Conversions d'angles & cercle trigonométrique

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Facile15 exercices

Exercice 1Des degrés vers les radians

Convertis chaque angle en radians, sous forme d'une fraction de $\pi$ simplifiée.

a)
$45^{\circ}$
On multiplie par $\dfrac{\pi}{180}$ puis on simplifie.
$\blacktriangleright$ $45\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{45\pi}{180}=\dfrac{\pi}{4}$ .
b)
$90^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $90\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{2}$ .
c)
$150^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $150\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{150\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{6}$ .
d)
$210^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $210\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{210\pi}{180}=\dfrac{7\pi}{6}$ .
e)
$300^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $300\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{300\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{3}$ .

Exercice 2Des radians vers les degrés

Convertis chaque angle en degrés.

a)
$\frac{\pi}{6}$
On multiplie par $\dfrac{180}{\pi}$ ; le $\pi$ se simplifie.
$\blacktriangleright$ $\dfrac{\pi}{6}\times\dfrac{180}{\pi}=\dfrac{180}{6}=30^{\circ}$ .
b)
$\frac{3\pi}{4}$
$\blacktriangleright$ $\dfrac{3\pi}{4}\times\dfrac{180}{\pi}=\dfrac{3\times180}{4}=135^{\circ}$ .
c)
$\frac{5\pi}{3}$
$\blacktriangleright$ $\dfrac{5\pi}{3}\times\dfrac{180}{\pi}=\dfrac{5\times180}{3}=300^{\circ}$ .
d)
$\frac{7\pi}{6}$
$\blacktriangleright$ $\dfrac{7\pi}{6}\times\dfrac{180}{\pi}=\dfrac{7\times180}{6}=210^{\circ}$ .
e)
$2\pi$
$\blacktriangleright$ $2\pi\times\dfrac{180}{\pi}=360^{\circ}$ (un tour complet).

Exercice 3Dans quel quadrant ?

Indique le quadrant (I, II, III ou IV) auquel appartient chaque angle.

a)
$200^{\circ}$
On situe l'angle par rapport à $90^{\circ},180^{\circ},270^{\circ},360^{\circ}$ (soit $\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi$ ).
$\blacktriangleright$ $200^{\circ}$ : entre $180^{\circ}$ et $270^{\circ}$ $\Rightarrow$ quadrant III.
b)
$85^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $85^{\circ}$ : entre $0^{\circ}$ et $90^{\circ}$ $\Rightarrow$ quadrant I.
c)
$\frac{5\pi}{4}$
$\blacktriangleright$ $\dfrac{5\pi}{4}=225^{\circ}$ : entre $180^{\circ}$ et $270^{\circ}$ $\Rightarrow$ quadrant III.
d)
$\frac{7\pi}{4}$
$\blacktriangleright$ $\dfrac{7\pi}{4}=315^{\circ}$ : entre $270^{\circ}$ et $360^{\circ}$ $\Rightarrow$ quadrant IV.
e)
$\frac{2\pi}{3}$
$\blacktriangleright$ $\dfrac{2\pi}{3}=120^{\circ}$ : entre $90^{\circ}$ et $180^{\circ}$ $\Rightarrow$ quadrant II.

Exercice 4Quel signe ? (sans calculer la valeur)

Pour chaque nombre trigonométrique, donne uniquement son signe ( $+$ ou $-$ ) en te servant du quadrant.

a)
$\cos 160^{\circ}$
On lit le quadrant, puis le tableau des signes ( $\cos>0$ à droite, $\sin>0$ en haut, $\tg>0$ si $\sin$ et $\cos$ de même signe).
$\blacktriangleright$ $160^{\circ}$ : quadrant II, $\cos<0$ donc $\cos160^{\circ}$ est négatif.
b)
$\sin 250^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $250^{\circ}$ : quadrant III, $\sin<0$ donc $\sin250^{\circ}$ est négatif.
c)
$\tg 100^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $100^{\circ}$ : quadrant II, $\sin>0$ et $\cos<0$ donc $\tg100^{\circ}$ est négatif.
d)
$\cos 320^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $320^{\circ}$ : quadrant IV, $\cos>0$ donc $\cos320^{\circ}$ est positif.
e)
$\sin 40^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $40^{\circ}$ : quadrant I, $\sin>0$ donc $\sin40^{\circ}$ est positif.

Exercice 5Valeurs remarquables du premier quadrant

Donne la valeur exacte, en t'aidant du tableau des valeurs remarquables.

a)
$\cos\frac{\pi}{3}$
Lecture directe dans le tableau.
$\blacktriangleright$ $\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$ .
b)
$\sin\frac{\pi}{4}$
$\blacktriangleright$ $\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ .
c)
$\tg\frac{\pi}{3}$
$\blacktriangleright$ $\tg\dfrac{\pi}{3}=\sqrt3$ .
d)
$\sin\frac{\pi}{6}$
$\blacktriangleright$ $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12$ .
e)
$\cos\frac{\pi}{2}$
$\blacktriangleright$ $\cos\dfrac{\pi}{2}=0$ .

Exercice 6Des degrés vers les radians (bis)

Convertis chaque angle en radians, sous forme d'une fraction de $\pi$ simplifiée.

a)
$30^{\circ}$
On multiplie par $\dfrac{\pi}{180}$ puis on simplifie.
$\blacktriangleright$ $30\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{6}$ .
b)
$60^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $60\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{3}$ .
c)
$120^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $120\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{120\pi}{180}=\dfrac{2\pi}{3}$ .
d)
$135^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $135\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{135\pi}{180}=\dfrac{3\pi}{4}$ .
e)
$270^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $270\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{270\pi}{180}=\dfrac{3\pi}{2}$ .

Exercice 7Des radians vers les degrés (bis)

Convertis chaque angle en degrés.

a)
$\frac{\pi}{3}$
On multiplie par $\dfrac{180}{\pi}$ ; le $\pi$ se simplifie.
$\blacktriangleright$ $\dfrac{\pi}{3}\times\dfrac{180}{\pi}=\dfrac{180}{3}=60^{\circ}$ .
b)
$\frac{2\pi}{3}$
$\blacktriangleright$ $\dfrac{2\pi}{3}\times\dfrac{180}{\pi}=\dfrac{2\times180}{3}=120^{\circ}$ .
c)
$\frac{5\pi}{6}$
$\blacktriangleright$ $\dfrac{5\pi}{6}\times\dfrac{180}{\pi}=\dfrac{5\times180}{6}=150^{\circ}$ .
d)
$\frac{3\pi}{2}$
$\blacktriangleright$ $\dfrac{3\pi}{2}\times\dfrac{180}{\pi}=\dfrac{3\times180}{2}=270^{\circ}$ .
e)
$\frac{11\pi}{6}$
$\blacktriangleright$ $\dfrac{11\pi}{6}\times\dfrac{180}{\pi}=\dfrac{11\times180}{6}=330^{\circ}$ .

Exercice 8Des angles moins classiques

Convertis en radians, en fraction de $\pi$ simplifiée. Ici le dénominateur n'est pas toujours $6$ , $4$ ou $3$ .

a)
$15^{\circ}$
Même méthode ; on ne s'inquiète pas si le dénominateur est plus grand.
$\blacktriangleright$ $15\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{15\pi}{180}=\dfrac{\pi}{12}$ .
b)
$75^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $75\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{75\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{12}$ .
c)
$36^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $36\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{36\pi}{180}=\dfrac{\pi}{5}$ .
d)
$240^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $240\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{240\pi}{180}=\dfrac{4\pi}{3}$ .
e)
$315^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $315\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{315\pi}{180}=\dfrac{7\pi}{4}$ .

Exercice 9Dans quel quadrant ? (bis)

Indique le quadrant (I, II, III ou IV) auquel appartient chaque angle.

a)
$340^{\circ}$
On situe l'angle par rapport à $90^{\circ},180^{\circ},270^{\circ},360^{\circ}$ .
$\blacktriangleright$ $340^{\circ}$ : entre $270^{\circ}$ et $360^{\circ}$ $\Rightarrow$ quadrant IV.
b)
$95^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $95^{\circ}$ : entre $90^{\circ}$ et $180^{\circ}$ $\Rightarrow$ quadrant II.
c)
$\frac{4\pi}{3}$
$\blacktriangleright$ $\dfrac{4\pi}{3}=240^{\circ}$ : entre $180^{\circ}$ et $270^{\circ}$ $\Rightarrow$ quadrant III.
d)
$\frac{3\pi}{4}$
$\blacktriangleright$ $\dfrac{3\pi}{4}=135^{\circ}$ : entre $90^{\circ}$ et $180^{\circ}$ $\Rightarrow$ quadrant II.
e)
$\frac{5\pi}{3}$
$\blacktriangleright$ $\dfrac{5\pi}{3}=300^{\circ}$ : entre $270^{\circ}$ et $360^{\circ}$ $\Rightarrow$ quadrant IV.

Exercice 10Quel signe ? (bis)

Pour chaque nombre trigonométrique, donne uniquement son signe ( $+$ ou $-$ ) en te servant du quadrant.

a)
$\sin 200^{\circ}$
On lit le quadrant, puis le tableau des signes.
$\blacktriangleright$ $200^{\circ}$ : quadrant III, $\sin<0$ donc $\sin200^{\circ}$ est négatif.
b)
$\cos 100^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $100^{\circ}$ : quadrant II, $\cos<0$ donc $\cos100^{\circ}$ est négatif.
c)
$\tg 300^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $300^{\circ}$ : quadrant IV, $\sin<0$ et $\cos>0$ donc $\tg300^{\circ}$ est négatif.
d)
$\sin 350^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $350^{\circ}$ : quadrant IV, $\sin<0$ donc $\sin350^{\circ}$ est négatif.
e)
$\cos 20^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $20^{\circ}$ : quadrant I, $\cos>0$ donc $\cos20^{\circ}$ est positif.

Exercice 11Valeurs remarquables (bis)

Donne la valeur exacte, en t'aidant du tableau.

a)
$\sin\frac{\pi}{3}$
Lecture directe dans le tableau.
$\blacktriangleright$ $\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}$ .
b)
$\cos\frac{\pi}{6}$
$\blacktriangleright$ $\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}$ .
c)
$\tg\frac{\pi}{4}$
$\blacktriangleright$ $\tg\dfrac{\pi}{4}=1$ .
d)
$\cos\frac{\pi}{4}$
$\blacktriangleright$ $\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ .
e)
$\sin\frac{\pi}{2}$
$\blacktriangleright$ $\sin\dfrac{\pi}{2}=1$ .

Exercice 12Tangente et cotangente du premier quadrant

Donne la valeur exacte. On rappelle que $\cotg\alpha=\dfrac{1}{\tg\alpha}=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ .

a)
$\tg\frac{\pi}{6}$
On lit $\tg$ au tableau, puis on inverse pour $\cotg$ .
$\blacktriangleright$ $\tg\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{3}$ .
b)
$\cotg\frac{\pi}{4}$
$\blacktriangleright$ $\cotg\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{\tg(\pi/4)}=\dfrac{1}{1}=1$ .
c)
$\cotg\frac{\pi}{3}$
$\blacktriangleright$ $\cotg\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{\tg(\pi/3)}=\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}$ .
d)
$\tg 0$
$\blacktriangleright$ $\tg 0=\dfrac{\sin0}{\cos0}=\dfrac{0}{1}=0$ .
e)
$\cotg\frac{\pi}{6}$
$\blacktriangleright$ $\cotg\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{\tg(\pi/6)}=\dfrac{1}{\sqrt3/3}=\dfrac{3}{\sqrt3}=\sqrt3$ .

Exercice 13Coordonnées d'un point du premier quadrant

Pour chaque angle $\alpha$ , donne les coordonnées exactes $(\cos\alpha\,;\,\sin\alpha)$ du point associé sur le cercle trigonométrique.

a)
$\alpha=\frac{\pi}{6}$
On lit $\cos\alpha$ en abscisse et $\sin\alpha$ en ordonnée.
$\blacktriangleright$ $\alpha=\dfrac{\pi}{6}$ : $\left(\cos\dfrac{\pi}{6}\,;\,\sin\dfrac{\pi}{6}\right)=\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\,;\,\dfrac12\right)$ .
b)
$\alpha=\frac{\pi}{4}$
$\blacktriangleright$ $\alpha=\dfrac{\pi}{4}$ : $\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$ .
c)
$\alpha=\frac{\pi}{3}$
$\blacktriangleright$ $\alpha=\dfrac{\pi}{3}$ : $\left(\dfrac12\,;\,\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$ .

Exercice 14Les quatre points cardinaux

Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, les points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont placés aux extrémités des deux axes.

Pour chacun des points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , donne son angle (en degrés et en radians) et ses coordonnées $(\cos\,;\,\sin)$ .

Chaque point est sur un axe : son cosinus ou son sinus vaut $0$ , l'autre $\pm1$ .

$\blacktriangleright$ $0^{\circ}=0$ rad, coordonnées $(1\,;\,0)$ .
$\blacktriangleright$ $90^{\circ}=\dfrac{\pi}{2}$ , coordonnées $(0\,;\,1)$ .
$\blacktriangleright$ $180^{\circ}=\pi$ , coordonnées $(-1\,;\,0)$ .
$\blacktriangleright$ $270^{\circ}=\dfrac{3\pi}{2}$ , coordonnées $(0\,;\,-1)$ .

Exercice 15Même point du cercle ?

Les deux mesures proposées pointent-elles vers le même point du cercle trigonométrique ? Réponds par oui ou non en justifiant.

a)
$30^{\circ}$ et $390^{\circ}$
Deux mesures pointent vers le même point si elles diffèrent d'un nombre entier de tours ( $\pm360^{\circ}$ ).
$\blacktriangleright$ Oui : $390^{\circ}-360^{\circ}=30^{\circ}$ .
b)
$45^{\circ}$ et $\dfrac{\pi}{4}$
$\blacktriangleright$ Oui : $\dfrac{\pi}{4}=45^{\circ}$ .
c)
$200^{\circ}$ et $-160^{\circ}$
$\blacktriangleright$ Oui : $-160^{\circ}+360^{\circ}=200^{\circ}$ .
d)
$90^{\circ}$ et $450^{\circ}$
$\blacktriangleright$ Oui : $450^{\circ}-360^{\circ}=90^{\circ}$ .
e)
$60^{\circ}$ et $\dfrac{\pi}{6}$
$\blacktriangleright$ Non : $\dfrac{\pi}{6}=30^{\circ}\neq60^{\circ}$ .

Moyen15 exercices

Exercice 1Valeurs remarquables hors du premier quadrant

Donne la valeur exacte (pense au signe puis à l'angle de référence).

a)
$\cos 120^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $120^{\circ}$ , quadrant II ( $\cos<0$ ), référence $180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$ : $\cos120^{\circ}=-\cos60^{\circ}=-\dfrac12$ .
b)
$\sin 225^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $225^{\circ}$ , quadrant III ( $\sin<0$ ), référence $225^{\circ}-180^{\circ}=45^{\circ}$ : $\sin225^{\circ}=-\sin45^{\circ}=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ .
c)
$\tg 150^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $150^{\circ}$ , quadrant II ( $\tg<0$ ), référence $30^{\circ}$ : $\tg150^{\circ}=-\tg30^{\circ}=-\dfrac{\sqrt3}{3}$ .
d)
$\cos 300^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $300^{\circ}$ , quadrant IV ( $\cos>0$ ), référence $360^{\circ}-300^{\circ}=60^{\circ}$ : $\cos300^{\circ}=+\cos60^{\circ}=\dfrac12$ .
e)
$\sin\frac{4\pi}{3}$
$\blacktriangleright$ $\dfrac{4\pi}{3}=240^{\circ}$ , quadrant III ( $\sin<0$ ), référence $60^{\circ}$ : $\sin\dfrac{4\pi}{3}=-\sin60^{\circ}=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ .

Exercice 2Ramener dans un tour, puis évaluer

Ramène d'abord l'angle dans $[0^{\circ};360^{\circ}[$ (ou $[0;2\pi[$ ) en ajoutant/retranchant des tours, puis donne la valeur exacte.

a)
$\cos 405^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $405^{\circ}-360^{\circ}=45^{\circ}$ : $\cos405^{\circ}=\cos45^{\circ}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ .
b)
$\sin(-30^{\circ})$
$\blacktriangleright$ $\sin(-30^{\circ})$ : angle du quadrant IV ( $\sin<0$ ), soit $-30^{\circ}\equiv330^{\circ}$ ; $\sin(-30^{\circ})=-\sin30^{\circ}=-\dfrac12$ .
c)
$\tg 390^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $390^{\circ}-360^{\circ}=30^{\circ}$ : $\tg390^{\circ}=\tg30^{\circ}=\dfrac{\sqrt3}{3}$ .
d)
$\cos\frac{7\pi}{2}$
$\blacktriangleright$ $\dfrac{7\pi}{2}-2\pi=\dfrac{7\pi-4\pi}{2}=\dfrac{3\pi}{2}$ ( $=270^{\circ}$ ) : $\cos\dfrac{7\pi}{2}=\cos\dfrac{3\pi}{2}=0$ .
e)
$\sin\frac{13\pi}{6}$
$\blacktriangleright$ $\dfrac{13\pi}{6}-2\pi=\dfrac{13\pi-12\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}$ : $\sin\dfrac{13\pi}{6}=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12$ .

Exercice 3Lire un point sur le cercle

Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, le point $P$ correspond à un angle $\alpha$ .

a)
Dans quel quadrant se trouve $P$ ?
$\blacktriangleright$ $P$ est en haut à gauche : quadrant II.
b)
Sachant que $\alpha$ est remarquable, donne sa valeur en degrés et en radians.
$\blacktriangleright$ L'angle vaut $\alpha=135^{\circ}=\dfrac{3\pi}{4}$ .
c)
Donne alors les coordonnées exactes $(\cos\alpha\,;\,\sin\alpha)$ de $P$ .
$\blacktriangleright$ Référence $45^{\circ}$ ; au quadrant II $\cos<0$ et $\sin>0$ , donc $\cos\dfrac{3\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ et $\sin\dfrac{3\pi}{4}=+\dfrac{\sqrt2}{2}$ :
$P=\left(-\frac{\sqrt2}{2}\,;\,\frac{\sqrt2}{2}\right).$

Exercice 4Signe imposé, quadrant à trouver

Pour chaque condition, indique le(s) quadrant(s) possible(s) pour l'angle $\alpha$ .

a)
$\cos\alpha>0\ \text{et}\ \sin\alpha<0$
$\blacktriangleright$ $\cos>0$ (quadrants I, IV) et $\sin<0$ (III, IV) : commun $\Rightarrow$ quadrant IV.
b)
$\tg\alpha<0$
$\blacktriangleright$ $\tg<0$ quand $\sin$ et $\cos$ sont de signes contraires : quadrants II et IV.
c)
$\sin\alpha>0\ \text{et}\ \cos\alpha<0$
$\blacktriangleright$ $\sin>0$ (I, II) et $\cos<0$ (II, III) : commun $\Rightarrow$ quadrant II.

Exercice 5Vrai ou Faux

Justifie brièvement chaque réponse.

a)
$\dfrac{5\pi}{6}$ correspond à $150^{\circ}$ .
$\blacktriangleright$ Vrai : $\dfrac{5\pi}{6}\times\dfrac{180}{\pi}=\dfrac{5\times180}{6}=150^{\circ}$ .
b)
$\cos\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ .
$\blacktriangleright$ Faux : $\dfrac{3\pi}{4}=135^{\circ}$ est au quadrant II, donc $\cos\dfrac{3\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ (négatif).
c)
Un angle de $-45^{\circ}$ est dans le même quadrant que $315^{\circ}$ .
$\blacktriangleright$ Vrai : $-45^{\circ}\equiv-45^{\circ}+360^{\circ}=315^{\circ}$ , qui est bien au quadrant IV comme $315^{\circ}$ .
d)
$\tg 180^{\circ}=0$ .
$\blacktriangleright$ Vrai : $\tg180^{\circ}=\dfrac{\sin180^{\circ}}{\cos180^{\circ}}=\dfrac{0}{-1}=0$ .

Exercice 6Valeurs remarquables hors du premier quadrant (bis)

Donne la valeur exacte (signe d'abord, puis angle de référence).

a)
$\sin 120^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $120^{\circ}$ , quadrant II ( $\sin>0$ ), référence $180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$ : $\sin120^{\circ}=+\sin60^{\circ}=\dfrac{\sqrt3}{2}$ .
b)
$\cos 135^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $135^{\circ}$ , quadrant II ( $\cos<0$ ), référence $45^{\circ}$ : $\cos135^{\circ}=-\cos45^{\circ}=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ .
c)
$\tg 225^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $225^{\circ}$ , quadrant III ( $\tg>0$ ), référence $225^{\circ}-180^{\circ}=45^{\circ}$ : $\tg225^{\circ}=+\tg45^{\circ}=1$ .
d)
$\sin 300^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $300^{\circ}$ , quadrant IV ( $\sin<0$ ), référence $360^{\circ}-300^{\circ}=60^{\circ}$ : $\sin300^{\circ}=-\sin60^{\circ}=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ .
e)
$\cos 240^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $240^{\circ}$ , quadrant III ( $\cos<0$ ), référence $60^{\circ}$ : $\cos240^{\circ}=-\cos60^{\circ}=-\dfrac12$ .

Exercice 7Ramener dans un tour, puis évaluer (bis)

Ramène l'angle dans $[0^{\circ};360^{\circ}[$ (ou $[0;2\pi[$ ), puis donne la valeur exacte.

a)
$\sin 420^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $420^{\circ}-360^{\circ}=60^{\circ}$ : $\sin420^{\circ}=\sin60^{\circ}=\dfrac{\sqrt3}{2}$ .
b)
$\cos(-120^{\circ})$
$\blacktriangleright$ $-120^{\circ}\equiv-120^{\circ}+360^{\circ}=240^{\circ}$ (quadrant III, $\cos<0$ , référence $60^{\circ}$ ) : $\cos(-120^{\circ})=\cos240^{\circ}=-\dfrac12$ .
c)
$\tg 495^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $495^{\circ}-360^{\circ}=135^{\circ}$ (quadrant II, $\tg<0$ , référence $45^{\circ}$ ) : $\tg495^{\circ}=\tg135^{\circ}=-1$ .
d)
$\cos\frac{11\pi}{3}$
$\blacktriangleright$ $\dfrac{11\pi}{3}-2\pi=\dfrac{11\pi-6\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{3}$ ( $=300^{\circ}$ ) : $\cos\dfrac{11\pi}{3}=\cos300^{\circ}=\dfrac12$ .
e)
$\sin\!\left(-\frac{5\pi}{4}\right)$
$\blacktriangleright$ $-\dfrac{5\pi}{4}+2\pi=\dfrac{3\pi}{4}$ ( $=135^{\circ}$ ) : $\sin\!\left(-\dfrac{5\pi}{4}\right)=\sin\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ .

Exercice 8Lire un point sur le cercle (bis)

Sur le cercle ci-dessous, le point $P$ correspond à un angle $\alpha$ remarquable.

a)
Dans quel quadrant se trouve $P$ ?
$\blacktriangleright$ $P$ est en bas à gauche : quadrant III.
b)
Donne la valeur de $\alpha$ en degrés et en radians.
$\blacktriangleright$ $\alpha=210^{\circ}=\dfrac{7\pi}{6}$ .
c)
Donne les coordonnées exactes $(\cos\alpha\,;\,\sin\alpha)$ de $P$ .
$\blacktriangleright$ Référence $210^{\circ}-180^{\circ}=30^{\circ}$ ; au quadrant III $\cos<0$ et $\sin<0$ :
$P=\left(-\frac{\sqrt3}{2}\,;\,-\frac12\right).$

Exercice 9Signe imposé, quadrant à trouver (bis)

Pour chaque condition, indique le quadrant de l'angle $\alpha$ .

\textbf{(a)}\ \cos\alpha<0\ \text{et}\ \sin\alpha>0 \qquad \textbf{(b)}\ \sin\alpha<0\ \text{et}\ \tg\alpha>0

\textbf{(c)}\ \cos\alpha>0\ \text{et}\ \tg\alpha<0 \qquad \textbf{(d)}\ \sin\alpha>0\ \text{et}\ \tg\alpha<0

$\blacktriangleright$ $\cos<0$ (II, III) et $\sin>0$ (I, II) : commun $\Rightarrow$ quadrant II.
$\blacktriangleright$ $\sin<0$ (III, IV) et $\tg>0$ (I, III) : commun $\Rightarrow$ quadrant III.
$\blacktriangleright$ $\cos>0$ (I, IV) et $\tg<0$ (II, IV) : commun $\Rightarrow$ quadrant IV.
$\blacktriangleright$ $\sin>0$ (I, II) et $\tg<0$ (II, IV) : commun $\Rightarrow$ quadrant II.

Exercice 10Coordonnées hors du premier quadrant

Pour chaque angle $\alpha$ , donne les coordonnées exactes $(\cos\alpha\,;\,\sin\alpha)$ du point associé.

a)
$\alpha=\frac{3\pi}{4}$
On applique signe (par le quadrant) puis valeur de référence, sur $\cos$ et $\sin$ .
$\blacktriangleright$ $\dfrac{3\pi}{4}=135^{\circ}$ (II, référence $45^{\circ}$ ) : $\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$ .
b)
$\alpha=\frac{7\pi}{6}$
$\blacktriangleright$ $\dfrac{7\pi}{6}=210^{\circ}$ (III, référence $30^{\circ}$ ) : $\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\,;\,-\dfrac12\right)$ .
c)
$\alpha=\frac{5\pi}{3}$
$\blacktriangleright$ $\dfrac{5\pi}{3}=300^{\circ}$ (IV, référence $60^{\circ}$ ) : $\left(\dfrac12\,;\,-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$ .

Exercice 11Tangente et cotangente hors du premier quadrant

Donne la valeur exacte (signe par le quadrant, puis angle de référence).

a)
$\tg 120^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $120^{\circ}$ (II, $\tg<0$ , référence $60^{\circ}$ ) : $\tg120^{\circ}=-\tg60^{\circ}=-\sqrt3$ .
b)
$\cotg 135^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $135^{\circ}$ (II) : $\cos135^{\circ}=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ , $\sin135^{\circ}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ , donc $\cotg135^{\circ}=\dfrac{\cos}{\sin}=-1$ .
c)
$\tg 210^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $210^{\circ}$ (III, $\tg>0$ , référence $30^{\circ}$ ) : $\tg210^{\circ}=+\tg30^{\circ}=\dfrac{\sqrt3}{3}$ .
d)
$\cotg 300^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $300^{\circ}$ (IV) : $\cos300^{\circ}=\dfrac12$ , $\sin300^{\circ}=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ , donc $\cotg300^{\circ}=\dfrac{1/2}{-\sqrt3/2}=-\dfrac{1}{\sqrt3}=-\dfrac{\sqrt3}{3}$ .
e)
$\tg\frac{5\pi}{4}$
$\blacktriangleright$ $\dfrac{5\pi}{4}=225^{\circ}$ (III, $\tg>0$ , référence $45^{\circ}$ ) : $\tg\dfrac{5\pi}{4}=+\tg45^{\circ}=1$ .

Exercice 12Retrouver les angles d'une valeur

Donne tous les angles $x\in[0;2\pi[$ vérifiant l'égalité proposée.

a)
$\sin x=-\dfrac12$
On repère le signe (donc les deux quadrants) puis l'angle de référence.
$\blacktriangleright$ $\sin x=-\dfrac12$ : $\sin<0$ (quadrants III, IV), référence $\dfrac{\pi}{6}$ . Donc $x=\pi+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{7\pi}{6}$ ou $x=2\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{11\pi}{6}$ .
b)
$\cos x=\dfrac{\sqrt3}{2}$
$\blacktriangleright$ $\cos x=\dfrac{\sqrt3}{2}$ : $\cos>0$ (quadrants I, IV), référence $\dfrac{\pi}{6}$ . Donc $x=\dfrac{\pi}{6}$ ou $x=2\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{11\pi}{6}$ .
c)
$\tg x=1$
$\blacktriangleright$ $\tg x=1$ : $\tg>0$ (quadrants I, III), référence $\dfrac{\pi}{4}$ . Donc $x=\dfrac{\pi}{4}$ ou $x=\pi+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{4}$ .

Exercice 13Fiche d'identité d'un angle

Pour chaque angle, donne (i) sa mesure en radians, (ii) son quadrant, (iii) le signe de $\cos$ et celui de $\sin$ .

a)
$160^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $160^{\circ}=\dfrac{160\pi}{180}=\dfrac{8\pi}{9}$ ; quadrant II ; $\cos<0$ , $\sin>0$ .
b)
$225^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $225^{\circ}=\dfrac{225\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{4}$ ; quadrant III ; $\cos<0$ , $\sin<0$ .
c)
$315^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $315^{\circ}=\dfrac{315\pi}{180}=\dfrac{7\pi}{4}$ ; quadrant IV ; $\cos>0$ , $\sin<0$ .
d)
$100^{\circ}$
$\blacktriangleright$ $100^{\circ}=\dfrac{100\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{9}$ ; quadrant II ; $\cos<0$ , $\sin>0$ .

Exercice 14Vrai ou Faux (bis)

Justifie brièvement chaque réponse.

a)
$\cos(-30^{\circ})=\dfrac{\sqrt3}{2}$ .
$\blacktriangleright$ Vrai : $-30^{\circ}\equiv330^{\circ}$ (quadrant IV, $\cos>0$ ), référence $30^{\circ}$ , donc $\cos(-30^{\circ})=\cos30^{\circ}=\dfrac{\sqrt3}{2}$ .
b)
$\sin 210^{\circ}=\sin 30^{\circ}$ .
$\blacktriangleright$ Faux : $210^{\circ}$ est au quadrant III, $\sin210^{\circ}=-\dfrac12$ , alors que $\sin30^{\circ}=+\dfrac12$ .
c)
$\tg 135^{\circ}=-1$ .
$\blacktriangleright$ Vrai : $135^{\circ}$ est au quadrant II ( $\tg<0$ ), référence $45^{\circ}$ , donc $\tg135^{\circ}=-\tg45^{\circ}=-1$ .
d)
$\dfrac{7\pi}{4}$ et $-\dfrac{\pi}{4}$ pointent vers le même point du cercle.
$\blacktriangleright$ Vrai : $-\dfrac{\pi}{4}+2\pi=\dfrac{7\pi}{4}$ , même point.
e)
$\cos 480^{\circ}=\cos 120^{\circ}$ .
$\blacktriangleright$ Vrai : $480^{\circ}-360^{\circ}=120^{\circ}$ , donc $\cos480^{\circ}=\cos120^{\circ}$ .

Exercice 15Des coordonnées vers l'angle

Le point $M$ du cercle trigonométrique a pour coordonnées $\left(-\dfrac12\,;\,\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$ .

a)
Dans quel quadrant se trouve $M$ ?
$\blacktriangleright$ Abscisse $\cos\alpha=-\dfrac12<0$ et ordonnée $\sin\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}>0$ : quadrant II.
b)
Quelle est la mesure $\alpha\in[0;2\pi[$ de son angle ?
$\blacktriangleright$ Référence : l'angle dont le cosinus vaut $\dfrac12$ et le sinus $\dfrac{\sqrt3}{2}$ est $60^{\circ}$ . Au quadrant II : $\alpha=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}=\dfrac{2\pi}{3}$ .
c)
Déduis-en la valeur exacte de $\tg\alpha$ .
$\blacktriangleright$ $\tg\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{\sqrt3/2}{-1/2}=-\sqrt3$ .

Difficile13 exercices

Exercice 1Le grand angle négatif

On pose $\alpha=-\dfrac{25\pi}{6}$ .

a)
Ramène $\alpha$ à un angle $\beta\in[0;2\pi[$ ayant les mêmes nombres trigonométriques.
$\blacktriangleright$ On ajoute des tours entiers ( $2\pi=\frac{12\pi}{6}$ ) jusqu'à tomber dans $[0;2\pi[$ :
$-\frac{25\pi}{6}+3\times 2\pi=-\frac{25\pi}{6}+\frac{36\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}=\beta.$
b)
Convertis $\beta$ en degrés et précise son quadrant.
$\blacktriangleright$ $\beta=\dfrac{11\pi}{6}\times\dfrac{180}{\pi}=\dfrac{11\times180}{6}=330^{\circ}$ : c'est le quadrant IV.
c)
Déduis le signe de $\cos\beta$ , $\sin\beta$ et $\tg\beta$ .
$\blacktriangleright$ Au quadrant IV : $\cos\beta>0$ , $\sin\beta<0$ , $\tg\beta<0$ .
d)
Donne l'angle de référence, puis les valeurs exactes de $\cos\alpha$ , $\sin\alpha$ et $\tg\alpha$ .
$\blacktriangleright$ Référence $360^{\circ}-330^{\circ}=30^{\circ}$ . Comme $\alpha$ et $\beta$ ont les mêmes nombres trigonométriques :
$\cos\alpha=+\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt3}{2},\quad \sin\alpha=-\sin30^{\circ}=-\frac12,\quad \tg\alpha=-\tg30^{\circ}=-\frac{\sqrt3}{3}.$

Exercice 2Mise en situation : la grande roue

Une nacelle d'une grande roue est repérée par un point $M$ sur un cercle de rayon $1$ (unité : dizaines de mètres), de centre $O$ . Au départ, $M$ est à l'extrême droite (angle $0$ ). La roue tourne dans le sens trigonométrique.

a)
La roue tourne de $210^{\circ}$ . Exprime cet angle en radians.
$\blacktriangleright$ $210^{\circ}=210\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{7\pi}{6}$ .
b)
Dans quel quadrant se trouve alors $M$ ? Sa hauteur (ordonnée) est-elle positive ou négative ?
$\blacktriangleright$ $210^{\circ}$ est entre $180^{\circ}$ et $270^{\circ}$ : quadrant III. L'ordonnée $y=\sin$ y est négative (la nacelle est en bas).
c)
Donne les coordonnées exactes $(x\,;\,y)$ de $M$ .
$\blacktriangleright$ Référence $210^{\circ}-180^{\circ}=30^{\circ}$ , avec $\cos<0$ et $\sin<0$ :
$M=\bigl(\cos210^{\circ}\,;\,\sin210^{\circ}\bigr)=\left(-\frac{\sqrt3}{2}\,;\,-\frac12\right).$
d)
La roue continue et fait au total $\dfrac{3}{4}$ de tour de plus (depuis la position de la question a, soit $210^{\circ}+270^{\circ}$ ). Donne le nouvel angle ramené dans $[0^{\circ};360^{\circ}[$ et les nouvelles coordonnées de $M$ .
$\blacktriangleright$ Total $210^{\circ}+270^{\circ}=480^{\circ}$ , ramené : $480^{\circ}-360^{\circ}=120^{\circ}$ . $120^{\circ}$ est au quadrant II ( $\cos<0,\ \sin>0$ ), référence $60^{\circ}$ :
$M=\bigl(\cos120^{\circ}\,;\,\sin120^{\circ}\bigr)=\left(-\frac12\,;\,\frac{\sqrt3}{2}\right).$

Exercice 3Retrouver un angle à partir d'une valeur

Dans tout l'exercice, on cherche des angles dans $[0;2\pi[$ .

a)
Détermine tous les angles $x\in[0;2\pi[$ tels que $\cos x=-\dfrac12$ .
$\blacktriangleright$ $\cos x=-\dfrac12$ : valeur négative $\Rightarrow$ quadrants II et III (référence $60^{\circ}=\frac{\pi}{3}$ ). Donc $x=\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$ ou $x=\pi+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}$ .
b)
Détermine tous les angles $x\in[0;2\pi[$ tels que $\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}$ .
$\blacktriangleright$ $\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}$ : valeur positive $\Rightarrow$ quadrants I et II (référence $45^{\circ}=\frac{\pi}{4}$ ). Donc $x=\dfrac{\pi}{4}$ ou $x=\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}$ .
c)
Existe-t-il un angle tel que $\cos x=\dfrac32$ ? Justifie.
$\blacktriangleright$ Non : le cosinus est toujours compris entre $-1$ et $1$ , or $\dfrac32>1$ . Aucune solution.
d)
Place sur un cercle trigonométrique les solutions trouvées en (a) et (b).
$\blacktriangleright$ Placement des quatre solutions :

Exercice 4Le très grand angle positif

On pose $\alpha=\dfrac{101\pi}{6}$ .

a)
Ramène $\alpha$ à un angle $\beta\in[0;2\pi[$ ayant les mêmes nombres trigonométriques.
$\blacktriangleright$ On retire des tours entiers ( $2\pi=\frac{12\pi}{6}$ ) :
$\frac{101\pi}{6}-8\times2\pi=\frac{101\pi}{6}-\frac{96\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}=\beta.$
b)
Convertis $\beta$ en degrés et précise son quadrant.
$\blacktriangleright$ $\beta=\dfrac{5\pi}{6}\times\dfrac{180}{\pi}=\dfrac{5\times180}{6}=150^{\circ}$ : c'est le quadrant II.
c)
Donne le signe de $\cos\beta$ , $\sin\beta$ et $\tg\beta$ .
$\blacktriangleright$ Au quadrant II : $\cos\beta<0$ , $\sin\beta>0$ , $\tg\beta<0$ .
d)
À l'aide de l'angle de référence, donne les valeurs exactes de $\cos\alpha$ , $\sin\alpha$ et $\tg\alpha$ .
$\blacktriangleright$ Référence $180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$ . Comme $\alpha$ et $\beta$ ont les mêmes nombres trigonométriques :
$\cos\alpha=-\cos30^{\circ}=-\frac{\sqrt3}{2},\quad \sin\alpha=+\sin30^{\circ}=\frac12,\quad \tg\alpha=-\tg30^{\circ}=-\frac{\sqrt3}{3}.$
e)
Donne enfin les coordonnées exactes du point du cercle associé à $\alpha$ .
$\blacktriangleright$ Coordonnées : $\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\,;\,\dfrac12\right)$ .

Exercice 5Mise en situation : l'aiguille des minutes

L'extrémité de l'aiguille des minutes d'une horloge décrit un cercle de rayon $1$ , de centre $O$ . À $0$ min (midi) elle pointe vers le haut, c'est-à-dire à l'angle $\dfrac{\pi}{2}$ . Attention : une horloge tourne dans le sens des aiguilles (sens négatif).

On note $\theta(t)$ l'angle (mesuré dans le sens trigonométrique usuel) de l'aiguille après $t$ minutes.

a)
Sachant qu'en $t$ minutes l'aiguille tourne de $6^{\circ}$ par minute dans le sens négatif, exprime $\theta(t)$ en degrés en fonction de $t$ .
$\blacktriangleright$ On part de $90^{\circ}$ et on retranche $6^{\circ}$ par minute : $\theta(t)=90^{\circ}-6t$ (en degrés).
b)
Où pointe l'aiguille à $t=15$ minutes ? Donne l'angle et les coordonnées du point.
$\blacktriangleright$ $\theta(15)=90^{\circ}-90^{\circ}=0^{\circ}$ : l'aiguille pointe vers la droite, au point $(1\,;\,0)$ .
c)
Même question à $t=20$ minutes (ramène l'angle dans $[0^{\circ};360^{\circ}[$ ).
$\blacktriangleright$ $\theta(20)=90^{\circ}-120^{\circ}=-30^{\circ}\equiv330^{\circ}$ (quadrant IV, référence $30^{\circ}$ ) :
$M=\bigl(\cos330^{\circ}\,;\,\sin330^{\circ}\bigr)=\left(\frac{\sqrt3}{2}\,;\,-\frac12\right).$
d)
Même question à $t=40$ minutes.
$\blacktriangleright$ $\theta(40)=90^{\circ}-240^{\circ}=-150^{\circ}\equiv210^{\circ}$ (quadrant III, référence $30^{\circ}$ ) :
$M=\bigl(\cos210^{\circ}\,;\,\sin210^{\circ}\bigr)=\left(-\frac{\sqrt3}{2}\,;\,-\frac12\right).$

Exercice 6Solutions générales et fenêtre

On cherche cette fois toutes les solutions réelles (pas seulement dans un tour).

a)
Donne toutes les solutions réelles de $\cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ , sous la forme $x=\ldots+2k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .
$\blacktriangleright$ $\cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ : $\cos<0$ (quadrants II, III), référence $\dfrac{\pi}{4}$ . Donc
$x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi\quad\text{ou}\quad x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.$
b)
Donne toutes les solutions réelles de $\sin x=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ .
$\blacktriangleright$ $\sin x=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ : $\sin<0$ (quadrants III, IV), référence $\dfrac{\pi}{3}$ . Donc
$x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi\quad\text{ou}\quad x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.$
c)
Donne toutes les solutions réelles de $\tg x=-\sqrt3$ (les solutions se répètent tous les $\pi$ ).
$\blacktriangleright$ $\tg x=-\sqrt3$ : référence $\dfrac{\pi}{3}$ , et la tangente est $\pi$ -périodique. Donc $x=-\dfrac{\pi}{3}+k\pi$ , soit $x=\dfrac{2\pi}{3}+k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .
d)
Parmi les solutions de la question (a), lesquelles appartiennent à $[0;4\pi[$ ?
$\blacktriangleright$ On prend $k=0$ puis $k=1$ dans (a) : $\dfrac{3\pi}{4}$ , $\dfrac{5\pi}{4}$ , $\dfrac{3\pi}{4}+2\pi=\dfrac{11\pi}{4}$ et $\dfrac{5\pi}{4}+2\pi=\dfrac{13\pi}{4}$ . Ces quatre valeurs sont dans $[0;4\pi[$ .

Exercice 7Lire des inégalités sur le cercle

Toutes les inconnues $x$ sont cherchées dans $[0;2\pi[$ .

a)
Détermine l'ensemble des $x$ tels que $\cos x\geq\dfrac12$ .
$\blacktriangleright$ $\cos x=\dfrac12$ en $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{5\pi}{3}$ ; le cosinus (abscisse) est $\geq\dfrac12$ autour de $0$ : $x\in\left[0;\dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{5\pi}{3};2\pi\right[$ .
b)
Détermine l'ensemble des $x$ tels que $\sin x<-\dfrac12$ .
$\blacktriangleright$ $\sin x=-\dfrac12$ en $\dfrac{7\pi}{6}$ et $\dfrac{11\pi}{6}$ ; le sinus (ordonnée) est $<-\dfrac12$ entre les deux : $x\in\left]\dfrac{7\pi}{6};\dfrac{11\pi}{6}\right[$ .
c)
Détermine l'ensemble des $x$ tels que $\tg x>0$ .
$\blacktriangleright$ $\tg x>0$ aux quadrants I et III (là où $\sin$ et $\cos$ ont même signe) : $x\in\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[\cup\left]\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right[$ .
d)
Illustre la réponse à la question (a) par un arc hachuré sur le cercle.
$\blacktriangleright$ Arc hachuré (abscisse $\geq\frac12$ , à droite de la droite verticale $\cos=\frac12$ ) :

Exercice 8Deux angles pour un même cosinus

On sait que $\cos\alpha=-\dfrac12$ et que $\alpha\in[0;2\pi[$ .

a)
Combien de valeurs de $\alpha$ sont possibles ? Justifie par le cercle.
$\blacktriangleright$ La droite verticale $\cos=-\dfrac12$ coupe le cercle en deux points : il y a donc $2$ valeurs.
b)
Donne-les explicitement.
$\blacktriangleright$ $\cos<0$ (quadrants II, III), référence $\dfrac{\pi}{3}$ : $\alpha=\dfrac{2\pi}{3}$ ou $\alpha=\dfrac{4\pi}{3}$ .
c)
Pour chacune, précise le quadrant et la valeur exacte de $\sin\alpha$ .
$\blacktriangleright$ $\dfrac{2\pi}{3}$ : quadrant II, $\sin\alpha=+\dfrac{\sqrt3}{2}$ . $\dfrac{4\pi}{3}$ : quadrant III, $\sin\alpha=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ .
d)
Laquelle vérifie de plus $\tg\alpha>0$ ?
$\blacktriangleright$ $\tg\alpha>0$ au quadrant III : c'est $\alpha=\dfrac{4\pi}{3}$ .

Exercice 9Un point qui saute de quart en quart

Un point $M$ du cercle a pour angle $\alpha(t)=\dfrac{\pi}{6}+t\cdot\dfrac{\pi}{2}$ , où $t\in\mathbb{N}$ compte les quarts de tour effectués.

a)
Donne l'angle (ramené dans $[0;2\pi[$ ) et le quadrant de $M$ pour $t=0,1,2,3$ .
$\blacktriangleright$ $t=0$ : $\dfrac{\pi}{6}$ (Q I). $t=1$ : $\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{2\pi}{3}$ (Q II). $t=2$ : $\dfrac{\pi}{6}+\pi=\dfrac{7\pi}{6}$ (Q III). $t=3$ : $\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{3\pi}{2}=\dfrac{5\pi}{3}$ (Q IV).
b)
Donne les coordonnées exactes de $M$ pour ces quatre valeurs.
$\blacktriangleright$ Coordonnées : $\dfrac{\pi}{6}\!\to\!\left(\dfrac{\sqrt3}{2};\dfrac12\right)$ , $\dfrac{2\pi}{3}\!\to\!\left(-\dfrac12;\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$ , $\dfrac{7\pi}{6}\!\to\!\left(-\dfrac{\sqrt3}{2};-\dfrac12\right)$ , $\dfrac{5\pi}{3}\!\to\!\left(\dfrac12;-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$ .
c)
Que vaut $\alpha(4)$ ? Que constate-t-on ?
$\blacktriangleright$ $\alpha(4)=\dfrac{\pi}{6}+2\pi\equiv\dfrac{\pi}{6}$ : on est revenu au point de départ (un tour complet).
d)
Quel est le plus petit $t>0$ pour lequel $M$ se trouve dans le quadrant III ?
$\blacktriangleright$ $M$ est au quadrant III pour $t=2$ ( $\dfrac{7\pi}{6}$ ), c'est le plus petit $t>0$ .

Exercice 10Le radian, un nombre comme un autre

On rappelle $\pi\approx3{,}14$ , $\dfrac{\pi}{2}\approx1{,}57$ , $\dfrac{3\pi}{2}\approx4{,}71$ et $2\pi\approx6{,}28$ .

a)
Convertis $1$ radian en degrés (valeur approchée à $0{,}1^{\circ}$ près).
$\blacktriangleright$ $1\ \text{rad}=1\times\dfrac{180}{\pi}\approx\dfrac{180}{3{,}14}\approx57{,}3^{\circ}$ .
b)
Dans quel quadrant se trouvent les angles de $1$ rad, $3$ rad et $5$ rad ?
$\blacktriangleright$ $1<\dfrac{\pi}{2}\approx1{,}57$ : Q I. $\dfrac{\pi}{2}<3<\pi\approx3{,}14$ : Q II. $\dfrac{3\pi}{2}\approx4{,}71<5<2\pi\approx6{,}28$ : Q IV.
c)
Déduis-en, sans calculatrice, le signe de $\cos(1)$ , $\cos(3)$ et $\cos(5)$ .
$\blacktriangleright$ Signe du cosinus (abscisse) selon le quadrant : $\cos(1)>0$ (Q I), $\cos(3)<0$ (Q II), $\cos(5)>0$ (Q IV).

Exercice 11Jeux de symétries sur le cercle

Le point $A$ correspond à l'angle $40^{\circ}$ . On construit : $B$ le symétrique de $A$ par rapport à l'axe des ordonnées ( $y$ ), $C$ le symétrique de $A$ par rapport à l'origine $O$ , $D$ le symétrique de $A$ par rapport à l'axe des abscisses ( $x$ ).

a)
Donne la mesure dans $[0^{\circ};360^{\circ}[$ des angles de $B$ , $C$ et $D$ .
$\blacktriangleright$ $B$ (symétrie/axe $y$ ) : $180^{\circ}-40^{\circ}=140^{\circ}$ . $C$ (symétrie/origine) : $40^{\circ}+180^{\circ}=220^{\circ}$ . $D$ (symétrie/axe $x$ ) : $-40^{\circ}\equiv320^{\circ}$ .
b)
Exprime les coordonnées de $B$ , $C$ et $D$ en fonction de $\cos40^{\circ}$ et $\sin40^{\circ}$ .
$\blacktriangleright$ $A=(\cos40^{\circ}\,;\,\sin40^{\circ})$ , donc $B=(-\cos40^{\circ}\,;\,\sin40^{\circ})$ , $C=(-\cos40^{\circ}\,;\,-\sin40^{\circ})$ , $D=(\cos40^{\circ}\,;\,-\sin40^{\circ})$ .
c)
Que peut-on dire des cosinus de $A$ et de $D$ ? Des sinus de $A$ et de $B$ ?
$\blacktriangleright$ $A$ et $D$ ont le même cosinus ( $\cos320^{\circ}=\cos40^{\circ}$ ) ; $A$ et $B$ ont le même sinus ( $\sin140^{\circ}=\sin40^{\circ}$ ).

Exercice 12Quand cosinus et sinus s'égalent

On cherche les angles $x\in[0;2\pi[$ pour lesquels le point associé vérifie $\lvert\cos x\rvert=\lvert\sin x\rvert$ .

a)
Explique pourquoi ces points sont exactement sur les deux « diagonales » du cercle, et donne les quatre valeurs de $x$ .
$\blacktriangleright$ $\lvert\cos x\rvert=\lvert\sin x\rvert$ signifie que le point est à égale distance des deux axes : ce sont les points des deux bissectrices (diagonales). Les quatre angles sont $\dfrac{\pi}{4}$ , $\dfrac{3\pi}{4}$ , $\dfrac{5\pi}{4}$ , $\dfrac{7\pi}{4}$ .
b)
Parmi elles, lesquelles vérifient $\cos x=\sin x$ ?
$\blacktriangleright$ $\cos x=\sin x$ (même signe) : $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{5\pi}{4}$ .
c)
Lesquelles vérifient $\cos x=-\sin x$ ?
$\blacktriangleright$ $\cos x=-\sin x$ (signes opposés) : $\dfrac{3\pi}{4}$ et $\dfrac{7\pi}{4}$ .
d)
Donne la valeur de $\tg x$ pour chacune des quatre solutions.
$\blacktriangleright$ $\tg\dfrac{\pi}{4}=1$ , $\tg\dfrac{3\pi}{4}=-1$ , $\tg\dfrac{5\pi}{4}=1$ , $\tg\dfrac{7\pi}{4}=-1$ .

Exercice 13Mise en situation : les nacelles d'une grande roue

Une grande roue possède $8$ nacelles régulièrement réparties sur un cercle de rayon $1$ , numérotées de $0$ à $7$ dans le sens trigonométrique ; la nacelle $0$ est au point $(1\,;\,0)$ .

a)
Quel angle (en radians) sépare deux nacelles consécutives ?
$\blacktriangleright$ Un tour complet $2\pi$ partagé en $8$ : $\dfrac{2\pi}{8}=\dfrac{\pi}{4}$ (soit $45^{\circ}$ ).
b)
Donne l'angle des nacelles $3$ et $5$ (en radians et en degrés).
$\blacktriangleright$ Nacelle $k$ à l'angle $k\cdot\dfrac{\pi}{4}$ . Nacelle $3$ : $\dfrac{3\pi}{4}=135^{\circ}$ ; nacelle $5$ : $\dfrac{5\pi}{4}=225^{\circ}$ .
c)
Donne les coordonnées exactes des nacelles $2$ et $6$ .
$\blacktriangleright$ Nacelle $2$ : $\dfrac{\pi}{2}\to(0\,;\,1)$ ; nacelle $6$ : $\dfrac{3\pi}{2}\to(0\,;\,-1)$ .
d)
Quelle nacelle occupe le point le plus haut de la roue ?
$\blacktriangleright$ Le point le plus haut est $(0\,;\,1)$ , c'est-à-dire l'angle $\dfrac{\pi}{2}$ : la nacelle $2$ .

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