Mécanique 2 · Tutoriel

Angles associés

La mécanique à maîtriser avant de passer aux exercices.

height 1pt

Deux angles sont associés lorsque leurs points sur le cercle sont symétriques (par un axe ou par le centre) : leurs nombres trigonométriques sont alors les mêmes au signe près, ou échangés ( $\sin\leftrightarrow\cos$ ). Objectif : ramener n'importe quel angle à un angle connu du premier quadrant.

1. Les cinq familles à connaître

Dans tout ce qui suit, $\alpha$ est un angle quelconque.

Famille (symétrie)	angle	$\cos$	$\sin$	$\tg$
Opposés (axe des cos)	$-\alpha$	$\cos\alpha$	$-\sin\alpha$	$-\tg\alpha$
Supplémentaires (axe des sin)	$\pi-\alpha$	$-\cos\alpha$	$\sin\alpha$	$-\tg\alpha$
Anti-suppl. (centre $O$ )	$\pi+\alpha$	$-\cos\alpha$	$-\sin\alpha$	$\tg\alpha$
Complémentaires (droite $y=x$ )	$\frac{\pi}{2}-\alpha$	$\sin\alpha$	$\cos\alpha$	$\cotg\alpha$
Anti-complém.	$\frac{\pi}{2}+\alpha$	$-\sin\alpha$	$\cos\alpha$	$-\cotg\alpha$

L'essentieldeux réflexes qui résument tout

$\bullet$ Autour de $\pi$ (c'est-à-dire $-\alpha,\ \pi-\alpha,\ \pi+\alpha$ ) : la fonction ne change pas ( $\cos$ reste $\cos$ , $\sin$ reste $\sin$ ), seul le signe peut changer.
$\bullet$ Autour de $\frac{\pi}{2}$ (c'est-à-dire $\frac{\pi}{2}\pm\alpha$ ) : la fonction s'échange ( $\sin\leftrightarrow\cos$ , $\tg\leftrightarrow\cotg$ ), et le signe peut changer.
Pour le signe : place $\alpha$ « petit et positif » et regarde le quadrant de l'angle associé.

2. Lire une symétrie sur le cercle

Ci-dessous : les opposés $\alpha$ et $-\alpha$ (miroir par l'axe horizontal : même $\cos$ , $\sin$ opposé) et les supplémentaires $\alpha$ et $\pi-\alpha$ (miroir par l'axe vertical : même $\sin$ , $\cos$ opposé).

Exemplemême sinus, même tangente

Deux supplémentaires ont le même sinus : $\sin150^{\circ}=\sin(180^{\circ}-30^{\circ})=\sin30^{\circ}=\dfrac12$ . Deux anti-supplémentaires ont la même tangente : $\tg210^{\circ}=\tg(180^{\circ}+30^{\circ})=\tg30^{\circ}=\dfrac{\sqrt3}{3}$ (période $\pi$ ).

3. Ramener n'importe quel angle au premier quadrant

Méthoderéduction d'un angle quelconque

Un tour : ajoute/retranche $2\pi$ (ou $360^{\circ}$ ) pour tomber dans $[0;2\pi[$ .
Quadrant $\Rightarrow$ signe : repère le quadrant, il donne le signe du résultat.
Angle de référence : écris l'angle sous la forme $\pi\pm\beta$ , $-\beta$ ou $\frac{\pi}{2}\pm\beta$ avec $\beta$ aigu (le référent du 1^er quadrant).
Applique la famille correspondante, puis recolle le signe de l'étape 2.

Exemplevaleur numérique et expression littérale

$\dfrac{2\pi}{3}=\pi-\dfrac{\pi}{3}$ (supplémentaires) $\Rightarrow \cos\dfrac{2\pi}{3}=-\cos\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac12$ (cohérent : $120^{\circ}$ est au quadrant II, où $\cos<0$ ). De même $\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha$ (anti-complém.) et $\dfrac{\sin(\pi-\alpha)}{\cos(-\alpha)}=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tg\alpha$ .

Piègeles trois erreurs qui coûtent des points

$\bullet$ Confondre supplémentaires ( $\pi-\alpha$ , même $\sin$ ) et anti-supplémentaires ( $\pi+\alpha$ , même $\tg$ ). $\bullet$ Oublier que $\frac{\pi}{2}\pm\alpha$ échange $\sin$ et $\cos$ (ne pas laisser $\cos$ donner un $\cos$ ). $\bullet$ Se tromper de signe : dans le doute, prends $\alpha=30^{\circ}$ et vérifie numériquement.

Ensuite, 3 niveaux d'exercices :

FacileMoyenDifficile

Passer aux exercices