Mécanique 1 · Tutoriel

Conversions d'angles & cercle trigonométrique

La mécanique à maîtriser avant de passer aux exercices.

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Ce thème installe les réflexes de base de la trigonométrie : convertir un angle, le placer sur le cercle, lire son quadrant, le signe de ses nombres trigonométriques et ses valeurs remarquables. Ces gestes reviennent dans presque tous les QCM : rendez-les automatiques.

1. Convertir degrés $\leftrightarrow$ radians

Un demi-tour vaut $180^{\circ}$ ou $\pi$ radians. Tout part de cette égalité, résumée par la règle de trois :

\boxed{\;\dfrac{\alpha_{\text{deg}}}{180}=\dfrac{\alpha_{\text{rad}}}{\pi}\;} \qquad\Longrightarrow\qquad \alpha_{\text{rad}}=\alpha_{\text{deg}}\times\dfrac{\pi}{180}, \qquad \alpha_{\text{deg}}=\alpha_{\text{rad}}\times\dfrac{180}{\pi}.

Exemplele $\pi$ se simplifie toujours

$30^{\circ} = 30\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{6}$ ; $\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}\times\dfrac{180}{\pi}=\dfrac{3\times180}{4}=135^{\circ}$ . Si le $\pi$ ne se simplifie pas, c'est le signe d'une erreur.

Les conversions à connaître par cœur (elles reviennent partout) :

deg	$0^{\circ}$	$30^{\circ}$	$45^{\circ}$	$60^{\circ}$	$90^{\circ}$	$180^{\circ}$	$270^{\circ}$	$360^{\circ}$
rad	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$	$2\pi$

2. Le cercle, les quadrants et le sens trigonométrique

Le cercle trigonométrique a pour centre $O$ et pour rayon $1$ . On tourne dans le sens trigonométrique (inverse des aiguilles d'une montre = sens positif). Les deux axes le découpent en quatre quadrants :

\text{I : } 0\to\tfrac{\pi}{2}\quad|\quad \text{II : } \tfrac{\pi}{2}\to\pi\quad|\quad \text{III : } \pi\to\tfrac{3\pi}{2}\quad|\quad \text{IV : } \tfrac{3\pi}{2}\to2\pi.

L'essentielun point du cercle porte cos et sin

Au point $P$ associé à l'angle $\alpha$ : $P=(\cos\alpha\,;\,\sin\alpha)$ . Donc le cosinus se lit horizontalement (abscisse) et le sinus verticalement (ordonnée). Comme le rayon vaut $1$ : $-1\le\cos\alpha\le1$ et $-1\le\sin\alpha\le1$ .

3. Signe selon le quadrant

On lit le signe directement sur le cercle : $\cos$ (horizontal) est positif à droite, $\sin$ (vertical) positif en haut. La tangente $\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ est positive quand $\sin$ et $\cos$ ont le même signe.

Quadrant	I	II	III	IV
$\cos$	$+$	$-$	$-$	$+$
$\sin$	$+$	$+$	$-$	$-$
$\tg,\ \cotg$	$+$	$-$	$+$	$-$

4. Valeurs remarquables du premier quadrant

Astuce du sinus : écris $\dfrac{\sqrt0}{2},\dfrac{\sqrt1}{2},\dfrac{\sqrt2}{2},\dfrac{\sqrt3}{2}, \dfrac{\sqrt4}{2}$ . Le cosinus est la même liste à l'envers.

$\alpha$	$0$	$\frac{\pi}{6}\,(30^{\circ})$	$\frac{\pi}{4}\,(45^{\circ})$	$\frac{\pi}{3}\,(60^{\circ})$	$\frac{\pi}{2}\,(90^{\circ})$
$\sin\alpha$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$1$
$\cos\alpha$	$1$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\tg\alpha$	$0$	$\frac{\sqrt3}{3}$	$1$	$\sqrt3$	$\nexists$

Méthodelire un nombre trigonométrique d'un angle quelconque

Ramener l'angle dans $[0^{\circ};360^{\circ}[$ en ajoutant/retranchant des tours ( $\pm360^{\circ}$ ).
Repérer le quadrant $\Rightarrow$ en déduire le signe.
Trouver l'angle de référence (angle aigu avec l'axe horizontal) et lire sa valeur au tableau.
Recoller le signe de l'étape 2.

Exemple $\cos120^{\circ}$

$120^{\circ}$ est au quadrant II ( $\cos<0$ ). Référence : $180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$ , et $\cos60^{\circ}=\frac12$ . Donc $\cos120^{\circ}=-\frac12$ .

Piègeerreurs classiques

$\bullet$ Oublier de simplifier le $\pi$ dans une conversion. $\bullet$ Confondre les lignes $\sin$ et $\cos$ (le sinus monte de $0$ à $1$ , le cosinus descend de $1$ à $0$ ). $\bullet$ Donner un signe $+$ à un cosinus du quadrant II ou III.

Ensuite, 3 niveaux d'exercices :

FacileMoyenDifficile

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