Primitives & règle du dU

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Facile15 exercices

Exercice 11 — polynôme par linéarité

Calculer $\displaystyle I_1=\int \bigl(3x^2+2x-5\bigr)\,\mathrm{d} x$ .

Par linéarité, on intègre chaque terme séparément (forme 1 avec $U=x$ ) :

I_1=3\int x^2\,\mathrm{d} x+2\int x\,\mathrm{d} x-5\int 1\,\mathrm{d} x =3\cdot\frac{x^3}{3}+2\cdot\frac{x^2}{2}-5x+C =\boxed{\,x^3+x^2-5x+C.\,}

Vérification : $(x^3+x^2-5x+C)'=3x^2+2x-5$ .

Exercice 22 — puissance de

x

Calculer $\displaystyle I_2=\int x^5\,\mathrm{d} x$ .

Forme 1 avec $U=x$ , $n=5$ ( $n\neq -1$ ) :

I_2=\int x^5\,\mathrm{d} x=\frac{x^{5+1}}{5+1}+C=\boxed{\,\frac{x^6}{6}+C.\,}

Vérification : $\Bigl[\tfrac{x^6}{6}\Bigr]'=\tfrac{6x^5}{6}=x^5$ .

Exercice 33 — la forme

\mathrm{d} U/U

Calculer $\displaystyle I_3=\int \frac{\mathrm{d} x}{x}$ (sur un intervalle où $x\neq 0$ ). Bien préciser la forme correcte de la primitive.

C'est le cas exclu de la forme puissance ( $n=-1$ ). On utilise la forme 2 avec $U=x$ :

I_3=\int \frac{\mathrm{d} x}{x}=\boxed{\,\ln|x|+C.\,}

Attentionvaleur absolue obligatoire

Écrire $\ln x+C$ serait faux sur $]-\infty,0[$ . La forme correcte, valable sur tout intervalle ne contenant pas $0$ , est $\ln|x|+C$ .

Vérification : pour $x>0$ , $(\ln x)'=\tfrac1x$ ; pour $x<0$ , $(\ln(-x))'=\tfrac{-1}{-x}=\tfrac1x$ .

Exercice 44 — sinus et cosinus

Calculer, en soignant les signes :

a)
$\int \cos x\,\mathrm{d} x$
Forme 3, avec $U=x$ :
$\int \cos x\,\mathrm{d} x=\boxed{\,\sin x+C\,}$
b)
$\int \sin x\,\mathrm{d} x.$
$\int \sin x\,\mathrm{d} x=\boxed{\,-\cos x+C.\,}$

Exercice 55 — exponentielle

Calculer $\displaystyle I_5=\int e^{x}\,\mathrm{d} x$ .

Forme 6 dans le cas $a=e$ , avec $U=x$ (et $\ln e=1$ ) :

I_5=\int e^{x}\,\mathrm{d} x=\boxed{\,e^{x}+C.\,}

Vérification : $(e^x)'=e^x$ .

Exercice 66 — puissance négative

Calculer $\displaystyle I_6=\int \frac{\mathrm{d} x}{x^3}$ (sur un intervalle où $x\neq 0$ ).

Forme 1 avec $U=x$ , $n=-3$ ( $n\neq -1$ ) :

I_6=\int x^{-3}\,\mathrm{d} x=\frac{x^{-2}}{-2}+C=\boxed{\,-\frac{1}{2x^2}+C.\,}

Vérification : $\Bigl[-\tfrac12 x^{-2}\Bigr]'=-\tfrac12\cdot(-2)x^{-3}=x^{-3}=\dfrac{1}{x^3}$ .

Exercice 77 — racine carrée

Calculer $\displaystyle I_7=\int \sqrt{x}\,\mathrm{d} x$ (pour $x>0$ ).

On écrit $\sqrt{x}=x^{1/2}$ . Forme 1 avec $n=\tfrac12$ ( $n\neq -1$ ) :

I_7=\int x^{1/2}\,\mathrm{d} x=\frac{x^{3/2}}{3/2}+C=\boxed{\,\frac{2}{3}x^{3/2}+C.\,}

Vérification : $\Bigl[\tfrac23 x^{3/2}\Bigr]'=\tfrac23\cdot\tfrac32 x^{1/2}=x^{1/2}=\sqrt{x}$ .

Exercice 88 — l'inverse d'une racine

Calculer $\displaystyle I_8=\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}}$ (pour $x>0$ ).

On écrit $\dfrac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$ . Forme 1 avec $n=-\tfrac12$ ( $n\neq -1$ ) :

I_8=\int x^{-1/2}\,\mathrm{d} x=\frac{x^{1/2}}{1/2}+C=\boxed{\,2\sqrt{x}+C.\,}

Vérification : $\bigl[2\sqrt{x}\bigr]'=2\cdot\tfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ .

Exercice 99 — la forme

\arctan

Calculer $\displaystyle I_9=\int \frac{\mathrm{d} x}{1+x^2}$ .

Forme 5 (partie $\arctan$ ) avec $U=x$ :

I_9=\int \frac{\mathrm{d} x}{1+x^2}=\boxed{\,\arctan x+C.\,}

Vérification : $(\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}$ .

Exercice 1010 — la forme

\arcsin

Calculer $\displaystyle I_{10}=\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-x^2}}$ (pour $-1<x<1$ ).

Forme 5 (partie $\arcsin$ ) avec $U=x$ :

I_{10}=\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-x^2}}=\boxed{\,\arcsin x+C.\,}

Vérification : $(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ .

Exercice 1111 — la forme

1/\cos^2

Calculer $\displaystyle I_{11}=\int \frac{\mathrm{d} x}{\cos^2 x}$ .

Forme 4 avec $U=x$ :

I_{11}=\int \frac{\mathrm{d} x}{\cos^2 x}=\boxed{\,\tan x+C.\,}

Vérification : $(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2 x}$ .

Exercice 1212 — la forme

1/\sin^2

Calculer $\displaystyle I_{12}=\int \frac{\mathrm{d} x}{\sin^2 x}$ .

Forme 4 avec $U=x$ ; attention au signe « $-$ » :

I_{12}=\int \frac{\mathrm{d} x}{\sin^2 x}=\boxed{\,-\cot x+C.\,}

Vérification : $(-\cot x)'=-\bigl(-\tfrac{1}{\sin^2 x}\bigr)=\dfrac{1}{\sin^2 x}$ .

Exercice 1313 — exponentielle de base

2

Calculer $\displaystyle I_{13}=\int 2^{x}\,\mathrm{d} x$ .

Forme 6 avec $a=2$ , $U=x$ :

I_{13}=\int 2^{x}\,\mathrm{d} x=\boxed{\,\frac{2^{x}}{\ln 2}+C.\,}

Vérification : $\Bigl[\tfrac{2^{x}}{\ln 2}\Bigr]'=\tfrac{1}{\ln 2}\cdot 2^{x}\ln 2=2^{x}$ .

Exercice 1414 — polynôme par linéarité

Calculer $\displaystyle I_{14}=\int \bigl(4x^3-6x^2+1\bigr)\,\mathrm{d} x$ .

Par linéarité, terme à terme (forme 1 avec $U=x$ ) :

I_{14}=4\cdot\frac{x^4}{4}-6\cdot\frac{x^3}{3}+x+C=\boxed{\,x^4-2x^3+x+C.\,}

Vérification : $(x^4-2x^3+x)'=4x^3-6x^2+1$ .

Exercice 1515 — somme de deux formes usuelles

Calculer $\displaystyle I_{15}=\int \bigl(e^{x}-\sin x\bigr)\,\mathrm{d} x$ .

Par linéarité : forme 6 ( $a=e$ ) pour $e^x$ , forme 3 pour $\sin x$ (avec son signe) :

I_{15}=\int e^{x}\,\mathrm{d} x-\int \sin x\,\mathrm{d} x=e^{x}-(-\cos x)+C=\boxed{\,e^{x}+\cos x+C.\,}

Vérification : $(e^{x}+\cos x)'=e^{x}-\sin x$ .

Moyen15 exercices

Exercice 11 — puissance d'une expression affine

Calculer $\displaystyle J_1=\int (x+3)^3\,\mathrm{d} x$ .

On pose $U=x+3$ , donc $U'=1$ et $\mathrm{d} U=\mathrm{d} x$ : le $\mathrm{d} U$ est déjà présent. Forme 1 avec $n=3$ :

J_1=\int U^3\,\mathrm{d} U=\frac{U^4}{4}+C=\boxed{\,\frac{(x+3)^4}{4}+C.\,}

Vérification : $\Bigl[\tfrac{(x+3)^4}{4}\Bigr]'=\tfrac{4(x+3)^3\cdot 1}{4}=(x+3)^3$ .

Exercice 22 — cosinus composé

Calculer $\displaystyle J_2=\int \cos(2x)\,\mathrm{d} x$ .

On pose $U=2x$ , d'où $\mathrm{d} U=2\,\mathrm{d} x$ , soit $\mathrm{d} x=\tfrac12\,\mathrm{d} U$ . Forme 3 :

J_2=\int \cos(2x)\,\mathrm{d} x=\int \cos U\cdot\tfrac12\,\mathrm{d} U=\tfrac12\sin U+C =\boxed{\,\tfrac12\sin(2x)+C.\,}

Vérification : $\Bigl[\tfrac12\sin(2x)\Bigr]'=\tfrac12\cdot 2\cos(2x)=\cos(2x)$ .

Exercice 33 — exponentielle composée

Calculer $\displaystyle J_3=\int e^{2x}\,\mathrm{d} x$ .

On pose $U=2x$ , $\mathrm{d} U=2\,\mathrm{d} x$ , soit $\mathrm{d} x=\tfrac12\,\mathrm{d} U$ . Forme 6 avec $a=e$ :

J_3=\int e^{2x}\,\mathrm{d} x=\tfrac12\int e^{U}\,\mathrm{d} U=\tfrac12 e^{U}+C =\boxed{\,\tfrac12 e^{2x}+C.\,}

Vérification : $\Bigl[\tfrac12 e^{2x}\Bigr]'=\tfrac12\cdot 2\,e^{2x}=e^{2x}$ .

Exercice 44 — le

\mathrm{d} U

presque prêt

Calculer $\displaystyle J_4=\int \frac{2x}{x^2+3}\,\mathrm{d} x$ .

On pose $U=x^2+3$ , donc $U'=2x$ et $\mathrm{d} U=2x\,\mathrm{d} x$ : le numérateur est exactement $\mathrm{d} U$ . Forme 2 :

J_4=\int \frac{2x\,\mathrm{d} x}{x^2+3}=\int\frac{\mathrm{d} U}{U}=\ln|U|+C=\boxed{\,\ln(x^2+3)+C.\,}

La valeur absolue est superflue car $x^2+3>0$ pour tout $x$ .
Vérification : $\bigl[\ln(x^2+3)\bigr]'=\dfrac{2x}{x^2+3}$ .

Exercice 55 — la forme

1/\cos^2

composée

Calculer $\displaystyle J_5=\int \frac{\mathrm{d} x}{\cos^2(3x)}$ .

On pose $U=3x$ , d'où $\mathrm{d} U=3\,\mathrm{d} x$ , soit $\mathrm{d} x=\tfrac13\,\mathrm{d} U$ . Forme 4 :

J_5=\int \frac{\mathrm{d} x}{\cos^2(3x)}=\tfrac13\int\frac{\mathrm{d} U}{\cos^2 U}=\tfrac13\tan U+C =\boxed{\,\tfrac13\tan(3x)+C.\,}

Vérification : $\Bigl[\tfrac13\tan(3x)\Bigr]'=\tfrac13\cdot\dfrac{3}{\cos^2(3x)}=\dfrac{1}{\cos^2(3x)}$ .

Exercice 66 — puissance d'une affine, constante à compenser

Calculer $\displaystyle J_6=\int (2x-1)^4\,\mathrm{d} x$ .

On pose $U=2x-1$ , donc $\mathrm{d} U=2\,\mathrm{d} x$ , soit $\mathrm{d} x=\tfrac12\,\mathrm{d} U$ . Forme 1 avec $n=4$ :

J_6=\int U^4\cdot\tfrac12\,\mathrm{d} U=\tfrac12\cdot\frac{U^5}{5}+C=\boxed{\,\frac{(2x-1)^5}{10}+C.\,}

Vérification : $\Bigl[\tfrac{(2x-1)^5}{10}\Bigr]'=\tfrac{5(2x-1)^4\cdot 2}{10}=(2x-1)^4$ .

Exercice 77 — sinus composé

Calculer $\displaystyle J_7=\int \sin(3x)\,\mathrm{d} x$ .

On pose $U=3x$ , d'où $\mathrm{d} x=\tfrac13\,\mathrm{d} U$ . Forme 3 :

J_7=\int \sin(3x)\,\mathrm{d} x=\tfrac13\int \sin U\,\mathrm{d} U=-\tfrac13\cos U+C=\boxed{\,-\tfrac13\cos(3x)+C.\,}

Vérification : $\Bigl[-\tfrac13\cos(3x)\Bigr]'=-\tfrac13\cdot\bigl(-\sin(3x)\bigr)\cdot 3=\sin(3x)$ .

Exercice 88 — la forme

\mathrm{d} U/U

affine

Calculer $\displaystyle J_8=\int \frac{\mathrm{d} x}{5x+2}$ (sur un intervalle où $5x+2\neq 0$ ).

On pose $U=5x+2$ , d'où $\mathrm{d} U=5\,\mathrm{d} x$ , soit $\mathrm{d} x=\tfrac15\,\mathrm{d} U$ . Forme 2 :

J_8=\int \frac{\mathrm{d} x}{5x+2}=\tfrac15\int\frac{\mathrm{d} U}{U}=\tfrac15\ln|U|+C=\boxed{\,\tfrac15\ln|5x+2|+C.\,}

Attentionvaleur absolue

Selon l'intervalle, $5x+2$ peut être négatif : on garde $\ln|5x+2|$ , jamais $\ln(5x+2)$ tout court.

Vérification : $\bigl[\tfrac15\ln|5x+2|\bigr]'=\tfrac15\cdot\dfrac{5}{5x+2}=\dfrac{1}{5x+2}$ .

Exercice 99 — exponentielle à exposant négatif

Calculer $\displaystyle J_9=\int e^{-2x}\,\mathrm{d} x$ .

On pose $U=-2x$ , donc $\mathrm{d} U=-2\,\mathrm{d} x$ , soit $\mathrm{d} x=-\tfrac12\,\mathrm{d} U$ . Forme 6 ( $a=e$ ) :

J_9=\int e^{-2x}\,\mathrm{d} x=-\tfrac12\int e^{U}\,\mathrm{d} U=-\tfrac12 e^{U}+C=\boxed{\,-\tfrac12 e^{-2x}+C.\,}

Vérification : $\Bigl[-\tfrac12 e^{-2x}\Bigr]'=-\tfrac12\cdot(-2)e^{-2x}=e^{-2x}$ .

Exercice 1010 — puissance négative d'une affine

Calculer $\displaystyle J_{10}=\int \frac{\mathrm{d} x}{(3x-1)^2}$ (sur un intervalle où $3x-1\neq 0$ ).

On pose $U=3x-1$ , $\mathrm{d} x=\tfrac13\,\mathrm{d} U$ . Forme 1 avec $n=-2$ ( $n\neq-1$ ) :

J_{10}=\int (3x-1)^{-2}\,\mathrm{d} x=\tfrac13\int U^{-2}\,\mathrm{d} U=\tfrac13\cdot\frac{U^{-1}}{-1}+C=\boxed{\,-\frac{1}{3(3x-1)}+C.\,}

Vérification : $\Bigl[-\tfrac13(3x-1)^{-1}\Bigr]'=-\tfrac13\cdot(-1)(3x-1)^{-2}\cdot 3=(3x-1)^{-2}$ .

Exercice 1111 — le

\mathrm{d} U

presque prêt sous une racine

Calculer $\displaystyle J_{11}=\int x\sqrt{x^2+1}\,\mathrm{d} x$ .

On pose $U=x^2+1$ , donc $\mathrm{d} U=2x\,\mathrm{d} x$ , soit $x\,\mathrm{d} x=\tfrac12\,\mathrm{d} U$ . Forme 1 avec $n=\tfrac12$ :

J_{11}=\int \sqrt{U}\cdot\tfrac12\,\mathrm{d} U=\tfrac12\cdot\frac{U^{3/2}}{3/2}+C=\boxed{\,\frac{1}{3}\bigl(x^2+1\bigr)^{3/2}+C.\,}

Vérification : $\Bigl[\tfrac13(x^2+1)^{3/2}\Bigr]'=\tfrac13\cdot\tfrac32(x^2+1)^{1/2}\cdot 2x=x\sqrt{x^2+1}$ .

Exercice 1212 — le

\mathrm{d} U

presque prêt, forme

\mathrm{d} U/U

Calculer $\displaystyle J_{12}=\int \frac{x^2}{x^3+1}\,\mathrm{d} x$ (sur un intervalle où $x^3+1\neq 0$ ).

On pose $U=x^3+1$ , donc $\mathrm{d} U=3x^2\,\mathrm{d} x$ , soit $x^2\,\mathrm{d} x=\tfrac13\,\mathrm{d} U$ . Forme 2 :

J_{12}=\int \frac{x^2\,\mathrm{d} x}{x^3+1}=\tfrac13\int\frac{\mathrm{d} U}{U}=\tfrac13\ln|U|+C=\boxed{\,\tfrac13\ln|x^3+1|+C.\,}

Vérification : $\bigl[\tfrac13\ln|x^3+1|\bigr]'=\tfrac13\cdot\dfrac{3x^2}{x^3+1}=\dfrac{x^2}{x^3+1}$ .

Exercice 1313 — puissance d'une fonction trigonométrique

Calculer $\displaystyle J_{13}=\int \sin^3 x\,\cos x\,\mathrm{d} x$ .

On pose $U=\sin x$ , donc $\mathrm{d} U=\cos x\,\mathrm{d} x$ : le facteur $\cos x\,\mathrm{d} x$ est exactement $\mathrm{d} U$ . Forme 1 avec $n=3$ :

J_{13}=\int \sin^3 x\,\cos x\,\mathrm{d} x=\int U^3\,\mathrm{d} U=\frac{U^4}{4}+C=\boxed{\,\frac{\sin^4 x}{4}+C.\,}

Vérification : $\Bigl[\tfrac{\sin^4 x}{4}\Bigr]'=\tfrac{4\sin^3 x\cos x}{4}=\sin^3 x\cos x$ .

Exercice 1414 — la brique cachée

U=\ln x

Calculer $\displaystyle J_{14}=\int \frac{\ln x}{x}\,\mathrm{d} x$ (pour $x>0$ ).

On pose $U=\ln x$ , donc $\mathrm{d} U=\dfrac{\mathrm{d} x}{x}$ : le facteur $\tfrac{\mathrm{d} x}{x}$ est exactement $\mathrm{d} U$ . Forme 1 avec $n=1$ :

J_{14}=\int \frac{\ln x}{x}\,\mathrm{d} x=\int U\,\mathrm{d} U=\frac{U^2}{2}+C=\boxed{\,\frac{(\ln x)^2}{2}+C.\,}

Vérification : $\Bigl[\tfrac{(\ln x)^2}{2}\Bigr]'=\tfrac{2\ln x}{2}\cdot\tfrac1x=\dfrac{\ln x}{x}$ .

Exercice 1515 — la brique cachée

U=e^x+1

Calculer $\displaystyle J_{15}=\int \frac{e^{x}}{e^{x}+1}\,\mathrm{d} x$ .

On pose $U=e^{x}+1$ , donc $\mathrm{d} U=e^{x}\,\mathrm{d} x$ : le numérateur est exactement $\mathrm{d} U$ . Forme 2 :

J_{15}=\int \frac{e^{x}\,\mathrm{d} x}{e^{x}+1}=\int\frac{\mathrm{d} U}{U}=\ln|U|+C=\boxed{\,\ln(e^{x}+1)+C.\,}

La valeur absolue est superflue car $e^{x}+1>0$ .
Vérification : $\bigl[\ln(e^{x}+1)\bigr]'=\dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}$ .

Difficile15 exercices

Exercice 11 — mettre à l'échelle

\arcsin

\arctan

Calculer :

a)
$\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)^2}}$
On pose $U=\tfrac{x}{3}$ , donc $\mathrm{d} U=\tfrac13\,\mathrm{d} x$ , soit $\mathrm{d} x=3\,\mathrm{d} U$ . Forme 5 :
$\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)^2}} =\int \frac{3\,\mathrm{d} U}{\sqrt{1-U^2}}=3\arcsin U+C =\boxed{\,3\arcsin\!\Bigl(\frac{x}{3}\Bigr)+C.\,}$
Vérification : $\Bigl[3\arcsin\!\tfrac{x}{3}\Bigr]'=3\cdot\dfrac{1/3}{\sqrt{1-(x/3)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-(x/3)^2}}$ .
b)
$\int \frac{\mathrm{d} x}{3+x^2}.$
On factorise le dénominateur pour retrouver la forme $1+U^2$ :
$\frac{1}{3+x^2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1+\bigl(\tfrac{x}{\sqrt3}\bigr)^2}.$
On pose $U=\tfrac{x}{\sqrt3}$ , d'où $\mathrm{d} x=\sqrt3\,\mathrm{d} U$ :
$\int \frac{\mathrm{d} x}{3+x^2}=\frac13\int\frac{\sqrt3\,\mathrm{d} U}{1+U^2} =\frac{\sqrt3}{3}\arctan U+C =\boxed{\,\frac{1}{\sqrt3}\arctan\!\Bigl(\frac{x}{\sqrt3}\Bigr)+C.\,}$
Vérification : $\Bigl[\tfrac{1}{\sqrt3}\arctan\tfrac{x}{\sqrt3}\Bigr]' =\tfrac{1}{\sqrt3}\cdot\dfrac{1/\sqrt3}{1+x^2/3}=\dfrac{1/3}{1+x^2/3}=\dfrac{1}{3+x^2}$ .

Exercice 22 — puissance composée, avec et sans le bon facteur

Calculer :

a)
$\int (5x^2+3)^3\,10x\,\mathrm{d} x$
On pose $U=5x^2+3$ , donc $U'=10x$ et $\mathrm{d} U=10x\,\mathrm{d} x$ .
Le facteur $10x\,\mathrm{d} x$ est exactement $\mathrm{d} U$ . Forme 1 avec $n=3$ :
$\int (5x^2+3)^3\,10x\,\mathrm{d} x=\int U^3\,\mathrm{d} U=\frac{U^4}{4}+C=\boxed{\,\frac{(5x^2+3)^4}{4}+C.\,}$
Vérification : $\Bigl[\tfrac{(5x^2+3)^4}{4}\Bigr]'=\tfrac{4(5x^2+3)^3\cdot 10x}{4}=(5x^2+3)^3\,10x$ .
b)
$\int (5x^2+3)^3\,5x\,\mathrm{d} x.$
Ici on a $5x\,\mathrm{d} x$ , c'est-à-dire $\tfrac12\,\mathrm{d} U$ (il manque le facteur $2$ ). Donc
$\int (5x^2+3)^3\,5x\,\mathrm{d} x=\int U^3\cdot\tfrac12\,\mathrm{d} U=\tfrac12\cdot\frac{U^4}{4}+C =\boxed{\,\frac{(5x^2+3)^4}{8}+C.\,}$
Vérification : $\Bigl[\tfrac{(5x^2+3)^4}{8}\Bigr]'=\tfrac{4(5x^2+3)^3\cdot 10x}{8}=(5x^2+3)^3\,5x$ .

Exercice 33 — factoriser le dénominateur / la racine

Calculer :

a)
$\int \frac{\mathrm{d} x}{9+x^2}$
On écrit $9+x^2=9\bigl(1+(\tfrac{x}{3})^2\bigr)$ . En posant $U=\tfrac{x}{3}$ , $\mathrm{d} x=3\,\mathrm{d} U$ :
$\int \frac{\mathrm{d} x}{9+x^2}=\frac19\int\frac{3\,\mathrm{d} U}{1+U^2} =\frac{3}{9}\arctan U+C=\boxed{\,\frac13\arctan\!\Bigl(\frac{x}{3}\Bigr)+C.\,}$
Vérification : $\Bigl[\tfrac13\arctan\tfrac{x}{3}\Bigr]'=\tfrac13\cdot\dfrac{1/3}{1+x^2/9}=\dfrac{1/9}{1+x^2/9}=\dfrac{1}{9+x^2}$ .
b)
$\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{4-x^2}}.$
On écrit $\sqrt{4-x^2}=\sqrt{4}\,\sqrt{1-(\tfrac{x}{2})^2}=2\sqrt{1-(\tfrac{x}{2})^2}$ . En posant $U=\tfrac{x}{2}$ , $\mathrm{d} x=2\,\mathrm{d} U$ :
$\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{4-x^2}}=\int\frac{2\,\mathrm{d} U}{2\sqrt{1-U^2}} =\int\frac{\mathrm{d} U}{\sqrt{1-U^2}}=\arcsin U+C=\boxed{\,\arcsin\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)+C.\,}$
Vérification : $\Bigl[\arcsin\tfrac{x}{2}\Bigr]'=\dfrac{1/2}{\sqrt{1-x^2/4}}=\dfrac{1/2}{\tfrac12\sqrt{4-x^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{4-x^2}}$ .

Exercice 44 — exponentielle de base

a\neq e

Calculer :

a)
$\int 2^{3x}\,\mathrm{d} x$
On pose $U=3x$ , donc $\mathrm{d} x=\tfrac13\,\mathrm{d} U$ . Forme 6 avec $a=2$ :
$\int 2^{3x}\,\mathrm{d} x=\frac13\int 2^{U}\,\mathrm{d} U=\frac13\cdot\frac{2^{U}}{\ln 2}+C =\boxed{\,\frac{2^{3x}}{3\ln 2}+C.\,}$
Vérification : $\Bigl[\tfrac{2^{3x}}{3\ln 2}\Bigr]'=\tfrac{1}{3\ln 2}\cdot 2^{3x}\ln 2\cdot 3=2^{3x}$ .
b)
$\int 10^{x}\,\mathrm{d} x.$
Forme 6 directe avec $a=10$ , $U=x$ :
$\int 10^{x}\,\mathrm{d} x=\boxed{\,\frac{10^{x}}{\ln 10}+C.\,}$
Vérification : $\Bigl[\tfrac{10^{x}}{\ln 10}\Bigr]'=\tfrac{1}{\ln 10}\cdot 10^{x}\ln 10=10^{x}$ .

Exercice 55 — forme

\mathrm{d} U/U

trigonométrique

Calculer $\displaystyle \int \frac{\sin x}{3-\cos x}\,\mathrm{d} x$ .

On reconnaît la forme $\mathrm{d} U/U$ en posant $U=3-\cos x$ . Alors $U'=\sin x$ et $\mathrm{d} U=\sin x\,\mathrm{d} x$ : le numérateur est exactement $\mathrm{d} U$ . Forme 2 :

\int \frac{\sin x\,\mathrm{d} x}{3-\cos x}=\int\frac{\mathrm{d} U}{U}=\ln|U|+C=\boxed{\,\ln(3-\cos x)+C.\,}

La valeur absolue est superflue car $3-\cos x\geqslant 2>0$ .
Vérification : $\bigl[\ln(3-\cos x)\bigr]'=\dfrac{\sin x}{3-\cos x}$ .

Exercice 66 — compléter le carré vers

\arctan

Calculer :

a)
$\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x^2+2x+5}$ ;
On écrit $x^2+2x+5=(x+1)^2+4$ , puis on pose $U=\tfrac{x+1}{2}$ , d'où $\mathrm{d} x=2\,\mathrm{d} U$ :
$\int \frac{\mathrm{d} x}{(x+1)^2+4}=\int\frac{2\,\mathrm{d} U}{4(1+U^2)}=\tfrac12\arctan U+C=\boxed{\,\tfrac12\arctan\!\Bigl(\tfrac{x+1}{2}\Bigr)+C.\,}$
Vérification : $\Bigl[\tfrac12\arctan\tfrac{x+1}{2}\Bigr]'=\tfrac12\cdot\dfrac{1/2}{1+\left(\frac{x+1}{2}\right)^2}=\dfrac{1}{(x+1)^2+4}=\dfrac{1}{x^2+2x+5}$ .
b)
$\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x^2-6x+10}$ .
On écrit $x^2-6x+10=(x-3)^2+1$ , puis $U=x-3$ , $\mathrm{d} U=\mathrm{d} x$ :
$\int \frac{\mathrm{d} x}{(x-3)^2+1}=\int\frac{\mathrm{d} U}{1+U^2}=\arctan U+C=\boxed{\,\arctan(x-3)+C.\,}$
Vérification : $\bigl[\arctan(x-3)\bigr]'=\dfrac{1}{1+(x-3)^2}=\dfrac{1}{x^2-6x+10}$ .

Exercice 77 — séparer le numérateur

Calculer $\displaystyle \int \frac{2x+3}{x^2+4}\,\mathrm{d} x$ en scindant l'intégrande en deux formes du tableau.

On scinde en deux morceaux, chacun relevant d'une forme du tableau :

\int \frac{2x+3}{x^2+4}\,\mathrm{d} x=\int \frac{2x}{x^2+4}\,\mathrm{d} x+\int \frac{3}{x^2+4}\,\mathrm{d} x.

Pour le premier, $U=x^2+4$ et $\mathrm{d} U=2x\,\mathrm{d} x$ (forme 2) donnent $\ln(x^2+4)$ . Pour le second, $x^2+4=4\bigl(1+(\tfrac{x}{2})^2\bigr)$ et $U=\tfrac{x}{2}$ (forme 5) donnent $3\cdot\tfrac12\arctan\tfrac{x}{2}$ . D'où

\boxed{\,\ln(x^2+4)+\tfrac32\arctan\!\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr)+C.\,}

Vérification : $\Bigl[\ln(x^2+4)+\tfrac32\arctan\tfrac{x}{2}\Bigr]'=\dfrac{2x}{x^2+4}+\tfrac32\cdot\dfrac{1/2}{1+x^2/4}=\dfrac{2x}{x^2+4}+\dfrac{3}{x^2+4}=\dfrac{2x+3}{x^2+4}$ .

Exercice 88 — compléter le carré sous une racine

Calculer $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{3-2x-x^2}}$ (sur l'intervalle où $3-2x-x^2>0$ ).

On met le trinôme sous forme canonique : $3-2x-x^2=-\bigl(x^2+2x-3\bigr)=-\bigl((x+1)^2-4\bigr)=4-(x+1)^2$ . On pose alors $U=\tfrac{x+1}{2}$ , d'où $\mathrm{d} x=2\,\mathrm{d} U$ et $\sqrt{4-(x+1)^2}=2\sqrt{1-U^2}$ :

\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{3-2x-x^2}}=\int\frac{2\,\mathrm{d} U}{2\sqrt{1-U^2}}=\arcsin U+C=\boxed{\,\arcsin\!\Bigl(\tfrac{x+1}{2}\Bigr)+C.\,}

Vérification : $\Bigl[\arcsin\tfrac{x+1}{2}\Bigr]'=\dfrac{1/2}{\sqrt{1-\left(\frac{x+1}{2}\right)^2}}=\dfrac{1/2}{\tfrac12\sqrt{4-(x+1)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{3-2x-x^2}}$ .

Exercice 99 — tangente et cotangente

Calculer :

a)
$\displaystyle \int \tan x\,\mathrm{d} x$ ;
$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ . On pose $U=\cos x$ , donc $\mathrm{d} U=-\sin x\,\mathrm{d} x$ . Forme 2 :
$\int \tan x\,\mathrm{d} x=\int\frac{-\mathrm{d} U}{U}=-\ln|U|+C=\boxed{\,-\ln|\cos x|+C.\,}$
Vérification : $\bigl[-\ln|\cos x|\bigr]'=-\dfrac{-\sin x}{\cos x}=\tan x$ .
b)
$\displaystyle \int \cot x\,\mathrm{d} x$ .
$\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$ . On pose $U=\sin x$ , donc $\mathrm{d} U=\cos x\,\mathrm{d} x$ . Forme 2 :
$\int \cot x\,\mathrm{d} x=\int\frac{\mathrm{d} U}{U}=\ln|U|+C=\boxed{\,\ln|\sin x|+C.\,}$
Vérification : $\bigl[\ln|\sin x|\bigr]'=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x$ .

Exercice 1010 — un facteur

x

au numérateur

Calculer :

a)
$\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d} x$ ;
On pose $U=1-x^2$ , donc $\mathrm{d} U=-2x\,\mathrm{d} x$ , soit $x\,\mathrm{d} x=-\tfrac12\,\mathrm{d} U$ . Forme 1 avec $n=-\tfrac12$ :
$\int \frac{x\,\mathrm{d} x}{\sqrt{1-x^2}}=-\tfrac12\int U^{-1/2}\,\mathrm{d} U=-\tfrac12\cdot 2U^{1/2}+C=\boxed{\,-\sqrt{1-x^2}+C.\,}$
Vérification : $\bigl[-\sqrt{1-x^2}\bigr]'=-\dfrac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ .
b)
$\displaystyle \int \frac{x}{(1+x^2)^2}\,\mathrm{d} x$ .
On pose $U=1+x^2$ , donc $\mathrm{d} U=2x\,\mathrm{d} x$ , soit $x\,\mathrm{d} x=\tfrac12\,\mathrm{d} U$ . Forme 1 avec $n=-2$ :
$\int \frac{x\,\mathrm{d} x}{(1+x^2)^2}=\tfrac12\int U^{-2}\,\mathrm{d} U=\tfrac12\cdot\frac{U^{-1}}{-1}+C=\boxed{\,-\frac{1}{2(1+x^2)}+C.\,}$
Vérification : $\Bigl[-\tfrac{1}{2}(1+x^2)^{-1}\Bigr]'=-\tfrac12\cdot(-1)(1+x^2)^{-2}\cdot 2x=\dfrac{x}{(1+x^2)^2}$ .

Exercice 1111 — retrouver une fonction à partir de sa dérivée

La courbe ci-dessous représente la dérivée $f'$ d'une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ , définie par $f'(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ .

a)
Déterminer l'ensemble des primitives de $f'$ sur $\mathbb{R}$ .
On reconnaît la forme $\mathrm{d} U/U$ avec $U=x^2+1>0$ , $\mathrm{d} U=2x\,\mathrm{d} x$ , soit $x\,\mathrm{d} x=\tfrac12\,\mathrm{d} U$ :
$\int \frac{x}{x^2+1}\,\mathrm{d} x=\tfrac12\int\frac{\mathrm{d} U}{U}=\tfrac12\ln(x^2+1)+C.$
L'ensemble des primitives est donc $\boxed{\,f(x)=\tfrac12\ln(x^2+1)+C,\ C\in\mathbb{R}.\,}$
b)
Déterminer la fonction $f$ vérifiant de plus $f(0)=1$ .
La condition $f(0)=1$ donne $\tfrac12\ln 1+C=1$ , c'est-à-dire $C=1$ . Ainsi
$\boxed{\,f(x)=\tfrac12\ln(x^2+1)+1.\,}$
Vérification : $\Bigl[\tfrac12\ln(x^2+1)+1\Bigr]'=\tfrac12\cdot\dfrac{2x}{x^2+1}=\dfrac{x}{x^2+1}=f'(x)$ , et $f(0)=1$ .

Exercice 1212 — puissance impaire d'une fonction trigonométrique

Calculer, à l'aide d'une identité puis de la règle du $\mathrm{d} U$ :

a)
$\displaystyle \int \sin^3 x\,\mathrm{d} x$ ;
On isole un facteur $\sin x$ et on utilise $\sin^2 x=1-\cos^2 x$ , puis $U=\cos x$ ( $\mathrm{d} U=-\sin x\,\mathrm{d} x$ ) :
$\int \sin^3 x\,\mathrm{d} x=\int (1-\cos^2 x)\sin x\,\mathrm{d} x=-\int(1-U^2)\,\mathrm{d} U=-U+\frac{U^3}{3}+C=\boxed{\,-\cos x+\frac{\cos^3 x}{3}+C.\,}$
Vérification : $\Bigl[-\cos x+\tfrac{\cos^3 x}{3}\Bigr]'=\sin x+\tfrac{3\cos^2 x(-\sin x)}{3}=\sin x(1-\cos^2 x)=\sin^3 x$ .
b)
$\displaystyle \int \cos^3 x\,\mathrm{d} x$ .
De même avec $\cos^2 x=1-\sin^2 x$ et $U=\sin x$ ( $\mathrm{d} U=\cos x\,\mathrm{d} x$ ) :
$\int \cos^3 x\,\mathrm{d} x=\int (1-\sin^2 x)\cos x\,\mathrm{d} x=\int(1-U^2)\,\mathrm{d} U=U-\frac{U^3}{3}+C=\boxed{\,\sin x-\frac{\sin^3 x}{3}+C.\,}$
Vérification : $\Bigl[\sin x-\tfrac{\sin^3 x}{3}\Bigr]'=\cos x-\tfrac{3\sin^2 x\cos x}{3}=\cos x(1-\sin^2 x)=\cos^3 x$ .

Exercice 1313 — la brique cachée

U=\ln x

Calculer $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x\ln x}$ (pour $x>0$ , $x\neq 1$ ).

On pose $U=\ln x$ , donc $\mathrm{d} U=\dfrac{\mathrm{d} x}{x}$ : le facteur $\tfrac{\mathrm{d} x}{x}$ est exactement $\mathrm{d} U$ . Forme 2 :

\int \frac{\mathrm{d} x}{x\ln x}=\int\frac{\mathrm{d} U}{U}=\ln|U|+C=\boxed{\,\ln|\ln x|+C.\,}

Vérification : $\bigl[\ln|\ln x|\bigr]'=\dfrac{1}{\ln x}\cdot\dfrac1x=\dfrac{1}{x\ln x}$ .

Exercice 1414 — reconnaître

1+(e^x)^2

Calculer $\displaystyle \int \frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\,\mathrm{d} x$ .

On écrit $1+e^{2x}=1+(e^{x})^2$ et on pose $U=e^{x}$ , donc $\mathrm{d} U=e^{x}\,\mathrm{d} x$ : le numérateur est exactement $\mathrm{d} U$ . Forme 5 (partie $\arctan$ ) :

\int \frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\,\mathrm{d} x=\int\frac{\mathrm{d} U}{1+U^2}=\arctan U+C=\boxed{\,\arctan\!\bigl(e^{x}\bigr)+C.\,}

Vérification : $\bigl[\arctan(e^{x})\bigr]'=\dfrac{e^{x}}{1+(e^{x})^2}=\dfrac{e^{x}}{1+e^{2x}}$ .

Exercice 1515 — la fonction est sa propre brique

Calculer :

a)
$\displaystyle \int \frac{\arctan x}{1+x^2}\,\mathrm{d} x$ ;
On pose $U=\arctan x$ , donc $\mathrm{d} U=\dfrac{\mathrm{d} x}{1+x^2}$ : le reste de l'intégrande est exactement $\mathrm{d} U$ . Forme 1 avec $n=1$ :
$\int \frac{\arctan x}{1+x^2}\,\mathrm{d} x=\int U\,\mathrm{d} U=\frac{U^2}{2}+C=\boxed{\,\frac{(\arctan x)^2}{2}+C.\,}$
Vérification : $\Bigl[\tfrac{(\arctan x)^2}{2}\Bigr]'=\arctan x\cdot\dfrac{1}{1+x^2}$ .
b)
$\displaystyle \int \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d} x$ .
On pose $U=\arcsin x$ , donc $\mathrm{d} U=\dfrac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-x^2}}$ . Forme 1 avec $n=1$ :
$\int \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d} x=\int U\,\mathrm{d} U=\frac{U^2}{2}+C=\boxed{\,\frac{(\arcsin x)^2}{2}+C.\,}$
Vérification : $\Bigl[\tfrac{(\arcsin x)^2}{2}\Bigr]'=\arcsin x\cdot\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ .

Revoir le tutoriel de cette mécanique