Images, antécédents & domaine

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Facile15 exercices

Exercice 1

Soit $f(x)=3x-5$ .

a)
Calculer les images $f(2)$ , $f(-1)$ et $f(0)$ .
$f(x)=3x-5$ .
$f(2)=3\times 2-5=\boxed{1}$ ; $f(-1)=3\times(-1)-5=\boxed{-8}$ ; $f(0)=3\times 0-5=\boxed{-5}$ .
b)
Déterminer l'antécédent de $4$ par $f$ .
On résout $f(x)=4$ : $3x-5=4\Leftrightarrow 3x=9\Leftrightarrow x=3$ . L'antécédent de $4$ est $\boxed{3}$ .

Exercice 2

Soit $g(x)=x^2-2x$ .

a)
Calculer $g(3)$ et $g(-2)$ .
$g(x)=x^2-2x$ .
$g(3)=3^2-2\times 3=9-6=\boxed{3}$ ; $g(-2)=(-2)^2-2\times(-2)=4+4=\boxed{8}$ .
b)
Déterminer tous les antécédents de $0$ par $g$ .
On résout $g(x)=0$ : $x^2-2x=0\Leftrightarrow x(x-2)=0\Leftrightarrow x=0 \text{ ou } x=2$ . Les antécédents de $0$ sont $\boxed{0 \text{ et } 2}$ (un même nombre peut avoir plusieurs antécédents).

Exercice 3

Déterminer le domaine de définition de $f(x)=\dfrac{1}{x-3}$ .

Zone à risque : le dénominateur $x-3$ . Condition d'existence : $x-3\neq 0\Leftrightarrow x\neq 3$ .

\boxed{D_f=\mathbb{R}\setminus\{3\}}

Exercice 4

Déterminer le domaine de définition de $g(x)=\sqrt{x-2}$ .

Zone à risque : la racine carrée. Condition : $x-2\geq 0\Leftrightarrow x\geq 2$ . On garde le crochet fermé en $2$ car $\sqrt{0}=0$ existe.

\boxed{D_f=[2,+\infty[}

Exercice 5

Déterminer le domaine de définition de $h(x)=\ln(x+1)$ .

Zone à risque : le logarithme. Condition : $x+1>0\Leftrightarrow x>-1$ (strict : $\ln 0$ n'existe pas).

\boxed{D_f=\,]-1,+\infty[}

Exercice 6

Soit $f(x)=-2x+7$ .

a)
Calculer les images $f(0)$ , $f(5)$ et $f\!\left(\tfrac12\right)$ .
$f(x)=-2x+7$ .
$f(0)=\boxed{7}$ ; $f(5)=-2\times 5+7=\boxed{-3}$ ; $f\!\left(\tfrac12\right)=-2\times\tfrac12+7=\boxed{6}$ .
b)
Déterminer l'antécédent de $1$ par $f$ .
On résout $f(x)=1$ : $-2x+7=1\Leftrightarrow -2x=-6\Leftrightarrow x=3$ . L'antécédent de $1$ est $\boxed{3}$ .

Exercice 7

Soit $h(x)=\dfrac{1}{x}$ (fonction inverse).

a)
Calculer $h(2)$ , $h(-4)$ et $h\!\left(\tfrac13\right)$ .
$h(x)=\dfrac{1}{x}$ .
$h(2)=\boxed{\tfrac12}$ ; $h(-4)=\boxed{-\tfrac14}$ ; $h\!\left(\tfrac13\right)=\dfrac{1}{\tfrac13}=\boxed{3}$ .
b)
Déterminer l'antécédent de $5$ par $h$ .
On résout $\dfrac{1}{x}=5\Leftrightarrow x=\dfrac15$ . L'antécédent de $5$ est $\boxed{\tfrac15}$ .

Exercice 8

Soit $g(x)=x^2+1$ .

a)
Calculer $g(2)$ et $g(-2)$ . Que remarque-t-on ?
$g(x)=x^2+1$ .
$g(2)=2^2+1=\boxed{5}$ et $g(-2)=(-2)^2+1=\boxed{5}$ . Les deux images sont égales : $2$ et $-2$ ont la même image (la fonction est paire).
b)
Combien d'antécédents le nombre $-2$ admet-il par $g$ ? Justifier.
On résout $g(x)=-2$ : $x^2+1=-2\Leftrightarrow x^2=-3$ . Un carré n'est jamais négatif, donc l'équation n'a aucune solution : $-2$ admet $\boxed{0 \text{ antécédent}}$ par $g$ .

Exercice 9

Déterminer le domaine de définition de $f(x)=\dfrac{3}{2x-1}$ .

Zone à risque : le dénominateur $2x-1$ . Condition : $2x-1\neq 0\Leftrightarrow x\neq\tfrac12$ .

\boxed{D_f=\mathbb{R}\setminus\left\{\tfrac12\right\}}

Exercice 10

Déterminer le domaine de définition de $f(x)=\sqrt{5-x}$ .

Zone à risque : la racine carrée. Condition : $5-x\geq 0\Leftrightarrow x\leq 5$ (attention au sens de l'inégalité).

\boxed{D_f=\,]-\infty,\,5]}

Exercice 11

Déterminer le domaine de définition de $f(x)=\ln(2x-4)$ .

Zone à risque : le logarithme. Condition : $2x-4>0\Leftrightarrow x>2$ (strict).

\boxed{D_f=\,]2,+\infty[}

Exercice 12

Déterminer le domaine de définition de chacune de ces fonctions.

a)
$f(x)=x^2-3x+2$ .
$f(x)=x^2-3x+2$ est un polynôme : aucune zone à risque, donc $\boxed{D_f=\mathbb{R}}$ .
b)
$g(x)=\dfrac{x-1}{x^2+1}$ .
$g(x)=\dfrac{x-1}{x^2+1}$ : le dénominateur $x^2+1$ vaut au moins $1$ , il ne s'annule jamais. Donc $\boxed{D_g=\mathbb{R}}$ .

Exercice 13

Soit $f(x)=\sqrt{x}+1$ .

a)
Calculer $f(0)$ , $f(4)$ et $f(9)$ .
$f(x)=\sqrt{x}+1$ .
$f(0)=\sqrt{0}+1=\boxed{1}$ ; $f(4)=\sqrt{4}+1=\boxed{3}$ ; $f(9)=\sqrt{9}+1=\boxed{4}$ .
b)
Déterminer l'antécédent de $3$ par $f$ .
On résout $f(x)=3$ : $\sqrt{x}+1=3\Leftrightarrow \sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4$ . L'antécédent de $3$ est $\boxed{4}$ .

Exercice 14

La courbe ci-dessous représente une fonction $f$ dans un repère orthonormé.

a)
Lire l'ordonnée à l'origine $f(0)$ .
Lecture graphique (la courbe est la droite passant par $(0,1)$ et $(2,2)$ ).
La courbe coupe l'axe des ordonnées à la hauteur $1$ : $f(0)=\boxed{1}$ .
b)
Lire l'image $f(2)$ .
Au-dessus de $x=2$ , la courbe est à la hauteur $2$ : $f(2)=\boxed{2}$ .
c)
Déterminer graphiquement l'antécédent de $3$ par $f$ .
On part de la hauteur $3$ et on rejoint la courbe : elle est atteinte en $x=4$ . L'antécédent de $3$ est $\boxed{4}$ .

Exercice 15

Pour chacune des fonctions suivantes, indiquer la (les) valeur(s) interdite(s) puis donner le domaine de définition.

a)
$f(x)=\dfrac{1}{x+6}$ .
Dénominateur $\neq 0$ : $x+6\neq 0\Leftrightarrow x\neq -6$ . Valeur interdite : $-6$ . $\boxed{D_f=\mathbb{R}\setminus\{-6\}}$ .
b)
$g(x)=\sqrt{x-4}$ .
Racine carrée : $x-4\geq 0\Leftrightarrow x\geq 4$ . $\boxed{D_g=[4,+\infty[}$ .
c)
$h(x)=\ln(5-x)$ .
Logarithme : $5-x>0\Leftrightarrow x<5$ . $\boxed{D_h=\,]-\infty,\,5[}$ .

Moyen15 exercices

Exercice 1

Déterminer le domaine de définition de $f(x)=\sqrt{2x-6}$ .

Racine carrée : $2x-6\geq 0\Leftrightarrow 2x\geq 6\Leftrightarrow x\geq 3$ .

\boxed{D_f=[3,+\infty[}

Exercice 2

Déterminer le domaine de définition de $f(x)=\dfrac{x+1}{x^2-4}$ .

Dénominateur : $x^2-4\neq 0\Leftrightarrow (x-2)(x+2)\neq 0\Leftrightarrow x\neq 2 \text{ et } x\neq -2$ . Le numérateur ne pose aucune condition.

\boxed{D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2,\,2\}}

Exercice 3

Déterminer le domaine de définition de $f(x)=\ln(3-x)$ .

Logarithme : l'argument doit être strictement positif, $3-x>0\Leftrightarrow x<3$ .

\boxed{D_f=\,]-\infty,\,3[}

Exercice 4

Déterminer le domaine de définition de $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$ . Indication : ici deux interdits se cumulent.

Deux interdits se cumulent :

sous la racine : $x-1\geq 0$ ;
au dénominateur : $\sqrt{x-1}\neq 0\Rightarrow x-1\neq 0$ .

L'intersection donne $x-1>0\Leftrightarrow x>1$ (le crochet en $1$ devient ouvert).

\boxed{D_f=\,]1,+\infty[}

Exercice 5

Déterminer le domaine de définition de $f(x)=\sqrt{\dfrac{x-1}{x+2}}$ . Indication : on dresse le tableau de signes du quotient.

Il faut $\dfrac{x-1}{x+2}\geq 0$ et $x+2\neq 0$ . Numérateur nul en $x=1$ , dénominateur nul en $x=-2$ .

$x$		$-2$	$1$ $+\infty$
$x-1$	$-$	$\;\|\;$ $-$	$0\ \ +$
$x+2$	$-$	$\;0\;$ $+$	$+\ \ +$
$\dfrac{x-1}{x+2}$	$+$	$\;\nexists\;$ $-$	$0\ \ +$

Le quotient est $\geq 0$ sur $\,]-\infty,-2[$ (signe $+$ ) et sur $[1,+\infty[$ (signe $+$ , en incluant $1$ où il vaut $0$ ). On exclut $x=-2$ (dénominateur nul).

\boxed{D_f=\,]-\infty,\,-2[\ \cup\ [1,+\infty[}

Exercice 6

Déterminer le domaine de définition de $f(x)=\sqrt{x^2-9}$ . Indication : factoriser $x^2-9$ .

Racine carrée : $x^2-9\geq 0$ . Or $x^2-9=(x-3)(x+3)$ , produit d'un trinôme de coefficient dominant $>0$ , donc $\geq 0$ à l'extérieur des racines $-3$ et $3$ (bornes incluses).

\boxed{D_f=\,]-\infty,\,-3]\ \cup\ [3,+\infty[}

Exercice 7

Déterminer le domaine de définition de $f(x)=\ln(x^2-4)$ . Comparer avec l'exercice précédent : ici l'inégalité est stricte.

Logarithme : $x^2-4>0$ (strict). Comme $x^2-4=(x-2)(x+2)$ , ce produit est $>0$ à l'extérieur des racines $-2$ et $2$ , bornes exclues.

\boxed{D_f=\,]-\infty,\,-2[\ \cup\ ]2,+\infty[}

Contrairement à l'exercice 6, les bornes sont ici exclues (le log exige une inégalité stricte).

Exercice 8

Déterminer le domaine de définition de $f(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}}{x-3}$ . Indication : une condition pour la racine du numérateur, une pour le dénominateur.

Deux zones à risque :

racine au numérateur : $x+1\geq 0\Leftrightarrow x\geq -1$ ;
dénominateur : $x-3\neq 0\Leftrightarrow x\neq 3$ .

On garde le crochet fermé en $-1$ (la racine y vaut $0$ , ce qui est permis au numérateur) et on retire le point $3$ .

\boxed{D_f=[-1,\,3[\ \cup\ ]3,+\infty[}

Exercice 9

Déterminer le domaine de définition de $f(x)=\sqrt{x}+\dfrac{1}{x-2}$ . Indication : le domaine d'une somme est l'intersection des domaines.

Deux zones à risque :

racine : $x\geq 0$ ;
dénominateur : $x-2\neq 0\Leftrightarrow x\neq 2$ .

Le domaine est l'intersection $[0,+\infty[\,$ privé de $2$ :

\boxed{D_f=[0,\,2[\ \cup\ ]2,+\infty[}

Exercice 10

Déterminer le domaine de définition de $f(x)=\ln\!\left(\dfrac{x-1}{x+3}\right)$ . Indication : dresser le tableau de signes du quotient.

Logarithme : il faut $\dfrac{x-1}{x+3}>0$ (strict), avec $x+3\neq 0$ . Numérateur nul en $x=1$ , dénominateur nul en $x=-3$ .

$x$		$-3$	$1$ $+\infty$
$x-1$	$-$	$\;\|\;$ $-$	$0\ \ +$
$x+3$	$-$	$\;0\;$ $+$	$+\ \ +$
$\dfrac{x-1}{x+3}$	$+$	$\;\nexists\;$ $-$	$0\ \ +$

Le quotient est strictement positif sur $\,]-\infty,-3[$ et sur $\,]1,+\infty[$ (on exclut $x=1$ où il vaut $0$ , et $x=-3$ où le dénominateur s'annule).

\boxed{D_f=\,]-\infty,\,-3[\ \cup\ ]1,+\infty[}

Exercice 11

Soit $f(x)=x^2-4x+3$ .

a)
Déterminer les antécédents de $0$ par $f$ .
$f(x)=x^2-4x+3$ .
Antécédents de $0$ : on résout $x^2-4x+3=0$ . $\Delta=(-4)^2-4(1)(3)=16-12=4$ , d'où $x=\dfrac{4\pm 2}{2}$ , soit $x=1$ et $x=3$ . Les antécédents de $0$ sont $\boxed{1 \text{ et } 3}$ .
b)
Déterminer le(s) antécédent(s) de $-1$ par $f$ , et préciser leur nombre.
Antécédents de $-1$ : on résout $x^2-4x+3=-1\Leftrightarrow x^2-4x+4=0\Leftrightarrow (x-2)^2=0$ , d'où $x=2$ . Le nombre $-1$ admet $\boxed{\text{un seul antécédent}}$ , $x=2$ (racine double).

Exercice 12

Soit $f(x)=\dfrac{x-1}{x+2}$ .

a)
Donner le domaine de définition de $f$ .
$f(x)=\dfrac{x-1}{x+2}$ .
Dénominateur : $x+2\neq 0\Leftrightarrow x\neq -2$ , donc $\boxed{D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2\}}$ .
b)
Calculer $f(0)$ et $f(3)$ .
$f(0)=\dfrac{0-1}{0+2}=\boxed{-\tfrac12}$ ; $f(3)=\dfrac{3-1}{3+2}=\boxed{\tfrac25}$ .
c)
Déterminer l'antécédent de $2$ par $f$ .
On résout $\dfrac{x-1}{x+2}=2$ (avec $x\neq -2$ ) : $x-1=2(x+2)=2x+4\Leftrightarrow -5=x$ . L'antécédent de $2$ est $\boxed{-5}$ .

Exercice 13

Déterminer le domaine de définition de $f(x)=\sqrt{4-x^2}$ . Indication : la parabole $4-x^2$ est tournée vers le bas.

Racine carrée : $4-x^2\geq 0\Leftrightarrow x^2\leq 4\Leftrightarrow -2\leq x\leq 2$ . La parabole $4-x^2$ (tournée vers le bas) est $\geq 0$ entre ses racines $-2$ et $2$ , bornes incluses.

\boxed{D_f=[-2,\,2]}

Exercice 14

La courbe ci-dessous est celle d'une fonction $f$ (une parabole).

a)
Déterminer graphiquement les antécédents de $0$ par $f$ .
Lecture graphique (la parabole a pour sommet $(0,-4)$ et coupe l'axe des abscisses en $-2$ et $2$ ).
La courbe coupe l'axe des abscisses (hauteur $0$ ) en deux points : les antécédents de $0$ sont $\boxed{-2 \text{ et } 2}$ .
b)
Combien le nombre $-4$ admet-il d'antécédents ? Et le nombre $-5$ ?
La hauteur $-4$ n'est atteinte qu'au sommet : $-4$ admet $\boxed{1}$ antécédent ( $x=0$ ). La hauteur $-5$ est sous le sommet : la courbe ne l'atteint jamais, donc $-5$ admet $\boxed{0}$ antécédent.
c)
Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)\geq 0$ .
La courbe est au-dessus (ou sur) l'axe des abscisses pour $x\leq -2$ et pour $x\geq 2$ :
$\boxed{f(x)\geq 0 \iff x\in\,]-\infty,-2]\cup[2,+\infty[}.$

Exercice 15

Déterminer le domaine de définition de $f(x)=\dfrac{\ln x}{x-1}$ . Indication : deux interdits se cumulent.

Deux zones à risque :

logarithme : $x>0$ ;
dénominateur : $x-1\neq 0\Leftrightarrow x\neq 1$ .

L'intersection de $x>0$ et $x\neq 1$ donne

\boxed{D_f=\,]0,\,1[\ \cup\ ]1,+\infty[}

Difficile15 exercices

Exercice 1

On considère le trinôme $x^2-x-6$ .

a)
Factoriser $x^2-x-6$ , puis déterminer le domaine de définition de $f(x)=\sqrt{x^2-x-6}$ .
Racines de $x^2-x-6$ : $\Delta=(-1)^2-4(1)(-6)=1+24=25$ , d'où $x=\dfrac{1\pm 5}{2}$ , soit $x=3$ et $x=-2$ . Donc $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$ .
Racine carrée : il faut $(x-3)(x+2)\geq 0$ . Un produit de ce trinôme (avec $a=1>0$ ) est $\geq 0$ à l'extérieur des racines, bornes incluses :
$\boxed{D_f=\,]-\infty,-2]\ \cup\ [3,+\infty[}.$
b)
Déterminer le domaine de définition de $g(x)=\ln(x^2-x-6)$ . Comparer avec le domaine de $f$ .
Logarithme : il faut $(x-3)(x+2)>0$ (strict), donc à l'extérieur des racines, bornes exclues :
$\boxed{D_g=\,]-\infty,-2[\ \cup\ ]3,+\infty[}.$
Différence : le log exclut $-2$ et $3$ (où le trinôme vaut $0$ ), alors que la racine les inclut.

Exercice 2

a)
Déterminer le domaine de définition de $f(x)=\sqrt[3]{2x+1}$ (racine cubique).
La racine cubique (indice impair) existe pour tout réel : par exemple $\sqrt[3]{-8}=-2$ . Aucune condition.
$\boxed{D_f=\mathbb{R}}.$
b)
Déterminer le domaine de définition de $g(x)=\sqrt{2x+1}$ (racine carrée).
La racine carrée impose $2x+1\geq 0\Leftrightarrow x\geq -\tfrac12$ .
$\boxed{D_g=\Big[-\tfrac12,+\infty\Big[}.$
c)
Expliquer la différence.
Seules les racines d'indice pair ( $\sqrt{\ },\sqrt[4]{\ },\dots$ ) exigent un argument $\geq 0$ . Les racines d'indice impair sont définies sur $\mathbb{R}$ .
Piège
Écrire $D_f=\big[-\tfrac12,+\infty\big[$ pour $\sqrt[3]{2x+1}$ est l'erreur classique : on confond racine cubique et racine carrée.

Exercice 3

La fonction $\arcsin$ n'est définie que sur $[-1,1]$ . Déterminer le domaine de définition de $f(x)=\arcsin(2x-1)$ .

Condition d'existence de $\arcsin(2x-1)$ : $-1\leq 2x-1\leq 1$ .

-1\leq 2x-1 \Rightarrow 0\leq 2x \Rightarrow x\geq 0, \qquad 2x-1\leq 1\Rightarrow 2x\leq 2\Rightarrow x\leq 1.

L'intersection donne

\boxed{D_f=[0,\,1]}.

Exercice 4

Soit $f(x)=\dfrac{x}{x+1}$ , définie pour $x\neq -1$ .

a)
Montrer que $f\big(f(x)\big)=\dfrac{x}{2x+1}$ .
$f\big(f(x)\big)=\dfrac{f(x)}{f(x)+1}=\dfrac{\frac{x}{x+1}}{\frac{x}{x+1}+1}$ . Au dénominateur : $\dfrac{x}{x+1}+1=\dfrac{x+(x+1)}{x+1}=\dfrac{2x+1}{x+1}$ . Donc
$f\big(f(x)\big)=\frac{\frac{x}{x+1}}{\frac{2x+1}{x+1}}=\frac{x}{x+1}\times\frac{x+1}{2x+1}=\boxed{\dfrac{x}{2x+1}}.$
b)
En déduire le domaine de définition de la composée $f\circ f$ .
Pour que $f\circ f$ existe, il faut d'abord que $f(x)$ existe ( $x\neq -1$ ), puis que $f$ s'applique à $f(x)$ , c'est-à-dire $f(x)\neq -1$ . Or $\dfrac{x}{x+1}=-1\Leftrightarrow x=-(x+1)\Leftrightarrow 2x=-1\Leftrightarrow x=-\tfrac12$ . On retrouve d'ailleurs le dénominateur $2x+1$ qui s'annule en $x=-\tfrac12$ . D'où
$\boxed{D_{f\circ f}=\mathbb{R}\setminus\Big\{-1,\,-\tfrac12\Big\}}.$

Exercice 5

Mise en situation. Une grandeur est modélisée par $f(x)=\dfrac{\ln x}{\sqrt{4-x^2}}$ . Déterminer l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles cette expression a un sens (son domaine de définition).

Deux conditions à réunir :

logarithme : $x>0$ ;
racine carrée au dénominateur : $4-x^2>0$ (strict) $\Leftrightarrow -2<x<2$ .

L'intersection de $x>0$ et $-2<x<2$ donne

\boxed{D_f=\,]0,\,2[}.

Autrement dit, l'expression n'a de sens que pour $x$ strictement compris entre $0$ et $2$ .

Exercice 6

On pose $f(x)=\sqrt{x+4}+\sqrt{2-x}$ et $g(x)=\sqrt{x+4}-\sqrt{2-x}$ .

a)
Écrire les conditions d'existence de $f$ , puis déterminer $D_f$ .
$f$ contient deux racines carrées : il faut $x+4\geq 0$ et $2-x\geq 0$ , soit $x\geq -4$ et $x\leq 2$ . L'intersection donne
$\boxed{D_f=[-4,\,2]}.$
b)
Déterminer le domaine de définition de $g$ . Comparer avec celui de $f$ et expliquer.
$g$ fait intervenir exactement les mêmes racines carrées : les conditions d'existence sont identiques ( $x+4\geq 0$ et $2-x\geq 0$ ). Le signe $-$ entre les deux racines ne change rien aux conditions d'existence, donc
$\boxed{D_g=[-4,\,2]=D_f}.$

Exercice 7

a)
Déterminer le domaine de définition de $f(x)=\sqrt{\sqrt{x}-3}$ (radical emboîté).
Radical emboîté : il faut d'abord que $\sqrt{x}$ existe ( $x\geq 0$ ), puis que la quantité sous la racine extérieure soit $\geq 0$ : $\sqrt{x}-3\geq 0\Leftrightarrow \sqrt{x}\geq 3\Leftrightarrow x\geq 9$ . La condition $x\geq 9$ contient $x\geq 0$ , donc
$\boxed{D_f=[9,+\infty[}.$
b)
Déterminer le domaine de définition de $g(x)=\sqrt{6-\sqrt{x}}$ .
Même principe : $x\geq 0$ et $6-\sqrt{x}\geq 0\Leftrightarrow \sqrt{x}\leq 6\Leftrightarrow x\leq 36$ . L'intersection de $x\geq 0$ et $x\leq 36$ donne
$\boxed{D_g=[0,\,36]}.$

Exercice 8

Déterminer le domaine de définition de $f(x)=\ln\!\left(\dfrac{2x-1}{x-3}\right)$ . Indication : étudier le signe du quotient à l'aide d'un tableau.

Logarithme : il faut $\dfrac{2x-1}{x-3}>0$ . Numérateur nul en $x=\tfrac12$ , dénominateur nul en $x=3$ .

$x$		$\tfrac12$	$3$ $+\infty$
$2x-1$	$-$	$\;0\;$ $+$	$+\ \ +$
$x-3$	$-$	$\;\|\;$ $-$	$0\ \ +$
$\dfrac{2x-1}{x-3}$	$+$	$\;0\;$ $-$	$\nexists\ \ +$

Le quotient est $>0$ sur $\,]-\infty,\tfrac12[$ et sur $\,]3,+\infty[$ (on exclut $x=\tfrac12$ où il vaut $0$ , et $x=3$ où le dénominateur s'annule).

\boxed{D_f=\,\Big]-\infty,\,\tfrac12\Big[\ \cup\ ]3,+\infty[}.

Exercice 9

On rappelle que $\arccos$ n'est définie que sur $[-1,1]$ , tandis que $\arctan$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier.

a)
Déterminer le domaine de définition de $f(x)=\arccos\!\left(\dfrac{x-1}{2}\right)$ .
Condition d'existence de $\arccos\!\left(\dfrac{x-1}{2}\right)$ : $-1\leq \dfrac{x-1}{2}\leq 1$ . En multipliant par $2$ : $-2\leq x-1\leq 2$ , puis en ajoutant $1$ : $-1\leq x\leq 3$ .
$\boxed{D_f=[-1,\,3]}.$
b)
Déterminer le domaine de définition de $g(x)=\arctan\!\left(\dfrac1x\right)$ , et expliquer pourquoi la seule contrainte provient de $\dfrac1x$ .
$\arctan$ est définie sur $\mathbb{R}$ : elle n'impose aucune condition sur son argument. La seule contrainte vient donc de $\dfrac1x$ , qui exige $x\neq 0$ .
$\boxed{D_g=\mathbb{R}\setminus\{0\}}.$

Exercice 10

Soit $f(x)=\sqrt{1-\ln x}$ .

a)
Écrire les conditions d'existence, puis déterminer $D_f$ .
$f(x)=\sqrt{1-\ln x}$ .
Deux conditions : le logarithme exige $x>0$ ; la racine exige $1-\ln x\geq 0\Leftrightarrow \ln x\leq 1\Leftrightarrow x\leq e$ (la fonction $\ln$ étant croissante). L'intersection de $x>0$ et $x\leq e$ donne
$\boxed{D_f=\,]0,\,e]}.$
b)
Déterminer l'antécédent de $0$ par $f$ .
Antécédent de $0$ : $f(x)=0\Leftrightarrow 1-\ln x=0\Leftrightarrow \ln x=1\Leftrightarrow x=e$ . L'antécédent de $0$ est $\boxed{e}$ (il appartient bien à $D_f$ ).

Exercice 11

Pour $m\in\mathbb{R}$ , on pose $f_m(x)=\sqrt{x^2-2x+m}$ .

a)
Déterminer le domaine de définition de $f_1$ (cas $m=1$ ).
$f_m(x)=\sqrt{x^2-2x+m}$ .
Pour $m=1$ : $x^2-2x+1=(x-1)^2\geq 0$ pour tout $x$ , et la racine d'un carré existe toujours. Donc $\boxed{D_f=\mathbb{R}}$ .
b)
Déterminer toutes les valeurs de $m$ pour lesquelles $D_f=\mathbb{R}$ .
$D_f=\mathbb{R}$ signifie que $x^2-2x+m\geq 0$ pour tout $x$ . Ce trinôme (de coefficient dominant $1>0$ ) reste $\geq 0$ partout si et seulement si son discriminant est $\leq 0$ :
$\Delta=(-2)^2-4(1)(m)=4-4m\leq 0\Leftrightarrow m\geq 1.$
$\boxed{D_f=\mathbb{R} \iff m\geq 1}.$
c)
Déterminer le domaine de définition de $f_0$ (cas $m=0$ ).
Pour $m=0$ : $x^2-2x\geq 0\Leftrightarrow x(x-2)\geq 0$ , produit $\geq 0$ à l'extérieur des racines $0$ et $2$ (incluses).
$\boxed{D_{f_0}=\,]-\infty,\,0]\ \cup\ [2,+\infty[}.$

Exercice 12

Soit $f(x)=e^{2x}-3e^{x}+2$ .

a)
En posant $X=e^{x}$ , montrer que résoudre $f(x)=0$ revient à résoudre $X^2-3X+2=0$ .
$f(x)=e^{2x}-3e^{x}+2$ .
En posant $X=e^{x}$ , on a $e^{2x}=(e^{x})^2=X^2$ . L'équation $f(x)=0$ devient $X^2-3X+2=0$ , avec la contrainte $X=e^{x}>0$ .
b)
En déduire tous les antécédents de $0$ par $f$ .
$X^2-3X+2=0$ se factorise en $(X-1)(X-2)=0$ , d'où $X=1$ ou $X=2$ (toutes deux $>0$ ). On revient à $x$ :
$e^{x}=1\Rightarrow x=0, \qquad e^{x}=2\Rightarrow x=\ln 2.$
Les antécédents de $0$ par $f$ sont $\boxed{0 \text{ et } \ln 2}$ .

Exercice 13

a)
Déterminer le domaine de définition de $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{\lvert x\rvert-1}}$ .
La racine est au dénominateur : il faut $\lvert x\rvert-1>0$ (strict), soit $\lvert x\rvert>1\Leftrightarrow x<-1 \text{ ou } x>1$ .
$\boxed{D_f=\,]-\infty,\,-1[\ \cup\ ]1,+\infty[}.$
b)
Déterminer le domaine de définition de $g(x)=\sqrt{\lvert x\rvert-1}$ et comparer les bornes.
Ici la racine n'est pas au dénominateur : $\lvert x\rvert-1\geq 0\Leftrightarrow \lvert x\rvert\geq 1\Leftrightarrow x\leq -1 \text{ ou } x\geq 1$ .
$\boxed{D_g=\,]-\infty,\,-1]\ \cup\ [1,+\infty[}.$
Les bornes $-1$ et $1$ sont incluses pour $g$ mais exclues pour $f$ (division interdite en ces points).

Exercice 14

Mise en situation. La concentration d'un principe actif (en mg/L) est modélisée, pour $t$ en heures, par

C(t)=\dfrac{\sqrt{t}}{\ln(5-t)}.

a)
Écrire toutes les conditions d'existence de $C(t)$ .
Trois conditions se cumulent :
- racine au numérateur : $t\geq 0$ ;
- logarithme : $5-t>0\Leftrightarrow t<5$ ;
- dénominateur : $\ln(5-t)\neq 0\Leftrightarrow 5-t\neq 1\Leftrightarrow t\neq 4$ .
b)
En déduire le domaine de définition de $C$ .
L'intersection de $t\geq 0$ , $t<5$ et $t\neq 4$ donne
$\boxed{D_f=[0,\,4[\ \cup\ ]4,\,5[}.$
Le point $t=4$ est exclu car le logarithme y vaut $0$ : on diviserait par $0$ .

Exercice 15

Soit $f(x)=\arcsin\!\left(\dfrac{2x}{1+x^2}\right)$ .

a)
Montrer que, pour tout réel $x$ , $-1\leq \dfrac{2x}{1+x^2}\leq 1$ .
Pour tout réel $x$ , $(\lvert x\rvert-1)^2\geq 0$ , c'est-à-dire $x^2-2\lvert x\rvert+1\geq 0$ , donc $1+x^2\geq 2\lvert x\rvert=\lvert 2x\rvert$ . Comme $1+x^2>0$ , on peut diviser :
$\frac{\lvert 2x\rvert}{1+x^2}\leq 1, \qquad\text{soit}\qquad -1\leq \frac{2x}{1+x^2}\leq 1.$
b)
En déduire le domaine de définition de $f$ .
L'argument de $\arcsin$ reste toujours dans $[-1,1]$ : la condition d'existence est satisfaite pour tout réel $x$ . De plus $1+x^2$ ne s'annule jamais. Donc
$\boxed{D_f=\mathbb{R}}.$

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