vecteurs cinematiques dans le plan

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Facile15 exercices

Exercice 1projeter un vecteur vitesse

Décompose la vitesse sur les axes ( $v_x=v\cos\theta$ , $v_y=v\sin\theta$ ).

a)
$v=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\theta=30^{\circ}$ avec l'horizontale.
$v_x=10\cos30^{\circ}=10\cdot\frac{\sqrt3}{2}=5\sqrt3\approx8{,}66\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_y=10\sin30^{\circ}=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
$v=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\theta=60^{\circ}$ .
$v_x=10\cos60^{\circ}=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_y=10\sin60^{\circ}=5\sqrt3\approx8{,}66\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
(Les rôles de $v_x$ et $v_y$ s'échangent entre 30 et 60 : ce sont des angles complémentaires.)

Exercice 2reconstituer la norme et l'angle

On connaît les composantes ; retrouve la norme $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$ et l'angle $\theta$ .

a)
$v_x=6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_y=8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
$v=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\theta=\arctan\frac{8}{6}\approx53^{\circ}$ .
b)
$v_x=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_y=12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
$v=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\theta=\arctan\frac{12}{5}\approx67^{\circ}$ .

Exercice 3composition à angle droit

Un bateau avance à $8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ perpendiculairement à la rive ; le courant, parallèle à la rive, vaut $6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

a)
Quelle est la vitesse du bateau par rapport à la rive (le sol) ?
Les deux vitesses sont perpendiculaires : $v=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
De quel angle sa trajectoire est-elle déviée par rapport à sa direction propre ?
Déviation $\theta=\arctan\dfrac{v_{\text{courant}}}{v_{\text{bateau}}}=\arctan\dfrac{6}{8}\approx36{,}9^{\circ}$ vers l'aval.

Exercice 4composition sur une même droite

Sur un tapis roulant d'aéroport qui avance à $0{,}8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , un voyageur marche à $1{,}5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ par rapport au tapis.

a)
Quelle est sa vitesse par rapport au sol s'il marche dans le sens du tapis ?
Vitesses colinéaires : on les ajoute algébriquement.
Même sens : $1{,}5+0{,}8=2{,}3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Et s'il marche à contre-sens (vers l'arrière) ?
Sens opposé : $1{,}5-0{,}8=0{,}7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (dans le sens de la marche, car le voyageur va plus vite que le tapis).

Exercice 5norme constante ou vecteur constant ?

Réponds par vrai ou faux et justifie brièvement.

a)
Un mobile dont la norme de la vitesse est constante a forcément un vecteur vitesse constant.
Faux : la direction peut changer (trajectoire courbe) tout en gardant la même norme ; le vecteur vitesse varie alors, et le mobile accélère.
b)
Un mobile en mouvement rectiligne uniforme (MRU) a un vecteur vitesse constant.
Vrai : rectiligne (direction fixe) et uniforme (norme fixe), et le sens ne change pas : les trois caractéristiques du vecteur sont constantes.

Exercice 6projeter à 45

Un mobile se déplace à $v=20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en faisant un angle $\theta=45^{\circ}$ avec l'horizontale $Ox$ .

a)
Calcule la composante horizontale $v_x$ .
$v_x=v\cos45^{\circ}=20\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=10\sqrt2\approx14{,}14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Calcule la composante verticale $v_y$ . Que remarques-tu en comparant $v_x$ et $v_y$ ?
$v_y=v\sin45^{\circ}=10\sqrt2\approx14{,}14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : à 45, $v_x=v_y$ (les deux composantes sont égales).

Exercice 7reconstituer norme et angle

On donne les composantes d'une vitesse ; retrouve sa norme $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$ et l'angle $\theta$ avec $Ox$ .

a)
$v_x=9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_y=12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
$v=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\theta=\arctan\dfrac{12}{9}\approx53{,}1^{\circ}$ .
b)
$v_x=8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_y=15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
$v=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\theta=\arctan\dfrac{15}{8}\approx61{,}9^{\circ}$ .

Exercice 8nageuse perpendiculaire au courant

Une nageuse traverse un canal en pointant perpendiculairement à la rive, à $1{,}2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Le courant, parallèle à la rive, vaut $0{,}5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

a)
Quelle est sa vitesse par rapport à la rive ?
Vitesses perpendiculaires : $v=\sqrt{1{,}2^2+0{,}5^2}=\sqrt{1{,}69}=1{,}3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
De quel angle sa trajectoire est-elle déviée par rapport à sa direction propre ?
$\theta=\arctan\dfrac{0{,}5}{1{,}2}\approx22{,}6^{\circ}$ vers l'aval.

Exercice 9vent arrière, vent de face

Un avion vole à $250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ par rapport à l'air, en ligne droite. Le vent souffle selon la même direction que son déplacement, à $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

a)
Quelle est sa vitesse par rapport au sol si le vent le pousse (vent arrière) ?
Vitesses colinéaires : addition algébrique.
Vent arrière (même sens) : $250+30=280\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Et si le vent lui est contraire (vent de face) ?
Vent de face (sens opposé) : $250-30=220\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 10vecteur déplacement et vitesse moyenne

Un mobile passe du point $A(0\,;0)$ au point $B(6\,;8)$ (coordonnées en mètres) en $4\,\mathrm{s}$ .

a)
Quelle est la longueur du vecteur déplacement $\overrightarrow{AB}$ ?
$\lVert\overrightarrow{AB}\rVert=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\,\mathrm{m}$ .
b)
Quelle est la norme de sa vitesse moyenne ?
$v_{\text{moy}}=\dfrac{\lVert\overrightarrow{AB}\rVert}{\Delta t}=\dfrac{10}{4}=2{,}5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (dirigée de $A$ vers $B$ , soit $\arctan\frac{8}{6}\approx53^{\circ}$ au-dessus de $Ox$ ).

Exercice 11retrouver la composante manquante

Une vitesse a pour norme $v=13\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et pour composante horizontale $v_x=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

a)
Quelle est sa composante verticale $v_y$ ?
Pythagore : $v_y=\sqrt{v^2-v_x^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Quel angle fait cette vitesse avec l'axe $Ox$ ?
$\theta=\arctan\dfrac{v_y}{v_x}=\arctan\dfrac{12}{5}\approx67{,}4^{\circ}$ .

Exercice 12lire un vecteur sur une grille

Sur la grille ci-dessous, chaque carreau représente $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Le vecteur vitesse $\vec{v}$ part de l'origine.

a)
Lis les composantes $v_x$ et $v_y$ sur la grille.
$v_x=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (4 carreaux vers la droite) et $v_y=3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (3 carreaux vers le haut).
b)
Déduis-en la norme de $\vec{v}$ .
$v=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 13même vitesse, mais quel vecteur ?

Deux voitures roulent à $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : l'une vers l'Est, l'autre vers le Nord.

a)
Ont-elles la même vitesse scalaire (même « rapidité ») ?
Oui : la norme (la rapidité) est la même, $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ pour les deux.
b)
Ont-elles le même vecteur vitesse ? Justifie.
Non : les directions diffèrent (Est $\neq$ Nord). Or un vecteur porte direction, sens et norme ; deux directions différentes donnent deux vecteurs vitesse différents.

Exercice 14somme de deux vitesses perpendiculaires égales

On compose deux vitesses perpendiculaires de même norme : $v_1=v_2=3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (l'une vers l'Est, l'autre vers le Nord).

a)
Quelle est la norme de la vitesse résultante ?
$v=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt2\approx4{,}24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Quel angle fait-elle avec chacune des deux directions ?
Composantes égales $\Rightarrow$ la résultante est sur la bissectrice : $\theta=\arctan\dfrac{3}{3}=45^{\circ}$ avec chaque direction.

Exercice 15direction du vecteur vitesse sur un cercle

Un point $M$ parcourt un cercle dans le sens anti-horaire à vitesse de norme constante (mouvement circulaire uniforme).

a)
Quelle est la direction du vecteur vitesse $\vec{v}$ par rapport au rayon $OM$ ?
$\vec{v}$ est toujours tangent au cercle, donc perpendiculaire au rayon $OM$ .
b)
La norme de $\vec{v}$ est constante : le vecteur $\vec{v}$ est-il pour autant constant ?
Non : sa direction tourne sans cesse le long du cercle. La norme reste constante mais le vecteur change : il y a donc une accélération (centripète).

Moyen15 exercices

Exercice 1traversée d'une rivière

Un bateau dirige son étrave perpendiculairement à la rive et avance à $4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . La rivière, large de $60\,\mathrm{m}$ , a un courant de $3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ parallèle aux rives.

a)
Quelle est la vitesse du bateau par rapport au sol ?
Perpendiculaires : $v=\sqrt{4^2+3^2}=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
De quel angle sa trajectoire réelle est-elle déviée ?
$\theta=\arctan\dfrac{3}{4}\approx36{,}9^{\circ}$ vers l'aval.
c)
Combien de temps met-il pour atteindre l'autre rive ?
Le temps ne dépend que de la composante vers l'autre rive ( $4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) : $t=\dfrac{60}{4}=15\,\mathrm{s}$ .
d)
De quelle distance a-t-il été emporté vers l'aval ?
Dérive $=v_{\text{courant}}\times t=3\times15=45\,\mathrm{m}$ vers l'aval.

Exercice 2décomposition inverse

Une balle part avec une vitesse de norme $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . On souhaite que sa composante verticale soit $v_y=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

a)
Sous quel angle $\theta$ faut-il la lancer ?
$v_y=v\sin\theta \Rightarrow \sin\theta=\dfrac{10}{20}=0{,}5 \Rightarrow \theta=30^{\circ}$ .
b)
Que vaut alors sa composante horizontale $v_x$ ?
$v_x=v\cos30^{\circ}=20\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=10\sqrt3\approx17{,}3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 3addition par composantes

Deux vitesses perpendiculaires se composent : $\vec{v}_1=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vers l'Est et $\vec{v}_2=12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vers le Nord.

a)
Quelle est la norme de la vitesse résultante ?
$v=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Quel angle fait-elle avec la direction Est ?
$\theta=\arctan\dfrac{12}{5}\approx67{,}4^{\circ}$ par rapport à l'Est (soit 22,6 par rapport au Nord).

Exercice 4accélérer à norme constante

Un point décrit un cercle à vitesse de norme constante $2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (MCU). On compare le vecteur vitesse en deux points séparés d'un quart de tour (les directions font alors un angle de 90).

a)
Représente $\vec{v}_1$ et $\vec{v}_2$ et détermine la norme de la variation $\Delta\vec{v}=\vec{v}_2-\vec{v}_1$ .
$\vec{v}_1$ et $\vec{v}_2$ ont même norme $2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ mais sont perpendiculaires. Le triangle de la soustraction est rectangle isocèle :
$\lVert\Delta\vec{v}\rVert=\sqrt{v_1^2+v_2^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2\approx2{,}83\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.$
b)
Que peut-on conclure sur l'accélération, alors que la norme de la vitesse n'a pas changé ?
La vitesse a changé (en direction) : $\Delta\vec{v}\neq\vec{0}$ , donc il y a une accélération, bien que la norme soit restée constante. C'est l'accélération centripète du MCU.

Exercice 5avion dans le vent

Un avion vole vers le Nord à $160\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ par rapport à l'air. Un vent d'Ouest (soufflant vers l'Est) de $120\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ le pousse perpendiculairement.

a)
Quelle est la vitesse de l'avion par rapport au sol ?
Perpendiculaires : $v=\sqrt{160^2+120^2}=\sqrt{25600+14400}=\sqrt{40000}=200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
b)
De quel angle sa trajectoire est-elle déviée par rapport au Nord ?
$\theta=\arctan\dfrac{120}{160}=\arctan0{,}75\approx36{,}9^{\circ}$ vers l'Est par rapport au Nord.

Exercice 6pointer en amont pour accoster en face

Une rivière large de $120\,\mathrm{m}$ a un courant de $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Un canoë avance à $13\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ par rapport à l'eau ; le pilote veut accoster juste en face du point de départ.

a)
Sous quel angle, par rapport à la perpendiculaire aux rives, doit-il pointer son étrave (vers l'amont) ?
La composante amont du canoë doit compenser le courant : $\sin\alpha=\dfrac{v_{\text{cour}}}{v_{\text{canoë}}}=\dfrac{5}{13}\Rightarrow\alpha\approx22{,}6^{\circ}$ vers l'amont.
b)
Quelle est alors sa vitesse effective de traversée (vers l'autre rive) ?
Vitesse effective $=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (composante perpendiculaire aux rives).
c)
Combien de temps dure la traversée ?
$t=\dfrac{120}{12}=10\,\mathrm{s}$ .

Exercice 7composer deux vitesses à 60

Deux vitesses de même norme $v_1=v_2=6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ font entre elles un angle de 60.

a)
Calcule la norme de la vitesse résultante $\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2$ .
Loi des cosinus : $v=\sqrt{v_1^2+v_2^2+2v_1v_2\cos60^{\circ}}=\sqrt{36+36+2\cdot36\cdot0{,}5}=\sqrt{108}=6\sqrt3\approx10{,}4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Quelle direction fait-elle avec $\vec{v}_1$ ?
Les deux normes étant égales, $\vec{v}$ est sur la bissectrice : elle fait 30 avec $\vec{v}_1$ .

Exercice 8vitesse relative de deux mobiles

Sur un plan d'eau, un bateau $A$ file vers l'Est à $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et un bateau $B$ file vers le Nord à $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

a)
Détermine les composantes de la vitesse de $A$ par rapport à $B$ : $\vec{v}_{A/B}=\vec{v}_A-\vec{v}_B$ .
$\vec{v}_A=(30\,;0)$ et $\vec{v}_B=(0\,;40)$ , donc $\vec{v}_{A/B}=(30-0\,;\,0-40)=(30\,;-40)$ : $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vers l'Est et $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vers le Sud.
b)
Quelles sont sa norme et sa direction ?
$v_{A/B}=\sqrt{30^2+40^2}=\sqrt{2500}=50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; direction $\arctan\dfrac{40}{30}\approx53{,}1^{\circ}$ au Sud de l'Est.

Exercice 9variation du vecteur vitesse et accélération

Un point en mouvement circulaire uniforme a une vitesse de norme constante $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Entre deux instants, sa direction tourne de 60.

a)
Détermine la norme de la variation $\Delta\vec{v}=\vec{v}_2-\vec{v}_1$ .
Triangle isocèle d'angle au sommet 60 : $\lVert\Delta\vec{v}\rVert=2v\sin\dfrac{60^{\circ}}{2}=2\cdot10\cdot\sin30^{\circ}=2\cdot10\cdot0{,}5=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Si ce changement s'est produit en $2\,\mathrm{s}$ , quelle est la norme de l'accélération moyenne ?
$a_{\text{moy}}=\dfrac{\lVert\Delta\vec{v}\rVert}{\Delta t}=\dfrac{10}{2}=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Exercice 10retrouver la vitesse du courant

Un bac traverse une rivière large de $80\,\mathrm{m}$ en pointant droit vers l'autre rive à $4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . À l'arrivée, on constate qu'il a dérivé de $30\,\mathrm{m}$ vers l'aval.

a)
Combien de temps a duré la traversée ?
Le temps ne dépend que de la composante vers l'autre rive : $t=\dfrac{80}{4}=20\,\mathrm{s}$ .
b)
Quelle est la vitesse du courant ?
Dérive $=v_{\text{cour}}\times t\Rightarrow v_{\text{cour}}=\dfrac{30}{20}=1{,}5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
c)
Quelle a été la vitesse du bac par rapport au sol ?
$v=\sqrt{4^2+1{,}5^2}=\sqrt{18{,}25}\approx4{,}27\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 11cap relevé et courant

Un navire suit un cap N30E (soit 30 vers l'Est à partir du Nord) à $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Un courant marin de $4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ porte vers l'Est.

a)
Décompose la vitesse propre du navire en composantes Est et Nord.
Est $=10\sin30^{\circ}=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; Nord $=10\cos30^{\circ}=5\sqrt3\approx8{,}66\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Ajoute le courant : quelles sont les composantes Est et Nord de la vitesse par rapport au fond ?
Est $=5+4=9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; Nord $=8{,}66\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (le courant n'a pas de composante Nord).
c)
Quelle est la norme de cette vitesse résultante ?
$v=\sqrt{9^2+8{,}66^2}=\sqrt{156}\approx12{,}5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 12deviner le vent

Un avion maintient un cap plein Nord à $200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ par rapport à l'air. Un observateur au sol mesure que sa vitesse par rapport au sol vaut $250\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Le vent souffle perpendiculairement au cap.

a)
Quelle est la vitesse du vent ?
Vent perpendiculaire au cap : $v_{\text{vent}}=\sqrt{v_{\text{sol}}^2-v_{\text{air}}^2}=\sqrt{250^2-200^2}=\sqrt{22500}=150\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
b)
De quel angle la trajectoire réelle est-elle déviée par rapport au Nord ?
$\theta=\arctan\dfrac{150}{200}=\arctan0{,}75\approx36{,}9^{\circ}$ par rapport au Nord.

Exercice 13un drone monte en ligne droite

Un drone se déplace en ligne droite à $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , sa vitesse faisant un angle $\theta=53^{\circ}$ avec l'horizontale (on prendra $\cos53^{\circ}\approx0{,}6$ et $\sin53^{\circ}\approx0{,}8$ ).

a)
Détermine les composantes horizontale $v_x$ et verticale $v_y$ de sa vitesse.
$v_x=15\cos53^{\circ}\approx15\cdot0{,}6=9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_y=15\sin53^{\circ}\approx15\cdot0{,}8=12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Quelle distance horizontale parcourt-il en $10\,\mathrm{s}$ ?
Le mouvement horizontal est uniforme : $x=v_x\,t=9\times10=90\,\mathrm{m}$ .
c)
De combien s'est-il élevé pendant ces $10\,\mathrm{s}$ ?
De même verticalement : $y=v_y\,t=12\times10=120\,\mathrm{m}$ .

Exercice 14deux tronçons perpendiculaires

Un randonneur marche à $4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vers l'Est pendant $30\,\mathrm{s}$ , puis à $3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vers le Nord pendant $40\,\mathrm{s}$ .

a)
Quelles sont les composantes Est et Nord de son déplacement total ?
Est $=4\times30=120\,\mathrm{m}$ ; Nord $=3\times40=120\,\mathrm{m}$ .
b)
Quelle est la longueur (à vol d'oiseau) de ce déplacement ?
$d=\sqrt{120^2+120^2}=120\sqrt2\approx169{,}7\,\mathrm{m}$ .
c)
Quelle est la norme de sa vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet ?
Durée totale $=30+40=70\,\mathrm{s}$ , donc $v_{\text{moy}}=\dfrac{169{,}7}{70}\approx2{,}42\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (à comparer à la vitesse moyenne scalaire $\frac{120+120}{70}\approx3{,}43\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , plus grande car elle suit le chemin réellement parcouru).

Exercice 15composer deux vitesses à 120

Deux vitesses $v_1=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $v_2=8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ font entre elles un angle de 120.

a)
Calcule la norme de la résultante.
$v=\sqrt{5^2+8^2+2\cdot5\cdot8\cos120^{\circ}}=\sqrt{25+64+80\cdot(-0{,}5)}=\sqrt{49}=7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Quel angle la résultante fait-elle avec $\vec{v}_1$ ?
En plaçant $\vec{v}_1$ sur $Ox$ : $\vec{v}_2=(8\cos120^{\circ}\,;8\sin120^{\circ})=(-4\,;6{,}93)$ , d'où $\vec{v}=(1\,;6{,}93)$ et $\theta=\arctan\dfrac{6{,}93}{1}\approx81{,}8^{\circ}$ à partir de $\vec{v}_1$ .

Difficile14 exercices

Exercice 1l'avion, le vent et le cap

Un avion se dirige plein Nord à $v_a=80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ par rapport à l'air. Un vent d'Est souffle perpendiculairement à $v_v=60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Les points $A$ (départ) et $B$ (arrivée) sont distants de $1200\,\mathrm{m}$ selon la direction Nord.

a)
Quelle est la vitesse de l'avion par rapport au sol s'il maintient son cap au Nord ?
Vitesses perpendiculaires : $v=\sqrt{v_a^2+v_v^2}=\sqrt{80^2+60^2}=\sqrt{10000}=100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
De quel angle sa trajectoire réelle est-elle déviée, et vers où ?
$\theta=\arctan\dfrac{v_v}{v_a}=\arctan\dfrac{60}{80}=\arctan0{,}75\approx36{,}9^{\circ}$ , déviée vers l'Est (poussée par le vent).
c)
Combien de temps met-il pour parcourir les $1200\,\mathrm{m}$ vers le Nord, et de quelle distance dérive-t-il alors sur le côté ?
La composante vers le Nord reste $v_a=80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $t=\dfrac{1200}{80}=15\,\mathrm{s}$ . Dérive latérale $=v_v\,t=60\times15=900\,\mathrm{m}$ vers l'Est.
d)
Pour atteindre réellement $B$ (droit devant), dans quelle direction doit-il orienter son cap ?
Il faut incliner le cap face au vent, vers l'Ouest, d'un angle tel que la composante Est de sa vitesse propre annule le vent : $\sin\alpha=\dfrac{60}{80}=0{,}75 \Rightarrow \alpha\approx48{,}6^{\circ}$ à l'Ouest du Nord. (À ce cap, la composante Nord vaut $80\cos48{,}6^{\circ}\approx53\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .)

Exercice 2deux stratégies pour traverser

Une rivière large de $100\,\mathrm{m}$ a un courant de $3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Un canoë avance à $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ par rapport à l'eau.

a)
Stratégie 1 : il pointe droit vers l'autre rive. Combien de temps met-il à traverser et de combien dérive-t-il vers l'aval ?
Cap droit sur l'autre rive : la composante de traversée est $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , donc $t=\dfrac{100}{5}=20\,\mathrm{s}$ . Dérive $=3\times20=60\,\mathrm{m}$ vers l'aval.
b)
Stratégie 2 : il veut accoster juste en face du point de départ. Sous quel angle doit-il pointer, quelle est alors sa vitesse effective de traversée et combien de temps met-il ?
Pour accoster en face, la composante amont du canoë doit compenser le courant : $\sin\alpha=\dfrac{3}{5}\Rightarrow\alpha\approx36{,}9^{\circ}$ vers l'amont. La vitesse effective de traversée devient $\sqrt{5^2-3^2}=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , d'où $t=\dfrac{100}{4}=25\,\mathrm{s}$ .
c)
Quelle stratégie est la plus rapide ? Explique le compromis.
La stratégie 1 est plus rapide ( $20\,\mathrm{s}$ contre $25\,\mathrm{s}$ ) car toute la vitesse sert à traverser ; mais elle fait dériver de $60\,\mathrm{m}$ . La stratégie 2 arrive pile en face au prix d'un temps plus long : on « gaspille » une partie de la vitesse à lutter contre le courant.

Exercice 3composer trois vitesses

Un nageur est soumis à trois vitesses simultanées : $\vec{v}_1=6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vers l'Est, $\vec{v}_2=2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vers l'Ouest et $\vec{v}_3=3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vers le Nord.

a)
Détermine les composantes $v_x$ (Est $-$ Ouest) et $v_y$ (Nord) de la vitesse résultante.
Est $-$ Ouest : $v_x=6-2=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (vers l'Est) ; Nord : $v_y=3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Calcule la norme et la direction de la vitesse résultante.
$v=\sqrt{4^2+3^2}=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; direction $\theta=\arctan\dfrac{3}{4}\approx36{,}9^{\circ}$ au Nord de l'Est.

Exercice 4vrai/faux sur les grandeurs vectorielles

Indique pour chaque affirmation si elle est vraie ou fausse, puis compte les affirmations vraies.

a)
Le vecteur vitesse décrit uniquement la norme (la « rapidité ») du mouvement.
Faux : le vecteur vitesse porte trois informations — direction, sens et norme.
b)
Deux voitures roulant en sens opposés à $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ont le même vecteur vitesse.
Faux : même norme, mais sens opposés $\Rightarrow$ vecteurs différents.
c)
En mouvement circulaire uniforme, le vecteur vitesse change de direction : il n'est pas constant.
Vrai : la direction (tangente au cercle) tourne sans cesse.
d)
Une grandeur vectorielle possède une norme, un sens et une direction.
Vrai : c'est la définition d'un vecteur.
e)
Tout corps décrivant une trajectoire courbe est en état d'accélération.
Vrai : direction changeante $\Rightarrow$ vecteur vitesse variable $\Rightarrow$ accélération (centripète au minimum).
Bilan : 3 affirmations vraies (c, d, e).

Exercice 5dériver le moins possible dans un courant fort

Une barque avance à $v_b=3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ par rapport à l'eau. Elle traverse une rivière large de $100\,\mathrm{m}$ dont le courant $v_c=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ est plus rapide que la barque. On admet que la dérive vers l'aval est minimale lorsque l'étrave est pointée vers l'amont d'un angle $\alpha$ (compté depuis la perpendiculaire aux rives) vérifiant $\sin\alpha=\dfrac{v_b}{v_c}$ .

a)
Peut-elle accoster juste en face du point de départ ? Justifie.
Pour accoster en face il faudrait $v_b\sin\alpha=v_c$ , soit $\sin\alpha=\frac{5}{3}>1$ : impossible. Comme $v_c>v_b$ , la barque dérive forcément vers l'aval.
b)
Calcule l'angle $\alpha$ qui minimise la dérive.
$\sin\alpha=\dfrac{v_b}{v_c}=\dfrac{3}{5}=0{,}6\Rightarrow\alpha\approx36{,}9^{\circ}$ (et $\cos\alpha=0{,}8$ ).
c)
Quelle est alors la durée de la traversée ?
Vitesse de traversée $=v_b\cos\alpha=3\times0{,}8=2{,}4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , d'où $t=\dfrac{100}{2{,}4}\approx41{,}7\,\mathrm{s}$ .
d)
Quelle est la dérive minimale vers l'aval ?
Vitesse résiduelle vers l'aval $=v_c-v_b\sin\alpha=5-3\times0{,}6=3{,}2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; dérive $=3{,}2\times41{,}7\approx133\,\mathrm{m}$ .

Exercice 6corriger son cap face au vent

Un avion léger doit rejoindre une ville située plein Nord, à $360\,\mathrm{km}$ . Sa vitesse propre (par rapport à l'air) est $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Un vent régulier de $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ souffle vers l'Est.

a)
De quel angle, à l'Ouest du Nord, le pilote doit-il orienter son cap pour que sa trajectoire réelle soit plein Nord ?
La composante Ouest de la vitesse propre doit annuler le vent : $\sin\beta=\dfrac{50}{130}\approx0{,}385\Rightarrow\beta\approx22{,}6^{\circ}$ à l'Ouest du Nord.
b)
Quelle est alors sa vitesse effective vers le Nord (par rapport au sol) ?
Vitesse vers le Nord $=\sqrt{130^2-50^2}=\sqrt{14400}=120\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
c)
Combien de temps dure le trajet ?
$t=\dfrac{360}{120}=3\,\mathrm{h}$ .
d)
Combien de temps aurait-il mis sans vent ? Conclus.
Sans vent : $t_0=\dfrac{360}{130}\approx2{,}77\,\mathrm{h}$ (soit environ $2\,\mathrm{h}$ $46\,\mathrm{min}$ ). Le vent lui coûte environ $14\,\mathrm{min}$ : corriger le cap « gaspille » une partie de la vitesse.

Exercice 7distance minimale entre deux bateaux

À l'instant $t=0$ , un bateau $A$ se trouve à l'origine et file vers l'Est à $3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Un bateau $B$ se trouve alors à $200\,\mathrm{m}$ à l'Est de $A$ et file vers le Nord à $4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

a)
Quelle est la vitesse de $B$ par rapport à $A$ (composantes et norme) ?
$\vec{v}_{B/A}=\vec{v}_B-\vec{v}_A=(0-3\,;\,4-0)=(-3\,;4)$ : $3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vers l'Ouest et $4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vers le Nord, de norme $\sqrt{3^2+4^2}=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
À quel instant les deux bateaux sont-ils au plus près l'un de l'autre ?
Dans le référentiel de $A$ , $B$ part de $(200\,;0)$ et suit la droite $\vec{r}(t)=(200-3t\,;\,4t)$ . On minimise $\lVert\vec{r}\rVert^2=(200-3t)^2+(4t)^2=25t^2-1200t+40000$ , minimum en $t=\dfrac{1200}{2\times25}=24\,\mathrm{s}$ .
c)
Quelle est cette distance minimale ?
$\lVert\vec{r}\rVert^2=25(24)^2-1200(24)+40000=25600$ , soit $d_{\min}=\sqrt{25600}=160\,\mathrm{m}$ .

Exercice 8rebond élastique contre un mur

Une balle arrive sur un mur vertical à $8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , sa vitesse faisant un angle de 60 avec la surface du mur. Le rebond est élastique : la composante parallèle au mur est conservée, la composante perpendiculaire est inversée.

a)
Décompose la vitesse d'arrivée en une composante parallèle et une composante perpendiculaire au mur.
Parallèle au mur : $v_\parallel=8\cos60^{\circ}=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; perpendiculaire : $v_\perp=8\sin60^{\circ}=4\sqrt3\approx6{,}93\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Détermine la norme et la direction de la variation $\Delta\vec{v}=\vec{v}\,'-\vec{v}$ .
Seule la composante perpendiculaire est inversée : $\Delta\vec{v}$ est perpendiculaire au mur, de norme $2v_\perp=8\sqrt3\approx13{,}86\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (dirigée du mur vers l'extérieur).
c)
La norme de la vitesse a-t-elle changé lors du rebond ?
Non : $v'=\sqrt{v_\parallel^2+v_\perp^2}=\sqrt{4^2+(4\sqrt3)^2}=\sqrt{64}=8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , inchangée. Pourtant le vecteur vitesse a changé : il y a eu accélération pendant le choc.

Exercice 9trois vitesses à 120 les unes des autres

Un objet est soumis à trois vitesses de même norme $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , dirigées respectivement à 0, 120 et 240 par rapport à l'axe $Ox$ .

a)
Donne les composantes $(v_x\,;v_y)$ de chacune des trois vitesses.
$\vec{v}_1=(5\,;0)$ ; $\vec{v}_2=(5\cos120^{\circ}\,;5\sin120^{\circ})=(-2{,}5\,;4{,}33)$ ; $\vec{v}_3=(5\cos240^{\circ}\,;5\sin240^{\circ})=(-2{,}5\,;-4{,}33)$ .
b)
Quelle est la vitesse résultante ? Interprète.
Somme $=(5-2{,}5-2{,}5\,;\,0+4{,}33-4{,}33)=(0\,;0)$ : la résultante est nulle (trois vecteurs égaux à 120 se compensent, comme trois branches symétriques).
c)
Si l'on supprime la troisième vitesse (celle à 240), quelle est la norme de la résultante des deux autres ?
La résultante des deux premières vaut $\vec{v}_1+\vec{v}_2=(2{,}5\,;4{,}33)$ , de norme $\sqrt{2{,}5^2+4{,}33^2}=\sqrt{25}=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : c'est l'opposé exact de $\vec{v}_3$ .

Exercice 10intercepter une bouée à la dérive

Une bouée dérive vers l'Est à $3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Un canot de sauvetage, capable de $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , part d'un point situé $80\,\mathrm{m}$ plein Sud de la bouée. On veut l'intercepter (la rejoindre).

a)
Pourquoi la composante Est de la vitesse du canot doit-elle valoir exactement $3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ?
Pour rester constamment aligné Nord–Sud avec la bouée (qui glisse vers l'Est), le canot doit accompagner ce glissement : sa composante Est doit égaler celle de la bouée, soit $3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Quelle est alors sa composante vers le Nord ?
Il reste, pour la composante Nord : $\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
c)
Dans quelle direction doit-il pointer (angle par rapport au Nord) ?
$\theta=\arctan\dfrac{3}{4}\approx36{,}9^{\circ}$ à l'Est du Nord.
d)
Au bout de combien de temps rejoint-il la bouée ?
La distance Nord–Sud ( $80\,\mathrm{m}$ ) est comblée à $4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $t=\dfrac{80}{4}=20\,\mathrm{s}$ .

Exercice 11marcher en travers d'un navire en route

Un navire file vers l'Est à $6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Un passager marche sur le pont à $2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , dans une direction faisant 60 avec l'axe du navire (vers l'avant et vers le Nord).

a)
Quelles sont les composantes Est et Nord de la vitesse du passager par rapport au navire ?
Est $=2\cos60^{\circ}=1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; Nord $=2\sin60^{\circ}=\sqrt3\approx1{,}73\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Quelles sont les composantes de sa vitesse par rapport à la mer ?
On ajoute la vitesse du navire (vers l'Est) : Est $=6+1=7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; Nord $=1{,}73\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
c)
Quelles sont la norme et la direction de cette vitesse par rapport à la mer ?
$v=\sqrt{7^2+1{,}73^2}=\sqrt{52}\approx7{,}21\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; direction $\arctan\dfrac{1{,}73}{7}\approx13{,}9^{\circ}$ au Nord de l'Est.
d)
De combien s'est-il déplacé vers le Nord au bout de $10\,\mathrm{s}$ ?
Le mouvement Nord ne dépend que de la composante Nord : $y=1{,}73\times10\approx17{,}3\,\mathrm{m}$ .

Exercice 12accélération moyenne dans un virage

Une voiture aborde un virage à vitesse de norme constante. À $t=0$ sa vitesse est $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vers l'Est ; à $t=5\,\mathrm{s}$ elle est $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vers le Nord.

a)
Donne les composantes de la variation $\Delta\vec{v}=\vec{v}_f-\vec{v}_i$ .
$\vec{v}_i=(20\,;0)$ , $\vec{v}_f=(0\,;20)$ , donc $\Delta\vec{v}=(0-20\,;\,20-0)=(-20\,;20)$ : $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vers l'Ouest et $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vers le Nord.
b)
Quelle est la norme de $\Delta\vec{v}$ ?
$\lVert\Delta\vec{v}\rVert=\sqrt{20^2+20^2}=20\sqrt2\approx28{,}3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
c)
Quelle est la norme du vecteur accélération moyenne ?
$a_{\text{moy}}=\dfrac{\lVert\Delta\vec{v}\rVert}{\Delta t}=\dfrac{20\sqrt2}{5}=4\sqrt2\approx5{,}66\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .
d)
Dans quelle direction pointe cette accélération moyenne ?
$\Delta\vec{v}=(-20\,;20)$ pointe vers le Nord-Ouest (45 entre Nord et Ouest), c.-à-d. vers l'intérieur du virage.

Exercice 13montgolfière dans le vent

Une montgolfière s'élève verticalement à $4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ tandis qu'un vent horizontal régulier la pousse vers l'Est à $3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . On étudie son mouvement dans le plan vertical (Est, altitude).

a)
Quelle est la vitesse de la nacelle par rapport au sol (norme et angle avec l'horizontale) ?
$v=\sqrt{4^2+3^2}=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; angle avec l'horizontale $=\arctan\dfrac{4}{3}\approx53{,}1^{\circ}$ .
b)
Quels déplacements horizontal et vertical a-t-elle effectués après $10\,\mathrm{s}$ ?
Horizontal : $x=3\times10=30\,\mathrm{m}$ ; vertical : $y=4\times10=40\,\mathrm{m}$ .
c)
À quelle distance horizontale du départ se trouve-t-elle lorsqu'elle atteint $60\,\mathrm{m}$ d'altitude ?
L'altitude $60\,\mathrm{m}$ est atteinte à $t=\dfrac{60}{4}=15\,\mathrm{s}$ , où la distance horizontale vaut $x=3\times15=45\,\mathrm{m}$ .

Exercice 14toutes les résultantes possibles

On compose deux vitesses de normes fixes $v_1=8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $v_2=6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , mais dont on peut régler l'angle mutuel.

a)
Quelle est la plus grande norme possible de la résultante ?
Vitesses de même sens (angle 0) : $v_{\max}=8+6=14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Quelle est la plus petite ?
Vitesses opposées (angle 180) : $v_{\min}=8-6=2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
c)
Que vaut la résultante lorsque les deux vitesses sont perpendiculaires ?
Perpendiculaires : $v=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
d)
Pour quel angle entre les deux vitesses la résultante vaut-elle $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ?
Loi des cosinus : $12^2=8^2+6^2+2\cdot8\cdot6\cos\theta\Rightarrow144=100+96\cos\theta\Rightarrow\cos\theta=\dfrac{44}{96}\approx0{,}458\Rightarrow\theta\approx62{,}7^{\circ}$ .

Revoir le tutoriel de cette mécanique