Mécanique 1 · Tutoriel

Images, antécédents & domaine

La mécanique à maîtriser avant de passer aux exercices.

*1. Image et antécédent

Une fonction $f$ associe à un nombre $x$ une unique image $f(x)$ .

L'essentieldeux gestes inverses

Image de $a$ : on remplace $x$ par $a$ dans l'expression et on calcule $f(a)$ . Le résultat est unique.
Antécédent de $k$ : on résout l'équation $f(x)=k$ . Il peut y avoir $0$ , $1$ ou plusieurs antécédents.

Graphiquement : l'image se lit verticalement (on monte de $x$ jusqu'à la courbe), l'antécédent se lit horizontalement (on part d'une hauteur $k$ et on rejoint la courbe).

Exempleavec $f(x)=2x+1$

Image de $1$ : $f(1)=2\times 1+1=3$ . Antécédent de $7$ : $2x+1=7\Rightarrow x=3$ .

*2. Domaine de définition : les trois interdits

Le domaine de définition $D_f$ est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels $f(x)$ existe. Le déterminer, c'est repérer puis exclure les valeurs interdites.

L'essentielles trois interdits à connaître par cœur

Division : un dénominateur doit être $\neq 0$ .
Racine carrée (et toute racine d'indice pair) : la quantité sous la racine doit être $\geq 0$ .
Logarithme : l'argument d'un $\ln$ ou $\log$ doit être $>0$ (strictement).

Méthodedéterminer un domaine de définition

Repérer les zones à risque : dénominateurs, racines paires, logarithmes.
Écrire une condition d'existence pour chacune ( $\neq 0$ ; $\geq 0$ ; $>0$ ).
Résoudre chaque (in)équation.
Combiner (intersection) et écrire $D_f$ en intervalles. Sans zone à risque : $D_f=\mathbb{R}$ .

Notations utiles : $\mathbb{R}\setminus\{0\}=\mathbb{R}_0$ ; $[0,+\infty[\,=\mathbb{R}^{+}$ ; $\,]0,+\infty[\,=\mathbb{R}_0^{+}$ .

Exempletrois cas types

$\dfrac{1}{x-3}$ : dénominateur $\neq 0\Rightarrow x\neq 3$ , donc $D_f=\mathbb{R}\setminus\{3\}$ . $\sqrt{x-2}$ : $x-2\geq 0\Rightarrow D_f=[2,+\infty[$ . $\ln(x+1)$ : $x+1>0\Rightarrow D_f=\,]-1,+\infty[$ .

Piègetrois réflexes qui font gagner des points

Racine carrée : crochet fermé là où la quantité vaut $0$ ( $\sqrt{0}=0$ existe) ; mais racine au dénominateur $\Rightarrow$ crochet ouvert (il faut $>0$ ).
Racine cubique (indice impair) : définie sur $\mathbb{R}$ tout entier — pas de condition !
Un quotient sous une racine ou dans un log : dresser un tableau de signes.

Ensuite, 3 niveaux d'exercices :

FacileMoyenDifficile

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