Composantes et norme d'un vecteur

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Facile15 exercices

Exercice 1

Composantes « extrémité moins origine ». Dans un repère, on donne plusieurs couples de points. Calculer les composantes du vecteur demandé.

a)
$A\,(1;2)$ et $B\,(4;6)$ : composantes de $\overrightarrow{AB}$ .
$\overrightarrow{AB}\,(4-1\,;\,6-2)=(3;4)$ .
b)
$C\,(0;3)$ et $D\,(5;3)$ : composantes de $\overrightarrow{CD}$ .
$\overrightarrow{CD}\,(5-0\,;\,3-3)=(5;0)$ . (Vecteur horizontal.)
c)
$E\,(2;7)$ et $F\,(2;1)$ : composantes de $\overrightarrow{EF}$ .
$\overrightarrow{EF}\,(2-2\,;\,1-7)=(0;-6)$ . (Vecteur vertical, dirigé vers le bas.)
d)
$G\,(3;5)$ et $H\,(0;0)$ : composantes de $\overrightarrow{GH}$ .
$\overrightarrow{GH}\,(0-3\,;\,0-5)=(-3;-5)$ .
$\blacktriangleright$ On applique partout « extrémité moins origine ».

Exercice 2

Norme à partir des composantes. Calculer la norme de chacun des vecteurs suivants (donnés par leurs composantes).

a)
$\vec{u}\,(3;4)$
$\left\lVert \vec u\right\rVert=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ .
b)
$\vec{v}\,(6;8)$
$\left\lVert \vec v\right\rVert=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ .
c)
$\vec{w}\,(5;0)$
$\left\lVert \vec w\right\rVert=\sqrt{5^2+0^2}=\sqrt{25}=5$ .
d)
$\vec{t}\,(2;3)$
$\left\lVert \vec t\right\rVert=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$ (forme exacte ; $\approx 3{,}61$ ).
$\blacktriangleright$ Les triplets $(3;4;5)$ et $(6;8;10)$ donnent des normes entières : ce sont des cas à reconnaître.

Exercice 3

Le calcul complet. On donne $A\,(1;1)$ et $B\,(4;5)$ .

a)
Déterminer les composantes de $\overrightarrow{AB}$ .
$\overrightarrow{AB}\,(4-1\,;\,5-1)=(3;4)$ .
b)
En déduire la norme $\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert$ (forme exacte).
$\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$ .

Exercice 4

Lecture sur une figure. Lire directement sur la figure les composantes des vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{b}$ , puis calculer leurs normes.

On lit sur la figure : $\vec a$ part de $(1;1)$ et arrive en $(4;1)$ , donc $\vec a\,(3;0)$ et $\left\lVert \vec a\right\rVert=\sqrt{3^2+0^2}=3$ .
$\vec b$ part de $(1;1)$ et arrive en $(1;4)$ , donc $\vec b\,(0;3)$ et $\left\lVert \vec b\right\rVert=\sqrt{0^2+3^2}=3$ .
$\blacktriangleright$ Un vecteur horizontal a sa seconde composante nulle ; un vecteur vertical a sa première composante nulle.

Exercice 5

Vecteur opposé. On donne $A\,(2;5)$ et $B\,(7;1)$ .

a)
Calculer les composantes de $\overrightarrow{AB}$ , puis celles de $\overrightarrow{BA}$ .
$\overrightarrow{AB}\,(7-2\,;\,1-5)=(5;-4)$ et $\overrightarrow{BA}\,(2-7\,;\,5-1)=(-5;4)$ .
b)
Que remarque-t-on entre $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ ? Comparer $\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert$ et $\left\lVert \overrightarrow{BA}\right\rVert$ .
Les composantes sont opposées : $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ . Les deux vecteurs ont la même longueur : $\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert=\left\lVert \overrightarrow{BA}\right\rVert=\sqrt{5^2+(-4)^2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$ . Échanger origine et extrémité ne change pas la norme, seulement le sens.

Exercice 6

Distance entre deux points. Calculer la longueur $AB$ (distance entre les deux points), sous forme exacte.

a)
$A\,(1;1)$ et $B\,(4;5)$ .
$\overrightarrow{AB}\,(3;4)$ , donc $AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$ .
b)
$A\,(2;1)$ et $B\,(8;9)$ .
$\overrightarrow{AB}\,(6;8)$ , donc $AB=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$ .
c)
$A\,(0;2)$ et $B\,(5;14)$ .
$\overrightarrow{AB}\,(5;12)$ , donc $AB=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$ .
d)
$A\,(-1;-2)$ et $B\,(7;13)$ .
$\overrightarrow{AB}\,(8;15)$ , donc $AB=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17$ .
$\blacktriangleright$ La distance $AB$ est exactement la norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$ .

Exercice 7

Composantes puis nature du vecteur. Pour chaque couple, donner les composantes de $\overrightarrow{AB}$ , puis préciser si le vecteur est horizontal, vertical, nul ou oblique.

a)
$A\,(2;5)$ et $B\,(7;5)$ .
$\overrightarrow{AB}\,(5;0)$ : vecteur horizontal (seconde composante nulle).
b)
$A\,(3;1)$ et $B\,(3;8)$ .
$\overrightarrow{AB}\,(0;7)$ : vecteur vertical (première composante nulle).
c)
$A\,(4;-2)$ et $B\,(4;-2)$ .
$\overrightarrow{AB}\,(0;0)$ : vecteur nul (les deux points sont confondus).
d)
$A\,(1;1)$ et $B\,(4;5)$ .
$\overrightarrow{AB}\,(3;4)$ : vecteur oblique (aucune composante nulle).

Exercice 8

Deux vecteurs sont-ils égaux ? Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont les mêmes composantes. Dans chaque cas, calculer les composantes des deux vecteurs et dire s'ils sont égaux.

a)
$\overrightarrow{AB}$ avec $A\,(1;2)$ , $B\,(4;6)$ et $\overrightarrow{CD}$ avec $C\,(0;-1)$ , $D\,(3;3)$ .
$\overrightarrow{AB}\,(3;4)$ et $\overrightarrow{CD}\,(3;4)$ : mêmes composantes, donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ (vecteurs égaux).
b)
$\overrightarrow{EF}$ avec $E\,(2;1)$ , $F\,(5;2)$ et $\overrightarrow{GH}$ avec $G\,(0;0)$ , $H\,(3;-1)$ .
$\overrightarrow{EF}\,(3;1)$ et $\overrightarrow{GH}\,(3;-1)$ : la seconde composante diffère, donc $\overrightarrow{EF}\neq\overrightarrow{GH}$ .
$\blacktriangleright$ Deux vecteurs peuvent partir de points différents et être pourtant égaux : seule compte l'égalité des composantes.

Exercice 9

Produit d'un vecteur par un nombre. On donne $\vec{u}\,(3;4)$ .

a)
Donner les composantes de $2\vec{u}$ , de $3\vec{u}$ et de $-\vec{u}$ .
$2\vec{u}\,(6;8)$ , $3\vec{u}\,(9;12)$ , $-\vec{u}\,(-3;-4)$ .
b)
Calculer $\left\lVert \vec{u}\right\rVert$ , puis en déduire $\left\lVert 2\vec{u}\right\rVert$ et $\left\lVert 3\vec{u}\right\rVert$ sans nouveau calcul de racine.
$\left\lVert \vec{u}\right\rVert=\sqrt{3^2+4^2}=5$ , donc $\left\lVert 2\vec{u}\right\rVert=2\times5=10$ et $\left\lVert 3\vec{u}\right\rVert=3\times5=15$ .
$\blacktriangleright$ On utilise $\left\lVert k\vec{u}\right\rVert=|k|\cdot\left\lVert \vec{u}\right\rVert$ : multiplier un vecteur par $k$ multiplie sa longueur par $|k|$ .

Exercice 10

Somme et différence de deux vecteurs. On donne $\vec{u}\,(2;1)$ et $\vec{v}\,(1;3)$ .

a)
Donner les composantes de $\vec{u}+\vec{v}$ .
$\vec{u}+\vec{v}\,(2+1\,;\,1+3)=(3;4)$ .
b)
Donner les composantes de $\vec{u}-\vec{v}$ .
$\vec{u}-\vec{v}\,(2-1\,;\,1-3)=(1;-2)$ .
c)
Calculer $\left\lVert \vec{u}+\vec{v}\right\rVert$ et $\left\lVert \vec{u}-\vec{v}\right\rVert$ (forme exacte).
$\left\lVert \vec{u}+\vec{v}\right\rVert=\sqrt{3^2+4^2}=5$ et $\left\lVert \vec{u}-\vec{v}\right\rVert=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{5}$ .
$\blacktriangleright$ On additionne (ou soustrait) composante par composante.

Exercice 11

Un déplacement décrit avec des mots. Sur un quadrillage, un pion part du point $A\,(3;2)$ . Il se déplace de $3$ cases vers la droite, puis de $4$ cases vers le haut, et arrive en $B$ .

a)
Donner les composantes de $\overrightarrow{AB}$ .
$3$ vers la droite $\to$ première composante $3$ ; $4$ vers le haut $\to$ seconde composante $4$ . Donc $\overrightarrow{AB}\,(3;4)$ .
b)
En déduire les coordonnées de $B$ .
$B=A+\overrightarrow{AB}$ : $x_B=3+3=6$ , $y_B=2+4=6$ . Donc $B\,(6;6)$ .
c)
Calculer $\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert$ .
$\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert=\sqrt{3^2+4^2}=5$ .

Exercice 12

Lecture de vecteurs obliques sur une figure. Lire sur la figure les composantes des vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{b}$ , puis calculer leurs normes.

$\vec{a}$ part de $(1;1)$ et arrive en $(4;5)$ , donc $\vec{a}\,(3;4)$ et $\left\lVert \vec{a}\right\rVert=\sqrt{3^2+4^2}=5$ .
$\vec{b}$ part de $(5;0)$ et arrive en $(1;3)$ , donc $\vec{b}\,(-4;3)$ et $\left\lVert \vec{b}\right\rVert=\sqrt{(-4)^2+3^2}=\sqrt{25}=5$ .
$\blacktriangleright$ On lit toujours « extrémité moins origine », même quand le vecteur est oblique.

Exercice 13

Normes en forme exacte. Calculer la norme des vecteurs suivants. Les résultats ne sont pas entiers : laisser la réponse sous forme exacte (un radical).

a)
$\vec{u}\,(2;3)$
$\left\lVert \vec{u}\right\rVert=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$ .
b)
$\vec{v}\,(1;-1)$
$\left\lVert \vec{v}\right\rVert=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$ .
c)
$\vec{w}\,(3;1)$
$\left\lVert \vec{w}\right\rVert=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$ .
d)
$\vec{t}\,(1;2)$
$\left\lVert \vec{t}\right\rVert=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$ .
$\blacktriangleright$ Aucun de ces nombres n'est un carré parfait : on laisse le radical tel quel.

Exercice 14

Comparer des longueurs. On donne trois vecteurs $\vec{u}\,(6;0)$ , $\vec{v}\,(3;4)$ et $\vec{w}\,(0;7)$ .

a)
Calculer les trois normes $\left\lVert \vec{u}\right\rVert$ , $\left\lVert \vec{v}\right\rVert$ et $\left\lVert \vec{w}\right\rVert$ .
$\left\lVert \vec{u}\right\rVert=\sqrt{6^2+0^2}=6$ , $\left\lVert \vec{v}\right\rVert=\sqrt{3^2+4^2}=5$ , $\left\lVert \vec{w}\right\rVert=\sqrt{0^2+7^2}=7$ .
b)
Ranger les trois vecteurs du plus court au plus long.
Du plus court au plus long : $\vec{v}\;(5)<\vec{u}\;(6)<\vec{w}\;(7)$ .

Exercice 15

Chemin parcouru et distance directe. Un robot part de $A\,(0;0)$ , va en $B\,(3;0)$ , puis en $C\,(3;4)$ .

a)
Calculer les longueurs $AB$ et $BC$ , puis la distance totale parcourue $AB+BC$ .
$AB=\sqrt{3^2+0^2}=3$ et $BC=\sqrt{0^2+4^2}=4$ ; distance totale $AB+BC=3+4=7$ .
b)
Calculer la distance directe $AC$ (à vol d'oiseau).
$\overrightarrow{AC}\,(3;4)$ , donc $AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$ .
c)
Comparer les deux résultats.
$7>5$ : le chemin parcouru ( $7$ ) est plus long que la distance directe ( $5$ ). Le trajet en deux étapes fait un détour.

Moyen15 exercices

Exercice 1

Composantes et norme avec des coordonnées négatives. Pour chaque couple, donner les composantes de $\overrightarrow{AB}$ puis sa norme (forme exacte).

a)
$A\,(-2;3)$ et $B\,(1;-1)$ .
$\overrightarrow{AB}\,(1-(-2)\,;\,-1-3)=(3;-4)$ , $\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5$ .
b)
$A\,(4;-2)$ et $B\,(-1;-2)$ .
$\overrightarrow{AB}\,(-1-4\,;\,-2-(-2))=(-5;0)$ , $\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert=\sqrt{(-5)^2+0^2}=5$ .
c)
$A\,(-3;-1)$ et $B\,(-3;5)$ .
$\overrightarrow{AB}\,(-3-(-3)\,;\,5-(-1))=(0;6)$ , $\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert=\sqrt{0^2+6^2}=6$ .
$\blacktriangleright$ Bien soustraire les négatifs : $-1-(-2)=+3$ . Et $(-4)^2=+16$ .

Exercice 2

Simplifier une norme sous la forme $a\sqrt{b}$ . Calculer et simplifier la norme des vecteurs suivants.

a)
$\vec{u}\,(4;-2)$
$\left\lVert \vec u\right\rVert=\sqrt{4^2+(-2)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt5$ .
b)
$\vec{v}\,(-6;3)$
$\left\lVert \vec v\right\rVert=\sqrt{(-6)^2+3^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt5$ .
c)
$\vec{w}\,(2\sqrt3;2)$
$\left\lVert \vec w\right\rVert=\sqrt{(2\sqrt3)^2+2^2}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4$ .
$\blacktriangleright$ Pour simplifier $\sqrt{20}$ , on repère le plus grand carré parfait facteur : $20=4\times5$ , donc $\sqrt{20}=2\sqrt5$ . Et $(2\sqrt3)^2=4\times3=12$ .

Exercice 3

Retrouver un point à partir d'un vecteur.

a)
On sait que $A\,(2;-1)$ et que $\overrightarrow{AB}\,(3;5)$ . Déterminer les coordonnées de $B$ .
$B=A+\overrightarrow{AB}$ composante par composante : $x_B=2+3=5$ , $y_B=-1+5=4$ . Donc $B\,(5;4)$ .
b)
On sait que $\overrightarrow{CD}\,(-2;4)$ et que $D\,(1;3)$ . Déterminer les coordonnées de $C$ .
Comme $\overrightarrow{CD}=(x_D-x_C\,;\,y_D-y_C)$ , on a $x_C=x_D-(x_D-x_C)=1-(-2)=3$ et $y_C=3-4=-1$ . Donc $C\,(3;-1)$ .
$\blacktriangleright$ Retenir : « extrémité $=$ origine $+$ vecteur », donc « origine $=$ extrémité $-$ vecteur ».

Exercice 4

Trouver une coordonnée imposée par une norme. On donne $A\,(1;2)$ et $B\,(4;y)$ , où $y$ est un réel.

a)
Exprimer $\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert^2$ en fonction de $y$ .
$\overrightarrow{AB}\,(4-1\,;\,y-2)=(3;\,y-2)$ , donc $\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert^2=3^2+(y-2)^2=9+(y-2)^2$ .
b)
Déterminer les valeurs de $y$ pour lesquelles $\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert=5$ .
$\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert=5 \iff \left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert^2=25 \iff 9+(y-2)^2=25 \iff (y-2)^2=16$ . D'où $y-2=\pm4$ , soit $\boxed{y=6 \text{ ou } y=-2}$ .
$\blacktriangleright$ Une norme imposée donne une équation du second degré : il y a en général deux solutions (deux positions symétriques pour $B$ ).

Exercice 5

Nature d'un triangle par les longueurs des côtés. Dans un repère orthonormé, on considère $A\,(1;1)$ , $B\,(5;3)$ et $C\,(3;5)$ .

a)
Calculer les longueurs $AB$ , $BC$ et $AC$ (formes exactes).
$\overrightarrow{AB}\,(4;2)$ donc $AB=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt5$ .
$\overrightarrow{BC}\,(-2;2)$ donc $BC=\sqrt{4+4}=\sqrt8=2\sqrt2$ .
$\overrightarrow{AC}\,(2;4)$ donc $AC=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt5$ .
b)
Le triangle $ABC$ est-il isocèle ? Justifier.
$AB=AC=2\sqrt5$ : le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ .
$\blacktriangleright$ Pour la nature d'un triangle, on compare les longueurs des côtés, calculées comme des normes de vecteurs.

Exercice 6

Fabriquer un vecteur de norme imposée. On donne $\vec{u}\,(4;3)$ .

a)
Vérifier que $\left\lVert \vec{u}\right\rVert=5$ , puis donner les composantes du vecteur unitaire $\vec{u_0}$ (norme $1$ ) de même sens que $\vec{u}$ .
$\left\lVert \vec{u}\right\rVert=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$ . Le vecteur unitaire est $\vec{u_0}=\dfrac{1}{5}\vec{u}$ , donc $\vec{u_0}\left(\tfrac{4}{5};\tfrac{3}{5}\right)$ .
b)
Donner les composantes d'un vecteur $\vec{v}$ de même sens que $\vec{u}$ et de norme $15$ .
De norme $15=3\times5$ et de même sens : $\vec{v}=3\vec{u}=(12;9)$ .
c)
Donner les composantes d'un vecteur $\vec{w}$ de sens contraire à $\vec{u}$ et de norme $10$ .
De norme $10=2\times5$ et de sens contraire : $\vec{w}=-2\vec{u}=(-8;-6)$ .
$\blacktriangleright$ On règle la longueur avec le facteur $k=\dfrac{\text{norme voulue}}{\left\lVert \vec u\right\rVert}$ , et le sens avec le signe de $k$ .

Exercice 7

Périmètre d'un triangle. Dans un repère orthonormé, on considère $A\,(1;1)$ , $B\,(4;5)$ et $C\,(8;2)$ .

a)
Calculer les longueurs $AB$ , $BC$ et $CA$ (formes exactes).
$\overrightarrow{AB}\,(3;4)$ donc $AB=\sqrt{9+16}=5$ .
$\overrightarrow{BC}\,(4;-3)$ donc $BC=\sqrt{16+9}=5$ .
$\overrightarrow{CA}\,(-7;-1)$ donc $CA=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}=5\sqrt2$ .
b)
En déduire le périmètre du triangle $ABC$ .
Périmètre $=AB+BC+CA=5+5+5\sqrt2=10+5\sqrt2$ .
$\blacktriangleright$ Le périmètre est la somme des trois longueurs de côtés, chacune calculée comme une norme.

Exercice 8

Quatrième sommet d'un parallélogramme. On donne $A\,(1;2)$ , $B\,(5;3)$ et $C\,(6;7)$ .

a)
Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme (on utilisera $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ ).
$\overrightarrow{AB}\,(4;1)$ . On veut $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ , c'est-à-dire $C-D=(4;1)$ , donc $D=C-(4;1)=(6-4\,;\,7-1)=(2;6)$ .
b)
Calculer les longueurs des diagonales $AC$ et $BD$ .
$\overrightarrow{AC}\,(5;5)$ donc $AC=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5\sqrt2$ .
$\overrightarrow{BD}\,(-3;3)$ donc $BD=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt2$ .
$\blacktriangleright$ Dans le parallélogramme $ABCD$ , les côtés opposés $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ sont égaux : c'est ce qui donne le point $D$ .

Exercice 9

Position par rapport à un cercle. Le cercle $\mathcal{C}$ a pour centre l'origine $O$ et pour rayon $5$ . Pour chacun des points suivants, calculer sa distance à $O$ et préciser s'il est sur le cercle, à l'intérieur ou à l'extérieur.

a)
$P\,(3;4)$
$OP=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$ : $P$ est sur le cercle.
b)
$Q\,(5;0)$
$OQ=\sqrt{5^2+0^2}=5$ : $Q$ est sur le cercle.
c)
$R\,(2;4)$
$OR=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5\approx4{,}47<5$ : $R$ est à l'intérieur.
d)
$S\,(4;-4)$
$OS=\sqrt{4^2+(-4)^2}=\sqrt{32}=4\sqrt2\approx5{,}66>5$ : $S$ est à l'extérieur.
e)
$T\,(-3;-4)$
$OT=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5$ : $T$ est sur le cercle.
$\blacktriangleright$ Un point est sur le cercle si $OM=r$ , à l'intérieur si $OM<r$ , à l'extérieur si $OM>r$ .

Exercice 10

Inconnue par une égalité de normes. On donne $\vec{u}\,(m;3)$ et $\vec{v}\,(4;-1)$ , où $m$ est un réel.

a)
Exprimer $\left\lVert \vec{u}\right\rVert^2$ et $\left\lVert \vec{v}\right\rVert^2$ .
$\left\lVert \vec{u}\right\rVert^2=m^2+3^2=m^2+9$ et $\left\lVert \vec{v}\right\rVert^2=4^2+(-1)^2=17$ .
b)
Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles $\left\lVert \vec{u}\right\rVert=\left\lVert \vec{v}\right\rVert$ .
$\left\lVert \vec{u}\right\rVert=\left\lVert \vec{v}\right\rVert\iff m^2+9=17\iff m^2=8\iff m=\pm2\sqrt2$ .
$\blacktriangleright$ On élève au carré pour supprimer les racines : l'égalité des normes devient une équation en $m^2$ .

Exercice 11

Somme et différence avec des composantes irrationnelles. On donne $\vec{u}\,(2;\sqrt5)$ et $\vec{v}\,(-4;0)$ .

a)
Donner les composantes de $\vec{u}+\vec{v}$ et calculer $\left\lVert \vec{u}+\vec{v}\right\rVert$ .
$\vec{u}+\vec{v}\,(2+(-4)\,;\,\sqrt5+0)=(-2;\sqrt5)$ , donc $\left\lVert \vec{u}+\vec{v}\right\rVert=\sqrt{(-2)^2+(\sqrt5)^2}=\sqrt{4+5}=\sqrt9=3$ .
b)
Donner les composantes de $\vec{u}-\vec{v}$ et calculer $\left\lVert \vec{u}-\vec{v}\right\rVert$ .
$\vec{u}-\vec{v}\,(2-(-4)\,;\,\sqrt5-0)=(6;\sqrt5)$ , donc $\left\lVert \vec{u}-\vec{v}\right\rVert=\sqrt{6^2+(\sqrt5)^2}=\sqrt{36+5}=\sqrt{41}$ .
$\blacktriangleright$ Rappel : $(\sqrt5)^2=5$ . Un radical au carré « disparaît ».

Exercice 12

Nature d'un quadrilatère. Dans un repère orthonormé, on donne $A\,(4;0)$ , $B\,(0;3)$ , $C\,(-4;0)$ et $D\,(0;-3)$ .

a)
Calculer les longueurs des quatre côtés $AB$ , $BC$ , $CD$ et $DA$ . Qu'en déduit-on sur la nature de $ABCD$ ?
$\overrightarrow{AB}\,(-4;3)\Rightarrow AB=5$ ; $\overrightarrow{BC}\,(-4;-3)\Rightarrow BC=5$ ; $\overrightarrow{CD}\,(4;-3)\Rightarrow CD=5$ ; $\overrightarrow{DA}\,(4;3)\Rightarrow DA=5$ . Les quatre côtés sont égaux : $ABCD$ est un losange.
b)
Calculer les longueurs des diagonales $AC$ et $BD$ . Le quadrilatère est-il un carré ? Justifier.
$\overrightarrow{AC}\,(-8;0)\Rightarrow AC=8$ et $\overrightarrow{BD}\,(0;-6)\Rightarrow BD=6$ . Les diagonales sont différentes ( $8\neq6$ ), or un carré a ses diagonales égales : $ABCD$ n'est pas un carré.
$\blacktriangleright$ Quatre côtés égaux $\Rightarrow$ losange ; il faut en plus des diagonales égales pour un carré.

Exercice 13

Normes à composantes irrationnelles. Calculer la norme (forme exacte) de chacun des vecteurs suivants.

a)
$\vec{u}\,(\sqrt5;2)$
$\left\lVert \vec{u}\right\rVert=\sqrt{(\sqrt5)^2+2^2}=\sqrt{5+4}=\sqrt9=3$ .
b)
$\vec{v}\,(\sqrt{21};2)$
$\left\lVert \vec{v}\right\rVert=\sqrt{(\sqrt{21})^2+2^2}=\sqrt{21+4}=\sqrt{25}=5$ .
c)
$\vec{w}\,(\sqrt2;\sqrt2)$
$\left\lVert \vec{w}\right\rVert=\sqrt{(\sqrt2)^2+(\sqrt2)^2}=\sqrt{2+2}=\sqrt4=2$ .
$\blacktriangleright$ Même avec des composantes irrationnelles, la norme peut être un entier : les carrés font disparaître les radicaux.

Exercice 14

Trouver une position à distance donnée. Un randonneur est au point $A\,(2;3)$ (coordonnées en km). Un refuge $B$ a pour ordonnée $y_B=8$ et se trouve à $13$ km de $A$ .

a)
En notant $x_B$ l'abscisse du refuge, exprimer $\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert^2$ en fonction de $x_B$ .
$\overrightarrow{AB}\,(x_B-2\,;\,8-3)=(x_B-2\,;\,5)$ , donc $\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert^2=(x_B-2)^2+25$ .
b)
Résoudre l'équation $\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert=13$ .
$\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert=13\iff(x_B-2)^2+25=169\iff(x_B-2)^2=144\iff x_B-2=\pm12$ , soit $x_B=14$ ou $x_B=-10$ .
c)
Sachant que le refuge est à l'est de $A$ (c'est-à-dire $x_B>2$ ), donner les coordonnées de $B$ .
Le refuge est à l'est ( $x_B>2$ ), on garde $x_B=14$ : donc $B\,(14;8)$ .
$\blacktriangleright$ Une distance imposée donne une équation du second degré (deux positions possibles) ; le contexte (« à l'est ») permet de choisir la bonne.

Exercice 15

Vrai ou faux ? Justifier. Pour chaque affirmation, répondre par vrai ou faux et justifier (par une preuve courte, ou un contre-exemple si l'affirmation est fausse).

a)
Deux vecteurs de même norme sont nécessairement égaux.
Faux. Contre-exemple : $\vec{u}\,(3;4)$ et $\vec{v}\,(5;0)$ ont la même norme ( $\left\lVert \vec{u}\right\rVert=\left\lVert \vec{v}\right\rVert=5$ ) mais des composantes différentes, donc $\vec{u}\neq\vec{v}$ .
b)
Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , on a $\left\lVert \vec{u}+\vec{v}\right\rVert=\left\lVert \vec{u}\right\rVert+\left\lVert \vec{v}\right\rVert$ .
Faux en général. Contre-exemple : $\vec{u}\,(3;0)$ et $\vec{v}\,(0;4)$ donnent $\left\lVert \vec{u}+\vec{v}\right\rVert=\left\lVert (3;4)\right\rVert=5$ , alors que $\left\lVert \vec{u}\right\rVert+\left\lVert \vec{v}\right\rVert=3+4=7$ . (L'égalité n'a lieu que si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont même sens.)
c)
Si $\left\lVert \vec{u}\right\rVert=0$ , alors $\vec{u}=\vec{0}$ .
Vrai. $\left\lVert \vec{u}\right\rVert=0\Rightarrow\sqrt{x^2+y^2}=0\Rightarrow x^2+y^2=0\Rightarrow x=y=0$ , donc $\vec{u}=\vec{0}$ .

Difficile14 exercices

Exercice 1

Mise en situation — le drone de secours. Un drone décolle de la base $O\,(0;0)$ (coordonnées en kilomètres). Il rejoint successivement les points de passage $P_1\,(3;4)$ , $P_2\,(3;9)$ puis $P_3\,(-1;12)$ .

a)
Calculer les composantes des trois trajets $\overrightarrow{OP_1}$ , $\overrightarrow{P_1P_2}$ , $\overrightarrow{P_2P_3}$ , et vérifier que chaque trajet mesure exactement $5$ km.
$\overrightarrow{OP_1}\,(3;4)$ , longueur $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$ .
$\overrightarrow{P_1P_2}\,(3-3\,;\,9-4)=(0;5)$ , longueur $\sqrt{0+25}=5$ .
$\overrightarrow{P_2P_3}\,(-1-3\,;\,12-9)=(-4;3)$ , longueur $\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ .
Les trois trajets mesurent bien $5$ km chacun.
b)
Déterminer les composantes du déplacement net $\overrightarrow{OP_3}$ (de la base au point final), puis sa norme (forme exacte, puis valeur approchée au dixième).
Déplacement net : $\overrightarrow{OP_3}\,(-1-0\,;\,12-0)=(-1;12)$ , donc
$\left\lVert \overrightarrow{OP_3}\right\rVert=\sqrt{(-1)^2+12^2}=\sqrt{1+144}=\sqrt{145}\approx 12{,}0~\text{km}.$
c)
Comparer la distance totale parcourue par le drone avec la distance à vol d'oiseau entre le départ et l'arrivée. Commenter.
Distance parcourue $=5+5+5=15$ km. Distance à vol d'oiseau $=\sqrt{145}\approx 12{,}0$ km. Le drone parcourt plus de chemin que la distance directe (les trajets ne sont pas alignés) : c'est logique, un déplacement net est toujours $\leq$ à la longueur du chemin suivi.
$\blacktriangleright$ Le déplacement net se lit directement sur les positions initiale et finale (« extrémité moins origine »), sans repasser par les étapes.

Exercice 2

Point équidistant sur un axe. Dans un repère orthonormé, on donne $A\,(1;2)$ et $B\,(6;3)$ . On cherche un point $M$ situé sur l'axe des abscisses, donc de la forme $M\,(x;0)$ , qui soit à égale distance de $A$ et de $B$ .

a)
Exprimer $MA^2$ et $MB^2$ en fonction de $x$ .
$\overrightarrow{MA}\,(1-x\,;2)$ donc $MA^2=(1-x)^2+2^2=(x-1)^2+4$ .
$\overrightarrow{MB}\,(6-x\,;3)$ donc $MB^2=(6-x)^2+3^2=(x-6)^2+9$ .
b)
Traduire la condition $MA=MB$ et en déduire la valeur de $x$ .
$MA=MB \iff MA^2=MB^2$ :
$(x-1)^2+4=(x-6)^2+9.$
On développe : $x^2-2x+1+4=x^2-12x+36+9$ , soit $-2x+5=-12x+45$ , d'où $10x=40$ et $\boxed{x=4}$ .
c)
Donner les coordonnées de $M$ et la distance commune $MA$ (forme exacte).
$M\,(4;0)$ . Distance commune : $MA=\sqrt{(4-1)^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$ (on vérifie $MB=\sqrt{(4-6)^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$ ).
$\blacktriangleright$ Astuce : élever au carré fait disparaître les racines et les termes $x^2$ se simplifient, laissant une équation du premier degré.

Exercice 3

Normes avec radicaux. Calculer la norme (forme exacte simplifiée) de chacun des vecteurs suivants.

a)
$\vec{u}\,\bigl(\sqrt3-1\,;\,\sqrt3+1\bigr)$ .
$\left\lVert \vec u\right\rVert^2=(\sqrt3-1)^2+(\sqrt3+1)^2=(4-2\sqrt3)+(4+2\sqrt3)=8$ , donc $\left\lVert \vec u\right\rVert=\sqrt8=2\sqrt2$ .
b)
$\vec{v}\,\bigl(1+\sqrt2\,;\,1-\sqrt2\bigr)$ .
$\left\lVert \vec v\right\rVert^2=(1+\sqrt2)^2+(1-\sqrt2)^2=(3+2\sqrt2)+(3-2\sqrt2)=6$ , donc $\left\lVert \vec v\right\rVert=\sqrt6$ .
$\blacktriangleright$ Les doubles produits $\pm2\sqrt3$ (ou $\pm2\sqrt2$ ) se compensent quand on additionne les carrés de deux quantités conjuguées : le résultat est un entier.

Exercice 4

Vecteur dépendant d'un paramètre. On donne $A\,(1;2)$ et $B\,(t\,;\,t+3)$ , où $t$ est un réel.

a)
Exprimer les composantes de $\overrightarrow{AB}$ en fonction de $t$ .
$\overrightarrow{AB}\,(t-1\,;\,(t+3)-2)=(t-1\,;\,t+1)$ .
b)
Montrer que $\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert^2=2t^2+2$ .
$\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert^2=(t-1)^2+(t+1)^2=(t^2-2t+1)+(t^2+2t+1)=2t^2+2$ .
c)
Pour quelle valeur de $t$ la longueur $AB$ est-elle minimale ? Que vaut alors $AB$ ?
$2t^2+2$ est minimal quand $t^2$ est minimal, c'est-à-dire pour $t=0$ . Alors $\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert^2=2$ et $AB=\sqrt2$ .
d)
Déterminer les valeurs de $t$ pour lesquelles $AB=\sqrt{10}$ .
$AB=\sqrt{10}\iff 2t^2+2=10\iff t^2=4\iff t=2 \text{ ou } t=-2$ .
$\blacktriangleright$ Travailler avec $\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert^2$ évite les racines : c'est une fonction du second degré en $t$ , minimale au sommet ( $t=0$ ici).

Exercice 5

Triangle, puis parallélogramme. Dans un repère orthonormé, on considère $A\,(0;0)$ , $B\,(6;3)$ et $C\,(3;6)$ .

a)
Calculer les longueurs $AB$ , $BC$ et $CA$ (formes exactes) et préciser la nature du triangle $ABC$ .
$\overrightarrow{AB}\,(6;3)\Rightarrow AB=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt5$ ; $\overrightarrow{BC}\,(-3;3)\Rightarrow BC=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt2$ ; $\overrightarrow{CA}\,(-3;-6)\Rightarrow CA=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt5$ . Comme $AB=CA=3\sqrt5$ , le triangle est isocèle en $A$ .
b)
Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
$ABCD$ parallélogramme $\iff\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff D=A-B+C=(0-6+3\,;\,0-3+6)=(-3;3)$ .
c)
Calculer les longueurs des diagonales $AC$ et $BD$ de ce parallélogramme.
$\overrightarrow{AC}\,(3;6)\Rightarrow AC=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt5$ ; $\overrightarrow{BD}\,(-9;0)\Rightarrow BD=9$ .
$\blacktriangleright$ Le quatrième sommet vient de l'égalité $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ ; les diagonales se calculent ensuite comme de simples normes.

Exercice 6

Reconnaître un carré. On considère $A\,(1;1)$ , $B\,(4;2)$ , $C\,(3;5)$ et $D\,(0;4)$ .

a)
Calculer les longueurs des quatre côtés $AB$ , $BC$ , $CD$ et $DA$ . Que peut-on déjà conclure ?
$\overrightarrow{AB}\,(3;1)$ , $\overrightarrow{BC}\,(-1;3)$ , $\overrightarrow{CD}\,(-3;-1)$ , $\overrightarrow{DA}\,(1;-3)$ : chacun a pour norme $\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$ . Les quatre côtés sont égaux : $ABCD$ est (au moins) un losange.
b)
Calculer les longueurs des diagonales $AC$ et $BD$ .
$\overrightarrow{AC}\,(2;4)\Rightarrow AC=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt5$ ; $\overrightarrow{BD}\,(-4;2)\Rightarrow BD=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt5$ . Les diagonales sont égales.
c)
En comparant côtés et diagonales, démontrer que $ABCD$ est un carré.
Quatre côtés égaux $\Rightarrow$ losange ; diagonales égales $\Rightarrow$ rectangle ; les deux conditions ensemble $\Rightarrow$ carré. (On vérifie aussi $(\sqrt{10})^2+(\sqrt{10})^2=20=(2\sqrt5)^2$ : l'angle en chaque sommet est droit.)

Exercice 7

Point mobile sur une droite. Un point $M$ se déplace sur la droite d'équation $y=2x$ : ses coordonnées sont de la forme $M\,(t\,;\,2t)$ , où $t$ est un nombre réel. On fixe $A\,(4;3)$ .

a)
Exprimer les composantes de $\overrightarrow{AM}$ , puis $\left\lVert \overrightarrow{AM}\right\rVert^2$ en fonction de $t$ .
$\overrightarrow{AM}\,(t-4\,;\,2t-3)$ , donc $\left\lVert \overrightarrow{AM}\right\rVert^2=(t-4)^2+(2t-3)^2=(t^2-8t+16)+(4t^2-12t+9)=5t^2-20t+25$ .
b)
Pour quelle valeur de $t$ la distance $AM$ est-elle minimale ? Donner cette distance minimale et les coordonnées du point $M$ correspondant.
$\left\lVert \overrightarrow{AM}\right\rVert^2=5(t^2-4t+5)=5\bigl((t-2)^2+1\bigr)=5(t-2)^2+5$ , minimal pour $t=2$ . Alors $\left\lVert \overrightarrow{AM}\right\rVert^2=5$ , soit $AM=\sqrt5$ , et $M\,(2;4)$ .
c)
Déterminer les valeurs de $t$ pour lesquelles $AM=5$ .
$AM=5\iff5t^2-20t+25=25\iff5t^2-20t=0\iff5t(t-4)=0$ , d'où $t=0$ ou $t=4$ (soit $M\,(0;0)$ ou $M\,(4;8)$ ).
$\blacktriangleright$ Travailler avec $\left\lVert \overrightarrow{AM}\right\rVert^2$ (fonction du second degré en $t$ ) évite les racines : le minimum est au sommet de la parabole.

Exercice 8

Ensemble des points équidistants de deux points. On donne $A\,(1;2)$ et $B\,(5;4)$ . On cherche l'ensemble des points $M\,(x;y)$ équidistants de $A$ et de $B$ .

a)
Exprimer $MA^2$ et $MB^2$ en fonction de $x$ et $y$ .
$MA^2=(x-1)^2+(y-2)^2$ et $MB^2=(x-5)^2+(y-4)^2$ .
b)
Écrire la condition $MA=MB$ et montrer qu'elle équivaut à $2x+y-9=0$ . Quelle est la nature de cet ensemble ?
$MA=MB\iff MA^2=MB^2$ :
$(x-1)^2+(y-2)^2=(x-5)^2+(y-4)^2.$
En développant, les termes $x^2$ et $y^2$ se simplifient : $-2x+1-4y+4=-10x+25-8y+16$ , soit $8x+4y-36=0$ , c'est-à-dire $2x+y-9=0$ . C'est une droite : la médiatrice du segment $[AB]$ .
c)
Déterminer le point où cet ensemble coupe l'axe des abscisses.
Sur l'axe des abscisses, $y=0$ : $2x-9=0$ , donc $x=\tfrac{9}{2}$ . Le point cherché est $\left(\tfrac{9}{2};0\right)$ .
$\blacktriangleright$ L'ensemble des points équidistants de $A$ et $B$ est toujours la médiatrice de $[AB]$ .

Exercice 9

Norme et cercle. Dans un repère orthonormé, on pose $A\,(2;-1)$ et on note $\mathcal{C}$ l'ensemble des points $M$ tels que $AM=5$ .

a)
Montrer que $M\,(x;y)$ appartient à $\mathcal{C}$ si et seulement si $(x-2)^2+(y+1)^2=25$ .
$AM=5\iff AM^2=25\iff(x-2)^2+(y+1)^2=25$ . C'est l'équation du cercle de centre $A$ et de rayon $5$ .
b)
Pour chacun des points $P\,(6;2)$ , $Q\,(2;3)$ et $R\,(7;3)$ , préciser s'il est sur $\mathcal{C}$ , à l'intérieur ou à l'extérieur.
$P$ : $(6-2)^2+(2+1)^2=16+9=25$ $\Rightarrow$ sur $\mathcal{C}$ .
$Q$ : $(2-2)^2+(3+1)^2=0+16=16<25$ $\Rightarrow$ intérieur.
$R$ : $(7-2)^2+(3+1)^2=25+16=41>25$ $\Rightarrow$ extérieur.
c)
Déterminer les points de $\mathcal{C}$ dont l'abscisse vaut $-1$ .
$x=-1$ : $(-1-2)^2+(y+1)^2=25\iff9+(y+1)^2=25\iff(y+1)^2=16\iff y+1=\pm4$ , donc $y=3$ ou $y=-5$ . Les points sont $(-1;3)$ et $(-1;-5)$ .

Exercice 10

Composition de déplacements. Un voilier effectue trois déplacements successifs, donnés (en km) par les vecteurs $\vec{d_1}\,(6;2)$ , $\vec{d_2}\,(-1;5)$ et $\vec{d_3}\,(3;-4)$ .

a)
Déterminer les composantes du déplacement net $\vec{d}=\vec{d_1}+\vec{d_2}+\vec{d_3}$ , puis sa norme (forme exacte).
$\vec{d}\,(6-1+3\,;\,2+5-4)=(8;3)$ , donc $\left\lVert \vec{d}\right\rVert=\sqrt{8^2+3^2}=\sqrt{73}$ .
b)
Calculer la distance totale parcourue $\left\lVert \vec{d_1}\right\rVert+\left\lVert \vec{d_2}\right\rVert+\left\lVert \vec{d_3}\right\rVert$ (forme exacte).
$\left\lVert \vec{d_1}\right\rVert=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ ; $\left\lVert \vec{d_2}\right\rVert=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}$ ; $\left\lVert \vec{d_3}\right\rVert=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ . Distance totale $=2\sqrt{10}+\sqrt{26}+5$ .
c)
Comparer la distance totale parcourue et la norme du déplacement net. Commenter.
$\left\lVert \vec{d}\right\rVert=\sqrt{73}\approx8{,}5$ km, tandis que la distance parcourue $\approx6{,}32+5{,}10+5=16{,}4$ km. Le déplacement net est bien plus court : sa norme est toujours $\leq$ à la distance parcourue (égalité seulement si les déplacements sont colinéaires et de même sens).
d)
Donner les composantes du vecteur qui ramènerait le voilier à son point de départ.
Pour revenir au départ, il faut le vecteur opposé au déplacement net : $(-8;-3)$ .

Exercice 11

Norme dépendant d'un paramètre. On donne $A\,(1;-1)$ et $B\,(t\,;\,t+2)$ , où $t$ est un nombre réel.

a)
Exprimer les composantes de $\overrightarrow{AB}$ , puis montrer que $\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert^2=2(t+1)^2+8$ .
$\overrightarrow{AB}\,(t-1\,;\,t+3)$ , donc $\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert^2=(t-1)^2+(t+3)^2=2t^2+4t+10=2(t^2+2t+5)=2(t+1)^2+8$ .
b)
En déduire la valeur de $t$ pour laquelle $AB$ est minimale, ainsi que cette distance minimale.
$2(t+1)^2+8$ est minimal pour $t=-1$ ; alors $\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert^2=8$ , soit $AB=\sqrt8=2\sqrt2$ .
c)
Discuter, selon la valeur du réel $c$ , le nombre de solutions de l'équation $AB=c$ . Traiter en particulier les cas $c=2$ , $c=2\sqrt2$ et $c=4$ (donner alors les valeurs de $t$ ).
$AB=c\iff2(t+1)^2+8=c^2\iff(t+1)^2=\dfrac{c^2-8}{2}$ .
- $c=2$ : $(t+1)^2=\dfrac{4-8}{2}=-2<0$ : aucune solution.
- $c=2\sqrt2$ : $(t+1)^2=0$ : une solution, $t=-1$ .
- $c=4$ : $(t+1)^2=\dfrac{16-8}{2}=4$ , donc $t+1=\pm2$ : deux solutions, $t=1$ ou $t=-3$ .
$\blacktriangleright$ La distance minimale $2\sqrt2$ est le seuil : en dessous, aucune position ; à ce seuil, une seule ; au-dessus, deux positions symétriques.

Exercice 12

Norme et radical imbriqué. On veut la norme exacte du vecteur $\vec{u}\,(1-\sqrt3\,;\,\sqrt3-1)$ .

a)
Montrer que $\left\lVert \vec{u}\right\rVert^2=8-4\sqrt3$ .
Comme $\sqrt3-1=-(1-\sqrt3)$ , les deux composantes ont le même carré : $\left\lVert \vec{u}\right\rVert^2=(1-\sqrt3)^2+(\sqrt3-1)^2=2(1-\sqrt3)^2=2(1-2\sqrt3+3)=2(4-2\sqrt3)=8-4\sqrt3$ .
b)
Développer $(\sqrt6-\sqrt2)^2$ et vérifier qu'on retrouve $8-4\sqrt3$ .
$(\sqrt6-\sqrt2)^2=6-2\sqrt{12}+2=8-2\cdot2\sqrt3=8-4\sqrt3$ .
c)
En déduire $\left\lVert \vec{u}\right\rVert$ sous forme simplifiée, puis en donner une valeur approchée au centième.
Donc $\left\lVert \vec{u}\right\rVert=\sqrt{8-4\sqrt3}=\sqrt6-\sqrt2$ (positif car $\sqrt6>\sqrt2$ ), soit $\left\lVert \vec{u}\right\rVert\approx2{,}449-1{,}414\approx1{,}04$ .
$\blacktriangleright$ Un radical du type $\sqrt{a-b\sqrt{c}}$ peut parfois se « dé-nicher » en $\sqrt{m}-\sqrt{n}$ : on le devine puis on le vérifie en élevant au carré.

Exercice 13

Longueurs et alignement.

a)
On considère $A\,(1;1)$ , $B\,(4;5)$ et $C\,(7;9)$ . Calculer $AB$ , $BC$ et $AC$ . Vérifier que $AB+BC=AC$ et en déduire que $A$ , $B$ , $C$ sont alignés.
$\overrightarrow{AB}\,(3;4)\Rightarrow AB=5$ ; $\overrightarrow{BC}\,(3;4)\Rightarrow BC=5$ ; $\overrightarrow{AC}\,(6;8)\Rightarrow AC=10$ . Or $AB+BC=5+5=10=AC$ : l'égalité de l'inégalité triangulaire est atteinte, donc $A$ , $B$ , $C$ sont alignés ( $B$ est le milieu de $[AC]$ ).
b)
On considère maintenant $A\,(1;1)$ , $B\,(4;5)$ et $D\,(6;2)$ . Montrer que $AB+BD>AD$ . Que peut-on dire de $A$ , $B$ , $D$ ?
$\overrightarrow{AB}\,(3;4)\Rightarrow AB=5$ ; $\overrightarrow{BD}\,(2;-3)\Rightarrow BD=\sqrt{13}$ ; $\overrightarrow{AD}\,(5;1)\Rightarrow AD=\sqrt{26}$ . On a $AB+BD=5+\sqrt{13}\approx8{,}61>\sqrt{26}\approx5{,}10$ : l'inégalité est stricte, donc $A$ , $B$ , $D$ forment un vrai triangle (non alignés).
c)
À partir de ces deux exemples, énoncer la règle générale reliant $AC$ à $AB+BC$ (inégalité triangulaire) et préciser le cas d'égalité.
Règle générale : $AC\leq AB+BC$ (inégalité triangulaire), avec égalité si et seulement si $B$ appartient au segment $[AC]$ (les trois points alignés, $B$ entre $A$ et $C$ ).

Exercice 14

Mise en situation — le drone de secours. Un drone évolue au-dessus d'une zone quadrillée (coordonnées en km). Sa base est en $O\,(0;0)$ , une balise en $B\,(1;2)$ et le site à secourir en $S\,(7;4)$ . Une route rectiligne suit l'axe des abscisses (voir figure).

a)
Donner les composantes et les normes de $\overrightarrow{OB}$ et $\overrightarrow{OS}$ .
$\overrightarrow{OB}\,(1;2)\Rightarrow\left\lVert \overrightarrow{OB}\right\rVert=\sqrt{1+4}=\sqrt5$ ; $\overrightarrow{OS}\,(7;4)\Rightarrow\left\lVert \overrightarrow{OS}\right\rVert=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}$ .
b)
Le drone va de $B$ à $S$ : donner les composantes et la longueur de $\overrightarrow{BS}$ .
$\overrightarrow{BS}\,(6;2)\Rightarrow\left\lVert \overrightarrow{BS}\right\rVert=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ .
c)
Une station de recharge $R\,(x;0)$ est installée sur la route, à égale distance de $B$ et de $S$ . Déterminer $x$ , puis la distance commune $RB$ .
$RB^2=(x-1)^2+2^2$ et $RS^2=(x-7)^2+4^2$ . La condition $RB=RS$ donne $(x-1)^2+4=(x-7)^2+16$ , soit $-2x+5=-14x+65$ , d'où $12x=60$ et $x=5$ . Donc $R\,(5;0)$ et $RB=\sqrt{(5-1)^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt5$ (on vérifie $RS=2\sqrt5$ également).
d)
Comparer le trajet direct $O\!\to\!S$ et le trajet $O\!\to\!R\!\to\!S$ . Lequel est le plus court ?
Trajet direct : $OS=\sqrt{65}\approx8{,}06$ km. Trajet $O\!\to\!R\!\to\!S$ : $OR=5$ puis $RS=2\sqrt5\approx4{,}47$ , soit $5+2\sqrt5\approx9{,}47$ km. Le trajet direct est plus court.

Revoir le tutoriel de cette mécanique