Parité, symétries & périodicité

On calcule $f(-x)$, puis on compare :

• si $f(-x)=f(x)$ : $f$ est paire — courbe symétrique par rapport à l'axe des $y$ ;
• si $f(-x)=-f(x)$ : $f$ est impaire — courbe symétrique par rapport à l'origine $(0;0)$ ;
• sinon : $f$ n'est ni paire ni impaire (le cas le plus fréquent !).

« Paire » et « impaire » ne couvrent pas tous les cas. Pour prouver qu'une fonction n'est ni l'une ni l'autre, il suffit d'un contre-exemple : par exemple pour $f(x)=2x+1$, $f(1)=3$ mais $f(-1)=-1$, donc $f(-1)\neq f(1)$ et $f(-1)\neq -f(1)=-3$.

• Axe de symétrie $x=a$ : $f(a-x)=f(a+x)$ pour tout $x$. Pour une parabole $ax^2+bx+c$ : axe $x=-\dfrac{b}{2a}$.
• Centre de symétrie $(a;b)$ : $f(a-x)+f(a+x)=2b$ pour tout $x$ (invariance par demi-tour).

$f(x)=x^3+2$ admet le centre $(0;2)$ : $f(-x)+f(x)=(-x^3+2)+(x^3+2)=4=2\times 2$.

$\sin x$ et $\cos x$ : $T=2\pi$. $\tan x$ : $T=\pi$. $\sin(kx)$ et $\cos(kx)$ : $T=\dfrac{2\pi}{k}$. $|\sin x|$ : $T=\pi$.

$\sin(2x)$ a pour période $T=\pi$ car $\sin\!\big(2(x+\pi)\big)=\sin(2x+2\pi)=\sin(2x)$.