MathématiquesFiche 3 · TrigonométrieAngles associés

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Facile15 exercices
Exercice 1Opposés (−α-\alpha)

Simplifie chaque expression en fonction de α\alpha.

  1. a)
    cos⁡(−α)\cos(-\alpha)

    Symétrie par l'axe des cosinus : cos⁡\cos est pair, sin⁡\sin et tg⁡\tg sont impaires.

    ▶\blacktriangleright cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha)=\cos\alpha.

  2. b)
    sin⁡(−α)\sin(-\alpha)

    ▶\blacktriangleright sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha)=-\sin\alpha.

  3. c)
    tg⁡(−α)\tg(-\alpha)

    ▶\blacktriangleright tg⁡(−α)=−tg⁡α\tg(-\alpha)=-\tg\alpha.

  4. d)
    sin⁡(−α)+sin⁡α\sin(-\alpha)+\sin\alpha

    ▶\blacktriangleright sin⁡(−α)+sin⁡α=−sin⁡α+sin⁡α=0\sin(-\alpha)+\sin\alpha=-\sin\alpha+\sin\alpha=0.

Exercice 2Supplémentaires (π−α\pi-\alpha)

Simplifie en fonction de α\alpha, puis conclus la valeur numérique de (d).

  1. a)
    sin⁡(π−α)\sin(\pi-\alpha)

    Symétrie par l'axe des sinus : même sin⁡\sin, cos⁡\cos et tg⁡\tg changent de signe.

    ▶\blacktriangleright sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha.

  2. b)
    cos⁡(π−α)\cos(\pi-\alpha)

    ▶\blacktriangleright cos⁡(π−α)=−cos⁡α\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha.

  3. c)
    tg⁡(π−α)\tg(\pi-\alpha)

    ▶\blacktriangleright tg⁡(π−α)=−tg⁡α\tg(\pi-\alpha)=-\tg\alpha.

  4. d)
    sin⁡(π−π6)\sin(\pi-\tfrac{\pi}{6})

    ▶\blacktriangleright sin⁡ ⁣(π−π6)=sin⁡π6=12\sin\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12 (deux angles supplémentaires ont le même sinus).

Exercice 3Anti-supplémentaires (π+α\pi+\alpha)

Simplifie en fonction de α\alpha.

  1. a)
    cos⁡(π+α)\cos(\pi+\alpha)

    Symétrie centrale (par OO) : cos⁡\cos et sin⁡\sin changent de signe, la tg⁡\tg est inchangée (période π\pi).

    ▶\blacktriangleright cos⁡(π+α)=−cos⁡α\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha.

  2. b)
    sin⁡(π+α)\sin(\pi+\alpha)

    ▶\blacktriangleright sin⁡(π+α)=−sin⁡α\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha.

  3. c)
    tg⁡(π+α)\tg(\pi+\alpha)

    ▶\blacktriangleright tg⁡(π+α)=tg⁡α\tg(\pi+\alpha)=\tg\alpha.

  4. d)
    tg⁡(π+π4)\tg(\pi+\tfrac{\pi}{4})

    ▶\blacktriangleright tg⁡ ⁣(π+π4)=tg⁡π4=1\tg\!\left(\pi+\dfrac{\pi}{4}\right)=\tg\dfrac{\pi}{4}=1.

Exercice 4Complémentaires et anti-complémentaires (π2±α\frac{\pi}{2}\pm\alpha)

Simplifie en fonction de α\alpha (attention : sin⁡\sin et cos⁡\cos s'échangent).

  1. a)
    sin⁡ ⁣(π2−α)\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right)

    Autour de π2\frac{\pi}{2}, les fonctions sin⁡\sin et cos⁡\cos s'échangent.

    ▶\blacktriangleright sin⁡ ⁣(π2−α)=cos⁡α\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha (complémentaires).

  2. b)
    cos⁡ ⁣(π2−α)\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right)

    ▶\blacktriangleright cos⁡ ⁣(π2−α)=sin⁡α\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha (complémentaires).

  3. c)
    cos⁡ ⁣(π2+α)\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}+\alpha\right)

    ▶\blacktriangleright cos⁡ ⁣(π2+α)=−sin⁡α\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha (anti-complémentaires).

  4. d)
    sin⁡ ⁣(π2+α)\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+\alpha\right)

    ▶\blacktriangleright sin⁡ ⁣(π2+α)=cos⁡α\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha (anti-complémentaires).

Exercice 5Reconnaître la nature de deux angles

Pour chaque couple, dis s'il s'agit d'angles opposés, complémentaires, supplémentaires ou anti-supplémentaires.

  1. a)
    30∘ et 150∘30^{\circ}\ \text{et}\ 150^{\circ}

    On compare la somme (ou la différence) des deux angles à 90∘90^{\circ}, 180∘180^{\circ}, 0∘0^{\circ}.

    ▶\blacktriangleright 30∘+150∘=180∘30^{\circ}+150^{\circ}=180^{\circ} : supplémentaires.

  2. b)
    40∘ et 50∘40^{\circ}\ \text{et}\ 50^{\circ}

    ▶\blacktriangleright 40∘+50∘=90∘40^{\circ}+50^{\circ}=90^{\circ} : complémentaires.

  3. c)
    70∘ et −70∘70^{\circ}\ \text{et}\ -70^{\circ}

    ▶\blacktriangleright 70∘70^{\circ} et −70∘-70^{\circ} sont opposés (somme nulle).

  4. d)
    20∘ et 200∘20^{\circ}\ \text{et}\ 200^{\circ}

    ▶\blacktriangleright 200∘=180∘+20∘200^{\circ}=180^{\circ}+20^{\circ} : anti-supplémentaires.

Exercice 6Opposés : valeurs exactes

En utilisant la parité (cos⁡\cos pair, sin⁡\sin et tg⁡\tg impaires), donne la valeur exacte.

  1. a)
    cos⁡ ⁣(−π6)\cos\!\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)

    cos⁡\cos est pair, sin⁡\sin et tg⁡\tg sont impaires : le signe « −- » sort (ou disparaît).

    ▶\blacktriangleright cos⁡ ⁣(−π6)=cos⁡π6=32\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}.

  2. b)
    sin⁡ ⁣(−π3)\sin\!\left(-\tfrac{\pi}{3}\right)

    ▶\blacktriangleright sin⁡ ⁣(−π3)=−sin⁡π3=−32\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\sin\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\sqrt3}{2}.

  3. c)
    tg⁡ ⁣(−π4)\tg\!\left(-\tfrac{\pi}{4}\right)

    ▶\blacktriangleright tg⁡ ⁣(−π4)=−tg⁡π4=−1\tg\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\tg\dfrac{\pi}{4}=-1.

  4. d)
    cos⁡(−60∘)\cos(-60^{\circ})

    ▶\blacktriangleright cos⁡(−60∘)=cos⁡60∘=12\cos(-60^{\circ})=\cos 60^{\circ}=\dfrac12.

Exercice 7Supplémentaires : valeurs exactes

Écris l'angle sous la forme π−β\pi-\beta (ou 180∘−β180^{\circ}-\beta) avec β\beta remarquable, puis conclus.

  1. a)
    cos⁡150∘\cos 150^{\circ}

    Symétrie par l'axe des sinus : même sin⁡\sin, cos⁡\cos et tg⁡\tg changent de signe.

    ▶\blacktriangleright cos⁡150∘=cos⁡(180∘−30∘)=−cos⁡30∘=−32\cos 150^{\circ}=\cos(180^{\circ}-30^{\circ})=-\cos 30^{\circ}=-\dfrac{\sqrt3}{2}.

  2. b)
    sin⁡135∘\sin 135^{\circ}

    ▶\blacktriangleright sin⁡135∘=sin⁡(180∘−45∘)=sin⁡45∘=22\sin 135^{\circ}=\sin(180^{\circ}-45^{\circ})=\sin 45^{\circ}=\dfrac{\sqrt2}{2}.

  3. c)
    tg⁡120∘\tg 120^{\circ}

    ▶\blacktriangleright tg⁡120∘=tg⁡(180∘−60∘)=−tg⁡60∘=−3\tg 120^{\circ}=\tg(180^{\circ}-60^{\circ})=-\tg 60^{\circ}=-\sqrt3.

  4. d)
    cos⁡3π4\cos\tfrac{3\pi}{4}

    ▶\blacktriangleright cos⁡3π4=cos⁡ ⁣(π−π4)=−cos⁡π4=−22\cos\dfrac{3\pi}{4}=\cos\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\cos\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt2}{2}.

Exercice 8Anti-supplémentaires : valeurs exactes

Écris l'angle sous la forme π+β\pi+\beta (ou 180∘+β180^{\circ}+\beta) avec β\beta remarquable, puis conclus.

  1. a)
    sin⁡210∘\sin 210^{\circ}

    Symétrie centrale : cos⁡\cos et sin⁡\sin changent de signe, la tg⁡\tg est inchangée.

    ▶\blacktriangleright sin⁡210∘=sin⁡(180∘+30∘)=−sin⁡30∘=−12\sin 210^{\circ}=\sin(180^{\circ}+30^{\circ})=-\sin 30^{\circ}=-\dfrac12.

  2. b)
    cos⁡225∘\cos 225^{\circ}

    ▶\blacktriangleright cos⁡225∘=cos⁡(180∘+45∘)=−cos⁡45∘=−22\cos 225^{\circ}=\cos(180^{\circ}+45^{\circ})=-\cos 45^{\circ}=-\dfrac{\sqrt2}{2}.

  3. c)
    tg⁡240∘\tg 240^{\circ}

    ▶\blacktriangleright tg⁡240∘=tg⁡(180∘+60∘)=tg⁡60∘=3\tg 240^{\circ}=\tg(180^{\circ}+60^{\circ})=\tg 60^{\circ}=\sqrt3.

  4. d)
    cos⁡7π6\cos\tfrac{7\pi}{6}

    ▶\blacktriangleright cos⁡7π6=cos⁡ ⁣(π+π6)=−cos⁡π6=−32\cos\dfrac{7\pi}{6}=\cos\!\left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)=-\cos\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt3}{2}.

Exercice 9Complémentaires et anti-complémentaires : valeurs exactes

Rappel : autour de π2\tfrac{\pi}{2}, le sinus et le cosinus s'échangent.

  1. a)
    sin⁡ ⁣(π2−π6)\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{6}\right)

    Autour de π2\dfrac{\pi}{2}, sin⁡\sin et cos⁡\cos s'échangent.

    ▶\blacktriangleright sin⁡ ⁣(π2−π6)=cos⁡π6=32\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2} (complém.).

  2. b)
    cos⁡ ⁣(π2−π3)\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{3}\right)

    ▶\blacktriangleright cos⁡ ⁣(π2−π3)=sin⁡π3=32\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2} (complém.).

  3. c)
    sin⁡ ⁣(π2+π4)\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{\pi}{4}\right)

    ▶\blacktriangleright sin⁡ ⁣(π2+π4)=cos⁡π4=22\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2} (anti-complém.).

  4. d)
    cos⁡ ⁣(π2+π6)\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{\pi}{6}\right)

    ▶\blacktriangleright cos⁡ ⁣(π2+π6)=−sin⁡π6=−12\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{6}\right)=-\sin\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac12 (anti-complém.).

Exercice 10Compléter une égalité de complémentaires

Complète par un angle du premier quadrant, en utilisant cos⁡α=sin⁡ ⁣(π2−α)\cos\alpha=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right) et ses variantes.

  1. a)
    cos⁡70∘=sin⁡( ⋯ )\cos 70^{\circ}=\sin(\,\cdots\,)

    Deux angles complémentaires (somme 90∘90^{\circ} ou π2\tfrac{\pi}{2}) échangent sin⁡\sin et cos⁡\cos ; tg⁡\tg et cotg⁡\cotg aussi.

    ▶\blacktriangleright cos⁡70∘=sin⁡(90∘−70∘)=sin⁡20∘\cos 70^{\circ}=\sin(90^{\circ}-70^{\circ})=\sin 20^{\circ}.

  2. b)
    sin⁡25∘=cos⁡( ⋯ )\sin 25^{\circ}=\cos(\,\cdots\,)

    ▶\blacktriangleright sin⁡25∘=cos⁡(90∘−25∘)=cos⁡65∘\sin 25^{\circ}=\cos(90^{\circ}-25^{\circ})=\cos 65^{\circ}.

  3. c)
    tg⁡40∘=cotg⁡( ⋯ )\tg 40^{\circ}=\cotg(\,\cdots\,)

    ▶\blacktriangleright tg⁡40∘=cotg⁡(90∘−40∘)=cotg⁡50∘\tg 40^{\circ}=\cotg(90^{\circ}-40^{\circ})=\cotg 50^{\circ}.

  4. d)
    cos⁡π5=sin⁡( ⋯ )\cos\tfrac{\pi}{5}=\sin(\,\cdots\,)

    ▶\blacktriangleright cos⁡π5=sin⁡ ⁣(π2−π5)=sin⁡3π10\cos\dfrac{\pi}{5}=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{5}\right)=\sin\dfrac{3\pi}{10}.

Exercice 11Signe selon le quadrant

Sans calculer la valeur, donne uniquement le signe (++ ou −-) en repérant le quadrant.

  1. a)
    sin⁡200∘\sin 200^{\circ}

    On repère le quadrant, puis on applique la règle des signes (cos⁡>0\cos>0 à droite, sin⁡>0\sin>0 en haut, tg⁡>0\tg>0 aux quadrants I et III).

    ▶\blacktriangleright 200∘200^{\circ} : quadrant III, donc sin⁡200∘<0\sin 200^{\circ}<0 (négatif).

  2. b)
    cos⁡160∘\cos 160^{\circ}

    ▶\blacktriangleright 160∘160^{\circ} : quadrant II, donc cos⁡160∘<0\cos 160^{\circ}<0 (négatif).

  3. c)
    tg⁡300∘\tg 300^{\circ}

    ▶\blacktriangleright 300∘300^{\circ} : quadrant IV, donc tg⁡300∘<0\tg 300^{\circ}<0 (négatif).

  4. d)
    cos⁡(−40∘)\cos(-40^{\circ})

    ▶\blacktriangleright cos⁡(−40∘)=cos⁡40∘\cos(-40^{\circ})=\cos 40^{\circ} : quadrant I, donc (positif).

Exercice 12Trouver l'angle de référence

Donne l'angle aigu de référence β\beta (du premier quadrant) et la famille qui relie l'angle donné à β\beta.

  1. a)
    135∘135^{\circ}

    L'angle de référence est l'angle aigu formé avec l'axe horizontal.

    ▶\blacktriangleright 135∘=180∘−45∘135^{\circ}=180^{\circ}-45^{\circ} : référence β=45∘\beta=45^{\circ} (supplémentaire).

  2. b)
    210∘210^{\circ}

    ▶\blacktriangleright 210∘=180∘+30∘210^{\circ}=180^{\circ}+30^{\circ} : référence β=30∘\beta=30^{\circ} (anti-supplémentaire).

  3. c)
    330∘330^{\circ}

    ▶\blacktriangleright 330∘=360∘−30∘330^{\circ}=360^{\circ}-30^{\circ} : référence β=30∘\beta=30^{\circ} (opposé, comme −30∘-30^{\circ}).

  4. d)
    2π3\tfrac{2\pi}{3}

    ▶\blacktriangleright 2π3=π−π3\dfrac{2\pi}{3}=\pi-\dfrac{\pi}{3} : référence β=π3\beta=\dfrac{\pi}{3} (supplémentaire).

Exercice 13Lire une symétrie sur le cercle

Sur la figure, AA est le point d'angle 55∘55^{\circ} et BB celui d'angle 125∘125^{\circ}.

  1. a)

    Par quelle symétrie passe-t-on de AA à BB ?

    55∘55^{\circ} et 125∘125^{\circ} sont symétriques par rapport à l'axe vertical (les points ont la même hauteur).

    ▶\blacktriangleright On passe de AA à BB par la symétrie d'axe OyOy (l'axe des sinus).

  2. b)

    Quelle est la nature des angles 55∘55^{\circ} et 125∘125^{\circ} ?

    ▶\blacktriangleright 55∘+125∘=180∘55^{\circ}+125^{\circ}=180^{\circ} : ce sont des angles supplémentaires.

  3. c)

    Compare sin⁡55∘\sin 55^{\circ} et sin⁡125∘\sin 125^{\circ}.

    ▶\blacktriangleright sin⁡125∘=sin⁡(180∘−55∘)=sin⁡55∘\sin 125^{\circ}=\sin(180^{\circ}-55^{\circ})=\sin 55^{\circ} : les sinus sont égaux.

  4. d)

    Compare cos⁡55∘\cos 55^{\circ} et cos⁡125∘\cos 125^{\circ}.

    ▶\blacktriangleright cos⁡125∘=−cos⁡55∘\cos 125^{\circ}=-\cos 55^{\circ} : les cosinus sont opposés.

Exercice 14Même valeur qu'un angle aigu

Donne un angle β\beta du premier quadrant (0∘<β<90∘0^{\circ}<\beta<90^{\circ}) vérifiant l'égalité, et nomme la famille.

  1. a)
    sin⁡130∘=sin⁡β\sin 130^{\circ}=\sin\beta

    On cherche l'angle aigu qui garde la même valeur du nombre trigonométrique.

    ▶\blacktriangleright sin⁡130∘=sin⁡(180∘−50∘)=sin⁡50∘\sin 130^{\circ}=\sin(180^{\circ}-50^{\circ})=\sin 50^{\circ} : β=50∘\beta=50^{\circ} (supplém.).

  2. b)
    cos⁡310∘=cos⁡β\cos 310^{\circ}=\cos\beta

    ▶\blacktriangleright cos⁡310∘=cos⁡(−50∘)=cos⁡50∘\cos 310^{\circ}=\cos(-50^{\circ})=\cos 50^{\circ} : β=50∘\beta=50^{\circ} (opposés).

  3. c)
    tg⁡200∘=tg⁡β\tg 200^{\circ}=\tg\beta

    ▶\blacktriangleright tg⁡200∘=tg⁡(180∘+20∘)=tg⁡20∘\tg 200^{\circ}=\tg(180^{\circ}+20^{\circ})=\tg 20^{\circ} : β=20∘\beta=20^{\circ} (anti-supplém.).

  4. d)
    sin⁡4π5=sin⁡β\sin\tfrac{4\pi}{5}=\sin\beta

    ▶\blacktriangleright sin⁡4π5=sin⁡ ⁣(π−π5)=sin⁡π5\sin\dfrac{4\pi}{5}=\sin\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{5}\right)=\sin\dfrac{\pi}{5} : β=π5\beta=\dfrac{\pi}{5} (supplém.).

Exercice 15Nature et nombre conservé

Pour chaque couple, donne la nature des angles, puis le nombre trigonométrique qu'ils partagent (même sin⁡\sin, même cos⁡\cos ou même tg⁡\tg).

  1. a)
    50∘ et 130∘50^{\circ}\ \text{et}\ 130^{\circ}

    Chaque symétrie conserve un nombre trigonométrique précis.

    ▶\blacktriangleright 50∘+130∘=180∘50^{\circ}+130^{\circ}=180^{\circ} : supplémentaires ⇒\Rightarrow même sin⁡\sin (sin⁡130∘=sin⁡50∘\sin 130^{\circ}=\sin 50^{\circ}).

  2. b)
    50∘ et 230∘50^{\circ}\ \text{et}\ 230^{\circ}

    ▶\blacktriangleright 230∘−50∘=180∘230^{\circ}-50^{\circ}=180^{\circ} : anti-supplémentaires ⇒\Rightarrow même tg⁡\tg (tg⁡230∘=tg⁡50∘\tg 230^{\circ}=\tg 50^{\circ}).

  3. c)
    50∘ et −50∘50^{\circ}\ \text{et}\ -50^{\circ}

    ▶\blacktriangleright 50∘50^{\circ} et −50∘-50^{\circ} : opposés ⇒\Rightarrow même cos⁡\cos (cos⁡(−50∘)=cos⁡50∘\cos(-50^{\circ})=\cos 50^{\circ}).

  4. d)
    50∘ et 40∘50^{\circ}\ \text{et}\ 40^{\circ}

    ▶\blacktriangleright 50∘+40∘=90∘50^{\circ}+40^{\circ}=90^{\circ} : complémentaires ⇒\Rightarrow le sinus de l'un est le cosinus de l'autre (sin⁡50∘=cos⁡40∘\sin 50^{\circ}=\cos 40^{\circ}).

Moyen15 exercices
Exercice 1Réduire, puis évaluer

Écris l'angle sous la forme π±β\pi\pm\beta, π2±β\frac{\pi}{2}\pm\beta ou −β-\beta avec β\beta remarquable, puis donne la valeur exacte.

  1. a)
    sin⁡210∘\sin 210^{\circ}

    ▶\blacktriangleright 210∘=180∘+30∘210^{\circ}=180^{\circ}+30^{\circ} (anti-supplémentaires) : sin⁡210∘=−sin⁡30∘=−12\sin210^{\circ}=-\sin30^{\circ}=-\dfrac12.

  2. b)
    cos⁡(−120∘)\cos(-120^{\circ})

    ▶\blacktriangleright cos⁡(−120∘)=cos⁡120∘\cos(-120^{\circ})=\cos120^{\circ} (opposés) ; puis 120∘=180∘−60∘120^{\circ}=180^{\circ}-60^{\circ} (supplémentaires) : cos⁡120∘=−cos⁡60∘=−12\cos120^{\circ}=-\cos60^{\circ}=-\dfrac12.

  3. c)
    tg⁡225∘\tg 225^{\circ}

    ▶\blacktriangleright 225∘=180∘+45∘225^{\circ}=180^{\circ}+45^{\circ} (anti-supplémentaires) : tg⁡225∘=tg⁡45∘=1\tg225^{\circ}=\tg45^{\circ}=1.

  4. d)
    cos⁡135∘\cos 135^{\circ}

    ▶\blacktriangleright 135∘=180∘−45∘135^{\circ}=180^{\circ}-45^{\circ} (supplémentaires) : cos⁡135∘=−cos⁡45∘=−22\cos135^{\circ}=-\cos45^{\circ}=-\dfrac{\sqrt2}{2}.

  5. e)
    sin⁡5π6\sin\frac{5\pi}{6}

    ▶\blacktriangleright 5π6=π−π6\dfrac{5\pi}{6}=\pi-\dfrac{\pi}{6} (supplémentaires) : sin⁡5π6=sin⁡π6=12\sin\dfrac{5\pi}{6}=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12.

Exercice 2Simplifier une expression littérale

Simplifie chaque expression le plus possible (le résultat est un nombre, ±sin⁡α\pm\sin\alpha, ±cos⁡α\pm\cos\alpha…).

(a) cos⁡ ⁣(π2+α)+sin⁡(π−α)(b) sin⁡(−α)+sin⁡(π+α)\textbf{(a)}\ \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}+\alpha\right)+\sin(\pi-\alpha) \qquad \textbf{(b)}\ \sin(-\alpha)+\sin(\pi+\alpha)
(c) tg⁡(π+α)tg⁡(−α)(d) cos⁡(π−α)+cos⁡(−α)\textbf{(c)}\ \dfrac{\tg(\pi+\alpha)}{\tg(-\alpha)} \qquad \textbf{(d)}\ \cos(\pi-\alpha)+\cos(-\alpha)
  • ▶\blacktriangleright cos⁡ ⁣(π2+α)=−sin⁡α\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha (anti-complém.) et sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha (supplém.), donc la somme vaut −sin⁡α+sin⁡α=0-\sin\alpha+\sin\alpha=\mathbf{0}.
  • ▶\blacktriangleright sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha)=-\sin\alpha (opposés) et sin⁡(π+α)=−sin⁡α\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha (anti-supplém.), donc la somme vaut −sin⁡α−sin⁡α=−2sin⁡α-\sin\alpha-\sin\alpha=\mathbf{-2\sin\alpha}.
  • ▶\blacktriangleright tg⁡(π+α)=tg⁡α\tg(\pi+\alpha)=\tg\alpha (anti-supplém.) et tg⁡(−α)=−tg⁡α\tg(-\alpha)=-\tg\alpha (opposés), donc tg⁡α−tg⁡α=−1\dfrac{\tg\alpha}{-\tg\alpha}=\mathbf{-1}.
  • ▶\blacktriangleright cos⁡(π−α)=−cos⁡α\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha (supplém.) et cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha)=\cos\alpha (opposés), donc −cos⁡α+cos⁡α=0-\cos\alpha+\cos\alpha=\mathbf{0}.
Exercice 3Lesquelles valent sin⁡5∘\sin 5^{\circ} ?

On pose α=5∘\alpha=5^{\circ} (angle du 1er quadrant). Parmi les expressions suivantes, détermine lesquelles sont égales à sin⁡5∘\sin 5^{\circ}, en justifiant par la famille d'angles.

  1. a)
    sin⁡175∘\sin 175^{\circ}

    On ramène chaque expression à sin⁡5∘\sin5^{\circ} ou −sin⁡5∘-\sin5^{\circ}.

    ▶\blacktriangleright sin⁡175∘=sin⁡(180∘−5∘)=sin⁡5∘\sin175^{\circ}=\sin(180^{\circ}-5^{\circ})=\sin5^{\circ} (supplém.). Oui.

  2. b)
    −cos⁡95∘-\cos 95^{\circ}

    ▶\blacktriangleright −cos⁡95∘=−cos⁡(90∘+5∘)=−(−sin⁡5∘)=sin⁡5∘-\cos95^{\circ}=-\cos(90^{\circ}+5^{\circ})=-(-\sin5^{\circ})=\sin5^{\circ} (anti-complém.). Oui.

  3. c)
    sin⁡(−5∘)\sin(-5^{\circ})

    ▶\blacktriangleright sin⁡(−5∘)=−sin⁡5∘\sin(-5^{\circ})=-\sin5^{\circ} (opposés). Non.

  4. d)
    −sin⁡185∘-\sin 185^{\circ}

    ▶\blacktriangleright −sin⁡185∘=−sin⁡(180∘+5∘)=−(−sin⁡5∘)=sin⁡5∘-\sin185^{\circ}=-\sin(180^{\circ}+5^{\circ})=-(-\sin5^{\circ})=\sin5^{\circ} (anti-supplém.). Oui.

  5. e)
    cos⁡(−85∘)\cos(-85^{\circ})

    ▶\blacktriangleright cos⁡(−85∘)=cos⁡85∘=cos⁡(90∘−5∘)=sin⁡5∘\cos(-85^{\circ})=\cos85^{\circ}=\cos(90^{\circ}-5^{\circ})=\sin5^{\circ} (opposés puis complém.). Oui.

    Bilan : (a), (b), (d) et (e) valent sin⁡5∘\sin5^{\circ} ; seule (c) est différente.

Exercice 4Lesquelles valent tg⁡10∘\tg 10^{\circ} ?

On pose α=10∘\alpha=10^{\circ}. Détermine lesquelles de ces expressions sont égales à tg⁡10∘\tg 10^{\circ}.

  1. a)
    tg⁡190∘\tg 190^{\circ}

    ▶\blacktriangleright tg⁡190∘=tg⁡(180∘+10∘)=tg⁡10∘\tg190^{\circ}=\tg(180^{\circ}+10^{\circ})=\tg10^{\circ} (anti-supplém., période π\pi). Oui.

  2. b)
    cotg⁡80∘\cotg 80^{\circ}

    ▶\blacktriangleright cotg⁡80∘=tg⁡(90∘−80∘)=tg⁡10∘\cotg80^{\circ}=\tg(90^{\circ}-80^{\circ})=\tg10^{\circ} (complém. : cotg⁡α=tg⁡(90∘−α)\cotg\alpha=\tg(90^{\circ}-\alpha)). Oui.

  3. c)
    tg⁡170∘\tg 170^{\circ}

    ▶\blacktriangleright tg⁡170∘=tg⁡(180∘−10∘)=−tg⁡10∘\tg170^{\circ}=\tg(180^{\circ}-10^{\circ})=-\tg10^{\circ} (supplém.). Non.

  4. d)
    −tg⁡(−10∘)-\tg(-10^{\circ})

    ▶\blacktriangleright −tg⁡(−10∘)=−(−tg⁡10∘)=tg⁡10∘-\tg(-10^{\circ})=-(-\tg10^{\circ})=\tg10^{\circ} (opposés). Oui.

    Bilan : (a), (b) et (d) ; (c) vaut −tg⁡10∘-\tg10^{\circ}.

Exercice 5Vrai ou Faux

Justifie brièvement (nomme la bonne famille).

  1. a)

    5∘5^{\circ} et 175∘175^{\circ} sont anti-supplémentaires.

    ▶\blacktriangleright Faux : 5∘+175∘=180∘5^{\circ}+175^{\circ}=180^{\circ}, ils sont supplémentaires (anti-supplémentaires signifierait une différence de 180∘180^{\circ}).

  2. b)

    5∘5^{\circ} et 85∘85^{\circ} sont complémentaires.

    ▶\blacktriangleright Vrai : 5∘+85∘=90∘5^{\circ}+85^{\circ}=90^{\circ}, ce sont des complémentaires.

  3. c)

    cos⁡100∘=−sin⁡10∘\cos 100^{\circ}=-\sin 10^{\circ}.

    ▶\blacktriangleright Vrai : cos⁡100∘=cos⁡(90∘+10∘)=−sin⁡10∘\cos100^{\circ}=\cos(90^{\circ}+10^{\circ})=-\sin10^{\circ} (anti-complém.).

  4. d)

    sin⁡250∘=sin⁡70∘\sin 250^{\circ}=\sin 70^{\circ}.

    ▶\blacktriangleright Faux : 250∘=180∘+70∘250^{\circ}=180^{\circ}+70^{\circ}, donc sin⁡250∘=−sin⁡70∘\sin250^{\circ}=-\sin70^{\circ} (anti-supplém.), et non +sin⁡70∘+\sin70^{\circ}.

Exercice 6Réduire puis évaluer (angles négatifs ou >360∘>360^{\circ})

Ramène d'abord dans [0;2π[[0;2\pi[ (ou [0∘;360∘[[0^{\circ};360^{\circ}[) si besoin, puis donne la valeur exacte.

  1. a)
    cos⁡(−135∘)\cos(-135^{\circ})

    ▶\blacktriangleright cos⁡(−135∘)=cos⁡135∘\cos(-135^{\circ})=\cos 135^{\circ} (opposés) =cos⁡(180∘−45∘)=−cos⁡45∘=−22=\cos(180^{\circ}-45^{\circ})=-\cos 45^{\circ}=-\dfrac{\sqrt2}{2}.

  2. b)
    sin⁡7π6\sin\tfrac{7\pi}{6}

    ▶\blacktriangleright 7π6=π+π6\dfrac{7\pi}{6}=\pi+\dfrac{\pi}{6} (anti-supplém.) : sin⁡7π6=−sin⁡π6=−12\sin\dfrac{7\pi}{6}=-\sin\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac12.

  3. c)
    tg⁡5π3\tg\tfrac{5\pi}{3}

    ▶\blacktriangleright 5π3=2π−π3\dfrac{5\pi}{3}=2\pi-\dfrac{\pi}{3}, donc tg⁡5π3=tg⁡ ⁣(−π3)=−tg⁡π3=−3\tg\dfrac{5\pi}{3}=\tg\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\tg\dfrac{\pi}{3}=-\sqrt3 (opposés).

  4. d)
    cos⁡420∘\cos 420^{\circ}

    ▶\blacktriangleright 420∘=360∘+60∘420^{\circ}=360^{\circ}+60^{\circ} (un tour) : cos⁡420∘=cos⁡60∘=12\cos 420^{\circ}=\cos 60^{\circ}=\dfrac12.

  5. e)
    sin⁡ ⁣(−3π4)\sin\!\left(-\tfrac{3\pi}{4}\right)

    ▶\blacktriangleright sin⁡ ⁣(−3π4)=−sin⁡3π4=−sin⁡ ⁣(π−π4)=−sin⁡π4=−22\sin\!\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)=-\sin\dfrac{3\pi}{4}=-\sin\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\sin\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt2}{2}.

Exercice 7Simplifier une expression littérale

Simplifie le plus possible (le résultat est un nombre, ±sin⁡α\pm\sin\alpha, ±cos⁡α\pm\cos\alpha…).

(a) cos⁡(π−α)+cos⁡(π+α)(b) sin⁡ ⁣(π2+α)−cos⁡(π−α)\textbf{(a)}\ \cos(\pi-\alpha)+\cos(\pi+\alpha) \qquad \textbf{(b)}\ \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+\alpha\right)-\cos(\pi-\alpha)
(c) tg⁡(π−α) cotg⁡(π+α)(d) sin⁡(π+α)cos⁡ ⁣(π2+α)\textbf{(c)}\ \tg(\pi-\alpha)\,\cotg(\pi+\alpha) \qquad \textbf{(d)}\ \dfrac{\sin(\pi+\alpha)}{\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}+\alpha\right)}
  • ▶\blacktriangleright cos⁡(π−α)=−cos⁡α\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha et cos⁡(π+α)=−cos⁡α\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha, donc la somme vaut −2cos⁡α\mathbf{-2\cos\alpha}.
  • ▶\blacktriangleright sin⁡ ⁣(π2+α)=cos⁡α\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha et cos⁡(π−α)=−cos⁡α\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha, donc cos⁡α−(−cos⁡α)=2cos⁡α\cos\alpha-(-\cos\alpha)=\mathbf{2\cos\alpha}.
  • ▶\blacktriangleright tg⁡(π−α)=−tg⁡α\tg(\pi-\alpha)=-\tg\alpha et cotg⁡(π+α)=cotg⁡α\cotg(\pi+\alpha)=\cotg\alpha, donc −tg⁡α⋅cotg⁡α=−tg⁡α⋅1tg⁡α=−1-\tg\alpha\cdot\cotg\alpha=-\tg\alpha\cdot\dfrac{1}{\tg\alpha}=\mathbf{-1}.
  • ▶\blacktriangleright sin⁡(π+α)=−sin⁡α\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha et cos⁡ ⁣(π2+α)=−sin⁡α\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha, donc −sin⁡α−sin⁡α=1\dfrac{-\sin\alpha}{-\sin\alpha}=\mathbf{1}.
Exercice 8Des expressions indépendantes de α\alpha

Simplifie chacune et vérifie qu'elle ne dépend pas de α\alpha.

  1. a)

    sin⁡ ⁣(π2+α)cos⁡(−α)+sin⁡(π+α)sin⁡(−α)\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+\alpha\right)\cos(-\alpha)+\sin(\pi+\alpha)\sin(-\alpha).

    ▶\blacktriangleright sin⁡ ⁣(π2+α)=cos⁡α\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha, cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha)=\cos\alpha ; sin⁡(π+α)=−sin⁡α\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha, sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha)=-\sin\alpha. D'où cos⁡2α+(−sin⁡α)(−sin⁡α)=cos⁡2α+sin⁡2α=1\cos^2\alpha+(-\sin\alpha)(-\sin\alpha)=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=\mathbf{1}.

  2. b)

    cos⁡(π+α)cos⁡(−α)−sin⁡(π−α)cos⁡ ⁣(π2−α)\cos(\pi+\alpha)\cos(-\alpha)-\sin(\pi-\alpha)\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right).

    ▶\blacktriangleright cos⁡(π+α)cos⁡(−α)=(−cos⁡α)(cos⁡α)=−cos⁡2α\cos(\pi+\alpha)\cos(-\alpha)=(-\cos\alpha)(\cos\alpha)=-\cos^2\alpha ; et sin⁡(π−α)cos⁡ ⁣(π2−α)=sin⁡α⋅sin⁡α=sin⁡2α\sin(\pi-\alpha)\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha\cdot\sin\alpha=\sin^2\alpha. D'où −cos⁡2α−sin⁡2α=−1-\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\mathbf{-1}.

  3. c)

    cos⁡ ⁣(π2+α)+cos⁡ ⁣(π2−α)\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}+\alpha\right)+\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right).

    ▶\blacktriangleright cos⁡ ⁣(π2+α)=−sin⁡α\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha et cos⁡ ⁣(π2−α)=sin⁡α\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha, donc −sin⁡α+sin⁡α=0-\sin\alpha+\sin\alpha=\mathbf{0}.

Exercice 9Lesquelles valent cos⁡40∘\cos 40^{\circ} ?

Détermine lesquelles de ces expressions sont égales à cos⁡40∘\cos 40^{\circ}, en justifiant par la famille.

  1. a)
    cos⁡(−40∘)\cos(-40^{\circ})

    On ramène chaque expression à cos⁡40∘\cos 40^{\circ} ou −cos⁡40∘-\cos 40^{\circ}.

    ▶\blacktriangleright cos⁡(−40∘)=cos⁡40∘\cos(-40^{\circ})=\cos 40^{\circ} (opposés). Oui.

  2. b)
    sin⁡130∘\sin 130^{\circ}

    ▶\blacktriangleright sin⁡130∘=sin⁡(180∘−130∘)=sin⁡50∘=cos⁡40∘\sin 130^{\circ}=\sin(180^{\circ}-130^{\circ})=\sin 50^{\circ}=\cos 40^{\circ} (supplém. puis complém.). Oui.

  3. c)
    cos⁡220∘\cos 220^{\circ}

    ▶\blacktriangleright cos⁡220∘=cos⁡(180∘+40∘)=−cos⁡40∘\cos 220^{\circ}=\cos(180^{\circ}+40^{\circ})=-\cos 40^{\circ} (anti-supplém.). Non.

  4. d)
    −cos⁡140∘-\cos 140^{\circ}

    ▶\blacktriangleright −cos⁡140∘=−cos⁡(180∘−40∘)=−(−cos⁡40∘)=cos⁡40∘-\cos 140^{\circ}=-\cos(180^{\circ}-40^{\circ})=-(-\cos 40^{\circ})=\cos 40^{\circ} (supplém.). Oui.

  5. e)
    sin⁡(−50∘)\sin(-50^{\circ})

    ▶\blacktriangleright sin⁡(−50∘)=−sin⁡50∘=−cos⁡40∘\sin(-50^{\circ})=-\sin 50^{\circ}=-\cos 40^{\circ} (opposés puis complém.). Non.

    Bilan : (a), (b) et (d) valent cos⁡40∘\cos 40^{\circ} ; (c) et (e) valent −cos⁡40∘-\cos 40^{\circ}.

Exercice 10Vrai ou Faux (valeurs exactes)

Justifie en calculant la valeur exacte ou en nommant la famille.

  1. a)

    cos⁡150∘=sin⁡(−60∘)\cos 150^{\circ}=\sin(-60^{\circ}).

    ▶\blacktriangleright Vrai : cos⁡150∘=−32\cos 150^{\circ}=-\dfrac{\sqrt3}{2} et sin⁡(−60∘)=−sin⁡60∘=−32\sin(-60^{\circ})=-\sin 60^{\circ}=-\dfrac{\sqrt3}{2}.

  2. b)

    tg⁡2π3=tg⁡π3\tg\tfrac{2\pi}{3}=\tg\tfrac{\pi}{3}.

    ▶\blacktriangleright Faux : tg⁡2π3=tg⁡ ⁣(π−π3)=−tg⁡π3=−3\tg\dfrac{2\pi}{3}=\tg\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\tg\dfrac{\pi}{3}=-\sqrt3, alors que tg⁡π3=3\tg\dfrac{\pi}{3}=\sqrt3.

  3. c)

    cos⁡80∘=sin⁡170∘\cos 80^{\circ}=\sin 170^{\circ}.

    ▶\blacktriangleright Vrai : cos⁡80∘=sin⁡10∘\cos 80^{\circ}=\sin 10^{\circ} (complém.) et sin⁡170∘=sin⁡(180∘−10∘)=sin⁡10∘\sin 170^{\circ}=\sin(180^{\circ}-10^{\circ})=\sin 10^{\circ} (supplém.).

  4. d)

    cos⁡5π6=sin⁡π3\cos\tfrac{5\pi}{6}=\sin\tfrac{\pi}{3}.

    ▶\blacktriangleright Faux : cos⁡5π6=−32\cos\dfrac{5\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt3}{2}, alors que sin⁡π3=32\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}.

Exercice 11Utiliser une donnée

On donne cos⁡α=35\cos\alpha=\dfrac{3}{5} avec α\alpha aigu. Sans chercher α\alpha, calcule :

  1. a)
    cos⁡(π−α)\cos(\pi-\alpha)

    On garde cos⁡α=35\cos\alpha=\dfrac35 ; aucune de ces réponses n'a besoin de sin⁡α\sin\alpha.

    ▶\blacktriangleright cos⁡(π−α)=−cos⁡α=−35\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha=-\dfrac35 (supplém.).

  2. b)
    sin⁡ ⁣(π2+α)\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+\alpha\right)

    ▶\blacktriangleright sin⁡ ⁣(π2+α)=cos⁡α=35\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha=\dfrac35 (anti-complém.).

  3. c)
    cos⁡(2π−α)\cos(2\pi-\alpha)

    ▶\blacktriangleright cos⁡(2π−α)=cos⁡(−α)=cos⁡α=35\cos(2\pi-\alpha)=\cos(-\alpha)=\cos\alpha=\dfrac35 (tour puis opposés).

  4. d)
    sin⁡ ⁣(α−π2)\sin\!\left(\alpha-\tfrac{\pi}{2}\right)

    ▶\blacktriangleright sin⁡ ⁣(α−π2)=−sin⁡ ⁣(π2−α)=−cos⁡α=−35\sin\!\left(\alpha-\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos\alpha=-\dfrac35 (opposés puis complém.).

Exercice 12Lire une réduction sur le cercle

Le point RR ci-dessous est associé à l'angle 150∘150^{\circ} ; on a tracé l'angle de référence 30∘30^{\circ}.

  1. a)

    À quel angle aigu 150∘150^{\circ} est-il associé, et par quelle symétrie ?

    ▶\blacktriangleright 150∘=180∘−30∘150^{\circ}=180^{\circ}-30^{\circ} : il est associé à 30∘30^{\circ} par la symétrie d'axe OyOy (supplémentaires).

  2. b)

    Déduis-en cos⁡150∘\cos 150^{\circ} et sin⁡150∘\sin 150^{\circ}.

    ▶\blacktriangleright cos⁡150∘=−cos⁡30∘=−32\cos 150^{\circ}=-\cos 30^{\circ}=-\dfrac{\sqrt3}{2} et sin⁡150∘=sin⁡30∘=12\sin 150^{\circ}=\sin 30^{\circ}=\dfrac12.

  3. c)

    Quel autre angle de [0∘;360∘[[0^{\circ};360^{\circ}[ a le même sinus que 150∘150^{\circ} ?

    ▶\blacktriangleright Même sinus : 30∘30^{\circ} (car 30∘30^{\circ} et 150∘150^{\circ} sont supplémentaires).

  4. d)

    Quel angle de [0∘;360∘[[0^{\circ};360^{\circ}[ a le même cosinus que 150∘150^{\circ} ?

    ▶\blacktriangleright Même cosinus : 210∘210^{\circ} (car cos⁡210∘=cos⁡(−150∘)=cos⁡150∘\cos 210^{\circ}=\cos(-150^{\circ})=\cos 150^{\circ}, angles opposés).

Exercice 13Résoudre à l'aide des angles associés

Trouve tous les angles x∈[0∘;360∘[x\in[0^{\circ};360^{\circ}[ vérifiant :

  1. a)
    sin⁡x=sin⁡40∘\sin x=\sin 40^{\circ}

    ▶\blacktriangleright Même sinus : x=40∘x=40^{\circ} ou son supplémentaire x=180∘−40∘=140∘x=180^{\circ}-40^{\circ}=140^{\circ}.

  2. b)
    cos⁡x=cos⁡50∘\cos x=\cos 50^{\circ}

    ▶\blacktriangleright Même cosinus : x=50∘x=50^{\circ} ou son opposé x=360∘−50∘=310∘x=360^{\circ}-50^{\circ}=310^{\circ}.

  3. c)
    cos⁡x=−cos⁡50∘\cos x=-\cos 50^{\circ}

    ▶\blacktriangleright −cos⁡50∘=cos⁡130∘-\cos 50^{\circ}=\cos 130^{\circ}, donc x=130∘x=130^{\circ} ou x=360∘−130∘=230∘x=360^{\circ}-130^{\circ}=230^{\circ}.

  4. d)
    sin⁡x=−sin⁡40∘\sin x=-\sin 40^{\circ}

    ▶\blacktriangleright −sin⁡40∘=sin⁡(180∘+40∘)-\sin 40^{\circ}=\sin(180^{\circ}+40^{\circ}), donc x=220∘x=220^{\circ} ou x=360∘−40∘=320∘x=360^{\circ}-40^{\circ}=320^{\circ}.

Exercice 14Tangente et cotangente : valeurs exactes

Réduis, puis donne la valeur exacte.

  1. a)
    tg⁡5π6\tg\tfrac{5\pi}{6}

    ▶\blacktriangleright tg⁡5π6=tg⁡ ⁣(π−π6)=−tg⁡π6=−33\tg\dfrac{5\pi}{6}=\tg\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\tg\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt3}{3} (supplém.).

  2. b)
    cotg⁡2π3\cotg\tfrac{2\pi}{3}

    ▶\blacktriangleright cotg⁡2π3=cotg⁡ ⁣(π−π3)=−cotg⁡π3=−33\cotg\dfrac{2\pi}{3}=\cotg\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\cotg\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\sqrt3}{3} (supplém.).

  3. c)
    tg⁡7π4\tg\tfrac{7\pi}{4}

    ▶\blacktriangleright tg⁡7π4=tg⁡ ⁣(2π−π4)=−tg⁡π4=−1\tg\dfrac{7\pi}{4}=\tg\!\left(2\pi-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\tg\dfrac{\pi}{4}=-1 (opposés).

  4. d)
    cotg⁡5π4\cotg\tfrac{5\pi}{4}

    ▶\blacktriangleright cotg⁡5π4=cotg⁡ ⁣(π+π4)=cotg⁡π4=1\cotg\dfrac{5\pi}{4}=\cotg\!\left(\pi+\dfrac{\pi}{4}\right)=\cotg\dfrac{\pi}{4}=1 (anti-supplém., période π\pi).

Exercice 15Chaîner plusieurs symétries

Simplifie au maximum.

(a) sin⁡(π−α) cos⁡(2π−α)cos⁡(π+α)\textbf{(a)}\ \dfrac{\sin(\pi-\alpha)\,\cos(2\pi-\alpha)}{\cos(\pi+\alpha)}
(b) sin⁡ ⁣(π2+α)+cos⁡(π−α)+sin⁡(π+α)+cos⁡ ⁣(π2+α)\textbf{(b)}\ \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+\alpha\right)+\cos(\pi-\alpha)+\sin(\pi+\alpha)+\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}+\alpha\right)
(c) cos⁡(−α)+cos⁡(π−α)sin⁡(π+α)\textbf{(c)}\ \dfrac{\cos(-\alpha)+\cos(\pi-\alpha)}{\sin(\pi+\alpha)}
  • ▶\blacktriangleright sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha, cos⁡(2π−α)=cos⁡α\cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha, cos⁡(π+α)=−cos⁡α\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha, donc sin⁡αcos⁡α−cos⁡α=−sin⁡α\dfrac{\sin\alpha\cos\alpha}{-\cos\alpha}=\mathbf{-\sin\alpha}.
  • ▶\blacktriangleright cos⁡α+(−cos⁡α)+(−sin⁡α)+(−sin⁡α)=−2sin⁡α\cos\alpha+(-\cos\alpha)+(-\sin\alpha)+(-\sin\alpha)=\mathbf{-2\sin\alpha}.
  • ▶\blacktriangleright cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha)=\cos\alpha et cos⁡(π−α)=−cos⁡α\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha : le numérateur vaut 00, donc l'expression vaut 0\mathbf{0}.
Difficile14 exercices
Exercice 1Un angle, deux chemins

On veut calculer cos⁡5π6\cos\dfrac{5\pi}{6} et sin⁡5π6\sin\dfrac{5\pi}{6} de deux façons.

  1. a)

    Écris 5π6\dfrac{5\pi}{6} comme le supplémentaire d'un angle remarquable, et déduis-en cos⁡5π6\cos\dfrac{5\pi}{6}.

    ▶\blacktriangleright 5π6=π−π6\dfrac{5\pi}{6}=\pi-\dfrac{\pi}{6} (supplémentaires), donc cos⁡5π6=−cos⁡π6=−32\cos\dfrac{5\pi}{6}=-\cos\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt3}{2}.

  2. b)

    Écris maintenant 5π6\dfrac{5\pi}{6} sous la forme π2+β\dfrac{\pi}{2}+\beta, et recalcule cos⁡5π6\cos\dfrac{5\pi}{6} par les anti-complémentaires.

    ▶\blacktriangleright 5π6=π2+π3\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3} (anti-complémentaires), donc cos⁡5π6=−sin⁡π3=−32\cos\dfrac{5\pi}{6}=-\sin\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\sqrt3}{2}.

  3. c)

    Les deux résultats coïncident-ils ? Conclus.

    ▶\blacktriangleright Les deux méthodes donnent −32-\dfrac{\sqrt3}{2} : elles coïncident. C'est normal, π−π6\pi-\dfrac{\pi}{6} et π2+π3\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3} sont le même angle.

  4. d)

    Reprends les deux méthodes pour obtenir sin⁡5π6\sin\dfrac{5\pi}{6}.

    ▶\blacktriangleright Supplémentaires : sin⁡5π6=sin⁡π6=12\sin\dfrac{5\pi}{6}=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12. Anti-complémentaires : sin⁡ ⁣(π2+π3)=cos⁡π3=12\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12. Même résultat : sin⁡5π6=12\sin\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac12.

Exercice 2Prouver une simplification

Simplifie chaque expression (le résultat est un nombre, ou ±sin⁡α\pm\sin\alpha, ±cos⁡α\pm\cos\alpha).

  1. a)

    A=sin⁡(π−α)+sin⁡(π+α)A=\sin(\pi-\alpha)+\sin(\pi+\alpha).

    ▶\blacktriangleright sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha (supplém.) et sin⁡(π+α)=−sin⁡α\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha (anti-supplém.), donc A=sin⁡α−sin⁡α=0A=\sin\alpha-\sin\alpha=\mathbf{0}.

  2. b)

    B=cos⁡(π+α)−cos⁡(−α)B=\cos(\pi+\alpha)-\cos(-\alpha).

    ▶\blacktriangleright cos⁡(π+α)=−cos⁡α\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha (anti-supplém.) et cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha)=\cos\alpha (opposés), donc B=−cos⁡α−cos⁡α=−2cos⁡αB=-\cos\alpha-\cos\alpha=\mathbf{-2\cos\alpha}.

  3. c)

    C=tg⁡(π−α)+tg⁡(π+α)C=\tg(\pi-\alpha)+\tg(\pi+\alpha).

    ▶\blacktriangleright tg⁡(π−α)=−tg⁡α\tg(\pi-\alpha)=-\tg\alpha (supplém.) et tg⁡(π+α)=tg⁡α\tg(\pi+\alpha)=\tg\alpha (anti-supplém.), donc C=−tg⁡α+tg⁡α=0C=-\tg\alpha+\tg\alpha=\mathbf{0}.

  4. d)

    D=[sin⁡(π2+α)]2+[sin⁡(π−α)]2D=\bigl[\sin(\tfrac{\pi}{2}+\alpha)\bigr]^2+\bigl[\sin(\pi-\alpha)\bigr]^2.

    ▶\blacktriangleright sin⁡ ⁣(π2+α)=cos⁡α\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha (anti-complém.) et sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha (supplém.), donc D=cos⁡2α+sin⁡2α=1D=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=\mathbf{1} (identité fondamentale).

Exercice 3Quatre points associés

Sur le cercle, MM est le point d'angle α\alpha (avec α\alpha aigu). On note a=cos⁡αa=\cos\alpha et b=sin⁡αb=\sin\alpha, de sorte que M=(a ; b)M=(a\,;\,b). On place aussi NN (angle π−α\pi-\alpha), PP (angle −α-\alpha) et QQ (angle π+α\pi+\alpha).

  1. a)

    Exprime les coordonnées de NN, PP et QQ en fonction de aa et bb.

    ▶\blacktriangleright En appliquant les familles à M=(a ; b)=(cos⁡α ; sin⁡α)M=(a\,;\,b)=(\cos\alpha\,;\,\sin\alpha) :

    N (π−α)=(−a ; b),P (−α)=(a ; −b),Q (π+α)=(−a ; −b).N\ (\pi-\alpha)=(-a\,;\,b),\qquad P\ (-\alpha)=(a\,;\,-b),\qquad Q\ (\pi+\alpha)=(-a\,;\,-b).
  2. b)

    Parmi M,N,P,QM,N,P,Q, lesquels ont la même ordonnée (même sinus) ? la même abscisse (même cosinus) ?

    ▶\blacktriangleright Même ordonnée (même sin⁡\sin) : MM et NN (ordonnée bb) ; PP et QQ (ordonnée −b-b). Même abscisse (même cos⁡\cos) : MM et PP (abscisse aa) ; NN et QQ (abscisse −a-a).

  3. c)

    Quels sont les deux points symétriques par rapport au centre OO ?

    ▶\blacktriangleright M=(a ; b)M=(a\,;\,b) et Q=(−a ; −b)Q=(-a\,;\,-b) sont opposés coordonnée par coordonnée : ils sont symétriques par rapport au centre OO (anti-supplémentaires).

  4. d)

    Application : α=π6\alpha=\dfrac{\pi}{6}. Donne les coordonnées exactes de M,N,P,QM,N,P,Q.

    ▶\blacktriangleright Pour α=π6\alpha=\dfrac{\pi}{6} : a=cos⁡π6=32a=\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}, b=sin⁡π6=12b=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12. D'où

    M=(32 ; 12), N=(−32 ; 12), P=(32 ; −12), Q=(−32 ; −12).M=\left(\tfrac{\sqrt3}{2}\,;\,\tfrac12\right),\ N=\left(-\tfrac{\sqrt3}{2}\,;\,\tfrac12\right),\ P=\left(\tfrac{\sqrt3}{2}\,;\,-\tfrac12\right),\ Q=\left(-\tfrac{\sqrt3}{2}\,;\,-\tfrac12\right).
Exercice 4Toutes les écritures d'un même nombre

Détermine lesquelles des expressions suivantes sont égales à 12\dfrac12. Justifie chacune par la famille d'angles associés.

  1. a)
    sin⁡5π6\sin\frac{5\pi}{6}

    On ramène chaque expression à une valeur remarquable.

    ▶\blacktriangleright sin⁡5π6=sin⁡ ⁣(π−π6)=sin⁡π6=12\sin\dfrac{5\pi}{6}=\sin\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12 (supplém.). Oui.

  2. b)
    cos⁡2π3\cos\frac{2\pi}{3}

    ▶\blacktriangleright cos⁡2π3=cos⁡ ⁣(π−π3)=−cos⁡π3=−12\cos\dfrac{2\pi}{3}=\cos\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\cos\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac12 (supplém.). Non (vaut −12-\tfrac12).

  3. c)
    −sin⁡ ⁣(−π6)-\sin\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)

    ▶\blacktriangleright −sin⁡ ⁣(−π6)=−(−sin⁡π6)=sin⁡π6=12-\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\left(-\sin\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12 (opposés). Oui.

  4. d)
    sin⁡ ⁣(π2+π3)\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\right)

    ▶\blacktriangleright sin⁡ ⁣(π2+π3)=cos⁡π3=12\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12 (anti-complém.). Oui.

  5. e)
    −cos⁡2π3-\cos\frac{2\pi}{3}

    ▶\blacktriangleright −cos⁡2π3=−(−12)=12-\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\left(-\dfrac12\right)=\dfrac12 (supplém.). Oui.

    Bilan : (a), (c), (d) et (e) valent 12\dfrac12 ; seule (b) vaut −12-\dfrac12.

Exercice 5Une somme qui s'effondre

On considère S=cos⁡0∘+cos⁡60∘+cos⁡120∘+cos⁡180∘+cos⁡240∘+cos⁡300∘S=\cos 0^{\circ}+\cos 60^{\circ}+\cos 120^{\circ}+\cos 180^{\circ}+\cos 240^{\circ}+\cos 300^{\circ}.

  1. a)

    Regroupe les six termes en trois paires d'angles anti-supplémentaires (qui diffèrent de 180∘180^{\circ}) et montre que chaque paire est nulle.

    ▶\blacktriangleright Deux angles différant de 180∘180^{\circ} ont des cosinus opposés (anti-supplém.). Ainsi cos⁡0∘+cos⁡180∘=1+(−1)=0\cos 0^{\circ}+\cos 180^{\circ}=1+(-1)=0 ; cos⁡60∘+cos⁡240∘=12+(−12)=0\cos 60^{\circ}+\cos 240^{\circ}=\dfrac12+\left(-\dfrac12\right)=0 ; cos⁡120∘+cos⁡300∘=−12+12=0\cos 120^{\circ}+\cos 300^{\circ}=-\dfrac12+\dfrac12=0.

  2. b)

    Déduis-en la valeur de SS.

    ▶\blacktriangleright La somme des trois paires vaut S=0+0+0=0S=0+0+0=\mathbf{0}.

  3. c)

    Interprète SS comme la somme des abscisses des six sommets d'un hexagone régulier inscrit dans le cercle : pourquoi le résultat était-il prévisible ?

    ▶\blacktriangleright Les six sommets de l'hexagone se répartissent en trois paires diamétralement opposées (symétriques par rapport au centre OO) : les abscisses (comme les vecteurs positions) s'annulent deux à deux. Le centre OO est le barycentre des sommets, donc la somme est nulle.

Exercice 6Une identité indépendante de α\alpha

Montre que, pour tout réel α\alpha,

cos⁡2α+cos⁡2 ⁣(π2−α)+cos⁡2(π−α)+cos⁡2 ⁣(π2+α)=2.\cos^2\alpha+\cos^2\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right)+\cos^2(\pi-\alpha)+\cos^2\!\left(\tfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=2 .
  1. a)

    Réécris chacun des quatre termes sous la forme cos⁡2α\cos^2\alpha ou sin⁡2α\sin^2\alpha.

    ▶\blacktriangleright cos⁡2α\cos^2\alpha ; cos⁡ ⁣(π2−α)=sin⁡α\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha donne sin⁡2α\sin^2\alpha ; cos⁡(π−α)=−cos⁡α\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha donne cos⁡2α\cos^2\alpha ; cos⁡ ⁣(π2+α)=−sin⁡α\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha donne sin⁡2α\sin^2\alpha.

  2. b)

    Conclus que la somme vaut 22, quelle que soit la valeur de α\alpha.

    ▶\blacktriangleright La somme vaut cos⁡2α+sin⁡2α+cos⁡2α+sin⁡2α=2(cos⁡2α+sin⁡2α)=2⋅1=2\cos^2\alpha+\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+\sin^2\alpha =2(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)=2\cdot 1=\mathbf{2}, indépendante de α\alpha.

  3. c)

    Vérifie le résultat pour α=π6\alpha=\dfrac{\pi}{6}.

    ▶\blacktriangleright Pour α=π6\alpha=\dfrac{\pi}{6} : cos⁡2π6+cos⁡2π3+cos⁡25π6+cos⁡22π3=34+14+34+14=2\cos^2\dfrac{\pi}{6}+\cos^2\dfrac{\pi}{3}+\cos^2\dfrac{5\pi}{6}+\cos^2\dfrac{2\pi}{3} =\dfrac34+\dfrac14+\dfrac34+\dfrac14=2. Cohérent.

Exercice 7Deux fonctions, une équation

On pose f(x)=cos⁡ ⁣(x+π2)+cos⁡ ⁣(x−π2)f(x)=\cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right)+\cos\!\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right) et g(x)=sin⁡(π−x)−sin⁡(π+x)g(x)=\sin(\pi-x)-\sin(\pi+x).

  1. a)

    Simplifie f(x)f(x) à l'aide des angles associés.

    ▶\blacktriangleright cos⁡ ⁣(x+π2)=−sin⁡x\cos\!\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin x (anti-complém.) et cos⁡ ⁣(x−π2)=cos⁡ ⁣(π2−x)=sin⁡x\cos\!\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x (parité + complém.). Donc f(x)=−sin⁡x+sin⁡x=0f(x)=-\sin x+\sin x=\mathbf{0}.

  2. b)

    Simplifie g(x)g(x).

    ▶\blacktriangleright sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi-x)=\sin x (supplém.) et sin⁡(π+x)=−sin⁡x\sin(\pi+x)=-\sin x (anti-supplém.). Donc g(x)=sin⁡x−(−sin⁡x)=2sin⁡xg(x)=\sin x-(-\sin x)=\mathbf{2\sin x}.

  3. c)

    Résous l'équation f(x)=g(x)f(x)=g(x) pour x∈[0;2π[x\in[0;2\pi[.

    ▶\blacktriangleright f(x)=g(x) ⟺ 0=2sin⁡x ⟺ sin⁡x=0f(x)=g(x)\iff 0=2\sin x\iff \sin x=0. Sur [0;2π[[0;2\pi[ : x=0x=0 ou x=πx=\pi.

Exercice 8Symétrie par la première bissectrice

Sur la figure, MM est le point associé à α\alpha (avec 0<α<π20<\alpha<\tfrac{\pi}{2}) et M′M' son symétrique par rapport à la droite y=xy=x.

  1. a)

    À quel angle M′M' est-il associé ? Nomme la famille.

    ▶\blacktriangleright La symétrie par y=xy=x associe α\alpha à son complémentaire π2−α\dfrac{\pi}{2}-\alpha.

  2. b)

    Sachant M=(cos⁡α ; sin⁡α)M=(\cos\alpha\,;\,\sin\alpha), donne les coordonnées de M′M'.

    ▶\blacktriangleright Cette symétrie échange abscisse et ordonnée : M′=(sin⁡α ; cos⁡α)M'=(\sin\alpha\,;\,\cos\alpha).

  3. c)

    Soit M′′M'' le symétrique de MM par rapport à l'axe OyOy : à quel angle correspond-il, et quelles sont ses coordonnées ?

    ▶\blacktriangleright M′′M'' (symétrie d'axe OyOy) correspond au supplémentaire π−α\pi-\alpha, de coordonnées (−cos⁡α ; sin⁡α)(-\cos\alpha\,;\,\sin\alpha).

  4. d)

    Montre que M′M' et M′′M'' ont la même ordonnée si et seulement si α=π4\alpha=\dfrac{\pi}{4}.

    ▶\blacktriangleright Ordonnée de M′M' : cos⁡α\cos\alpha ; ordonnée de M′′M'' : sin⁡α\sin\alpha. Elles sont égales ⟺ cos⁡α=sin⁡α ⟺ tg⁡α=1\iff \cos\alpha=\sin\alpha\iff \tg\alpha=1, soit α=π4\alpha=\dfrac{\pi}{4} sur ]0;π2[\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[.

Exercice 9Le rôle d'un entier nn

Soit α\alpha un réel et n∈Zn\in\mathbb{Z}.

  1. a)

    Montre que cos⁡(nπ+α)=(−1)ncos⁡α\cos(n\pi+\alpha)=(-1)^n\cos\alpha (distingue nn pair et nn impair).

    ▶\blacktriangleright Si nn est pair, nπn\pi est un multiple de 2π2\pi à un tour près : cos⁡(nπ+α)=cos⁡α\cos(n\pi+\alpha)=\cos\alpha. Si nn est impair, nπ=(n−1)π+πn\pi=(n-1)\pi+\pi et cos⁡(nπ+α)=cos⁡(π+α)=−cos⁡α\cos(n\pi+\alpha)=\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha (anti-supplém.). Les deux cas se résument en cos⁡(nπ+α)=(−1)ncos⁡α\cos(n\pi+\alpha)=(-1)^n\cos\alpha.

  2. b)

    Établis de même une formule pour sin⁡(nπ−α)\sin(n\pi-\alpha).

    ▶\blacktriangleright De même sin⁡(nπ−α)\sin(n\pi-\alpha) vaut sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha)=-\sin\alpha si nn pair, et sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha si nn impair, d'où sin⁡(nπ−α)=(−1)n+1sin⁡α=−(−1)nsin⁡α\sin(n\pi-\alpha)=(-1)^{n+1}\sin\alpha=-(-1)^n\sin\alpha.

  3. c)

    Explique pourquoi tg⁡(nπ+α)=tg⁡α\tg(n\pi+\alpha)=\tg\alpha pour tout nn.

    ▶\blacktriangleright Ajouter π\pi ne change pas la tangente (anti-supplém., période π\pi) ; en ajoutant nn fois π\pi on retrouve toujours tg⁡(nπ+α)=tg⁡α\tg(n\pi+\alpha)=\tg\alpha.

  4. d)

    Application : calcule cos⁡ ⁣(7π+π3)\cos\!\left(7\pi+\tfrac{\pi}{3}\right) et tg⁡ ⁣(100π+π4)\tg\!\left(100\pi+\tfrac{\pi}{4}\right).

    ▶\blacktriangleright cos⁡ ⁣(7π+π3)=(−1)7cos⁡π3=−12\cos\!\left(7\pi+\dfrac{\pi}{3}\right)=(-1)^7\cos\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac12 ; tg⁡ ⁣(100π+π4)=tg⁡π4=1\tg\!\left(100\pi+\dfrac{\pi}{4}\right)=\tg\dfrac{\pi}{4}=1.

Exercice 10Prouver une identité fractionnaire

Montre que, pour tout α\alpha où l'expression est définie,

sin⁡(π−α)1+cos⁡(π+α)+sin⁡(π+α)1+cos⁡(−α)=2cotg⁡α.\dfrac{\sin(\pi-\alpha)}{1+\cos(\pi+\alpha)}+\dfrac{\sin(\pi+\alpha)}{1+\cos(-\alpha)}=2\cotg\alpha .
  1. a)

    Réduis chaque nombre trigonométrique associé (numérateurs et dénominateurs).

    ▶\blacktriangleright sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha ; cos⁡(π+α)=−cos⁡α\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha donc 1+cos⁡(π+α)=1−cos⁡α1+\cos(\pi+\alpha)=1-\cos\alpha. sin⁡(π+α)=−sin⁡α\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha ; cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha)=\cos\alpha donc 1+cos⁡(−α)=1+cos⁡α1+\cos(-\alpha)=1+\cos\alpha.

  2. b)

    Montre que l'expression se ramène à sin⁡α1−cos⁡α−sin⁡α1+cos⁡α\dfrac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}-\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}.

    ▶\blacktriangleright L'expression devient sin⁡α1−cos⁡α+−sin⁡α1+cos⁡α=sin⁡α1−cos⁡α−sin⁡α1+cos⁡α\dfrac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}+\dfrac{-\sin\alpha}{1+\cos\alpha} =\dfrac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}-\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}.

  3. c)

    Réduis au même dénominateur et utilise 1−cos⁡2α=sin⁡2α1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha pour conclure.

    ▶\blacktriangleright Au même dénominateur (1−cos⁡α)(1+cos⁡α)=1−cos⁡2α=sin⁡2α(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)=1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha :

    sin⁡α(1+cos⁡α)−sin⁡α(1−cos⁡α)sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡αsin⁡2α=2cos⁡αsin⁡α=2cotg⁡α.\dfrac{\sin\alpha(1+\cos\alpha)-\sin\alpha(1-\cos\alpha)}{\sin^2\alpha} =\dfrac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha} =\dfrac{2\cos\alpha}{\sin\alpha}=2\cotg\alpha.

    Valable pour sin⁡α≠0\sin\alpha\neq 0 et cos⁡α≠1\cos\alpha\neq 1, c'est-à-dire α≠kπ\alpha\neq k\pi.

Exercice 11Lecture d'un graphe

La courbe représente f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x sur [0;2π][0;2\pi].

  1. a)

    La droite x=π2x=\dfrac{\pi}{2} est un axe de symétrie de la courbe. Traduis-le par une égalité entre sin⁡ ⁣(π2−u)\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-u\right) et sin⁡ ⁣(π2+u)\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}+u\right), et relie-la aux familles complémentaires / anti-complémentaires.

    ▶\blacktriangleright L'axe x=π2x=\dfrac{\pi}{2} donne sin⁡ ⁣(π2−u)=sin⁡ ⁣(π2+u)\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-u\right)=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}+u\right). En effet sin⁡ ⁣(π2−u)=cos⁡u\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-u\right)=\cos u (complém.) et sin⁡ ⁣(π2+u)=cos⁡u\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}+u\right)=\cos u (anti-complém.) : les deux valent cos⁡u\cos u.

  2. b)

    Le point (π ; 0)(\pi\,;\,0) est un centre de symétrie. Traduis-le par une égalité entre sin⁡(π+u)\sin(\pi+u) et sin⁡(π−u)\sin(\pi-u).

    ▶\blacktriangleright Le centre (π ; 0)(\pi\,;\,0) donne sin⁡(π+u)=−sin⁡(π−u)\sin(\pi+u)=-\sin(\pi-u). Comme sin⁡(π−u)=sin⁡u\sin(\pi-u)=\sin u, on retrouve sin⁡(π+u)=−sin⁡u\sin(\pi+u)=-\sin u (anti-supplém.).

  3. c)

    Lis les deux angles de [0;2π][0;2\pi] dont le sinus vaut 12\dfrac12, et justifie par les supplémentaires.

    ▶\blacktriangleright sin⁡x=12\sin x=\dfrac12 sur [0;2π][0;2\pi] : x=π6x=\dfrac{\pi}{6} et x=5π6x=\dfrac{5\pi}{6} (angles supplémentaires, même sinus).

  4. d)

    Même question pour un sinus égal à −12-\dfrac12.

    ▶\blacktriangleright sin⁡x=−12\sin x=-\dfrac12 : x=7π6x=\dfrac{7\pi}{6} et x=11π6x=\dfrac{11\pi}{6}, images de π6\dfrac{\pi}{6} par π+π6\pi+\dfrac{\pi}{6} (anti-supplém.) et 2π−π62\pi-\dfrac{\pi}{6} (opposé).

Exercice 12Toutes les écritures de 32\dfrac{\sqrt3}{2}

Détermine lesquelles de ces expressions valent 32\dfrac{\sqrt3}{2}. Justifie chacune par la famille utilisée.

  1. a)
    sin⁡2π3\sin\tfrac{2\pi}{3}

    ▶\blacktriangleright sin⁡2π3=sin⁡ ⁣(π−π3)=sin⁡π3=32\sin\dfrac{2\pi}{3}=\sin\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2} (supplém.). Oui.

  2. b)
    cos⁡5π6\cos\tfrac{5\pi}{6}

    ▶\blacktriangleright cos⁡5π6=cos⁡ ⁣(π−π6)=−cos⁡π6=−32\cos\dfrac{5\pi}{6}=\cos\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\cos\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt3}{2} (supplém.). Non.

  3. c)
    −cos⁡7π6-\cos\tfrac{7\pi}{6}

    ▶\blacktriangleright −cos⁡7π6=−cos⁡ ⁣(π+π6)=−(−cos⁡π6)=32-\cos\dfrac{7\pi}{6}=-\cos\!\left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)=-\left(-\cos\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt3}{2} (anti-supplém.). Oui.

  4. d)
    sin⁡ ⁣(−2π3)\sin\!\left(-\tfrac{2\pi}{3}\right)

    ▶\blacktriangleright sin⁡ ⁣(−2π3)=−sin⁡2π3=−32\sin\!\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\sin\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{\sqrt3}{2} (opposés). Non.

  5. e)
    cos⁡11π6\cos\tfrac{11\pi}{6}

    ▶\blacktriangleright cos⁡11π6=cos⁡ ⁣(2π−π6)=cos⁡π6=32\cos\dfrac{11\pi}{6}=\cos\!\left(2\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2} (opposé / tour). Oui.

    Bilan : (a), (c) et (e) valent 32\dfrac{\sqrt3}{2} ; (b) et (d) valent −32-\dfrac{\sqrt3}{2}.

Exercice 13Un point mobile sur le cercle

Un point MM parcourt le cercle unité : à l'instant tt il est en Mt=(cos⁡t ; sin⁡t)M_t=(\cos t\,;\,\sin t). On pose A=Mπ/5A=M_{\pi/5}.

  1. a)

    Donne les coordonnées du point BB diamétralement opposé à AA et l'instant tB∈[0;2π[t_B\in[0;2\pi[ tel que B=MtBB=M_{t_B}.

    On note x=cos⁡π5x=\cos\dfrac{\pi}{5} et y=sin⁡π5y=\sin\dfrac{\pi}{5}, de sorte que A=(x ; y)A=(x\,;\,y).

    ▶\blacktriangleright B=−A=(−x ; −y)=(cos⁡ ⁣(π+π5) ; sin⁡ ⁣(π+π5))B=-A=(-x\,;\,-y)=\left(\cos\!\left(\pi+\dfrac{\pi}{5}\right)\,;\,\sin\!\left(\pi+\dfrac{\pi}{5}\right)\right), donc tB=π+π5=6π5t_B=\pi+\dfrac{\pi}{5}=\dfrac{6\pi}{5} (anti-supplém.).

  2. b)

    Soit CC le symétrique de AA par rapport à l'axe OxOx : coordonnées et instant tCt_C.

    ▶\blacktriangleright C=(x ; −y)=(cos⁡ ⁣(−π5) ; sin⁡ ⁣(−π5))C=(x\,;\,-y)=\left(\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{5}\right)\,;\,\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{5}\right)\right), donc tC=2π−π5=9π5t_C=2\pi-\dfrac{\pi}{5}=\dfrac{9\pi}{5} (opposé).

  3. c)

    Soit DD le symétrique de AA par rapport à l'axe OyOy : coordonnées et instant tDt_D.

    ▶\blacktriangleright D=(−x ; y)=(cos⁡ ⁣(π−π5) ; sin⁡ ⁣(π−π5))D=(-x\,;\,y)=\left(\cos\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{5}\right)\,;\,\sin\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{5}\right)\right), donc tD=π−π5=4π5t_D=\pi-\dfrac{\pi}{5}=\dfrac{4\pi}{5} (supplém.).

  4. d)

    Montre que A,B,C,DA,B,C,D sont les sommets d'un rectangle, et précise pour quelle valeur de tt (au lieu de π5\dfrac{\pi}{5}) ce rectangle serait un carré.

    ▶\blacktriangleright Les quatre points sont (±x ; ±y)(\pm x\,;\,\pm y) : symétriques par rapport aux deux axes, ils forment un rectangle de côtés 2x2x et 2y2y parallèles aux axes. C'est un carré ⟺ 2x=2y ⟺ cos⁡t=sin⁡t ⟺ t=π4\iff 2x=2y\iff \cos t=\sin t\iff t=\dfrac{\pi}{4}. Comme π5≠π4\dfrac{\pi}{5}\neq\dfrac{\pi}{4}, ce n'est pas un carré ici.

Exercice 14Réduire des angles « impossibles »

Sans calculatrice, en détaillant à chaque fois (1) le retrait des tours complets, (2) le quadrant et le signe, (3) l'angle de référence, calcule :

  1. a)

    cos⁡29π6\cos\dfrac{29\pi}{6} et sin⁡29π6\sin\dfrac{29\pi}{6}.

    ▶\blacktriangleright (1) 29π6−2⋅2π=29π6−24π6=5π6\dfrac{29\pi}{6}-2\cdot 2\pi=\dfrac{29\pi}{6}-\dfrac{24\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}. (2) 5π6\dfrac{5\pi}{6} est au quadrant II (cos⁡<0\cos<0, sin⁡>0\sin>0). (3) référence π6\dfrac{\pi}{6} car 5π6=π−π6\dfrac{5\pi}{6}=\pi-\dfrac{\pi}{6}. D'où cos⁡29π6=−cos⁡π6=−32\cos\dfrac{29\pi}{6}=-\cos\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt3}{2} et sin⁡29π6=sin⁡π6=12\sin\dfrac{29\pi}{6}=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12.

  2. b)

    tg⁡ ⁣(−25π4)\tg\!\left(-\dfrac{25\pi}{4}\right).

    ▶\blacktriangleright (1) −25π4+4⋅2π=−25π4+32π4=7π4-\dfrac{25\pi}{4}+4\cdot 2\pi=-\dfrac{25\pi}{4}+\dfrac{32\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{4}. (2) quadrant IV (tg⁡<0\tg<0). (3) référence π4\dfrac{\pi}{4} car 7π4=2π−π4\dfrac{7\pi}{4}=2\pi-\dfrac{\pi}{4}. D'où tg⁡ ⁣(−25π4)=tg⁡7π4=−tg⁡π4=−1\tg\!\left(-\dfrac{25\pi}{4}\right)=\tg\dfrac{7\pi}{4}=-\tg\dfrac{\pi}{4}=-1.

  3. c)

    cos⁡1230∘\cos 1230^{\circ}.

    ▶\blacktriangleright (1) 1230∘−3⋅360∘=1230∘−1080∘=150∘1230^{\circ}-3\cdot 360^{\circ}=1230^{\circ}-1080^{\circ}=150^{\circ}. (2) quadrant II (cos⁡<0\cos<0). (3) référence 30∘30^{\circ} car 150∘=180∘−30∘150^{\circ}=180^{\circ}-30^{\circ}. D'où cos⁡1230∘=−cos⁡30∘=−32\cos 1230^{\circ}=-\cos 30^{\circ}=-\dfrac{\sqrt3}{2}.

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