Dérivation

$f'(x_0)$ = pente de la tangente en $x_0$ = vitesse instantanée si $f$ est une position. $f$ dérivable en $x_0\Rightarrow f$ continue en $x_0$ (réciproque fausse : ex. $|x|$ en $0$).

1. Calculer $f(x_0)$ (ordonnée du point de contact).
2. Calculer $f'(x)$, puis évaluer $f'(x_0)$ (pente).
3. Remplacer dans $\;y=(x-x_0)\,f'(x_0)+f(x_0)$.

Perpendicularité : $m_1\times m_2=-1$. Tangente horizontale $\Leftrightarrow f'(x_0)=0$. Piège : $f'(x_0)$ est un nombre, $f'$ une fonction — pour un point $(x_1;y_1)\neq P_0$ sur la tangente, remplacer $x=x_1,y=y_1$ dans l'équation, sans confondre $f(x_1)$ et $y_1$.

On donne $f$ et $x_0$ (parfois via un point de passage, une intersection, ou une droite parallèle/perpendiculaire) $\to$ calculer $f'(x_0)$ puis écrire $y=(x-x_0)f'(x_0)+f(x_0)$ (2023, Q7 ; 2022, Q3 ; 2018, Q17/Q21/Q28).

$(\ln U)'=\dfrac{U'}{U}$, $(\log_a U)'=\dfrac{U'}{U\ln a}$, $(a^{U})'=U'a^{U}\ln a$ (cas $a=e$ : $(e^{U})'=U'e^{U}$). Racine $\to$ puissance : $\sqrt{x}=x^{1/2}$, $\sqrt[n]{x^{p}}=x^{p/n}$, $\dfrac{1}{x^n}=x^{-n}$.

1. Repérer la couche externe (dernière opération appliquée : carré, $\sin$, $\ln$, racine…).
2. Dériver cette couche avec la formule adaptée, intérieur $U$ inchangé, puis multiplier par $U'$.
3. Recommencer si l'intérieur est lui-même composé.

Piège : $(UV)'\neq U'V'$. Au quotient, l'ordre compte — numérateur $=U'V-UV'$ (jamais $UV'-U'V$).

Racine déguisée $f(x)=x^{p/n}$ et une valeur $x_0$ $\to$ réécrire en puissance, appliquer $(x^n)'=nx^{n-1}$, évaluer numériquement (2022, Q7 ; 2021, Q11 ; 2020, Q15). Quotient de composées ($\ln$, trigo, exponentielle) $\to$ dériver $U,V$ séparément (chaîne comprise) avant $\dfrac{U'V-UV'}{V^2}$ (2022, Q26 ; 2019, Q5/Q15 ; 2018, Q10).

$f'(x)>0 \Rightarrow f$ croissante $f'(x)<0 \Rightarrow f$ décroissante
$f'(x_0)=0$ en changeant de signe $\Rightarrow$ extremum local en $x_0$ (max si $+\!\to\!-$, min si $-\!\to\!+$).

1. Déterminer le domaine $D_f$.
2. Calculer $f'(x)$.
3. Résoudre $f'(x)=0$ (racines candidates aux extremums).
4. Étudier le signe de $f'$ (factoriser si besoin) entre ces racines.
5. Traduire en flèches, repérer les extremums et calculer $f(x_i)$.

$f'(x_0)=0$ sans changer de signe $\Rightarrow$ pas d'extremum, juste une tangente horizontale (point d'inflexion). Ex. $f'(x)=(3x{-}1)^2\geq 0$ partout : $f$ croissante sur $\mathbb{R}$, aucun extremum malgré $f'(\tfrac13)=0$.

On donne (directement ou par un modèle) le signe ou l'expression de $f'$ $\to$ traduire en sens de variation ; compter les changements de signe de $f'$ pour compter les extremums (2025, Q2 ; 2024, Q10 ; 2023, Q5 ; 2018, Q27).

$f''(x)>0 \Rightarrow$ concavité vers le haut (courbe en bol) $f''(x)<0 \Rightarrow$ vers le bas (courbe en cloche)
Point d'inflexion en $x_0$ $\Leftrightarrow$ $f''(x_0)=0$ en changeant de signe, et $f'(x_0)$ existe.

$f$ monte $\Rightarrow f'>0$ ; $f$ descend $\Rightarrow f'<0$ ; sommet/creux à tangente horizontale $\Rightarrow f'=0$ ; bol $\Rightarrow f''>0$ ; cloche $\Rightarrow f''<0$. La courbe de $f'$ coupe l'axe des $x$ aux extremums de $f$. Piège : sur une portion qui monte ou descend, $f'\neq 0$ même si l'allure change (un point n'a $f'=0$ que si sa tangente est horizontale).

$f$, $f'$, $f''$ donnés ensemble (valeurs, signes ou courbes) $\to$ combiner variations ($f'$) et concavité ($f''$) pour juger une affirmation, ou choisir la courbe de $f'$ à partir de celle de $f$ (2022, Q16 ; 2021, Q21/Q30 ; 2020, Q13/Q30 ; 2019, Q10 ; 2018, Q24).