Mécanique 2 · Tutoriel

Intégration par parties

La mécanique à maîtriser avant de passer aux exercices.

*Tutoriel — L'intégration par parties (IPP)

Certaines fonctions n'ont aucune primitive dans le formulaire du Thème 1 : $x\,e^x$ , $x\cos x$ , $\ln x$ , $\arctan x$ … Ce sont des produits (ou des fonctions « isolées » comme $\ln x$ ) que l'on intègre grâce à une seule technique universelle : l'intégration par parties. Elle n'est rien d'autre que la dérivée d'un produit lue à l'envers.

L'essentiella formule et d'où elle vient

On part de la dérivée d'un produit : $(UV)'=U'V+UV'$ . En passant aux différentielles puis en intégrant, $\displaystyle\int \mathrm{d}(UV)=\int V\,\mathrm{d} U+\int U\,\mathrm{d} V$ , c'est-à-dire $UV=\int V\,\mathrm{d} U+\int U\,\mathrm{d} V$ . En isolant la deuxième intégrale :

\boxed{\;\int U\,\mathrm{d} V \;=\; U\,V-\int V\,\mathrm{d} U.\;}

On choisit $U$ (qu'on va dériver) et $V'$ (qu'on va intégrer, avec $\mathrm{d} V=V'\,\mathrm{d} x$ ). Le pari : que la nouvelle intégrale $\int V\,\mathrm{d} U$ soit plus simple que celle de départ.

Comment choisir $U$ et $V'$ ?

Tout le succès tient au bon choix. On prend pour $U$ (la fonction que l'on dérive) celle qui apparaît le plus à gauche dans l'ordre de priorité suivant — retenu par le mnémo « L.I.A.T.E. » :

\underbrace{\text{L}}_{\ln,\ \log}\ >\ \underbrace{\text{I}}_{\arcsin,\ \arctan}\ >\ \underbrace{\text{A}}_{x^n,\ \text{polynômes}}\ >\ \underbrace{\text{T}}_{\sin,\ \cos}\ >\ \underbrace{\text{E}}_{e^x,\ a^x}.

Pourquoi cet ordre ? Un polynôme dérivé perd un degré (et finit par disparaître) ; un $\ln$ ou un $\arctan$ dérivé devient une fraction algébrique bien plus commode ; à l'inverse, $\sin$ , $\cos$ , $e^x$ s'intègrent sans se compliquer, on les met donc en $V'$ .

Méthodedérouler une IPP en 4 gestes

Choisir $U$ (règle L.I.A.T.E.) et $V'$ (tout le reste) ; calculer $U'$ (donc $\mathrm{d} U=U'\,\mathrm{d} x$ ) et $V=\int V'\,\mathrm{d} x$ .
Appliquer $\displaystyle\int U\,\mathrm{d} V=UV-\int V\,\mathrm{d} U$ .
Simplifier la nouvelle intégrale (parfois il faut une deuxième IPP, ou résoudre une équation en $I$ ).
Vérifier en dérivant le résultat : on doit retomber sur l'intégrande.

Exemplele cas d'école : $\displaystyle\int x\,e^x\,\mathrm{d} x$

Choix. $U=x$ (algébrique, à dériver) et $V'=e^x$ (exponentielle, à intégrer), donc $U'=1$ et $V=e^x$ .

\int x\,e^x\,\mathrm{d} x=U V-\int V\,\mathrm{d} U=x\,e^x-\int e^x\cdot 1\,\mathrm{d} x=x\,e^x-e^x+C=\boxed{(x-1)\,e^x+C.}

Vérification. $\bigl[(x-1)e^x\bigr]'=e^x+(x-1)e^x=x\,e^x$ . Le produit de départ est devenu l'intégrale immédiate $\int e^x\,\mathrm{d} x$ : c'est tout l'intérêt d'avoir dérivé $x$ en $1$ .

Exemple $\ln x$ , qui n'a pas de primitive « directe »

On écrit $\ln x=\underbrace{1}_{V'}\cdot\underbrace{\ln x}_{U}$ : ici $U=\ln x$ (priorité L !) et $V'=1$ , donc $U'=\tfrac1x$ et $V=x$ .

\int \ln x\,\mathrm{d} x=x\ln x-\int x\cdot\frac1x\,\mathrm{d} x=x\ln x-\int 1\,\mathrm{d} x=\boxed{x\ln x-x+C.}

Vérification. $\bigl[x\ln x-x\bigr]'=\ln x+x\cdot\tfrac1x-1=\ln x$ .

Remarquequand l'IPP « tourne en boucle »

Pour $\displaystyle I=\int e^x\sin x\,\mathrm{d} x$ , aucune IPP ne simplifie vraiment : deux IPP successives ramènent la même intégrale $I$ . On obtient alors une équation du type $I=(\ldots)-I$ que l'on résout pour trouver $I$ . Reconnaître cette situation évite de tourner en rond (voir Difficile).

Attentiondeux pièges classiques

Le signe $-$ de la formule ( $-\int V\,\mathrm{d} U$ ) est oublié une fois sur deux : écrivez-le tout de suite.
Le mauvais choix $U\leftrightarrow V'$ complique l'intégrale au lieu de la simplifier. En cas de doute, essayez ; si $\int V\,\mathrm{d} U$ est pire que l'intégrale de départ, inversez les rôles.

Ensuite, 3 niveaux d'exercices :

FacileMoyenDifficile

Passer aux exercices

Intégration par parties

Comment choisir UUU et V′V'V′ ?

Comment choisir $U$ et $V'$ ?