Parité, symétries & périodicité

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Facile15 exercices

Exercice 1

$f(x)=x^2-3$ .

$f(-x)=(-x)^2-3=x^2-3=f(x)$ . Donc $f$ est paire (axe de symétrie : l'axe des $y$ ).

Exercice 2

$f(x)=x^3+x$ .

$f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)$ . Donc $f$ est impaire (centre de symétrie : l'origine).

Exercice 3

$f(x)=2x+1$ .

$f(-x)=2(-x)+1=-2x+1$ . Or $f(x)=2x+1$ et $-f(x)=-2x-1$ . On a $f(-x)\neq f(x)$ et $f(-x)\neq -f(x)$ . Contre-exemple : $f(1)=3$ , $f(-1)=-1$ . Donc $f$ n'est ni paire ni impaire.

Exercice 4

$f(x)=\lvert x\rvert$ .

$f(-x)=\lvert -x\rvert=\lvert x\rvert=f(x)$ . Donc $f$ est paire.

Exercice 5

$f(x)=x^2+x$ .

$f(-x)=(-x)^2+(-x)=x^2-x$ . Or $f(x)=x^2+x$ et $-f(x)=-x^2-x$ . Ni égalité. Contre-exemple : $f(1)=2$ , $f(-1)=0$ : $f(-1)\neq f(1)$ et $f(-1)\neq -f(1)=-2$ . Donc $f$ n'est ni paire ni impaire.

Exercice 6

$f(x)=-x^2+4$ .

$f(-x)=-(-x)^2+4=-x^2+4=f(x)$ . Donc $f$ est paire (axe de symétrie : l'axe des $y$ ).

Exercice 7

$f(x)=x^5-x^3$ .

$f(-x)=(-x)^5-(-x)^3=-x^5+x^3=-(x^5-x^3)=-f(x)$ . Donc $f$ est impaire.

Exercice 8

$f(x)=3x$ .

$f(-x)=3(-x)=-3x=-f(x)$ . Donc $f$ est impaire.

Exercice 9

$f(x)=4$ (fonction constante).

$f(-x)=4=f(x)$ : $f$ est paire. (Une fonction constante non nulle est paire mais pas impaire, car $4\neq-4$ .)

Exercice 10

$f(x)=x\lvert x\rvert$ .

$f(-x)=(-x)\lvert -x\rvert=(-x)\lvert x\rvert=-x\lvert x\rvert=-f(x)$ . Donc $f$ est impaire.

Exercice 11

Sans calcul, donner la période de chacune des fonctions suivantes.

a)
$x\mapsto\sin x$ ;
$\sin$ : période $T=2\pi$ .
b)
$x\mapsto\cos x$ ;
$\cos$ : période $T=2\pi$ .
c)
$x\mapsto\tan x$ .
$\tan$ : période $T=\pi$ (et non $2\pi$ ).

Exercice 12

$f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ .

$f(-x)=\dfrac{1}{(-x)^2}=\dfrac{1}{x^2}=f(x)$ . Donc $f$ est paire.

Exercice 13

Par lecture graphique de la courbe ci-dessous, dire si $f$ est paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre. Justifier par la symétrie observée.

La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ( $x=0$ ) : $f$ est paire.

Exercice 14

$f(x)=x^2+\lvert x\rvert$ .

$f(-x)=(-x)^2+\lvert -x\rvert=x^2+\lvert x\rvert=f(x)$ . Donc $f$ est paire.

Exercice 15

Par lecture graphique de la courbe ci-dessous, dire si $g$ est paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre. Justifier par la symétrie observée.

La courbe est symétrique par rapport à l'origine $(0;0)$ : $g$ est impaire.

Moyen15 exercices

Exercice 1

Soit $f(x)=x^2-6x+5$ .

a)
Déterminer l'équation de l'axe de symétrie à l'aide de la formule $x=-\dfrac{b}{2a}$ .
$f(x)=x^2-6x+5$ , donc $a=1$ , $b=-6$ .
Axe de symétrie : $x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-6}{2}=\boxed{3}$ .
b)
Vérifier par le calcul que $f(3-x)=f(3+x)$ .
$f(3-x)=(3-x)^2-6(3-x)+5=9-6x+x^2-18+6x+5=x^2-4$ .
$f(3+x)=(3+x)^2-6(3+x)+5=9+6x+x^2-18-6x+5=x^2-4$ .
Les deux sont égaux : $f(3-x)=f(3+x)$ , l'axe $x=3$ est bien axe de symétrie.

Exercice 2

Pour les fonctions $\cos$ et $\tan$ , préciser la parité et la période. Justifier brièvement chaque réponse.

$\cos$ : paire car $\cos(-x)=\cos x$ ; période $T=2\pi$ car $\cos(x+2\pi)=\cos x$ .
$\tan$ : impaire car $\tan(-x)=\dfrac{\sin(-x)}{\cos(-x)}=\dfrac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x$ ; période $T=\pi$ (et non $2\pi$ ) car $\tan(x+\pi)=\tan x$ .

Exercice 3

Soit $f(x)=x^3+2$ . Montrer que le point $(0;2)$ est un centre de symétrie de la courbe de $f$ .

On teste $f(0-x)+f(0+x)=2b$ avec $a=0$ , $b=2$ :

f(-x)+f(x)=\big((-x)^3+2\big)+\big(x^3+2\big)=-x^3+2+x^3+2=4=2\times 2.

La relation $f(a-x)+f(a+x)=2b$ est vérifiée avec $(a;b)=(0;2)$ : $(0;2)$ est un centre de symétrie.

Exercice 4

Montrer que $f(x)=\sin(2x)$ est périodique de période $T=\pi$ .

$f(x+\pi)=\sin\big(2(x+\pi)\big)=\sin(2x+2\pi)=\sin(2x)=f(x)$ pour tout $x$ . Donc $f$ est périodique et $\pi$ est une période. C'est la plus petite : $\boxed{T=\pi}$ .

Exercice 5

Montrer que $f(x)=\dfrac1x$ est impaire, et en déduire un centre de symétrie de son graphe.

$f(-x)=\dfrac{1}{-x}=-\dfrac1x=-f(x)$ : $f$ est impaire. Une fonction impaire admet l'origine $(0;0)$ pour centre de symétrie ; le graphe de $\frac1x$ (hyperbole) est donc symétrique par rapport à $O$ .

Exercice 6

Soit $f(x)=\cos(3x)$ . Montrer que $f$ est périodique de période $T=\dfrac{2\pi}{3}$ .

Pour tout $x$ , $f\!\left(x+\dfrac{2\pi}{3}\right)=\cos\!\left(3x+2\pi\right)=\cos(3x)=f(x)$ . Donc $\dfrac{2\pi}{3}$ est une période ; c'est la plus petite : $\boxed{T=\dfrac{2\pi}{3}}$ . (Règle : $\cos(kx)$ a pour période $\dfrac{2\pi}{k}$ , ici $k=3$ .)

Exercice 7

Soit $f(x)=(x-2)^3$ . Montrer que le point $(2;0)$ est un centre de symétrie de la courbe de $f$ .

On teste $f(2-x)+f(2+x)=2b$ avec le centre candidat $(a;b)=(2;0)$ :

f(2-x)+f(2+x)=(2-x-2)^3+(2+x-2)^3=(-x)^3+x^3=-x^3+x^3=0=2\times 0.

La relation est vérifiée pour tout $x$ : $(2;0)$ est un centre de symétrie.

Exercice 8

Soit $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ . Étudier la parité de $f$ .

$f(-x)=\dfrac{-x}{(-x)^2+1}=\dfrac{-x}{x^2+1}=-\dfrac{x}{x^2+1}=-f(x)$ . Donc $f$ est impaire.

Exercice 9

Soit $f(x)=\cos x+x^2$ . Montrer que $f$ est paire (on pourra raisonner sur la parité de chaque terme).

$f(-x)=\cos(-x)+(-x)^2=\cos x+x^2=f(x)$ . Donc $f$ est paire. (Somme de deux fonctions paires, $\cos$ et $x\mapsto x^2$ : le résultat est pair.)

Exercice 10

Soit $f(x)=\lvert\cos x\rvert$ . Montrer que $\pi$ est une période de $f$ .

$f(x+\pi)=\lvert\cos(x+\pi)\rvert=\lvert-\cos x\rvert=\lvert\cos x\rvert=f(x)$ pour tout $x$ . Donc $\pi$ est une période de $f$ .

Exercice 11

La courbe de $f(x)=x^2+6x+11$ admet un axe de symétrie vertical.

a)
Déterminer l'équation de cet axe à l'aide de la formule $x=-\dfrac{b}{2a}$ .
$f(x)=x^2+6x+11$ , $a=1$ , $b=6$ .
Axe : $x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{6}{2}=\boxed{-3}$ .
b)
En déduire l'ordonnée du sommet de la parabole.
Ordonnée du sommet : $f(-3)=(-3)^2+6\times(-3)+11=9-18+11=\boxed{2}$ . Sommet $(-3;2)$ .

Exercice 12

Soit $f(x)=x^3-3x+1$ . Montrer que le point $(0;1)$ est un centre de symétrie de la courbe de $f$ .

On teste $f(-x)+f(x)=2b$ avec $(a;b)=(0;1)$ :

f(-x)+f(x)=\big((-x)^3-3(-x)+1\big)+\big(x^3-3x+1\big)=(-x^3+3x+1)+(x^3-3x+1)=2=2\times 1.

Donc $(0;1)$ est un centre de symétrie.

Exercice 13

On donne ci-dessous la courbe d'une fonction $f$ .

a)
Lire l'équation de son axe de symétrie vertical.
Le sommet a pour abscisse $1$ : l'axe de symétrie est $\boxed{x=1}$ .
b)
$f$ est-elle paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre ? Justifier.
L'axe de symétrie n'est pas l'axe des ordonnées ( $x=1\neq 0$ ) et la courbe n'est pas symétrique par rapport à l'origine : $f$ n'est ni paire ni impaire.

Exercice 14

La courbe ci-dessous représente un signal périodique. Déterminer graphiquement sa période $T$ .

Le motif (une « dent ») se reproduit à l'identique tous les $2$ unités d'abscisse : $\boxed{T=2}$ .

Exercice 15

Soit $f(x)=x+\sin x$ . Étudier la parité de $f$ .

$f(-x)=(-x)+\sin(-x)=-x-\sin x=-(x+\sin x)=-f(x)$ . Donc $f$ est impaire. (Somme de deux fonctions impaires, $x\mapsto x$ et $\sin$ .)

Difficile15 exercices

Exercice 1

Soit $f(x)=x^4-2x^2+1$ .

a)
Montrer que $f$ est paire.
$f(-x)=(-x)^4-2(-x)^2+1=x^4-2x^2+1=f(x)$ : $f$ est paire.
b)
Que peut-on en déduire pour l'axe de symétrie de sa courbe ?
Une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : l'axe de symétrie est $x=0$ .
c)
En remarquant que $f(x)=(x^2-1)^2$ , déterminer les racines de $f$ .
$f(x)=(x^2-1)^2=0\Leftrightarrow x^2-1=0\Leftrightarrow x=\pm 1$ . Racines : $\boxed{x=-1 \text{ et } x=1}$ (chacune double).

Exercice 2

Soit $f(x)=x^2+4x+7$ .

a)
Déterminer l'axe de symétrie de la parabole.
$f(x)=x^2+4x+7$ , $a=1$ , $b=4$ .
Axe : $x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{4}{2}=\boxed{-2}$ .
b)
Écrire $f$ sous forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ et en déduire le sommet.
Forme canonique : $x^2+4x+7=(x+2)^2-4+7=(x+2)^2+3$ . Donc $f(x)=(x-(-2))^2+3$ , sommet $\boxed{(-2;3)}$ . (Cohérent : abscisse du sommet $=-2=$ axe de symétrie.)

Exercice 3

On pose $g(x)=\cos^4 x-\sin^4 x$ .

a)
Montrer que $g(x)=\cos(2x)$ . Indication : $\cos^2 x+\sin^2 x=1$ .
On factorise la différence de deux carrés :
$\cos^4 x-\sin^4 x=(\cos^2 x-\sin^2 x)(\cos^2 x+\sin^2 x).$
Or $\cos^2 x+\sin^2 x=1$ et $\cos^2 x-\sin^2 x=\cos(2x)$ (formule de duplication). Donc $g(x)=\cos(2x)$ .
b)
En déduire la période de $g$ .
$\cos(2x)$ a pour période $\dfrac{2\pi}{2}=\pi$ . Donc $\boxed{T=\pi}$ .

Exercice 4

Soit $f(x)=\sin x+\cos x$ .

a)
À l'aide d'une formule d'addition, montrer que $f(x)=\sqrt2\,\sin\!\Big(x+\dfrac{\pi}{4}\Big)$ .
Formule d'addition : $\sqrt2\,\sin\!\Big(x+\dfrac{\pi}{4}\Big)=\sqrt2\Big(\sin x\cos\dfrac{\pi}{4}+\cos x\sin\dfrac{\pi}{4}\Big)=\sqrt2\Big(\sin x\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}+\cos x\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\Big)=\sin x+\cos x=f(x)$ .
b)
En déduire la période de $f$ .
$\sin\!\Big(x+\dfrac{\pi}{4}\Big)$ a pour période $2\pi$ ; le facteur $\sqrt2$ et le décalage $\dfrac{\pi}{4}$ ne changent pas la période. Donc $\boxed{T=2\pi}$ .
c)
$f$ est-elle paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre ?
On teste en $x=\dfrac{\pi}{4}$ : $f\!\Big(\dfrac{\pi}{4}\Big)=\sqrt2\,\sin\!\Big(\dfrac{\pi}{2}\Big)=\sqrt2$ , tandis que $f\!\Big(-\dfrac{\pi}{4}\Big)=\sqrt2\,\sin(0)=0$ . Comme $f(-\tfrac{\pi}{4})=0$ vaut ni $f(\tfrac{\pi}{4})=\sqrt2$ ni $-f(\tfrac{\pi}{4})=-\sqrt2$ , la fonction $f$ n'est ni paire ni impaire.

Exercice 5

Mise en situation. Un signal est modélisé par $f(x)=\lvert\sin x\rvert$ .

a)
Montrer que $f$ est paire.
$f(-x)=\lvert\sin(-x)\rvert=\lvert-\sin x\rvert=\lvert\sin x\rvert=f(x)$ : $f$ est paire.
b)
Montrer que sa période est $T=\pi$ (et non $2\pi$ ).
$f(x+\pi)=\lvert\sin(x+\pi)\rvert=\lvert-\sin x\rvert=\lvert\sin x\rvert=f(x)$ : $\pi$ est une période. Elle est plus petite que $2\pi$ : la valeur absolue « replie » les arches négatives du sinus vers le haut, ce qui double la fréquence apparente. Donc $\boxed{T=\pi}$ .

Exercice 6

a)
Montrer que le produit de deux fonctions impaires est une fonction paire.
Soit $u$ et $v$ deux fonctions impaires et $p=u\,v$ . Alors
$p(-x)=u(-x)\,v(-x)=\big(-u(x)\big)\big(-v(x)\big)=u(x)\,v(x)=p(x).$
Donc $p$ est paire.
b)
En déduire la parité de $h(x)=x^3\sin x$ .
$x\mapsto x^3$ et $x\mapsto\sin x$ sont impaires : leur produit $h$ est donc pair. Vérification : $h(-x)=(-x)^3\sin(-x)=(-x^3)(-\sin x)=x^3\sin x=h(x)$ .

Exercice 7

Pour une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ , on pose $P(x)=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}$ et $I(x)=\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}$ .

a)
Montrer que $P$ est paire, que $I$ est impaire, et que $f=P+I$ .
$P(-x)=\dfrac{f(-x)+f(x)}{2}=P(x)$ : $P$ est paire.
$I(-x)=\dfrac{f(-x)-f(x)}{2}=-\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}=-I(x)$ : $I$ est impaire.
Enfin $P(x)+I(x)=\dfrac{\big(f(x)+f(-x)\big)+\big(f(x)-f(-x)\big)}{2}=\dfrac{2f(x)}{2}=f(x)$ .
b)
Appliquer à $f(x)=x^2+2x$ : déterminer sa partie paire $P$ et sa partie impaire $I$ .
Ici $f(-x)=(-x)^2+2(-x)=x^2-2x$ . Donc
$P(x)=\dfrac{(x^2+2x)+(x^2-2x)}{2}=x^2,\qquad I(x)=\dfrac{(x^2+2x)-(x^2-2x)}{2}=2x.$
Partie paire : $\boxed{P(x)=x^2}$ ; partie impaire : $\boxed{I(x)=2x}$ .

Exercice 8

Soit $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$ .

a)
Déterminer le domaine de définition de $f$ .
Le dénominateur $x-1$ s'annule en $x=1$ : $D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ .
b)
Montrer que le point $(1;2)$ est un centre de symétrie de la courbe de $f$ .
Prenons le centre candidat $(a;b)=(1;2)$ . Pour tout $t\neq 0$ :
$f(1+t)=\dfrac{2(1+t)+1}{(1+t)-1}=\dfrac{2t+3}{t}=2+\dfrac{3}{t},\qquad f(1-t)=\dfrac{2(1-t)+1}{(1-t)-1}=\dfrac{3-2t}{-t}=2-\dfrac{3}{t}.$
Donc $f(1-t)+f(1+t)=\left(2-\dfrac{3}{t}\right)+\left(2+\dfrac{3}{t}\right)=4=2\times 2$ : $(1;2)$ est un centre de symétrie.

Exercice 9

Soit $f(x)=\cos^2 x$ .

a)
À l'aide de la formule $\cos(2x)=2\cos^2 x-1$ , montrer que $f(x)=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}$ .
De $\cos(2x)=2\cos^2 x-1$ on tire $2\cos^2 x=1+\cos(2x)$ , d'où $\cos^2 x=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}$ .
b)
En déduire la période de $f$ .
$\cos(2x)$ a pour période $\dfrac{2\pi}{2}=\pi$ ; ajouter la constante $1$ puis diviser par $2$ ne change pas la période. Donc $\boxed{T=\pi}$ .
c)
$f$ est-elle paire ou impaire ?
$f(-x)=\cos^2(-x)=(\cos x)^2=\cos^2 x=f(x)$ : $f$ est paire.

Exercice 10

Soit $f(x)=x^3-3x^2+2x$ .

a)
Développer $g(x)=f(x+1)$ et montrer que $g(x)=x^3-x$ . Quelle est la parité de $g$ ?
$g(x)=f(x+1)=(x+1)^3-3(x+1)^2+2(x+1)$ . En développant :
$(x^3+3x^2+3x+1)-3(x^2+2x+1)+(2x+2)=x^3+3x^2+3x+1-3x^2-6x-3+2x+2=x^3-x.$
Comme $g(-x)=(-x)^3-(-x)=-x^3+x=-(x^3-x)=-g(x)$ , $g$ est impaire.
b)
En déduire que la courbe de $f$ admet un centre de symétrie dont on donnera les coordonnées.
$g$ impaire est symétrique par rapport à l'origine. Or la courbe de $f$ se déduit de celle de $g$ par une translation de $1$ vers la droite : le centre de symétrie de $f$ est donc $\big(1\,;\,g(0)\big)=\big(1\,;\,f(1)\big)$ . Comme $f(1)=1-3+2=0$ , le centre est $\boxed{(1;0)}$ .

Exercice 11

Soit $f(x)=\ln\!\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)$ .

a)
Déterminer le domaine de définition de $f$ et vérifier qu'il est symétrique par rapport à $0$ .
$f$ existe si et seulement si $\dfrac{1+x}{1-x}>0$ , c'est-à-dire $-1<x<1$ . Donc $D_f=\,]-1\,;1[$ , intervalle centré en $0$ : il est symétrique par rapport à $0$ .
b)
Montrer que $f$ est impaire.
Pour tout $x\in D_f$ :
$f(-x)=\ln\!\left(\dfrac{1-x}{1+x}\right)=\ln\!\left(\Big(\dfrac{1+x}{1-x}\Big)^{-1}\right)=-\ln\!\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)=-f(x).$
Donc $f$ est impaire.

Exercice 12

On sait que $f$ est une fonction impaire. On ne connaît sa courbe que sur $[0\,;4]$ (ci-dessous).

a)
Déterminer $f(-1)$ et $f(-3)$ .
La courbe donnée indique $f(1)=2$ et $f(3)=-1$ . Comme $f$ est impaire, $f(-x)=-f(x)$ , donc $f(-1)=-f(1)=\boxed{-2}$ et $f(-3)=-f(3)=\boxed{1}$ .
b)
Que vaut nécessairement $f(0)$ pour une fonction impaire ?
Pour $x=0$ , l'imparité donne $f(-0)=-f(0)$ , soit $f(0)=-f(0)$ , d'où $2f(0)=0$ et $\boxed{f(0)=0}$ .

Exercice 13

Soit $f(x)=\lvert\sin x\rvert+\lvert\cos x\rvert$ .

a)
Montrer que $f$ est paire.
$f(-x)=\lvert\sin(-x)\rvert+\lvert\cos(-x)\rvert=\lvert-\sin x\rvert+\lvert\cos x\rvert=\lvert\sin x\rvert+\lvert\cos x\rvert=f(x)$ : $f$ est paire.
b)
Montrer que $\dfrac{\pi}{2}$ est une période de $f$ .
$f\!\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\left\lvert\sin\!\Big(x+\dfrac{\pi}{2}\Big)\right\rvert+\left\lvert\cos\!\Big(x+\dfrac{\pi}{2}\Big)\right\rvert=\lvert\cos x\rvert+\lvert-\sin x\rvert=\lvert\cos x\rvert+\lvert\sin x\rvert=f(x)$ . Donc $\dfrac{\pi}{2}$ est une période de $f$ .

Exercice 14

Montrer que la seule fonction définie sur $\mathbb{R}$ qui soit à la fois paire et impaire est la fonction nulle. En déduire qu'une fonction non nulle ne peut pas être simultanément paire et impaire.

Supposons $f$ paire et impaire. Alors pour tout $x$ : $f(-x)=f(x)$ (parité) et $f(-x)=-f(x)$ (imparité). En égalant les deux : $f(x)=-f(x)$ , donc $2f(x)=0$ , soit $f(x)=0$ pour tout $x$ . La seule fonction à la fois paire et impaire est donc la fonction nulle. Par conséquent, dès qu'une fonction prend une valeur non nulle en un point, elle ne peut pas être simultanément paire et impaire.

Exercice 15

Mise en situation. Un signal est modélisé par $g(x)=2\sin x\cos x$ .

a)
Montrer que $g(x)=\sin(2x)$ .
Formule de duplication : $\sin(2x)=2\sin x\cos x$ . Donc $g(x)=\sin(2x)$ .
b)
En déduire la période et la parité de $g$ .
$\sin(2x)$ a pour période $\dfrac{2\pi}{2}=\pi$ : $\boxed{T=\pi}$ . De plus $g(-x)=\sin(-2x)=-\sin(2x)=-g(x)$ , donc $g$ est impaire.

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