Mécanique 1 · Tutoriel

Primitives & règle du dU

La mécanique à maîtriser avant de passer aux exercices.

*Tutoriel — Primitives usuelles et la règle du $\mathrm{d} U$

On cherche ici des intégrales indéfinies : le résultat est une fonction, et il se termine toujours par $+\,C$ (la constante d'intégration). Toute la mécanique consiste à reconnaître, dans l'intégrande, une brique $U(x)$ accompagnée de son différentiel $\mathrm{d} U = U'(x)\,\mathrm{d} x$ , puis à appliquer une des six formes du formulaire.

L'essentielle seul réflexe à automatiser

Une primitive se vérifie en la dérivant : si l'on retombe sur l'intégrande, c'est juste. Faites-le systématiquement — c'est le meilleur détecteur d'erreurs de signe et de coefficient.

Méthodela règle du $\mathrm{d} U$ en 4 gestes

Repérer la brique $U(x)$ : ce qui est à l'intérieur d'une puissance, d'un logarithme, d'un cosinus, d'une racine, d'une exponentielle…
Calculer $\mathrm{d} U = U'(x)\,\mathrm{d} x$ .
Comparer $\mathrm{d} U$ à ce qui est écrit. S'il ne manque qu'une constante, on la compense en multipliant et divisant par cette constante (linéarité). S'il manque un facteur non constant, la forme directe ne s'applique pas.
Appliquer la formule du tableau avec $U$ à la place de $x$ , puis $+\,C$ .

Le tableau des six formes ( $U=U(x)$ , $\mathrm{d} U=U'(x)\,\mathrm{d} x$ )

Forme	Intégrale	Primitive
1	$\displaystyle\int U^{\,n}\,\mathrm{d} U\ (n\neq -1)$	$\displaystyle\frac{U^{\,n+1}}{n+1}+C$
2	$\displaystyle\int \frac{\mathrm{d} U}{U}$	$\displaystyle\ln\|U\|+C$
3	$\displaystyle\int \sin U\,\mathrm{d} U\,;\ \int \cos U\,\mathrm{d} U$	$\displaystyle-\cos U+C\,;\ \sin U+C$
4	$\displaystyle\int \frac{\mathrm{d} U}{\cos^2 U}\,;\ \int \frac{\mathrm{d} U}{\sin^2 U}$	$\displaystyle\tan U+C\,;\ -\cot U+C$
5	$\displaystyle\int \frac{\mathrm{d} U}{\sqrt{1-U^2}}\,;\ \int \frac{\mathrm{d} U}{1+U^2}$	$\displaystyle\arcsin U+C\,;\ \arctan U+C$
6	$\displaystyle\int a^{U}\,\mathrm{d} U\ (a>0,\,a\neq1)$	$\displaystyle\frac{a^{U}}{\ln a}+C\ \ (\int e^{U}\mathrm{d} U=e^{U}+C)$

Sans oublier la linéarité : $\displaystyle\int\bigl[f+g\bigr]\mathrm{d} x=\int f\,\mathrm{d} x+\int g\,\mathrm{d} x$ et $\displaystyle\int k\,f\,\mathrm{d} x=k\int f\,\mathrm{d} x$ .

Attentionles pièges qui coûtent des points

Forme 1, cas $n=-1$ : $\dfrac{U^{n+1}}{n+1}$ n'a aucun sens (division par $0$ ). Une primitive de $1/U$ n'est pas une puissance : c'est $\ln|U|$ (forme 2).
Forme 2, valeur absolue : on écrit $\ln|U|$ , jamais $\ln U$ tout court. (On peut retirer $|\cdot|$ seulement si l'on sait que $U>0$ , ex. $x^2+3$ .)
Signes : un « $-$ » devant $\cos$ (forme 3) et un « $-$ » devant $\cot$ (forme 4). On les retrouve via $(\cos)'=-\sin$ et $(\cot)'=-1/\sin^2$ .

L'essentiell'astuce « multiplier-diviser »

Quand $\mathrm{d} U$ diffère de l'intégrande par une simple constante $k$ , on ne bloque pas : on insère $k$ et on compense par $\tfrac1k$ devant l'intégrale. Par exemple $\mathrm{d} x=\tfrac1k\,\mathrm{d} U$ lorsque $U=kx+b$ . C'est la recette universelle, valable pour les six formes.

Exemplecompensation d'une constante — forme 1

Calculer $\displaystyle\int (2x+1)^4\,\mathrm{d} x$ . On pose $U=2x+1$ , donc $\mathrm{d} U=2\,\mathrm{d} x$ , soit $\mathrm{d} x=\tfrac12\,\mathrm{d} U$ . Alors

\int (2x+1)^4\,\mathrm{d} x=\int U^4\cdot\tfrac12\,\mathrm{d} U=\tfrac12\cdot\frac{U^5}{5}+C =\frac{(2x+1)^5}{10}+C.

Vérification : $\Bigl[\tfrac{(2x+1)^5}{10}\Bigr]'=\tfrac{5(2x+1)^4\cdot 2}{10}=(2x+1)^4$ .

Exemplele $\mathrm{d} U$ « tout prêt » — forme 2

Calculer $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2+3}\,\mathrm{d} x$ . On pose $U=x^2+3$ , d'où $\mathrm{d} U=2x\,\mathrm{d} x$ : le numérateur est exactement $\mathrm{d} U$ . Donc

\int \frac{\mathrm{d} U}{U}=\ln|U|+C=\ln(x^2+3)+C

(la valeur absolue est inutile car $x^2+3>0$ ). Vérification : $\bigl[\ln(x^2+3)\bigr]'=\dfrac{2x}{x^2+3}$ .

Ensuite, 3 niveaux d'exercices :

FacileMoyenDifficile

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Primitives & règle du dU

Le tableau des six formes (U=U(x)U=U(x)U=U(x), dU=U′(x) dx\mathrm{d} U=U'(x)\,\mathrm{d} xdU=U′(x)dx)

Le tableau des six formes ( $U=U(x)$ , $\mathrm{d} U=U'(x)\,\mathrm{d} x$ )