MathématiquesFiche 2 · Calcul vectorielRelation de Chasles et combinaisons linéaires — TUTORIEL

Relation de Chasles et combinaisons linéaires — TUTORIEL

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Facile15 exercices
Exercice 1

Compléter par la relation de Chasles. Simplifier chaque somme en un seul vecteur.

  1. a)

    AB→+BC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}

    AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.

  2. b)

    MN→+NP→\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}

    MN→+NP→=MP→\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}.

  3. c)

    RS→+ST→+TU→\overrightarrow{RS}+\overrightarrow{ST}+\overrightarrow{TU}

    RS→+ST→+TU→=RU→\overrightarrow{RS}+\overrightarrow{ST}+\overrightarrow{TU}=\overrightarrow{RU}.

  4. d)

    EF→+FG→+GH→+HK→\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG}+\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{HK}

    EF→+FG→+GH→+HK→=EK→\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG}+\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{HK}=\overrightarrow{EK}.

    ▶\blacktriangleright La lettre intermédiaire commune s'efface à chaque étape ; il reste la première et la dernière.

Exercice 2

Vecteur nul et opposés. Donner le résultat le plus simple de chaque expression.

  1. a)

    AB→+BA→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}

    AB→+BA→=AA→=0⃗\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\vec0.

  2. b)

    AB→+BC→+CA→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}

    AB→+BC→+CA→=AC→+CA→=AA→=0⃗\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AA}=\vec0.

  3. c)

    −DE→-\overrightarrow{DE} (l'exprimer comme un vecteur à lettres inversées)

    −DE→=ED→-\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{ED}.

  4. d)

    PQ→+QP→+PQ→\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{PQ}

    PQ→+QP→+PQ→=0⃗+PQ→=PQ→\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{PQ}=\vec0+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PQ}.

    ▶\blacktriangleright Un circuit fermé (on revient au point de départ) donne toujours le vecteur nul.

Exercice 3

Transformer une soustraction. Simplifier en utilisant −XY→=YX→-\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{YX}.

  1. a)

    AB→−CB→\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}

    AB→−CB→=AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.

  2. b)

    AC→−AB→\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}

    AC→−AB→=AC→+CA→ \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}\;? Non : on écrit −AB→=BA→-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}, donc AC→−AB→=BA→+AC→=BC→\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}.

  3. c)

    MP→−MN→\overrightarrow{MP}-\overrightarrow{MN}

    MP→−MN→=NM→+MP→=NP→\overrightarrow{MP}-\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{NP}.

    ▶\blacktriangleright Règle utile : XA→−XB→=BA→\overrightarrow{XA}-\overrightarrow{XB}=\overrightarrow{BA} (les origines communes XX « disparaissent », il reste « extrémité de gauche moins celle de droite »). Ici b) : AC→−AB→=BC→\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}.

Exercice 4

Choisir un point intermédiaire. Dans chaque cas, décomposer le vecteur en passant par le point indiqué.

  1. a)

    Écrire AC→\overrightarrow{AC} en passant par BB.

    AC→=AB→+BC→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.

  2. b)

    Écrire AD→\overrightarrow{AD} en passant par BB puis CC.

    AD→=AB→+BC→+CD→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}.

  3. c)

    Écrire MN→\overrightarrow{MN} en passant par un point OO quelconque.

    MN→=MO→+ON→\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{ON} (valable pour n'importe quel point OO).

    ▶\blacktriangleright On peut toujours insérer un point : c'est Chasles lu de droite à gauche.

Exercice 5

Parallélogramme. ABCDABCD est un parallélogramme (sommets dans l'ordre). Compléter les égalités.

  1. a)

    AB→=D ?→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{D\;?}

    AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} (côtés opposés du parallélogramme).

  2. b)

    AD→=B ?→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{B\;?}

    AD→=BC→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}.

  3. c)

    AB→+AD→=A ?→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A\;?} (règle du parallélogramme)

    AB→+AD→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC} (diagonale issue de AA).

    ▶\blacktriangleright Dans ABCDABCD pris dans l'ordre, les côtés opposés sont des vecteurs égaux : AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} et AD→=BC→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}.

Exercice 6

Circuits fermés. Un « tour complet » qui revient à son point de départ vaut le vecteur nul. Simplifier.

  1. a)

    AB→+BC→+CD→+DA→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}

    AB→+BC→+CD→+DA→=AA→=0⃗\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AA}=\vec0.

  2. b)

    MN→+NP→+PQ→+QM→\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QM}

    MN→+NP→+PQ→+QM→=MM→=0⃗\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QM}=\overrightarrow{MM}=\vec0.

  3. c)

    AB→+BC→+CD→+DE→+EA→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EA}

    AB→+BC→+CD→+DE→+EA→=AA→=0⃗\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{AA}=\vec0.

    ▶\blacktriangleright Dès qu'on revient au point de départ, la chaîne se referme : le résultat est 0⃗\vec0.

Exercice 7

Chasles à trous. Compléter la (les) lettre(s) manquante(s) pour que l'égalité soit vraie.

  1. a)

    A ?→+? C→=AC→\overrightarrow{A\;?}+\overrightarrow{?\,C}=\overrightarrow{AC} (insérer un point BB)

    AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} (la lettre insérée est BB).

  2. b)

    MP→=M ?→+? P→\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{M\;?}+\overrightarrow{?\,P} (insérer un point au choix)

    MP→=MN→+NP→\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP} (n'importe quel point convient, ici NN).

  3. c)

    AD→=AB→+B ?→+? D→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B\;?}+\overrightarrow{?\,D} (insérer CC)

    AD→=AB→+BC→+CD→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD} (la lettre insérée est CC).

  4. d)

    EG→=EF→+F ?→\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{F\,?}

    EG→=EF→+FG→\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG} (la lettre manquante est GG).

    ▶\blacktriangleright La lettre de sortie d'un vecteur doit être la lettre d'entrée du suivant.

Exercice 8

Opposés et vecteurs égaux. Compléter par un vecteur à lettres inversées ou égal, puis simplifier si demandé.

  1. a)

    AB→+?→=0⃗\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{?}=\vec0

    AB→+BA→=0⃗\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\vec0 : le vecteur cherché est BA→\overrightarrow{BA}.

  2. b)

    −CD→=?→-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{?}

    −CD→=DC→-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DC}.

  3. c)

    Si AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}, exprimer BA→\overrightarrow{BA} en fonction de CD→\overrightarrow{CD}.

    BA→=−AB→=−DC→=CD→\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CD}, donc BA→=CD→\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}.

  4. d)

    PQ→−RQ→\overrightarrow{PQ}-\overrightarrow{RQ} : réécrire la soustraction en PQ→+?→\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{?}, puis simplifier.

    −RQ→=QR→-\overrightarrow{RQ}=\overrightarrow{QR}, donc PQ→−RQ→=PQ→+QR→=PR→\overrightarrow{PQ}-\overrightarrow{RQ}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}.

    ▶\blacktriangleright Inverser les deux lettres d'un vecteur, c'est prendre son opposé.

Exercice 9

Vrai ou faux ? Justifier brièvement.

  1. a)

    AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.

    Vrai : c'est la relation de Chasles (BB commune, bien placée).

  2. b)

    AB→+CD→=AD→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}.

    Faux : B≠CB\neq C, les vecteurs ne se touchent pas, la somme ne se simplifie pas ainsi.

  3. c)

    AB→−AC→=BC→\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}.

    Faux : AB→−AC→=AB→+CA→=CB→\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}, et non BC→\overrightarrow{BC}.

  4. d)

    AB→=−BA→\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}.

    Vrai : échanger les lettres change le signe.

    ▶\blacktriangleright Chasles n'agit que si extrémité de l'un == origine de l'autre.

Exercice 10

Une soustraction à transformer. Simplifier chaque expression en un seul vecteur.

  1. a)

    AC→−BC→\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}

    AC→−BC→=AC→+CB→=AB→\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}.

  2. b)

    AD→−BD→\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BD}

    AD→−BD→=AD→+DB→=AB→\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}.

  3. c)

    MP→−NP→\overrightarrow{MP}-\overrightarrow{NP}

    MP→−NP→=MP→+PN→=MN→\overrightarrow{MP}-\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{MN}.

    ▶\blacktriangleright Règle : lorsque les deux vecteurs ont la même extrémité, XZ→−YZ→=XY→\overrightarrow{XZ}-\overrightarrow{YZ}=\overrightarrow{XY}.

Exercice 11

Milieu : premières égalités. II est le milieu du segment [AB][AB].

  1. a)

    Comparer AI→\overrightarrow{AI} et IB→\overrightarrow{IB}.

    AI→=IB→\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB} : même direction, même sens, même longueur (le milieu partage [AB][AB] en deux).

  2. b)

    Que vaut AI→+IB→\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB} ?

    AI→+IB→=AB→\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{AB}.

  3. c)

    Que vaut IA→+IB→\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB} ?

    IA→+IB→=0⃗\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec0 : IA→\overrightarrow{IA} et IB→\overrightarrow{IB} sont opposés.

    ▶\blacktriangleright Attention à ne pas confondre AI→+IB→=AB→\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{AB} et IA→+IB→=0⃗\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec0.

Exercice 12

Vecteurs égaux et parallélogramme. On donne quatre points A,B,C,DA,B,C,D tels que AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.

  1. a)

    Quelle est la nature du quadrilatère ABCDABCD ?

    ABCDABCD est un parallélogramme : les côtés opposés [AB][AB] et [DC][DC] portent des vecteurs égaux, donc sont parallèles et de même longueur.

  2. b)

    En déduire une égalité entre AD→\overrightarrow{AD} et BC→\overrightarrow{BC}.

    AD→=BC→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC} (l'autre paire de côtés opposés).

  3. c)

    Que vaut AB→−DC→\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC} ?

    AB→−DC→=0⃗\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=\vec0 (puisque AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}).

    ▶\blacktriangleright AB→=DC→ ⟺ ABCD\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff ABCD parallélogramme (sommets pris dans l'ordre).

Exercice 13

Chaînes mixtes. Transformer d'abord l'unique soustraction, puis simplifier en un seul vecteur.

  1. a)

    AB→+BC→−DC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DC}

    −DC→=CD→-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CD} : AB→+BC→+CD→=AD→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}.

  2. b)

    AB→−CB→+CD→\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}

    −CB→=BC→-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BC} : AB→+BC→+CD→=AD→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}.

  3. c)

    AC→−BC→+BD→\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}

    −BC→=CB→-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CB} : AC→+CB→+BD→=AB→+BD→=AD→\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}.

    ▶\blacktriangleright On commence toujours par transformer la soustraction, ensuite Chasles s'applique.

Exercice 14

Lecture d'un parallélogramme. ABCDABCD est un parallélogramme de centre OO (point d'intersection des diagonales).

  1. a)

    Citer un côté du parallélogramme donnant un vecteur égal à AB→\overrightarrow{AB}.

    AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} (côté opposé).

  2. b)

    Que vaut AO→+OC→\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC} ?

    AO→+OC→=AC→\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AC}.

  3. c)

    Comparer AO→\overrightarrow{AO} et OC→\overrightarrow{OC}. Que représente alors OO pour le segment [AC][AC] ?

    AO→=OC→\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}, donc OO est le milieu de [AC][AC] : les diagonales se coupent en leur milieu.

    ▶\blacktriangleright Le centre d'un parallélogramme est le milieu commun des deux diagonales.

Exercice 15

Mise en situation : déplacements d'un randonneur. Un randonneur part de AA, marche jusqu'à BB, puis jusqu'à CC, enfin jusqu'à DD.

  1. a)

    Quel vecteur représente son déplacement total (du départ à l'arrivée) ?

    AB→+BC→+CD→=AD→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD} : seuls comptent le départ AA et l'arrivée DD.

  2. b)

    S'il revient ensuite directement en AA, que vaut le déplacement total du parcours entier ?

    AB→+BC→+CD→+DA→=AA→=0⃗\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AA}=\vec0 : le parcours se referme.

  3. c)

    Soit II le milieu de l'étape [BC][BC]. Quel vecteur représente le chemin qu'il lui reste pour atteindre CC depuis II ?

    II milieu de [BC][BC], donc le chemin restant est IC→=12BC→\overrightarrow{IC}=\dfrac12\overrightarrow{BC}.

    ▶\blacktriangleright Une somme de déplacements « bout à bout » ne retient que l'origine du premier et l'extrémité du dernier.

Moyen15 exercices
Exercice 1

Simplifier en un seul vecteur.

  1. a)

    AB→+CD→+BC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}

    On réordonne : AB→+BC→+CD→=AD→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}.

  2. b)

    AB→−AC→\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}

    AB→−AC→=AB→+CA→=CA→+AB→=CB→\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}.

  3. c)

    AB→+BC→−DC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DC}

    −DC→=CD→-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CD}, donc AB→+BC→+CD→=AD→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}.

  4. d)

    OA→−OB→\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}

    OA→−OB→=OA→+BO→=BO→+OA→=BA→\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BA}.

    ▶\blacktriangleright Règle express : XA→−XB→=BA→\overrightarrow{XA}-\overrightarrow{XB}=\overrightarrow{BA} (origine commune XX éliminée). Ex. b) et d).

Exercice 2

Introduire un point OO. Soit OO un point quelconque du plan. Exprimer les vecteurs suivants uniquement à l'aide de OA→\overrightarrow{OA}, OB→\overrightarrow{OB} et OC→\overrightarrow{OC}.

  1. a)

    AB→\overrightarrow{AB}

    AB→=AO→+OB→=OB→−OA→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}.

  2. b)

    CA→\overrightarrow{CA}

    CA→=OA→−OC→\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}.

  3. c)

    AB→+BC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}

    AB→+BC→=AC→=OC→−OA→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}.

    ▶\blacktriangleright Tout vecteur XY→\overrightarrow{XY} s'écrit OY→−OX→\overrightarrow{OY}-\overrightarrow{OX} : c'est le passage aux vecteurs position depuis l'origine OO.

Exercice 3

Milieu. II est le milieu du segment [AB][AB].

  1. a)

    Exprimer AI→\overrightarrow{AI} en fonction de AB→\overrightarrow{AB}.

    II milieu de [AB][AB] : AI→=12 AB→\overrightarrow{AI}=\dfrac12\,\overrightarrow{AB}.

  2. b)

    Que vaut IA→+IB→\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB} ? Justifier.

    IA→+IB→=0⃗\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec0 : comme II est le milieu, IA→\overrightarrow{IA} et IB→\overrightarrow{IB} sont opposés (même longueur, sens contraires).

  3. c)

    Montrer que, pour tout point OO, OI→=12(OA→+OB→)\overrightarrow{OI}=\dfrac12\bigl(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\bigr).

    OI→=OA→+AI→=OA→+12AB→=OA→+12(OB→−OA→)=12OA→+12OB→=12(OA→+OB→)\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{OA}+\dfrac12\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OA}+\dfrac12(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}) =\dfrac12\overrightarrow{OA}+\dfrac12\overrightarrow{OB}=\dfrac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}).

    ▶\blacktriangleright La formule OI→=12(OA→+OB→)\overrightarrow{OI}=\frac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}) traduit « le milieu est la moyenne des deux points ».

Exercice 4

Diagonales d'un parallélogramme. ABCDABCD est un parallélogramme. On pose u⃗=AB→\vec u=\overrightarrow{AB} et v⃗=AD→\vec v=\overrightarrow{AD}.

  1. a)

    Exprimer la diagonale AC→\overrightarrow{AC} en fonction de u⃗\vec u et v⃗\vec v.

    AC→=AB→+AD→=u⃗+v⃗\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\vec u+\vec v (règle du parallélogramme).

  2. b)

    Exprimer la diagonale BD→\overrightarrow{BD} en fonction de u⃗\vec u et v⃗\vec v.

    BD→=BA→+AD→=−AB→+AD→=v⃗−u⃗\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\vec v-\vec u.

    ▶\blacktriangleright Une diagonale est la somme des côtés issus du même sommet, l'autre en est la différence.

Exercice 5

Combinaison linéaire avec un milieu. ABCDABCD est un parallélogramme et II est le milieu du côté [BC][BC]. On pose u⃗=AB→\vec u=\overrightarrow{AB} et v⃗=AD→\vec v=\overrightarrow{AD}.

  1. a)

    Exprimer BI→\overrightarrow{BI} en fonction de v⃗\vec v.

    II milieu de [BC][BC] : BI→=12BC→\overrightarrow{BI}=\dfrac12\overrightarrow{BC}. Or BC→=AD→=v⃗\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec v (côtés opposés), donc BI→=12v⃗\overrightarrow{BI}=\dfrac12\vec v.

  2. b)

    En déduire AI→\overrightarrow{AI} comme combinaison linéaire de u⃗\vec u et v⃗\vec v.

    AI→=AB→+BI→=u⃗+12v⃗\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}=\vec u+\dfrac12\vec v.

    ▶\blacktriangleright On décompose le trajet A→IA\to I en A→BA\to B puis B→IB\to I, puis on remplace chaque morceau par u⃗\vec u ou v⃗\vec v.

Exercice 6

Simplifier des chaînes mixtes. Transformer les soustractions, réordonner, puis conclure en un seul vecteur.

  1. a)

    AB→−CB→+CD→\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}

    −CB→=BC→-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BC} : AB→+BC→+CD→=AD→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}.

  2. b)

    AD→−BD→+BC→\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}

    −BD→=DB→-\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DB} : AD→+DB→+BC→=AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.

  3. c)

    AB→+CA→+BC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}

    On réordonne : CA→+AB→+BC→=CB→+BC→=CC→=0⃗\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CC}=\vec0.

  4. d)

    AC→−AB→−DC→\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}

    AC→−AB→=BC→\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC} (origine commune AA), puis −DC→=CD→-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CD} : BC→+CD→=BD→\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BD}.

    ▶\blacktriangleright On transforme toujours les soustractions avant de chercher les enchaînements.

Exercice 7

Une identité de Chasles. A,B,C,DA,B,C,D sont quatre points quelconques.

  1. a)

    Démontrer que AB→+CD→=AD→+CB→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}. (Indication : insérer un point dans un des vecteurs.)

    AB→+CD→=(AD→+DB→)+(CB→+BD→)=AD→+CB→+(DB→+BD→)=AD→+CB→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB})+(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD})=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}) =\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}.

  2. b)

    En déduire que AB→−AD→\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD} et CB→−CD→\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD} sont égaux ; à quel vecteur ?

    En réarrangeant a) : AB→−AD→=CB→−CD→\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}. Chacun vaut DB→\overrightarrow{DB} (règle de l'origine commune : XB→−XD→=DB→\overrightarrow{XB}-\overrightarrow{XD}=\overrightarrow{DB}).

  3. c)

    Retrouver l'identité de a) à l'aide des vecteurs position depuis un point OO.

    AB→+CD→=(OB→−OA→)+(OD→−OC→)\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})+(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}) et AD→+CB→=(OD→−OA→)+(OB→−OC→)\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA})+(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}) : les deux valent OB→+OD→−OA→−OC→\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}, donc sont égaux.

    ▶\blacktriangleright Cette identité dit simplement que AB→+CD→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD} ne dépend que des « deux entrées » et des « deux sorties ».

Exercice 8

Point aux deux tiers. PP est le point défini par AP→=23AB→\overrightarrow{AP}=\dfrac23\overrightarrow{AB}.

  1. a)

    Exprimer OP→\overrightarrow{OP} en fonction de OA→\overrightarrow{OA} et OB→\overrightarrow{OB}, pour un point OO quelconque.

    OP→=OA→+AP→=OA→+23AB→=OA→+23(OB→−OA→)=13OA→+23OB→\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OA}+\dfrac23\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OA}+\dfrac23(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}) =\dfrac13\overrightarrow{OA}+\dfrac23\overrightarrow{OB}.

  2. b)

    Exprimer CP→\overrightarrow{CP} en fonction de CA→\overrightarrow{CA} et CB→\overrightarrow{CB}, pour un point CC quelconque.

    CP→=CA→+AP→=CA→+23(CB→−CA→)=13CA→+23CB→\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{CA}+\dfrac23(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA})=\dfrac13\overrightarrow{CA}+\dfrac23\overrightarrow{CB}.

  3. c)

    Où se situe PP sur le segment [AB][AB] ?

    PP est situé aux deux tiers de [AB][AB] à partir de AA.

    ▶\blacktriangleright Les coefficients 13\frac13 et 23\frac23 sont les « poids » de AA et BB ; leur somme vaut 11.

Exercice 9

Point défini par une combinaison. ABCDABCD est un parallélogramme ; on pose u⃗=AB→\vec u=\overrightarrow{AB} et v⃗=AD→\vec v=\overrightarrow{AD}. Le point EE est défini par AE→=2u⃗+3v⃗\overrightarrow{AE}=2\vec u+3\vec v.

  1. a)

    Exprimer BE→\overrightarrow{BE} dans la base (u⃗,v⃗)(\vec u,\vec v).

    BE→=AE→−AB→=2u⃗+3v⃗−u⃗=u⃗+3v⃗\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=2\vec u+3\vec v-\vec u=\vec u+3\vec v.

  2. b)

    Exprimer DE→\overrightarrow{DE} dans la base (u⃗,v⃗)(\vec u,\vec v).

    DE→=AE→−AD→=2u⃗+3v⃗−v⃗=2u⃗+2v⃗\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=2\vec u+3\vec v-\vec v=2\vec u+2\vec v.

  3. c)

    Montrer que DE→=2AC→\overrightarrow{DE}=2\overrightarrow{AC}. Qu'en déduit-on pour les droites (DE)(DE) et (AC)(AC) ?

    AC→=AB→+AD→=u⃗+v⃗\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\vec u+\vec v, donc 2AC→=2u⃗+2v⃗=DE→2\overrightarrow{AC}=2\vec u+2\vec v=\overrightarrow{DE} : les droites (DE)(DE) et (AC)(AC) sont parallèles.

    ▶\blacktriangleright Pour un point donné par AE→=αu⃗+βv⃗\overrightarrow{AE}=\alpha\vec u+\beta\vec v, on obtient XE→\overrightarrow{XE} en soustrayant AX→\overrightarrow{AX}.

Exercice 10

Droite des milieux. ABCABC est un triangle. MM est le milieu de [AB][AB] et NN celui de [AC][AC].

  1. a)

    Exprimer AM→\overrightarrow{AM} et AN→\overrightarrow{AN} en fonction de AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.

    AM→=12AB→\overrightarrow{AM}=\dfrac12\overrightarrow{AB} et AN→=12AC→\overrightarrow{AN}=\dfrac12\overrightarrow{AC}.

  2. b)

    En déduire MN→\overrightarrow{MN} en fonction de AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.

    MN→=AN→−AM→=12(AC→−AB→)\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\dfrac12(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}).

  3. c)

    Montrer que MN→=12BC→\overrightarrow{MN}=\dfrac12\overrightarrow{BC}. Qu'en déduit-on pour (MN)(MN) et (BC)(BC) ?

    AC→−AB→=BC→\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}, donc MN→=12BC→\overrightarrow{MN}=\dfrac12\overrightarrow{BC} : (MN)∥(BC)(MN)\parallel(BC) et MN=12BCMN=\dfrac12 BC.

    ▶\blacktriangleright C'est le théorème de la droite des milieux, lu vectoriellement.

Exercice 11

Chasles et coordonnées. Dans un repère orthonormé : A(−1;2)A(-1;2), B(3;−1)B(3;-1), C(4;5)C(4;5).

  1. a)

    Déterminer les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} et de BC→\overrightarrow{BC}.

    AB→=(3−(−1) ; −1−2)=(4;−3)\overrightarrow{AB}=(3-(-1)\,;\,-1-2)=(4;-3) et BC→=(4−3 ; 5−(−1))=(1;6)\overrightarrow{BC}=(4-3\,;\,5-(-1))=(1;6).

  2. b)

    Calculer les coordonnées de AB→+BC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}, puis celles de AC→\overrightarrow{AC}. Que constate-t-on ?

    AB→+BC→=(5;3)\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=(5;3) ; AC→=(4−(−1) ; 5−2)=(5;3)\overrightarrow{AC}=(4-(-1)\,;\,5-2)=(5;3) : mêmes coordonnées.

  3. c)

    Justifier l'égalité observée par la relation de Chasles.

    AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} (Chasles), les vecteurs sont donc égaux et ont les mêmes coordonnées.

    ▶\blacktriangleright Chasles se lit aussi « composante par composante » : c'est la cohérence des deux points de vue.

Exercice 12

Les diagonales se coupent en leur milieu. ABCDABCD est un parallélogramme ; on pose u⃗=AB→\vec u=\overrightarrow{AB} et v⃗=AD→\vec v=\overrightarrow{AD}. On note II le milieu de [AC][AC] et JJ le milieu de [BD][BD].

  1. a)

    Exprimer AI→\overrightarrow{AI} dans la base (u⃗,v⃗)(\vec u,\vec v).

    AI→=12AC→=12(u⃗+v⃗)\overrightarrow{AI}=\dfrac12\overrightarrow{AC}=\dfrac12(\vec u+\vec v).

  2. b)

    Exprimer AJ→\overrightarrow{AJ} dans la base (u⃗,v⃗)(\vec u,\vec v). (On rappelle BD→=v⃗−u⃗\overrightarrow{BD}=\vec v-\vec u.)

    AJ→=AB→+BJ→=u⃗+12BD→=u⃗+12(v⃗−u⃗)=12u⃗+12v⃗=12(u⃗+v⃗)\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BJ}=\vec u+\dfrac12\overrightarrow{BD}=\vec u+\dfrac12(\vec v-\vec u) =\dfrac12\vec u+\dfrac12\vec v=\dfrac12(\vec u+\vec v).

  3. c)

    En déduire que I=JI=J.

    AI→=AJ→\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AJ}, donc I=JI=J : les deux diagonales ont le même milieu.

    ▶\blacktriangleright C'est la caractérisation vectorielle du parallélogramme par ses diagonales.

Exercice 13

Point au quart. ABCABC est un triangle ; on pose u⃗=AB→\vec u=\overrightarrow{AB} et v⃗=AC→\vec v=\overrightarrow{AC}. PP est le point de [BC][BC] tel que BP→=14BC→\overrightarrow{BP}=\dfrac14\overrightarrow{BC}.

  1. a)

    Exprimer BC→\overrightarrow{BC} dans la base (u⃗,v⃗)(\vec u,\vec v).

    BC→=AC→−AB→=v⃗−u⃗\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\vec v-\vec u.

  2. b)

    En déduire BP→\overrightarrow{BP}.

    BP→=14BC→=14(v⃗−u⃗)\overrightarrow{BP}=\dfrac14\overrightarrow{BC}=\dfrac14(\vec v-\vec u).

  3. c)

    Exprimer AP→\overrightarrow{AP} dans la base (u⃗,v⃗)(\vec u,\vec v).

    AP→=AB→+BP→=u⃗+14(v⃗−u⃗)=34u⃗+14v⃗\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}=\vec u+\dfrac14(\vec v-\vec u)=\dfrac34\vec u+\dfrac14\vec v.

    ▶\blacktriangleright Un point du segment [BC][BC] s'écrit toujours AP→=(1−t)u⃗+tv⃗\overrightarrow{AP}=(1-t)\vec u+t\vec v avec ici t=14t=\frac14.

Exercice 14

Poids d'un point. AA, BB, CC sont trois points et II le point défini par AI→=34AB→\overrightarrow{AI}=\dfrac34\overrightarrow{AB}.

  1. a)

    Exprimer AB→\overrightarrow{AB} en fonction de CA→\overrightarrow{CA} et CB→\overrightarrow{CB}.

    AB→=CB→−CA→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}.

  2. b)

    Exprimer CI→\overrightarrow{CI} en fonction de CA→\overrightarrow{CA} et AB→\overrightarrow{AB}.

    CI→=CA→+AI→=CA→+34AB→\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{CA}+\dfrac34\overrightarrow{AB}.

  3. c)

    En déduire que CI→=14CA→+34CB→\overrightarrow{CI}=\dfrac14\overrightarrow{CA}+\dfrac34\overrightarrow{CB}.

    CI→=CA→+34(CB→−CA→)=14CA→+34CB→\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CA}+\dfrac34(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA})=\dfrac14\overrightarrow{CA}+\dfrac34\overrightarrow{CB}.

    ▶\blacktriangleright Les poids 14\frac14 et 34\frac34 traduisent que II est « aux trois quarts » de AA vers BB.

Exercice 15

Relation de la médiane. ABCABC est un triangle et II le milieu de [BC][BC].

  1. a)

    En écrivant AB→=AI→+IB→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB} et AC→=AI→+IC→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}, montrer que AB→+AC→=2AI→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}.

    En additionnant : AB→+AC→=2AI→+(IB→+IC→)\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}+(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}). Comme II est le milieu de [BC][BC], IB→+IC→=0⃗\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\vec0, d'où AB→+AC→=2AI→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}.

  2. b)

    Montrer que, pour tout point MM, MB→+MC→=2MI→\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}.

    De même, MB→+MC→=(MI→+IB→)+(MI→+IC→)=2MI→+(IB→+IC→)=2MI→\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})=2\overrightarrow{MI}+(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC})=2\overrightarrow{MI}.

  3. c)

    Retrouver que IB→+IC→=0⃗\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\vec0.

    En prenant M=IM=I dans b) : IB→+IC→=2II→=0⃗\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{II}=\vec0.

    ▶\blacktriangleright La relation MB→+MC→=2MI→\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI} est le point de départ des calculs de médianes et de barycentres.

Difficile13 exercices
Exercice 1

Chaîne de vecteurs sur une grille. On considère la grille de points ci-dessous : les points du haut sont A,B,C,DA,B,C,D et ceux du bas E,F,G,HE,F,G,H, régulièrement espacés. On rappelle que deux « flèches » parallèles, de même longueur et de même sens sont équipollentes (elles représentent le même vecteur).

On pose w⃗=AB→+BF→+FG→−EF→\vec w=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FG}-\overrightarrow{EF}.

  1. a)

    Justifier que FG→=EF→\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{EF} (équipollence sur la rangée du bas). Que vaut alors FG→−EF→\overrightarrow{FG}-\overrightarrow{EF} ?

    Sur la rangée du bas, EF→\overrightarrow{EF} et FG→\overrightarrow{FG} sont deux « pas » d'une case vers la droite : même direction, même sens, même longueur, donc FG→=EF→\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{EF}. Par conséquent FG→−EF→=0⃗\overrightarrow{FG}-\overrightarrow{EF}=\vec0.

  2. b)

    Simplifier AB→+BF→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF} par la relation de Chasles.

    AB→+BF→=AF→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AF} (Chasles : la lettre BB s'efface).

  3. c)

    En déduire w⃗\vec w sous la forme d'un unique vecteur XY→\overrightarrow{XY} de la grille.

    Il reste w⃗=AF→+0⃗=AF→\vec w=\overrightarrow{AF}+\vec0=\boxed{\overrightarrow{AF}}.

    ▶\blacktriangleright On repère d'abord les termes qui se compensent grâce à l'équipollence, puis on enchaîne le reste par Chasles.

Exercice 2

Combinaison linéaire dans un parallélogramme (type concours). PQRSPQRS est un parallélogramme (sommets dans l'ordre). On note MM le milieu de [PS][PS] et NN le milieu de [PQ][PQ].

  1. a)

    Exprimer MN→\overrightarrow{MN} en fonction de PQ→\overrightarrow{PQ} et PS→\overrightarrow{PS}. (Indication : passer par PP : MN→=MP→+PN→\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PN}.)

    MN→=MP→+PN→\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PN}. Comme MM est le milieu de [PS][PS], MP→=−12PS→\overrightarrow{MP}=-\dfrac12\overrightarrow{PS} ; comme NN est le milieu de [PQ][PQ], PN→=12PQ→\overrightarrow{PN}=\dfrac12\overrightarrow{PQ}. Donc

    MN→=12PQ→−12PS→.\overrightarrow{MN}=\dfrac12\overrightarrow{PQ}-\dfrac12\overrightarrow{PS}.
  2. b)

    Justifier que PQ→=−RS→\overrightarrow{PQ}=-\overrightarrow{RS} (côtés opposés du parallélogramme).

    Dans le parallélogramme PQRSPQRS, les côtés [PQ][PQ] et [RS][RS] sont opposés et parcourus en sens contraires, donc PQ→=−RS→\overrightarrow{PQ}=-\overrightarrow{RS}.

  3. c)

    En déduire l'expression de 2 MN→2\,\overrightarrow{MN} comme combinaison linéaire de PS→\overrightarrow{PS} et RS→\overrightarrow{RS}.

    2 MN→=PQ→−PS→=−RS→−PS→2\,\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PQ}-\overrightarrow{PS}=-\overrightarrow{RS}-\overrightarrow{PS}, soit

     2 MN→=−PS→−RS→ .\boxed{\,2\,\overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{PS}-\overrightarrow{RS}\,}.

    ▶\blacktriangleright C'est exactement le mécanisme d'une question de concours : décomposer via un sommet commun (PP), puis remplacer PQ→\overrightarrow{PQ} à l'aide des côtés opposés.

Exercice 3

Quatrième sommet et centre d'un parallélogramme. Dans un repère orthonormé, on donne A (1;2)A\,(1;2), B (5;3)B\,(5;3) et C (6;7)C\,(6;7). On veut compléter le parallélogramme ABCDABCD (sommets dans l'ordre).

  1. a)

    Traduire la condition « ABCDABCD parallélogramme » par une égalité vectorielle reliant AB→\overrightarrow{AB} et DC→\overrightarrow{DC}, puis en déduire les coordonnées de DD.

    ABCDABCD parallélogramme ⟺ AB→=DC→\iff \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}. Or AB→ (5−1;3−2)=(4;1)\overrightarrow{AB}\,(5-1;3-2)=(4;1) et DC→=(6−xD ; 7−yD)\overrightarrow{DC}=(6-x_D\,;\,7-y_D). L'égalité donne 6−xD=46-x_D=4 et 7−yD=17-y_D=1, d'où xD=2x_D=2, yD=6y_D=6 : D (2;6)\boxed{D\,(2;6)}.

  2. b)

    Vérifier le résultat en contrôlant que AD→=BC→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}.

    AD→ (2−1;6−2)=(1;4)\overrightarrow{AD}\,(2-1;6-2)=(1;4) et BC→ (6−5;7−3)=(1;4)\overrightarrow{BC}\,(6-5;7-3)=(1;4) : on a bien AD→=BC→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}. Le quadrilatère est un parallélogramme.

  3. c)

    Déterminer les coordonnées du centre II du parallélogramme (point d'intersection des diagonales).

    Le centre II est le milieu commun des deux diagonales. Milieu de [AC][AC] : I(1+62;2+72)=(72;92)=(3,5 ; 4,5)I\Bigl(\dfrac{1+6}{2};\dfrac{2+7}{2}\Bigr)=\Bigl(\dfrac72;\dfrac92\Bigr)=(3{,}5\,;\,4{,}5). (Vérification par [BD][BD] : (5+22;3+62)=(3,5;4,5)\bigl(\frac{5+2}{2};\frac{3+6}{2}\bigr)=(3{,}5;4{,}5).)

    ▶\blacktriangleright Traduire une propriété géométrique (parallélogramme) par une égalité vectorielle, puis passer aux coordonnées : c'est le pont entre le Thème 1 et le Thème 2.

Exercice 4

Centre de gravité d'un triangle. ABCABC est un triangle. Son centre de gravité GG est le point défini par GA→+GB→+GC→=0⃗\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec0.

  1. a)

    Montrer que, pour tout point OO, OG→=13(OA→+OB→+OC→)\overrightarrow{OG}=\dfrac13\bigl(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\bigr).

    On insère OO dans chaque terme : GX→=GO→+OX→\overrightarrow{GX}=\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OX}. La relation GA→+GB→+GC→=0⃗\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec0 devient 3GO→+(OA→+OB→+OC→)=0⃗3\overrightarrow{GO}+(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\vec0, d'où

    OG→=−GO→=13(OA→+OB→+OC→).\overrightarrow{OG}=-\overrightarrow{GO}=\dfrac13(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}).
  2. b)

    En prenant O=AO=A et en notant II le milieu de [BC][BC], montrer que AG→=23AI→\overrightarrow{AG}=\dfrac23\overrightarrow{AI}.

    Avec O=AO=A : AG→=13(AA→+AB→+AC→)=13(AB→+AC→)\overrightarrow{AG}=\dfrac13(\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\dfrac13(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}). Or, II étant le milieu de [BC][BC], AB→+AC→=2AI→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI} ; donc AG→=23AI→\overrightarrow{AG}=\dfrac23\overrightarrow{AI} : GG est sur la médiane [AI][AI], aux deux tiers à partir de AA.

  3. c)

    On donne A(0;0)A(0;0), B(6;0)B(6;0), C(3;6)C(3;6). Calculer les coordonnées de GG.

    G=13((0;0)+(6;0)+(3;6))=13(9;6)=(3;2)G=\dfrac13\bigl((0;0)+(6;0)+(3;6)\bigr)=\dfrac13(9;6)=(3;2).

    ▶\blacktriangleright La formule OG→=13(OA→+OB→+OC→)\overrightarrow{OG}=\frac13(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}) est l'isobarycentre : « moyenne des trois points ».

Exercice 5

Théorème de Varignon. ABCDABCD est un quadrilatère quelconque. On note P,Q,R,SP,Q,R,S les milieux respectifs des côtés [AB],[BC],[CD],[DA][AB],[BC],[CD],[DA].

  1. a)

    Montrer que PQ→=12AC→\overrightarrow{PQ}=\dfrac12\overrightarrow{AC}. (Indication : PQ→=PB→+BQ→\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BQ}.)

    PQ→=PB→+BQ→=12AB→+12BC→=12(AB→+BC→)=12AC→\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BQ}=\dfrac12\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{BC}=\dfrac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=\dfrac12\overrightarrow{AC}.

  2. b)

    Montrer de même que SR→=12AC→\overrightarrow{SR}=\dfrac12\overrightarrow{AC}.

    SR→=SD→+DR→=12AD→+12DC→=12(AD→+DC→)=12AC→\overrightarrow{SR}=\overrightarrow{SD}+\overrightarrow{DR}=\dfrac12\overrightarrow{AD}+\dfrac12\overrightarrow{DC}=\dfrac12(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC})=\dfrac12\overrightarrow{AC}.

  3. c)

    En déduire que PQRSPQRS est un parallélogramme.

    PQ→=SR→\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{SR} : un côté est égal (même direction, même longueur, même sens) à son opposé, donc PQRSPQRS est un parallélogramme.

    ▶\blacktriangleright Les milieux des côtés d'un quadrilatère quelconque forment toujours un parallélogramme (dont les côtés sont parallèles aux diagonales [AC][AC] et [BD][BD]).

Exercice 6

Une longue chaîne à démêler. On considère s⃗=AB→+BC→−DC→+DE→−FE→+FA→\vec s=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{FA}.

  1. a)

    Transformer chaque soustraction à l'aide de −XY→=YX→-\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{YX}.

    −DC→=CD→-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CD} et −FE→=EF→-\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{EF}, donc s⃗=AB→+BC→+CD→+DE→+EF→+FA→\vec s=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FA}.

  2. b)

    Réordonner les six termes pour former une chaîne « bout à bout ».

    Les termes forment la chaîne A→B→C→D→E→F→AA\to B\to C\to D\to E\to F\to A.

  3. c)

    Conclure la valeur de s⃗\vec s.

    C'est un circuit fermé : s⃗=AA→=0⃗\vec s=\overrightarrow{AA}=\vec0.

    ▶\blacktriangleright Une somme dont les lettres s'enchaînent et reviennent au départ est nulle, quel que soit le nombre de termes.

Exercice 7

Décomposition dans une base (grille oblique). Sur la grille oblique ci-dessous, tous les déplacements d'un nœud à l'autre s'expriment à l'aide de u⃗=AB→\vec u=\overrightarrow{AB} et v⃗=AD→\vec v=\overrightarrow{AD}.

  1. a)

    Exprimer AM→\overrightarrow{AM} et AN→\overrightarrow{AN} dans la base (u⃗,v⃗)(\vec u,\vec v).

    En lisant la grille : AM→=2u⃗+v⃗\overrightarrow{AM}=2\vec u+\vec v et AN→=3u⃗+2v⃗\overrightarrow{AN}=3\vec u+2\vec v.

  2. b)

    En déduire BM→\overrightarrow{BM}.

    BM→=AM→−AB→=(2u⃗+v⃗)−u⃗=u⃗+v⃗\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}=(2\vec u+\vec v)-\vec u=\vec u+\vec v.

  3. c)

    Calculer MN→\overrightarrow{MN} et montrer que MM est le milieu de [BN][BN].

    MN→=AN→−AM→=(3u⃗+2v⃗)−(2u⃗+v⃗)=u⃗+v⃗\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=(3\vec u+2\vec v)-(2\vec u+\vec v)=\vec u+\vec v. Ainsi BM→=MN→\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MN} : MM est le milieu de [BN][BN].

    ▶\blacktriangleright Dans une base (u⃗,v⃗)(\vec u,\vec v), comparer deux vecteurs revient à comparer leurs coefficients.

Exercice 8

Point à coefficients (barycentre). AA et BB sont deux points ; II est le point défini par 2IA→+3IB→=0⃗2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\vec0.

  1. a)

    Montrer que AI→=35AB→\overrightarrow{AI}=\dfrac35\overrightarrow{AB}.

    IB→=IA→+AB→\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}, donc 2IA→+3IB→=5IA→+3AB→=0⃗2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=5\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{AB}=\vec0, d'où IA→=−35AB→\overrightarrow{IA}=-\dfrac35\overrightarrow{AB}, soit AI→=35AB→\overrightarrow{AI}=\dfrac35\overrightarrow{AB}.

  2. b)

    Montrer que, pour tout point OO, OI→=25OA→+35OB→\overrightarrow{OI}=\dfrac25\overrightarrow{OA}+\dfrac35\overrightarrow{OB}.

    2IA→+3IB→=0⃗2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\vec0 donne 2(OA→−OI→)+3(OB→−OI→)=0⃗2(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OI})+3(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OI})=\vec0, donc 5OI→=2OA→+3OB→5\overrightarrow{OI}=2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}, soit OI→=25OA→+35OB→\overrightarrow{OI}=\dfrac25\overrightarrow{OA}+\dfrac35\overrightarrow{OB}.

  3. c)

    On donne A(1;2)A(1;2) et B(6;7)B(6;7). Calculer les coordonnées de II.

    I=15(2A+3B)=15((2;4)+(18;21))=15(20;25)=(4;5)I=\dfrac15(2A+3B)=\dfrac15\bigl((2;4)+(18;21)\bigr)=\dfrac15(20;25)=(4;5).

    ▶\blacktriangleright Les coefficients 25\frac25 et 35\frac35 (de somme 11) sont les poids normalisés 22 et 33.

Exercice 9

Hexagone régulier. ABCDEFABCDEF est un hexagone régulier de centre OO. On pose u⃗=OA→\vec u=\overrightarrow{OA} et v⃗=OB→\vec v=\overrightarrow{OB}.

  1. a)

    Justifier que OABCOABC est un losange, en déduire OC→=v⃗−u⃗\overrightarrow{OC}=\vec v-\vec u. Justifier aussi OD→=−u⃗\overrightarrow{OD}=-\vec u.

    Les triangles OABOAB et OBCOBC sont équilatéraux (leurs côtés valent le rayon), donc OABCOABC a ses quatre côtés égaux : c'est un losange. Sa diagonale issue de OO vaut la somme des côtés : OB→=OA→+OC→\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}, d'où OC→=OB→−OA→=v⃗−u⃗\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\vec v-\vec u. Comme DD est diamétralement opposé à AA, OD→=−OA→=−u⃗\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OA}=-\vec u.

  2. b)

    En déduire AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} dans la base (u⃗,v⃗)(\vec u,\vec v).

    AB→=OB→−OA→=v⃗−u⃗\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\vec v-\vec u ; AC→=OC→−OA→=(v⃗−u⃗)−u⃗=v⃗−2u⃗\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=(\vec v-\vec u)-\vec u=\vec v-2\vec u.

  3. c)

    Exprimer AD→\overrightarrow{AD} dans la base (u⃗,v⃗)(\vec u,\vec v), puis montrer que OO est le milieu de [AD][AD].

    AD→=OD→−OA→=−u⃗−u⃗=−2u⃗\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=-\vec u-\vec u=-2\vec u. De plus OD→=−u⃗=−OA→=AO→\overrightarrow{OD}=-\vec u=-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AO}, donc AO→=OD→\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OD} : OO est le milieu de [AD][AD].

    ▶\blacktriangleright La grande diagonale d'un hexagone régulier passe par le centre, qui en est le milieu.

Exercice 10

Le triangle des milieux. ABCABC est un triangle ; on pose u⃗=AB→\vec u=\overrightarrow{AB} et v⃗=AC→\vec v=\overrightarrow{AC}. MM, NN, PP sont les milieux respectifs de [AB][AB], [AC][AC], [BC][BC].

  1. a)

    Exprimer AM→\overrightarrow{AM}, AN→\overrightarrow{AN} et AP→\overrightarrow{AP} dans la base (u⃗,v⃗)(\vec u,\vec v).

    AM→=12u⃗\overrightarrow{AM}=\dfrac12\vec u ; AN→=12v⃗\overrightarrow{AN}=\dfrac12\vec v ; AP→=AB→+BP→=u⃗+12BC→=u⃗+12(v⃗−u⃗)=12u⃗+12v⃗\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}=\vec u+\dfrac12\overrightarrow{BC} =\vec u+\dfrac12(\vec v-\vec u)=\dfrac12\vec u+\dfrac12\vec v.

  2. b)

    Calculer MN→\overrightarrow{MN} et MP→\overrightarrow{MP} dans la base (u⃗,v⃗)(\vec u,\vec v).

    MN→=AN→−AM→=12(v⃗−u⃗)\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\dfrac12(\vec v-\vec u) ; MP→=AP→−AM→=12v⃗\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}=\dfrac12\vec v.

  3. c)

    Montrer que AP→=AM→+AN→\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN} et en déduire que AMPNAMPN est un parallélogramme.

    AM→+AN→=12u⃗+12v⃗=AP→\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\dfrac12\vec u+\dfrac12\vec v=\overrightarrow{AP}. La règle du parallélogramme donne alors : AMPNAMPN est un parallélogramme (de diagonale [AP][AP]). On le confirme par MP→=12v⃗=AN→\overrightarrow{MP}=\dfrac12\vec v=\overrightarrow{AN}.

    ▶\blacktriangleright Les milieux M,N,PM,N,P découpent le triangle en quatre triangles superposables ; AMPNAMPN en est un « pavé ».

Exercice 11

Combinaison en coordonnées. Dans un repère orthonormé : A(−2;1)A(-2;1), B(2;3)B(2;3), C(1;−2)C(1;-2).

  1. a)

    Déterminer les coordonnées du point MM défini par AM→=2AB→−AC→\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.

    AB→=(4;2)\overrightarrow{AB}=(4;2), AC→=(3;−3)\overrightarrow{AC}=(3;-3), donc 2AB→−AC→=(8−3 ; 4+3)=(5;7)2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=(8-3\,;\,4+3)=(5;7). Ainsi M=A+(5;7)=(3;8)M=A+(5;7)=(3;8).

  2. b)

    Montrer, par le calcul vectoriel puis par les coordonnées, que BM→=CB→\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{CB}. En déduire que BB est le milieu de [CM][CM].

    Vectoriellement : BM→=AM→−AB→=(2AB→−AC→)−AB→=AB→−AC→=CB→\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}=(2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}. Par les coordonnées : BM→=(3−2 ; 8−3)=(1;5)\overrightarrow{BM}=(3-2\,;\,8-3)=(1;5) et CB→=(2−1 ; 3−(−2))=(1;5)\overrightarrow{CB}=(2-1\,;\,3-(-2))=(1;5) : égaux. Comme CB→=BM→\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BM}, BB est le milieu de [CM][CM].

  3. c)

    Déterminer les coordonnées du point DD tel que ABDCABDC soit un parallélogramme.

    ABDCABDC parallélogramme ⟺ AB→=CD→\iff \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}, donc CD→=(4;2)\overrightarrow{CD}=(4;2) et D=C+(4;2)=(5;0)D=C+(4;2)=(5;0).

    ▶\blacktriangleright Une combinaison 2AB→−AC→2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} se calcule composante par composante ; l'interprétation géométrique vient ensuite.

Exercice 12

Un point défini par une relation. ABCABC est un triangle et GG son centre de gravité. On admet (cf. exercice 4) que, pour tout point MM, MA→+MB→+MC→=3MG→\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}.

  1. a)

    Pour A(0;0)A(0;0), B(6;0)B(6;0), C(3;6)C(3;6), donner les coordonnées de GG.

    G=13(0+6+3 ; 0+0+6)=(3;2)G=\dfrac13(0+6+3\,;\,0+0+6)=(3;2).

  2. b)

    On cherche le point MM vérifiant MA→+MB→+MC→=AB→\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}. Montrer que cette condition équivaut à GM→=−13AB→\overrightarrow{GM}=-\dfrac13\overrightarrow{AB}.

    MA→+MB→+MC→=3MG→\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}, donc l'égalité 3MG→=AB→3\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{AB} équivaut à MG→=13AB→\overrightarrow{MG}=\dfrac13\overrightarrow{AB}, c'est-à-dire GM→=−13AB→\overrightarrow{GM}=-\dfrac13\overrightarrow{AB}.

  3. c)

    En déduire les coordonnées de MM.

    AB→=(6;0)\overrightarrow{AB}=(6;0), donc GM→=−13(6;0)=(−2;0)\overrightarrow{GM}=-\dfrac13(6;0)=(-2;0) et M=G+(−2;0)=(1;2)M=G+(-2;0)=(1;2).

    ▶\blacktriangleright On ramène une équation vectorielle « à trois termes » à un seul point GG, puis on résout.

Exercice 13

Synthèse : combinaisons dans un parallélogramme. ABCDABCD est un parallélogramme ; on pose u⃗=AB→\vec u=\overrightarrow{AB} et v⃗=AD→\vec v=\overrightarrow{AD}. EE est le milieu de [CD][CD] et FF le point de [BC][BC] tel que BF→=13BC→\overrightarrow{BF}=\dfrac13\overrightarrow{BC}.

  1. a)

    Exprimer AE→\overrightarrow{AE} et AF→\overrightarrow{AF} dans la base (u⃗,v⃗)(\vec u,\vec v).

    AE→=AD→+DE→=v⃗+12DC→=v⃗+12u⃗\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=\vec v+\dfrac12\overrightarrow{DC}=\vec v+\dfrac12\vec u (car DC→=AB→=u⃗\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\vec u), soit AE→=12u⃗+v⃗\overrightarrow{AE}=\dfrac12\vec u+\vec v. De même AF→=AB→+BF→=u⃗+13BC→=u⃗+13v⃗\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\vec u+\dfrac13\overrightarrow{BC}=\vec u+\dfrac13\vec v (car BC→=AD→=v⃗\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec v).

  2. b)

    En déduire EF→\overrightarrow{EF} dans la base (u⃗,v⃗)(\vec u,\vec v).

    EF→=AF→−AE→=(u⃗+13v⃗)−(12u⃗+v⃗)=12u⃗−23v⃗\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}=\bigl(\vec u+\dfrac13\vec v\bigr)-\bigl(\dfrac12\vec u+\vec v\bigr) =\dfrac12\vec u-\dfrac23\vec v.

  3. c)

    Déterminer les réels α\alpha et β\beta tels que AF→=α AE→+β AC→\overrightarrow{AF}=\alpha\,\overrightarrow{AE}+\beta\,\overrightarrow{AC}.

    AC→=u⃗+v⃗\overrightarrow{AC}=\vec u+\vec v. On résout u⃗+13v⃗=α(12u⃗+v⃗)+β(u⃗+v⃗)\vec u+\dfrac13\vec v=\alpha\bigl(\dfrac12\vec u+\vec v\bigr)+\beta(\vec u+\vec v) :

    coeff. de u⃗: 12α+β=1,coeff. de v⃗: α+β=13.\text{coeff.\ de }\vec u:\ \tfrac12\alpha+\beta=1,\qquad \text{coeff.\ de }\vec v:\ \alpha+\beta=\tfrac13.

    Par différence, −12α=23-\dfrac12\alpha=\dfrac23, d'où α=−43\alpha=-\dfrac43 et β=13−α=53\beta=\dfrac13-\alpha=\dfrac53. Ainsi AF→=−43AE→+53AC→\overrightarrow{AF}=-\dfrac43\overrightarrow{AE}+\dfrac53\overrightarrow{AC}.

    ▶\blacktriangleright Décomposer dans une base (u⃗,v⃗)(\vec u,\vec v) transforme une égalité vectorielle en un système sur les coefficients : c'est le cœur des questions de concours.

Revoir le tutoriel de cette mécanique