=(2x-1)e^{x}-2e^{x}+C=\boxed{(2x-3)\,e^{x}+C.}

Vérif. $\bigl[(2x-3)e^{x}\bigr]'=2e^{x}+(2x-3)e^{x}=(2x-1)e^{x}$ .

Exercice 77

Calculer $\displaystyle \int (4-x)\,e^{x}\,\mathrm{d} x$ .

$\displaystyle\int (4-x)e^{x}\,\mathrm{d} x$ . Choix : $U=4-x$ , $V'=e^{x}$ , donc $U'=-1$ , $V=e^{x}$ .

\int (4-x)e^{x}\,\mathrm{d} x=(4-x)e^{x}-\int (-1)e^{x}\,\mathrm{d} x=(4-x)e^{x}+e^{x}+C=\boxed{(5-x)\,e^{x}+C.}

Vérif. $\bigl[(5-x)e^{x}\bigr]'=-e^{x}+(5-x)e^{x}=(4-x)e^{x}$ .

Exercice 88

Calculer $\displaystyle \int x\cos(2x)\,\mathrm{d} x$ .

$\displaystyle\int x\cos(2x)\,\mathrm{d} x$ . Choix : $U=x$ , $V'=\cos(2x)$ , donc $U'=1$ , $V=\tfrac12\sin(2x)$ .

\int x\cos(2x)\,\mathrm{d} x=\frac{x}{2}\sin(2x)-\int \frac12\sin(2x)\,\mathrm{d} x=\boxed{\frac{x}{2}\sin(2x)+\frac14\cos(2x)+C.}

Vérif. $\bigl[\tfrac{x}{2}\sin 2x+\tfrac14\cos 2x\bigr]'=\tfrac12\sin 2x+x\cos 2x-\tfrac12\sin 2x=x\cos 2x$ .

Exercice 99

Calculer $\displaystyle \int x\sin(3x)\,\mathrm{d} x$ .

$\displaystyle\int x\sin(3x)\,\mathrm{d} x$ . Choix : $U=x$ , $V'=\sin(3x)$ , donc $U'=1$ , $V=-\tfrac13\cos(3x)$ .

\int x\sin(3x)\,\mathrm{d} x=-\frac{x}{3}\cos(3x)+\int \frac13\cos(3x)\,\mathrm{d} x=\boxed{-\frac{x}{3}\cos(3x)+\frac19\sin(3x)+C.}

Vérif. $\bigl[-\tfrac{x}{3}\cos 3x+\tfrac19\sin 3x\bigr]'=-\tfrac13\cos 3x+x\sin 3x+\tfrac13\cos 3x=x\sin 3x$ .

Exercice 1010

Calculer $\displaystyle \int (x-1)\sin x\,\mathrm{d} x$ .

$\displaystyle\int (x-1)\sin x\,\mathrm{d} x$ . Choix : $U=x-1$ , $V'=\sin x$ , donc $U'=1$ , $V=-\cos x$ .

\int (x-1)\sin x\,\mathrm{d} x=-(x-1)\cos x+\int \cos x\,\mathrm{d} x=\boxed{(1-x)\cos x+\sin x+C.}

Vérif. $\bigl[(1-x)\cos x+\sin x\bigr]'=-\cos x-(1-x)\sin x+\cos x=(x-1)\sin x$ .

Exercice 1111

Calculer $\displaystyle \int (x+1)\cos x\,\mathrm{d} x$ .

$\displaystyle\int (x+1)\cos x\,\mathrm{d} x$ . Choix : $U=x+1$ , $V'=\cos x$ , donc $U'=1$ , $V=\sin x$ .

\int (x+1)\cos x\,\mathrm{d} x=(x+1)\sin x-\int \sin x\,\mathrm{d} x=\boxed{(x+1)\sin x+\cos x+C.}

Vérif. $\bigl[(x+1)\sin x+\cos x\bigr]'=\sin x+(x+1)\cos x-\sin x=(x+1)\cos x$ .

Exercice 1212

Calculer $\displaystyle \int (x+3)\,e^{-x}\,\mathrm{d} x$ .

$\displaystyle\int (x+3)e^{-x}\,\mathrm{d} x$ . Choix : $U=x+3$ , $V'=e^{-x}$ , donc $U'=1$ , $V=-e^{-x}$ .

\int (x+3)e^{-x}\,\mathrm{d} x=-(x+3)e^{-x}+\int e^{-x}\,\mathrm{d} x=-(x+3)e^{-x}-e^{-x}+C=\boxed{-(x+4)\,e^{-x}+C.}

Vérif. $\bigl[-(x+4)e^{-x}\bigr]'=-e^{-x}+(x+4)e^{-x}=(x+3)e^{-x}$ .

Exercice 1313

Calculer $\displaystyle \int x\,e^{x/2}\,\mathrm{d} x$ .

$\displaystyle\int x\,e^{x/2}\,\mathrm{d} x$ . Choix : $U=x$ , $V'=e^{x/2}$ , donc $U'=1$ , $V=2e^{x/2}$ .

\int x\,e^{x/2}\,\mathrm{d} x=2x\,e^{x/2}-\int 2e^{x/2}\,\mathrm{d} x=2x\,e^{x/2}-4e^{x/2}+C=\boxed{2(x-2)\,e^{x/2}+C.}

Vérif. $\bigl[2(x-2)e^{x/2}\bigr]'=2e^{x/2}+(x-2)e^{x/2}=x\,e^{x/2}$ .

Exercice 1414

Calculer $\displaystyle \int (2x+1)\sin x\,\mathrm{d} x$ .

$\displaystyle\int (2x+1)\sin x\,\mathrm{d} x$ . Choix : $U=2x+1$ , $V'=\sin x$ , donc $U'=2$ , $V=-\cos x$ .

\int (2x+1)\sin x\,\mathrm{d} x=-(2x+1)\cos x+\int 2\cos x\,\mathrm{d} x=\boxed{-(2x+1)\cos x+2\sin x+C.}

Vérif. $\bigl[-(2x+1)\cos x+2\sin x\bigr]'=-2\cos x+(2x+1)\sin x+2\cos x=(2x+1)\sin x$ .

Exercice 1515

Calculer $\displaystyle \int (2x+1)\,e^{-x}\,\mathrm{d} x$ .

$\displaystyle\int (2x+1)e^{-x}\,\mathrm{d} x$ . Choix : $U=2x+1$ , $V'=e^{-x}$ , donc $U'=2$ , $V=-e^{-x}$ .

\int (2x+1)e^{-x}\,\mathrm{d} x=-(2x+1)e^{-x}+\int 2e^{-x}\,\mathrm{d} x=-(2x+1)e^{-x}-2e^{-x}+C=\boxed{-(2x+3)\,e^{-x}+C.}

Vérif. $\bigl[-(2x+3)e^{-x}\bigr]'=-2e^{-x}+(2x+3)e^{-x}=(2x+1)e^{-x}$ .

Moyen15 exercices

Exercice 11

Calculer $\displaystyle \int \ln x\,\mathrm{d} x$ (sur $]0,+\infty[$ ). Indication : écrire $\ln x=1\cdot\ln x$ .

$\displaystyle\int \ln x\,\mathrm{d} x$ . On pose $U=\ln x$ , $V'=1$ , donc $U'=\tfrac1x$ , $V=x$ .

\int \ln x\,\mathrm{d} x=x\ln x-\int x\cdot\frac1x\,\mathrm{d} x=x\ln x-\int 1\,\mathrm{d} x=\boxed{x\ln x-x+C.}

Vérif. $\bigl[x\ln x-x\bigr]'=\ln x+1-1=\ln x$ .

Exercice 22

Calculer $\displaystyle \int x\ln x\,\mathrm{d} x$ (sur $]0,+\infty[$ ).

$\displaystyle\int x\ln x\,\mathrm{d} x$ . Règle L.I.A.T.E. : on dérive le $\ln$ . $U=\ln x$ , $V'=x$ , donc $U'=\tfrac1x$ , $V=\tfrac{x^2}{2}$ .

\int x\ln x\,\mathrm{d} x=\frac{x^2}{2}\ln x-\int \frac{x^2}{2}\cdot\frac1x\,\mathrm{d} x=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac12\int x\,\mathrm{d} x =\boxed{\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C.}

Vérif. $\Bigl[\tfrac{x^2}{2}\ln x-\tfrac{x^2}{4}\Bigr]'=x\ln x+\tfrac{x^2}{2}\cdot\tfrac1x-\tfrac{x}{2}=x\ln x+\tfrac x2-\tfrac x2=x\ln x$ .

Exercice 33

Calculer $\displaystyle \int \arctan x\,\mathrm{d} x$ . Indication : $U=\arctan x$ , $V'=1$ .

$\displaystyle\int \arctan x\,\mathrm{d} x$ . On pose $U=\arctan x$ , $V'=1$ , donc $U'=\dfrac{1}{1+x^2}$ , $V=x$ .

\int \arctan x\,\mathrm{d} x=x\arctan x-\int \frac{x}{1+x^2}\,\mathrm{d} x.

Pour la dernière intégrale, forme $\mathrm{d} W/W$ avec $W=1+x^2$ , $\mathrm{d} W=2x\,\mathrm{d} x$ : $\displaystyle\int\frac{x\,\mathrm{d} x}{1+x^2}=\frac12\ln(1+x^2)$ . D'où

\boxed{\int \arctan x\,\mathrm{d} x=x\arctan x-\frac12\ln(1+x^2)+C.}

Vérif. $\bigl[x\arctan x-\tfrac12\ln(1+x^2)\bigr]'=\arctan x+\dfrac{x}{1+x^2}-\dfrac12\cdot\dfrac{2x}{1+x^2}=\arctan x$ .

Exercice 44

Calculer $\displaystyle \int x\,e^{2x}\,\mathrm{d} x$ . Attention à la primitive de $e^{2x}$ .

$\displaystyle\int x\,e^{2x}\,\mathrm{d} x$ . $U=x$ , $V'=e^{2x}$ , donc $U'=1$ , $V=\tfrac12 e^{2x}$ .

\int x\,e^{2x}\,\mathrm{d} x=x\cdot\frac12 e^{2x}-\int \frac12 e^{2x}\,\mathrm{d} x=\frac{x}{2}e^{2x}-\frac12\cdot\frac12 e^{2x}+C =\boxed{\frac{2x-1}{4}\,e^{2x}+C.}

Vérif. $\Bigl[\tfrac{x}{2}e^{2x}-\tfrac14 e^{2x}\Bigr]'=\tfrac12 e^{2x}+\tfrac x2\cdot 2e^{2x}-\tfrac14\cdot 2e^{2x}=\tfrac12 e^{2x}+x e^{2x}-\tfrac12 e^{2x}=x e^{2x}$ .

Exercice 55

Calculer $\displaystyle \int x^{2}\,e^{x}\,\mathrm{d} x$ (deux IPP successives).

$\displaystyle\int x^{2}e^{x}\,\mathrm{d} x$ . 1 IPP : $U=x^2$ , $V'=e^x$ ( $U'=2x$ , $V=e^x$ ) :

\int x^2 e^x\,\mathrm{d} x=x^2 e^x-\int 2x\,e^x\,\mathrm{d} x=x^2 e^x-2\int x\,e^x\,\mathrm{d} x.

2 IPP (déjà connue) : $\int x e^x\,\mathrm{d} x=(x-1)e^x+C$ . Donc

\int x^2 e^x\,\mathrm{d} x=x^2 e^x-2(x-1)e^x+C=\boxed{(x^2-2x+2)\,e^x+C.}

Vérif. $\bigl[(x^2-2x+2)e^x\bigr]'=(2x-2)e^x+(x^2-2x+2)e^x=(x^2)e^x=x^2 e^x$ .

Exercice 66

Calculer $\displaystyle \int x^{2}\ln x\,\mathrm{d} x$ (sur $]0,+\infty[$ ).

$\displaystyle\int x^{2}\ln x\,\mathrm{d} x$ . Règle L.I.A.T.E. : on dérive $\ln x$ . $U=\ln x$ , $V'=x^{2}$ , donc $U'=\tfrac1x$ , $V=\tfrac{x^{3}}{3}$ .

\int x^{2}\ln x\,\mathrm{d} x=\frac{x^{3}}{3}\ln x-\int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac1x\,\mathrm{d} x=\frac{x^{3}}{3}\ln x-\frac13\int x^{2}\,\mathrm{d} x=\boxed{\frac{x^{3}}{3}\ln x-\frac{x^{3}}{9}+C.}

Vérif. $\Bigl[\tfrac{x^3}{3}\ln x-\tfrac{x^3}{9}\Bigr]'=x^2\ln x+\tfrac{x^2}{3}-\tfrac{x^2}{3}=x^2\ln x$ .

Exercice 77

Calculer $\displaystyle \int \frac{\ln x}{x^{2}}\,\mathrm{d} x$ (sur $]0,+\infty[$ ).

$\displaystyle\int \frac{\ln x}{x^{2}}\,\mathrm{d} x$ . $U=\ln x$ , $V'=x^{-2}$ , donc $U'=\tfrac1x$ , $V=-\tfrac1x$ .

\int \frac{\ln x}{x^{2}}\,\mathrm{d} x=-\frac{\ln x}{x}-\int \Bigl(-\frac1x\Bigr)\cdot\frac1x\,\mathrm{d} x=-\frac{\ln x}{x}+\int x^{-2}\,\mathrm{d} x=-\frac{\ln x}{x}-\frac1x+C=\boxed{-\frac{\ln x+1}{x}+C.}

Vérif. $\Bigl[-\tfrac{\ln x+1}{x}\Bigr]'=-\dfrac{\tfrac1x\cdot x-(\ln x+1)}{x^{2}}=-\dfrac{1-\ln x-1}{x^{2}}=\dfrac{\ln x}{x^{2}}$ .

Exercice 88

Calculer $\displaystyle \int (\ln x)^{2}\,\mathrm{d} x$ (sur $]0,+\infty[$ ). Indication : $U=(\ln x)^2$ , $V'=1$ ; on réutilise $\int\ln x\,\mathrm{d} x$ .

$\displaystyle\int (\ln x)^{2}\,\mathrm{d} x$ . $U=(\ln x)^{2}$ , $V'=1$ , donc $U'=\dfrac{2\ln x}{x}$ , $V=x$ .

\int (\ln x)^{2}\,\mathrm{d} x=x(\ln x)^{2}-\int x\cdot\frac{2\ln x}{x}\,\mathrm{d} x=x(\ln x)^{2}-2\int \ln x\,\mathrm{d} x.

Or $\int\ln x\,\mathrm{d} x=x\ln x-x$ , d'où

\boxed{\int (\ln x)^{2}\,\mathrm{d} x=x(\ln x)^{2}-2x\ln x+2x+C.}

Vérif. $\bigl[x(\ln x)^2-2x\ln x+2x\bigr]'=(\ln x)^2+2\ln x-2\ln x-2+2=(\ln x)^2$ .

Exercice 99

Calculer $\displaystyle \int \arcsin x\,\mathrm{d} x$ (sur $]-1,1[$ ). Indication : $U=\arcsin x$ , $V'=1$ .

$\displaystyle\int \arcsin x\,\mathrm{d} x$ . $U=\arcsin x$ , $V'=1$ , donc $U'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ , $V=x$ .

\int \arcsin x\,\mathrm{d} x=x\arcsin x-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,\mathrm{d} x.

Pour la dernière intégrale, $W=1-x^{2}$ , $\mathrm{d} W=-2x\,\mathrm{d} x$ : $\displaystyle\int\frac{x\,\mathrm{d} x}{\sqrt{1-x^{2}}}=-\sqrt{1-x^{2}}$ . D'où

\boxed{\int \arcsin x\,\mathrm{d} x=x\arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}+C.}

Vérif. $\bigl[x\arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}\bigr]'=\arcsin x+\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\arcsin x$ .

Exercice 1010

Calculer $\displaystyle \int \frac{x}{\sin^{2}x}\,\mathrm{d} x$ . Rappel : une primitive de $1/\sin^2 x$ est $-\cot x$ .

$\displaystyle\int \frac{x}{\sin^{2}x}\,\mathrm{d} x$ . $U=x$ , $V'=\dfrac{1}{\sin^{2}x}$ , donc $U'=1$ , $V=-\cot x$ .

\int \frac{x}{\sin^{2}x}\,\mathrm{d} x=-x\cot x+\int \cot x\,\mathrm{d} x=-x\cot x+\int\frac{\cos x}{\sin x}\,\mathrm{d} x=\boxed{-x\cot x+\ln|\sin x|+C.}

Vérif. $\bigl[-x\cot x+\ln|\sin x|\bigr]'=-\cot x+\dfrac{x}{\sin^{2}x}+\dfrac{\cos x}{\sin x}=\dfrac{x}{\sin^{2}x}$ .

Exercice 1111

Calculer $\displaystyle \int x\,3^{x}\,\mathrm{d} x$ . Rappel : $(3^{x})'=3^{x}\ln 3$ , donc une primitive de $3^{x}$ est $3^{x}/\ln 3$ .

$\displaystyle\int x\,3^{x}\,\mathrm{d} x$ . $U=x$ , $V'=3^{x}$ , donc $U'=1$ , $V=\dfrac{3^{x}}{\ln 3}$ .

\int x\,3^{x}\,\mathrm{d} x=\frac{x\,3^{x}}{\ln 3}-\int \frac{3^{x}}{\ln 3}\,\mathrm{d} x=\frac{x\,3^{x}}{\ln 3}-\frac{3^{x}}{(\ln 3)^{2}}+C=\boxed{\frac{3^{x}}{\ln 3}\Bigl(x-\frac{1}{\ln 3}\Bigr)+C.}

Vérif. $\Bigl[\tfrac{x\,3^{x}}{\ln 3}-\tfrac{3^{x}}{(\ln 3)^2}\Bigr]'=\tfrac{3^{x}+x\,3^{x}\ln 3}{\ln 3}-\tfrac{3^{x}\ln 3}{(\ln 3)^2}=\tfrac{3^x}{\ln 3}+x\,3^x-\tfrac{3^x}{\ln 3}=x\,3^{x}$ .

Exercice 1212

Calculer $\displaystyle \int x\arctan x\,\mathrm{d} x$ . Indication : après l'IPP, écrire $\dfrac{x^2}{1+x^2}=1-\dfrac{1}{1+x^2}$ .

$\displaystyle\int x\arctan x\,\mathrm{d} x$ . $U=\arctan x$ , $V'=x$ , donc $U'=\dfrac{1}{1+x^{2}}$ , $V=\dfrac{x^{2}}{2}$ .

\int x\arctan x\,\mathrm{d} x=\frac{x^{2}}{2}\arctan x-\frac12\int \frac{x^{2}}{1+x^{2}}\,\mathrm{d} x.

Avec $\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}=1-\dfrac{1}{1+x^{2}}$ , on a $\displaystyle\int\frac{x^{2}}{1+x^{2}}\,\mathrm{d} x=x-\arctan x$ . D'où

\int x\arctan x\,\mathrm{d} x=\frac{x^{2}}{2}\arctan x-\frac12\bigl(x-\arctan x\bigr)+C=\boxed{\frac{x^{2}+1}{2}\arctan x-\frac{x}{2}+C.}

Vérif. $\Bigl[\tfrac{x^2+1}{2}\arctan x-\tfrac{x}{2}\Bigr]'=x\arctan x+\tfrac{x^2+1}{2}\cdot\tfrac{1}{1+x^2}-\tfrac12=x\arctan x$ .

Exercice 1313

Calculer $\displaystyle \int x^{2}\,e^{-x}\,\mathrm{d} x$ (deux IPP successives).

$\displaystyle\int x^{2}e^{-x}\,\mathrm{d} x$ . 1 IPP : $U=x^{2}$ , $V'=e^{-x}$ ( $U'=2x$ , $V=-e^{-x}$ ) :

\int x^{2}e^{-x}\,\mathrm{d} x=-x^{2}e^{-x}+\int 2x\,e^{-x}\,\mathrm{d} x=-x^{2}e^{-x}+2\int x\,e^{-x}\,\mathrm{d} x.

2 IPP (niveau Facile) : $\int x e^{-x}\,\mathrm{d} x=-(x+1)e^{-x}$ . Donc

\int x^{2}e^{-x}\,\mathrm{d} x=-x^{2}e^{-x}-2(x+1)e^{-x}+C=\boxed{-(x^{2}+2x+2)\,e^{-x}+C.}

Vérif. $\bigl[-(x^2+2x+2)e^{-x}\bigr]'=-(2x+2)e^{-x}+(x^2+2x+2)e^{-x}=x^{2}e^{-x}$ .

Exercice 1414

Calculer l'intégrale définie $\displaystyle \int_{1}^{e}\ln x\,\mathrm{d} x$ .

$\displaystyle\int_{1}^{e}\ln x\,\mathrm{d} x$ . Une primitive de $\ln x$ est $x\ln x-x$ . Par Newton–Leibniz :

\int_{1}^{e}\ln x\,\mathrm{d} x=\bigl[x\ln x-x\bigr]_{1}^{e}=(e\cdot 1-e)-(1\cdot 0-1)=0-(-1)=\boxed{1.}

Exercice 1515

Calculer l'intégrale définie $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x\sin x\,\mathrm{d} x$ .

$\displaystyle\int_{0}^{\pi}x\sin x\,\mathrm{d} x$ . Une primitive de $x\sin x$ est $-x\cos x+\sin x$ (niveau Facile). Donc

\int_{0}^{\pi}x\sin x\,\mathrm{d} x=\bigl[-x\cos x+\sin x\bigr]_{0}^{\pi}=(-\pi\cos\pi+\sin\pi)-(0)=\pi+0=\boxed{\pi.}

Difficile14 exercices

Exercice 11 — l'IPP qui « boucle »

On pose $\displaystyle I=\int e^{x}\sin x\,\mathrm{d} x$ et $\displaystyle J=\int e^{x}\cos x\,\mathrm{d} x$ .

a)
En intégrant deux fois par parties (en gardant toujours $V'=e^x$ ), établir une relation entre $I$ et $J$ , puis une seconde entre $J$ et $I$ .
On garde toujours $V'=e^x$ (donc $V=e^x$ ).
Calcul de $I$ avec $U=\sin x$ ( $U'=\cos x$ ) :
$I=\int e^{x}\sin x\,\mathrm{d} x=e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos x\,\mathrm{d} x=e^{x}\sin x-J.$
Calcul de $J$ avec $U=\cos x$ ( $U'=-\sin x$ ) :
$J=\int e^{x}\cos x\,\mathrm{d} x=e^{x}\cos x-\int e^{x}(-\sin x)\,\mathrm{d} x=e^{x}\cos x+I.$
b)
En déduire la valeur de $I$ , puis celle de $J$ .
On substitue la 2 relation dans la 1 :
$I=e^{x}\sin x-\bigl(e^{x}\cos x+I\bigr)\ \Longrightarrow\ 2I=e^{x}(\sin x-\cos x),$
d'où $\displaystyle \boxed{I=\tfrac12\,e^{x}(\sin x-\cos x)+C.}$ Puis $J=e^{x}\cos x+I=\boxed{\tfrac12\,e^{x}(\sin x+\cos x)+C.}$
c)
Retrouver alors sans nouveau calcul $\displaystyle\int e^{x}(\sin x+\cos x)\,\mathrm{d} x$ , et interpréter le résultat.
Par linéarité, $\displaystyle\int e^{x}(\sin x+\cos x)\,\mathrm{d} x=I+J=e^{x}\sin x+C.$ Interprétation : on retrouve directement que $\bigl(e^{x}\sin x\bigr)'=e^{x}\sin x+e^{x}\cos x =e^{x}(\sin x+\cos x)$ : l'intégrande était exactement une dérivée de produit.

Exercice 22 — double IPP

Calculer $\displaystyle \int x^{2}\cos x\,\mathrm{d} x$ à l'aide de deux intégrations par parties successives.

$\displaystyle\int x^{2}\cos x\,\mathrm{d} x$ . 1 IPP : $U=x^{2}$ , $V'=\cos x$ ( $U'=2x$ , $V=\sin x$ ) :

\int x^{2}\cos x\,\mathrm{d} x=x^{2}\sin x-\int 2x\sin x\,\mathrm{d} x=x^{2}\sin x-2\int x\sin x\,\mathrm{d} x.

Or $\displaystyle\int x\sin x\,\mathrm{d} x=-x\cos x+\sin x$ (niveau Facile). Donc

\int x^{2}\cos x\,\mathrm{d} x=x^{2}\sin x-2(-x\cos x+\sin x)+C=\boxed{x^{2}\sin x+2x\cos x-2\sin x+C.}

Vérif. $\bigl[x^{2}\sin x+2x\cos x-2\sin x\bigr]' =2x\sin x+x^{2}\cos x+2\cos x-2x\sin x-2\cos x=x^{2}\cos x$ .

Exercice 33 — IPP sur un intervalle

Soit $\displaystyle A=\int_{0}^{1}(x+1)\,e^{x}\,\mathrm{d} x$ .

a)
Déterminer une primitive de $x\mapsto(x+1)e^x$ par intégration par parties.
$\displaystyle\int (x+1)e^{x}\,\mathrm{d} x$ avec $U=x+1$ , $V'=e^{x}$ ( $U'=1$ , $V=e^{x}$ ) :
$\int (x+1)e^{x}\,\mathrm{d} x=(x+1)e^{x}-\int e^{x}\,\mathrm{d} x=(x+1)e^{x}-e^{x}+C=x\,e^{x}+C.$
Une primitive est donc $F(x)=x\,e^{x}$ . Vérif. $(x e^{x})'=e^{x}+x e^{x}=(x+1)e^{x}$ .
b)
En déduire la valeur exacte de $A$ .
Par Newton–Leibniz,
$A=\int_{0}^{1}(x+1)e^{x}\,\mathrm{d} x=\bigl[x\,e^{x}\bigr]_{0}^{1}=1\cdot e^{1}-0\cdot e^{0}=\boxed{e.}$

Exercice 44 — une relation de récurrence

Pour tout entier $n\geqslant 0$ , on pose $\displaystyle I_{n}=\int x^{n}\,e^{x}\,\mathrm{d} x$ .

a)
Par une IPP, montrer que pour tout $n\geqslant 1$ : $\displaystyle I_{n}=x^{n}e^{x}-n\,I_{n-1}$ .
Pour $n\geqslant 1$ , IPP avec $U=x^{n}$ , $V'=e^{x}$ ( $U'=n x^{n-1}$ , $V=e^{x}$ ) :
$I_{n}=\int x^{n}e^{x}\,\mathrm{d} x=x^{n}e^{x}-\int n x^{n-1}e^{x}\,\mathrm{d} x=\boxed{x^{n}e^{x}-n\,I_{n-1}.}$
b)
Sachant que $I_{0}=e^{x}+C$ , calculer successivement $I_{1}$ , $I_{2}$ et $I_{3}$ .
Avec $I_{0}=e^{x}+C$ :
$\begin{align*} I_{1}&=x e^{x}-1\cdot I_{0}=x e^{x}-e^{x}+C=(x-1)e^{x}+C,\\ I_{2}&=x^{2}e^{x}-2 I_{1}=x^{2}e^{x}-2(x-1)e^{x}+C=(x^{2}-2x+2)\,e^{x}+C,\\ I_{3}&=x^{3}e^{x}-3 I_{2}=x^{3}e^{x}-3(x^{2}-2x+2)e^{x}+C=(x^{3}-3x^{2}+6x-6)\,e^{x}+C. \end{align*}$
Vérif. ( $I_3$ ). $\bigl[(x^{3}-3x^{2}+6x-6)e^{x}\bigr]'=(3x^{2}-6x+6)e^{x}+(x^{3}-3x^{2}+6x-6)e^{x}=x^{3}e^{x}$ .

Exercice 55 — deux intégrales couplées

On pose $\displaystyle I=\int e^{2x}\cos(3x)\,\mathrm{d} x$ et $\displaystyle J=\int e^{2x}\sin(3x)\,\mathrm{d} x$ .

a)
En intégrant chacune une fois par parties (en gardant toujours $V'=e^{2x}$ ), établir deux relations reliant $I$ et $J$ .
On garde toujours $V'=e^{2x}$ , donc $V=\tfrac12 e^{2x}$ .
Pour $I$ , $U=\cos 3x$ ( $U'=-3\sin 3x$ ) :
$I=\frac{e^{2x}}{2}\cos 3x-\int \frac{e^{2x}}{2}(-3\sin 3x)\,\mathrm{d} x=\frac{e^{2x}}{2}\cos 3x+\frac32 J.$
Pour $J$ , $U=\sin 3x$ ( $U'=3\cos 3x$ ) :
$J=\frac{e^{2x}}{2}\sin 3x-\int \frac{e^{2x}}{2}(3\cos 3x)\,\mathrm{d} x=\frac{e^{2x}}{2}\sin 3x-\frac32 I.$
b)
Résoudre le système obtenu et donner $I$ et $J$ .
On injecte la 2 relation dans la 1 :
$I=\frac{e^{2x}}{2}\cos 3x+\frac32\Bigl(\frac{e^{2x}}{2}\sin 3x-\frac32 I\Bigr)\ \Longrightarrow\ \frac{13}{4}I=\frac{e^{2x}}{4}\bigl(2\cos 3x+3\sin 3x\bigr),$
d'où $\displaystyle \boxed{I=\frac{e^{2x}}{13}\bigl(2\cos 3x+3\sin 3x\bigr)+C,}$ puis $\displaystyle J=\frac{e^{2x}}{2}\sin 3x-\frac32 I=\boxed{\frac{e^{2x}}{13}\bigl(2\sin 3x-3\cos 3x\bigr)+C.}$
c)
En déduire la valeur exacte de $\displaystyle\int_{0}^{\pi/3} e^{2x}\cos(3x)\,\mathrm{d} x$ .
Avec la primitive $\displaystyle \mathcal{I}(x)=\frac{e^{2x}}{13}\bigl(2\cos 3x+3\sin 3x\bigr)$ , et puisqu'en $x=\pi/3$ on a $\cos\pi=-1$ , $\sin\pi=0$ :
$\int_{0}^{\pi/3} e^{2x}\cos 3x\,\mathrm{d} x=\bigl[\mathcal{I}(x)\bigr]_{0}^{\pi/3} =\frac{e^{2\pi/3}}{13}(-2)-\frac{1}{13}(2)=\boxed{-\frac{2}{13}\bigl(e^{2\pi/3}+1\bigr).}$

Exercice 66 — aire sous une courbe

Soit $f(x)=x\,e^{-x}$ définie sur $[0,+\infty[$ . Sa courbe part de l'origine, culmine puis décroît vers $0$ .

a)
Déterminer, par une intégration par parties, une primitive $F$ de $f$ .
$\displaystyle\int x\,e^{-x}\,\mathrm{d} x$ avec $U=x$ , $V'=e^{-x}$ ( $U'=1$ , $V=-e^{-x}$ ) :
$\int x\,e^{-x}\,\mathrm{d} x=-x\,e^{-x}+\int e^{-x}\,\mathrm{d} x=-x\,e^{-x}-e^{-x}+C.$
Une primitive est donc $F(x)=-(x+1)e^{-x}$ .
b)
Calculer l'aire $\mathcal{A}$ (en unités d'aire) du domaine grisé, compris entre la courbe et l'axe des abscisses pour $0\leqslant x\leqslant 2$ .
Comme $f\geqslant 0$ sur $[0,2]$ , l'aire est directement l'intégrale :
$\mathcal{A}=\int_{0}^{2} x\,e^{-x}\,\mathrm{d} x=\bigl[-(x+1)e^{-x}\bigr]_{0}^{2}=-3e^{-2}-(-1)=\boxed{1-3e^{-2}\ \,\text{u.a.}}\ (\approx 0{,}594\ \,\text{u.a.}).$
c)
L'aire totale sous la courbe sur $[0,+\infty[$ est $\displaystyle\lim_{b\to+\infty}\int_{0}^{b} f(x)\,\mathrm{d} x$ . Montrer qu'elle vaut $1\,\text{u.a.}$ .
Sur $[0,b]$ , $\displaystyle\int_{0}^{b} x\,e^{-x}\,\mathrm{d} x=\bigl[-(x+1)e^{-x}\bigr]_{0}^{b}=1-(b+1)e^{-b}$ . Or $(b+1)e^{-b}\to 0$ quand $b\to+\infty$ (l'exponentielle l'emporte sur le polynôme), donc l'aire totale vaut
$\lim_{b\to+\infty}\bigl(1-(b+1)e^{-b}\bigr)=\boxed{1\,\text{u.a.}.}$

Exercice 77 — logarithme au carré

\times

polynôme

Calculer $\displaystyle \int x(\ln x)^{2}\,\mathrm{d} x$ (sur $]0,+\infty[$ ). On pourra réutiliser $\int x\ln x\,\mathrm{d} x$ .

$\displaystyle\int x(\ln x)^{2}\,\mathrm{d} x$ . $U=(\ln x)^{2}$ , $V'=x$ , donc $U'=\dfrac{2\ln x}{x}$ , $V=\dfrac{x^{2}}{2}$ .

\int x(\ln x)^{2}\,\mathrm{d} x=\frac{x^{2}}{2}(\ln x)^{2}-\int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{2\ln x}{x}\,\mathrm{d} x=\frac{x^{2}}{2}(\ln x)^{2}-\int x\ln x\,\mathrm{d} x.

Or $\displaystyle\int x\ln x\,\mathrm{d} x=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{x^{2}}{4}$ (niveau Moyen), donc

\boxed{\int x(\ln x)^{2}\,\mathrm{d} x=\frac{x^{2}}{2}(\ln x)^{2}-\frac{x^{2}}{2}\ln x+\frac{x^{2}}{4}+C.}

Vérif. $\Bigl[\tfrac{x^2}{2}(\ln x)^2-\tfrac{x^2}{2}\ln x+\tfrac{x^2}{4}\Bigr]'=x(\ln x)^2+x\ln x-x\ln x-\tfrac{x}{2}+\tfrac{x}{2}=x(\ln x)^2$ .

Exercice 88 — récurrence pour

\int(\ln x)^{n}

Pour tout entier $n\geqslant 0$ , on pose $\displaystyle J_{n}=\int (\ln x)^{n}\,\mathrm{d} x$ (sur $]0,+\infty[$ ), avec la convention $(\ln x)^{0}=1$ .

a)
Par une IPP ( $U=(\ln x)^{n}$ , $V'=1$ ), montrer que pour tout $n\geqslant 1$ : $\displaystyle J_{n}=x(\ln x)^{n}-n\,J_{n-1}$ .
Pour $n\geqslant 1$ , IPP avec $U=(\ln x)^{n}$ , $V'=1$ ( $U'=\dfrac{n(\ln x)^{n-1}}{x}$ , $V=x$ ) :
$J_{n}=x(\ln x)^{n}-\int x\cdot\frac{n(\ln x)^{n-1}}{x}\,\mathrm{d} x=x(\ln x)^{n}-n\int (\ln x)^{n-1}\,\mathrm{d} x=\boxed{x(\ln x)^{n}-n\,J_{n-1}.}$
b)
Sachant que $J_{0}=x+C$ , calculer $J_{1}$ , $J_{2}$ et $J_{3}$ .
Avec $J_{0}=x+C$ :
$\begin{align*} J_{1}&=x\ln x-1\cdot J_{0}=x\ln x-x+C,\\ J_{2}&=x(\ln x)^{2}-2J_{1}=x(\ln x)^{2}-2x\ln x+2x+C,\\ J_{3}&=x(\ln x)^{3}-3J_{2}=x(\ln x)^{3}-3x(\ln x)^{2}+6x\ln x-6x+C. \end{align*}$

Exercice 99 — une IPP qui « boucle » déguisée

On pose $\displaystyle I=\int \cos(\ln x)\,\mathrm{d} x$ et $\displaystyle J=\int \sin(\ln x)\,\mathrm{d} x$ (sur $]0,+\infty[$ ).

a)
En prenant $V'=1$ (donc $V=x$ ) dans chaque intégrale, établir deux relations reliant $I$ et $J$ .
Pour $I$ , $U=\cos(\ln x)$ , $V'=1$ ( $U'=-\dfrac{\sin(\ln x)}{x}$ , $V=x$ ) :
$I=x\cos(\ln x)-\int x\cdot\Bigl(-\frac{\sin(\ln x)}{x}\Bigr)\mathrm{d} x=x\cos(\ln x)+\int \sin(\ln x)\,\mathrm{d} x=x\cos(\ln x)+J.$
Pour $J$ , $U=\sin(\ln x)$ , $V'=1$ ( $U'=\dfrac{\cos(\ln x)}{x}$ , $V=x$ ) :
$J=x\sin(\ln x)-\int \cos(\ln x)\,\mathrm{d} x=x\sin(\ln x)-I.$
b)
En déduire la valeur de $I$ .
En reportant $J$ dans la première relation :
$I=x\cos(\ln x)+x\sin(\ln x)-I\ \Longrightarrow\ 2I=x\bigl(\cos(\ln x)+\sin(\ln x)\bigr),$
d'où $\displaystyle \boxed{I=\frac{x}{2}\bigl(\cos(\ln x)+\sin(\ln x)\bigr)+C.}$ Vérif. $\bigl[\tfrac{x}{2}(\cos(\ln x)+\sin(\ln x))\bigr]'=\tfrac12(\cos(\ln x)+\sin(\ln x))+\tfrac12(-\sin(\ln x)+\cos(\ln x))=\cos(\ln x)$ .

Exercice 1010 — aire entre deux courbes

On considère, sur $[0,1]$ , la droite $y=x$ et la courbe $y=x\,e^{-x}$ .

a)
Justifier que, sur $[0,1]$ , la droite $y=x$ est au-dessus de la courbe $y=x\,e^{-x}$ .
Pour $x\in[0,1]$ , on a $0<e^{-x}\leqslant 1$ , donc $x\,e^{-x}\leqslant x$ (car $x\geqslant 0$ ) : la droite $y=x$ est au-dessus de la courbe $y=x\,e^{-x}$ .
b)
Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine compris entre les deux courbes pour $0\leqslant x\leqslant 1$ .
L'aire vaut
$\mathcal{A}=\int_{0}^{1}\bigl(x-x\,e^{-x}\bigr)\mathrm{d} x=\int_{0}^{1}x\,\mathrm{d} x-\int_{0}^{1}x\,e^{-x}\,\mathrm{d} x.$
D'une part $\int_{0}^{1}x\,\mathrm{d} x=\tfrac12$ ; d'autre part, avec $F(x)=-(x+1)e^{-x}$ , $\int_{0}^{1}x\,e^{-x}\,\mathrm{d} x=\bigl[-(x+1)e^{-x}\bigr]_{0}^{1}=-2e^{-1}+1=1-2e^{-1}$ . Donc
$\mathcal{A}=\frac12-\bigl(1-2e^{-1}\bigr)=\boxed{\frac{2}{e}-\frac12\ \,\text{u.a.}}\ (\approx 0{,}236\ \,\text{u.a.}).$

Exercice 1111 — trois IPP successives

On veut calculer $\displaystyle \int x^{3}e^{-x}\,\mathrm{d} x$ .

a)
Par une première IPP, ramener le calcul à celui de $\int x^{2}e^{-x}\,\mathrm{d} x$ .
$U=x^{3}$ , $V'=e^{-x}$ ( $U'=3x^{2}$ , $V=-e^{-x}$ ) :
$\int x^{3}e^{-x}\,\mathrm{d} x=-x^{3}e^{-x}+\int 3x^{2}e^{-x}\,\mathrm{d} x=-x^{3}e^{-x}+3\int x^{2}e^{-x}\,\mathrm{d} x.$
b)
En utilisant $\int x^{2}e^{-x}\,\mathrm{d} x=-(x^{2}+2x+2)e^{-x}+C$ , conclure.
Avec $\int x^{2}e^{-x}\,\mathrm{d} x=-(x^{2}+2x+2)e^{-x}+C$ :
$\int x^{3}e^{-x}\,\mathrm{d} x=-x^{3}e^{-x}-3(x^{2}+2x+2)e^{-x}+C=\boxed{-(x^{3}+3x^{2}+6x+6)\,e^{-x}+C.}$
c)
Vérifier le résultat en le dérivant.
$\bigl[-(x^{3}+3x^{2}+6x+6)e^{-x}\bigr]'=-(3x^{2}+6x+6)e^{-x}+(x^{3}+3x^{2}+6x+6)e^{-x}=x^{3}e^{-x}$ .

Exercice 1212 — arctangente sur un intervalle

Soit $\displaystyle B=\int_{0}^{1}\arctan x\,\mathrm{d} x$ .

a)
Rappeler une primitive de $\arctan x$ (obtenue par IPP).
Par IPP ( $U=\arctan x$ , $V'=1$ ), une primitive de $\arctan x$ est $\displaystyle x\arctan x-\frac12\ln(1+x^{2})$ (niveau Moyen).
b)
En déduire la valeur exacte de $B$ .
Comme $\arctan 1=\tfrac{\pi}{4}$ et $\ln(1+1^{2})=\ln 2$ :
$B=\int_{0}^{1}\arctan x\,\mathrm{d} x=\Bigl[x\arctan x-\frac12\ln(1+x^{2})\Bigr]_{0}^{1} =\Bigl(\frac{\pi}{4}-\frac12\ln 2\Bigr)-0=\boxed{\frac{\pi}{4}-\frac{\ln 2}{2}.}$

Exercice 1313 — un travail mécanique

Une force variable de norme $F(x)=x\cos x$ (en newtons) s'exerce le long d'un axe, de $x=0$ à $x=\tfrac{\pi}{2}$ (en mètres). Le travail correspondant est $\displaystyle W=\int_{0}^{\pi/2} x\cos x\,\mathrm{d} x$ . Calculer $W$ .

$\displaystyle W=\int_{0}^{\pi/2} x\cos x\,\mathrm{d} x$ . Une primitive de $x\cos x$ est $x\sin x+\cos x$ (niveau Facile). Donc

W=\bigl[x\sin x+\cos x\bigr]_{0}^{\pi/2}=\Bigl(\frac{\pi}{2}\cdot 1+0\Bigr)-(0+1)=\boxed{\frac{\pi}{2}-1\ \ (\text{J}).}

Exercice 1414 — suite d'intégrales définies

Pour tout entier $n\geqslant 0$ , on pose $\displaystyle K_{n}=\int_{0}^{1} x^{n}e^{x}\,\mathrm{d} x$ .

a)
Par une IPP, montrer que pour tout $n\geqslant 1$ : $\displaystyle K_{n}=e-n\,K_{n-1}$ .
IPP avec $U=x^{n}$ , $V'=e^{x}$ ( $U'=nx^{n-1}$ , $V=e^{x}$ ) :
$K_{n}=\bigl[x^{n}e^{x}\bigr]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}nx^{n-1}e^{x}\,\mathrm{d} x=(1\cdot e-0)-n\int_{0}^{1}x^{n-1}e^{x}\,\mathrm{d} x=\boxed{e-n\,K_{n-1}.}$
b)
Calculer $K_{0}$ , $K_{1}$ et $K_{2}$ .
$\displaystyle K_{0}=\int_{0}^{1}e^{x}\,\mathrm{d} x=e-1$ ; $K_{1}=e-1\cdot K_{0}=e-(e-1)=1$ ; $K_{2}=e-2K_{1}=e-2$ .
c)
Montrer que pour tout $n\geqslant 0$ : $\dfrac{1}{n+1}\leqslant K_{n}\leqslant \dfrac{e}{n+1}$ , et en déduire $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}K_{n}$ .
Sur $[0,1]$ , $1\leqslant e^{x}\leqslant e$ ; en multipliant par $x^{n}\geqslant 0$ puis en intégrant sur $[0,1]$ :
$\int_{0}^{1}x^{n}\,\mathrm{d} x\leqslant K_{n}\leqslant e\int_{0}^{1}x^{n}\,\mathrm{d} x,\qquad\text{soit}\qquad \frac{1}{n+1}\leqslant K_{n}\leqslant \frac{e}{n+1}.$
Comme $\dfrac{1}{n+1}\to 0$ et $\dfrac{e}{n+1}\to 0$ , le théorème d'encadrement donne $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}K_{n}=0$ .

Revoir le tutoriel de cette mécanique