Mécanique 1 · Tutoriel

Composantes et norme d'un vecteur

La mécanique à maîtriser avant de passer aux exercices.

Tout le calcul vectoriel repose sur une seule opération : transformer deux points en un couple de nombres, les composantes du vecteur. Une fois ce réflexe acquis, normes, angles, colinéarité et produit scalaire deviennent de simples calculs. Ce thème installe donc le geste fondateur.

Rappelles deux formules du thème

Si $A\,(x_A\,;y_A)$ et $B\,(x_B\,;y_B)$ dans un repère, alors

\boxed{\;\overrightarrow{AB}\,\bigl(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A\bigr)\;} \qquad \boxed{\;\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\;}

les composantes = « extrémité moins origine », coordonnée par coordonnée ;
la norme = longueur du vecteur, toujours positive ou nulle.

L'essentield'où vient la racine carrée ?

La norme n'est rien d'autre que le théorème de Pythagore. Les deux composantes $(x_B-x_A)$ et $(y_B-y_A)$ sont les deux côtés d'un triangle rectangle ; le vecteur $\overrightarrow{AB}$ en est l'hypoténuse. Sa longueur est donc la racine de la somme des carrés des deux côtés.

Les composantes $(4;3)$ sont les côtés du triangle rectangle ; la norme $\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert=\sqrt{4^2+3^2}=5$ en est l'hypoténuse.

Méthodecalculer les composantes puis la norme de $\overrightarrow{AB}$

Repérer clairement l'origine $A$ (départ de la flèche) et l'extrémité $B$ .
Composantes : soustraire « B moins A », coordonnée par coordonnée : $(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)$ . Jamais l'inverse !
Norme : élever chaque composante au carré, additionner, prendre la racine.
Laisser la norme sous forme exacte ( $\sqrt{13}$ , $2\sqrt5$ …) sauf si une valeur approchée est demandée.

Exempleun calcul complet, pas à pas

Soit $A\,(-1;2)$ et $B\,(3;-1)$ .

Composantes (extrémité moins origine) :

\overrightarrow{AB}\,\bigl(3-(-1)\,;\,-1-2\bigr)=\overrightarrow{AB}\,(4;-3).

Norme (Pythagore) :

\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert=\sqrt{4^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.

La première composante $+4$ se lit « $4$ vers la droite », la seconde $-3$ « $3$ vers le bas ».

Exemplegarder la forme exacte avec un radical

Soit $C\,(0;0)$ et $D\,(2;\sqrt5)$ . Alors $\overrightarrow{CD}\,(2;\sqrt5)$ et

\left\lVert \overrightarrow{CD}\right\rVert=\sqrt{2^2+(\sqrt5)^2}=\sqrt{4+5}=\sqrt9=3.

On n'écrit pas $\sqrt5\approx2{,}24$ : on garde $(\sqrt5)^2=5$ , c'est exact et bien plus simple.

Piègeles erreurs qui coûtent des points

Sens de la soustraction : $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\dots)$ , pas $(x_A-x_B;\dots)$ . Inverser donne le vecteur opposé $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ (même longueur, sens contraire).
Le carré d'un négatif est positif : $(-3)^2=+9$ , pas $-9$ . La norme ne peut jamais être négative.
$(\sqrt5)^2=5$ et non $5^2=25$ . Un radical au carré « disparaît ».
Ne pas confondre les composantes (un couple de nombres) et la norme (un seul nombre positif).
Unité : si les coordonnées sont en kilomètres, composantes et norme sont en kilomètres ; en mathématiques « pures », ce sont de simples nombres.

Ensuite, 3 niveaux d'exercices :

FacileMoyenDifficile

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