MathématiquesFiche 2 · Calcul vectorielRelation de Chasles et combinaisons linéaires — TUTORIEL
Mécanique 2 · Tutoriel

Relation de Chasles et combinaisons linéaires — TUTORIEL

La mécanique à maîtriser avant de passer aux exercices.

Rappella relation de Chasles et ses deux réflexes
  AB→+BC→=AC→    AB→=−BA→    AA→=0⃗  \boxed{\;\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\;}\qquad\qquad \boxed{\;\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}\;}\qquad\qquad \boxed{\;\overrightarrow{AA}=\vec 0\;}
  • Chasles : quand l'extrémité d'un vecteur est l'origine du suivant, la lettre commune « s'efface » : AB‾→+B‾C→=AC→\overrightarrow{A\underline{B}}+\overrightarrow{\underline{B}C}=\overrightarrow{AC}.
  • Opposé : échanger les deux lettres change le signe. On s'en sert pour transformer une soustraction en addition.
  • Vecteur nul : AA→=0⃗\overrightarrow{AA}=\vec0 ; il disparaît d'une somme.
L'essentielle principe « bout à bout »

Additionner des vecteurs, c'est enchaîner des déplacements : on va de AA à BB, puis de BB à CC… Le vecteur résultant relie l'origine du premier à l'extrémité du dernier. Tout l'art consiste à réécrire chaque terme (avec des opposés ou des équipollences) pour faire apparaître ces enchaînements.

Méthodesimplifier une somme de vecteurs
  1. Transformer les soustractions : remplacer −XY→-\overrightarrow{XY} par +YX→+\overrightarrow{YX}.
  2. Réordonner pour créer des enchaînements bout à bout (extrémité == origine suivante).
  3. Effacer les lettres intermédiaires par Chasles : AB‾→+B‾C→=AC→\overrightarrow{A\underline{B}}+\overrightarrow{\underline{B}C}=\overrightarrow{AC}.
  4. Faire disparaître tout AA→=0⃗\overrightarrow{AA}=\vec0 qui apparaît.
Exempleune chaîne à simplifier

Simplifions s⃗=AB→+BC→+CD→\vec s=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}. Les termes sont déjà bout à bout :

AB→+BC→=AC→,AC→+CD→=AD→.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC},\qquad \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}.

Donc s⃗=AD→\vec s=\overrightarrow{AD}.

Exempletransformer une soustraction

Simplifions t⃗=AB→−CB→\vec t=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}. On écrit −CB→=BC→-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BC}, d'où

t⃗=AB→+BC→=AC→.\vec t=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.
L'essentielrègle du parallélogramme et combinaisons linéaires

Quand deux vecteurs partent du même point AA, leur somme est la diagonale du parallélogramme : si AB→+AD→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}, alors ABCDABCD est un parallélogramme. Réciproquement, dans un parallélogramme ABCDABCD (sommets dans l'ordre), les côtés opposés donnent AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} et AD→=BC→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC} : ce sont ces égalités qui permettent d'exprimer un vecteur comme combinaison linéaire α u⃗+β v⃗\alpha\,\vec u+\beta\,\vec v d'autres vecteurs.

Piègeles fautes fréquentes
  • Chasles n'agit que si les vecteurs se touchent : extrémité de l'un == origine de l'autre. Sinon, on transforme d'abord (opposé ou équipollence).
  • AB→+CD→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD} ne se simplifie pas tel quel (pas de lettre commune bien placée).
  • Ne pas oublier le signe : −XY→=+YX→-\overrightarrow{XY}=+\overrightarrow{YX} (on inverse les lettres, on ne se contente pas de changer le signe devant).
Ensuite, 3 niveaux d'exercices :
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