vitesse et acceleration 1D

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Facile15 exercices

Exercice 1conversions d'unités

Passe d'une unité à l'autre (facteur $3{,}6$ ).

a)
Convertis $72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
$\displaystyle 72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3{,}6}=20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Convertis $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
$\displaystyle 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}=30\times3{,}6=108\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Exercice 2vitesse moyenne et signe

Un mobile se déplace sur un axe $Ox$ .

a)
Il passe de $x_1=20\,\mathrm{m}$ à $x_2=170\,\mathrm{m}$ en $10\,\mathrm{s}$ . Calcule $v_{\text{moy}}$ .
$\displaystyle v_{\text{moy}}=\frac{x_2-x_1}{\Delta t}=\frac{170-20}{10}=15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (positive : déplacement dans le sens de l'axe).
b)
Il repart ensuite de $x_2=170\,\mathrm{m}$ et revient à $x_3=70\,\mathrm{m}$ en $5\,\mathrm{s}$ . Calcule $v_{\text{moy}}$ sur ce second trajet et commente son signe.
$\displaystyle v_{\text{moy}}=\frac{70-170}{5}=\frac{-100}{5}=-20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Le signe négatif indique un déplacement à contre-sens de l'axe (le mobile revient).

Exercice 3accélération moyenne

Détermine l'accélération moyenne dans chaque cas.

a)
Une voiture passe de $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $5\,\mathrm{s}$ .
$\displaystyle a_{\text{moy}}=\frac{25-10}{5}=3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .
b)
Elle freine ensuite de $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à l'arrêt en $6\,\mathrm{s}$ .
$\displaystyle a_{\text{moy}}=\frac{0-30}{6}=-5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : accélération négative (freinage).

Exercice 4distance parcourue et déplacement

Un coureur part de $O$ ( $x=0$ ), atteint $x=40\,\mathrm{m}$ en $8\,\mathrm{s}$ , puis revient jusqu'à $x=10\,\mathrm{m}$ en $6\,\mathrm{s}$ de plus.

a)
Quel est son déplacement total $\Delta x$ ?
Position initiale $0$ , finale $10\,\mathrm{m}$ : $\Delta x=10-0=10\,\mathrm{m}$ .
b)
Quelle distance totale a-t-il parcourue ?
Aller $0\to40\,\mathrm{m}$ = $40\,\mathrm{m}$ ; retour $40\to10\,\mathrm{m}$ = $30\,\mathrm{m}$ . Distance totale $=40+30=70\,\mathrm{m}$ .
c)
Quelle est sa vitesse moyenne sur l'ensemble ?
Durée totale $8+6=14\,\mathrm{s}$ : $\displaystyle v_{\text{moy}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{10}{14}\approx0{,}71\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (Attention : on divise le déplacement, pas la distance.)

Exercice 5dériver une équation horaire

La position d'un mobile est $x(t)=2t^2+5t+1$ (en $\mathrm{m}$ , $t$ en $\mathrm{s}$ ).

a)
Donne l'expression de la vitesse $v(t)$ .
On dérive $x(t)=2t^2+5t+1$ .
$v(t)=\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=4t+5$ (en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ).
b)
Donne l'expression de l'accélération $a(t)$ .
$a(t)=\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=4\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (constante $\Rightarrow$ mouvement uniformément accéléré).
c)
Calcule la vitesse à $t=3\,\mathrm{s}$ .
$v(3)=4\times3+5=17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 6comparer deux vitesses

Pour comparer deux vitesses, on les exprime dans la même unité (facteur $3{,}6$ ).

a)
Convertis $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
$\displaystyle 90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{90}{3{,}6}=25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Une moto roule à $27\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Qui, de la moto ou d'un véhicule roulant à $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , va le plus vite ?
La moto ( $27\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) va plus vite : le véhicule ne roule qu'à $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (Autre lecture : $27\,\mathrm{m}/\mathrm{s}=27\times3{,}6=97.2\,\mathrm{km}/\mathrm{h}>90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .)

Exercice 7vitesse moyenne d'un trajet

Un train parcourt $135\,\mathrm{km}$ en $2\,\mathrm{h}$ et $30\,\mathrm{min}$ .

a)
Calcule sa vitesse moyenne en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
$\Delta t=2.5\,\mathrm{h}$ : $\displaystyle v_{\text{moy}}=\frac{135}{2{,}5}=54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
b)
Exprime-la en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
$\displaystyle 54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{54}{3{,}6}=15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 8atteindre une vitesse

Une voiture roule à $4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ puis accélère, avec une accélération moyenne constante de $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , pendant $6\,\mathrm{s}$ .

a)
De combien sa vitesse a-t-elle augmenté ( $\Delta v = a_{\text{moy}}\,\Delta t$ ) ?
$\Delta v=a_{\text{moy}}\,\Delta t=2{,}5\times6=15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Quelle vitesse atteint-elle à la fin ?
$v=v_0+\Delta v=4+15=19\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 9durée d'un parcours

Un coureur maintient une vitesse constante de $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

a)
Quelle durée lui faut-il pour parcourir $400\,\mathrm{m}$ ?
$\displaystyle \Delta t=\frac{\Delta x}{v}=\frac{400}{5}=80\,\mathrm{s}$ .
b)
Convertis cette durée en minutes et secondes.
$80\,\mathrm{s}=1\,\mathrm{min}\,20\,\mathrm{s}$ .

Exercice 10dériver et annuler la vitesse

La position d'un mobile est $x(t)=t^2-8t+12$ (en $\mathrm{m}$ , $t\ge0$ en $\mathrm{s}$ ).

a)
Donne l'expression de la vitesse $v(t)$ .
$v(t)=\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=2t-8$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ).
b)
Donne l'accélération $a(t)$ .
$a(t)=\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (constante).
c)
À quel instant la vitesse s'annule-t-elle ?
$v=0 \Leftrightarrow 2t-8=0 \Leftrightarrow t=4\,\mathrm{s}$ .

Exercice 11lire la vitesse sur un graphe de position

Le graphe donne la position d'un mobile sur l'axe $Ox$ .

a)
Détermine la vitesse du mobile (pente de la droite).
La droite passe de $x=4\,\mathrm{m}$ à $x=22\,\mathrm{m}$ en $6\,\mathrm{s}$ : $\displaystyle v=\frac{22-4}{6}=3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Quelle est la nature du mouvement ?
La position varie linéairement (droite) : la vitesse est constante, c'est un mouvement rectiligne uniforme (MRU).

Exercice 12aire sous une vitesse constante

Le graphe donne la vitesse d'un mobile.

a)
Quelle distance le mobile parcourt-il entre $t=0$ et $t=8\,\mathrm{s}$ (aire sous la courbe) ?
Aire du rectangle : $\Delta x=v\times\Delta t=6\times8=48\,\mathrm{m}$ .
b)
Que vaut son accélération ?
La vitesse est constante : $a=0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Exercice 13vitesse moyenne en deux tronçons

Un piéton parcourt $360\,\mathrm{m}$ en $90\,\mathrm{s}$ , puis, dans le même sens, $240\,\mathrm{m}$ en $30\,\mathrm{s}$ .

a)
Calcule la vitesse sur chaque tronçon.
$\displaystyle v_1=\frac{360}{90}=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\displaystyle v_2=\frac{240}{30}=8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Calcule sa vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet.
Distance totale $600\,\mathrm{m}$ , durée totale $120\,\mathrm{s}$ : $\displaystyle v_{\text{moy}}=\frac{600}{120}=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (entre $4$ et $8$ , plus proche de $4$ car le mobile passe plus de temps sur le tronçon lent).

Exercice 14signe de l'accélération

On oriente l'axe $Ox$ dans le sens $+$ . Précise le signe de l'accélération dans chaque situation.

a)
Une voiture avance dans le sens $+$ et accélère.
$v>0$ et augmente : $a>0$ .
b)
Une voiture avance dans le sens $+$ et freine.
$v>0$ et diminue : $a<0$ (freinage).
c)
Une voiture recule (sens $-$ ) de plus en plus vite.
$v<0$ et sa valeur absolue augmente (le mobile va plus vite en sens inverse) : $a<0$ . Ici l'accélération est de même signe que le sens du mouvement.

Exercice 15dériver une vitesse

La vitesse d'un mobile est $v(t)=4t-10$ (en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $t$ en $\mathrm{s}$ ).

a)
Quelle est son accélération $a(t)$ ?
$a(t)=\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (constante).
b)
À quel instant le mobile est-il momentanément à l'arrêt ?
$v=0 \Leftrightarrow 4t-10=0 \Leftrightarrow t=2.5\,\mathrm{s}$ .

Moyen15 exercices

Exercice 1la vraie vitesse moyenne

Un automobiliste parcourt $120\,\mathrm{km}$ à $40\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , puis $120\,\mathrm{km}$ à $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

a)
Calcule la durée de chaque tronçon.
$t_1=\dfrac{120}{40}=3\,\mathrm{h}$ ; $t_2=\dfrac{120}{60}=2\,\mathrm{h}$ .
b)
En déduis sa vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet.
Distance totale $240\,\mathrm{km}$ , durée totale $5\,\mathrm{h}$ : $\displaystyle v_{\text{moy}}=\frac{240}{5}=48\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
c)
Pourquoi la réponse n'est-elle pas $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?
Parce que l'automobiliste passe plus de temps à la vitesse lente : la vitesse moyenne penche vers celle-ci. On divise toujours la distance totale par la durée totale, jamais la moyenne arithmétique des vitesses.

Exercice 2dérivée d'un mouvement cubique

La position d'un mobile est $x(t)=t^3-6t^2+9t$ (en $\mathrm{m}$ , $t\ge0$ en $\mathrm{s}$ ).

a)
Donne $v(t)$ .
$v(t)=\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=3t^2-12t+9$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ).
b)
À quels instants la vitesse s'annule-t-elle ?
$v=0 \Leftrightarrow t^2-4t+3=0 \Leftrightarrow (t-1)(t-3)=0$ , donc $t=1\,\mathrm{s}$ et $t=3\,\mathrm{s}$ .
c)
Donne $a(t)$ et calcule sa valeur à ces deux instants.
$a(t)=6t-12$ : $a(1)=-6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ et $a(3)=+6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (le mobile ralentit puis repart en sens inverse, avant d'être ré-accéléré).

Exercice 3remonter par intégration

Un mobile a pour vitesse $v(t)=6t+2$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) et part de $x_0=5\,\mathrm{m}$ à $t=0$ .

a)
Détermine l'équation horaire $x(t)$ .
$\displaystyle x(t)=x_0+\int_0^t(6t'+2)\,\mathrm{d}t'=5+\big[3t'^2+2t'\big]_0^t=3t^2+2t+5$ ( $\mathrm{m}$ ).
b)
Où se trouve-t-il à $t=4\,\mathrm{s}$ ?
$x(4)=3\times16+2\times4+5=48+8+5=61\,\mathrm{m}$ .
c)
Quelle est son accélération ?
$a=\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (constante).

Exercice 4lecture d'un graphe de vitesse

Le graphe donne la vitesse d'un véhicule sur $Ox$ .

a)
Calcule l'accélération sur chacune des trois phases $[0;2]$ , $[2;5]$ , $[5;7]$ $\mathrm{s}$ .
Phase $[0;2]$ : $a=\dfrac{8-0}{2-0}=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; phase $[2;5]$ : $v$ constante $\Rightarrow a=0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (MRU) ; phase $[5;7]$ : $a=\dfrac{0-8}{7-5}=-4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (freinage).
b)
En déduis la distance totale parcourue (aire sous la courbe).
L'aire sous la courbe est un trapèze : $\displaystyle \underbrace{\tfrac12\times2\times8}_{8}+\underbrace{3\times8}_{24}+\underbrace{\tfrac12\times2\times8}_{8}=40\,\mathrm{m}$ .

Exercice 5intégrer une vitesse non affine

Un mobile parti de l'origine a pour vitesse $v(t)=3t^2$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ).

a)
Quelle distance parcourt-il entre $t=0$ et $t=2\,\mathrm{s}$ ?
$\displaystyle \Delta x=\int_0^2 3t^2\,\mathrm{d}t=\big[t^3\big]_0^2=8\,\mathrm{m}$ .
b)
Donne son accélération $a(t)$ : est-elle constante ?
$a(t)=\dfrac{\mathrm{d}(3t^2)}{\mathrm{d}t}=6t$ : elle croît avec le temps, donc l'accélération n'est pas constante.

Exercice 6durées égales, quelle moyenne ?

Un automobiliste roule pendant $30\,\mathrm{min}$ à $80\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , puis pendant $30\,\mathrm{min}$ à $40\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

a)
Calcule la distance parcourue sur chaque portion.
En $30\,\mathrm{min}$ (soit $0.5\,\mathrm{h}$ ) : $d_1=80\times0{,}5=40\,\mathrm{km}$ et $d_2=40\times0{,}5=20\,\mathrm{km}$ .
b)
En déduis sa vitesse moyenne sur l'ensemble.
Distance totale $60\,\mathrm{km}$ en $1\,\mathrm{h}$ : $\displaystyle v_{\text{moy}}=\frac{60}{1}=60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
c)
Pourquoi obtient-on cette fois exactement la moyenne $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?
Les deux vitesses durent autant de temps : la moyenne (pondérée par le temps) coïncide alors avec la moyenne arithmétique. Ce n'était pas le cas pour des distances égales, où l'on passe plus de temps à la vitesse lente.

Exercice 7analyser un mouvement quadratique

La position d'un mobile est $x(t)=2t^2-12t+10$ (en $\mathrm{m}$ , $t\ge0$ en $\mathrm{s}$ ).

a)
Donne $v(t)$ et $a(t)$ .
$v(t)=4t-12$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) et $a(t)=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (constante).
b)
À quel instant la vitesse s'annule-t-elle, et quelle est alors la position du mobile ?
$v=0 \Leftrightarrow t=3\,\mathrm{s}$ ; alors $x(3)=2\times9-12\times3+10=18-36+10=-8\,\mathrm{m}$ (position la plus reculée).
c)
Dans quel sens se déplace-t-il avant, puis après cet instant ?
Avant $3\,\mathrm{s}$ , $v<0$ : il recule (sens $-$ ) ; après, $v>0$ : il avance (sens $+$ ).

Exercice 8remonter une accélération variable

Un mobile a une accélération $a(t)=2t$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ). À $t=0$ , sa vitesse est $v_0=3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et il part de l'origine.

a)
Détermine $v(t)$ par intégration.
$\displaystyle v(t)=v_0+\int_0^t 2t'\,\mathrm{d}t'=3+\big[t'^2\big]_0^t=t^2+3$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ).
b)
Détermine l'équation horaire $x(t)$ .
$\displaystyle x(t)=x_0+\int_0^t(t'^2+3)\,\mathrm{d}t'=0+\Big[\tfrac{t'^3}{3}+3t'\Big]_0^t=\frac{t^3}{3}+3t$ ( $\mathrm{m}$ ).
c)
Calcule la vitesse et la position à $t=3\,\mathrm{s}$ . L'accélération est-elle constante ?
$v(3)=9+3=12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $x(3)=\tfrac{27}{3}+9=18\,\mathrm{m}$ . L'accélération $a=2t$ croît : elle n'est pas constante.

Exercice 9un graphe de vitesse qui change de signe

Le graphe donne la vitesse d'un mobile sur l'axe $Ox$ .

a)
Calcule l'accélération sur la phase $[0;2]$ puis sur la phase $[2;6]$ $\mathrm{s}$ .
Phase $[0;2]$ : $a=\dfrac{6-0}{2}=3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; phase $[2;6]$ : $a=\dfrac{-6-6}{6-2}=-3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .
b)
À quel instant le mobile fait-il demi-tour ?
La vitesse s'annule en changeant de signe à $t=4\,\mathrm{s}$ : le mobile y fait demi-tour.
c)
Calcule le déplacement $\Delta x$ entre $t=0$ et $t=6\,\mathrm{s}$ (aire algébrique).
Aires algébriques : triangle $[0;2]$ $=+6$ , triangle $[2;4]$ $=+6$ , triangle $[4;6]$ $=-6$ . Déplacement $\Delta x=6+6-6=6\,\mathrm{m}$ .
d)
Calcule la distance réellement parcourue.
Distance $=6+6+6=18\,\mathrm{m}$ (on additionne les aires en valeur absolue).

Exercice 10vitesse moyenne ou instantanée ?

La position d'un mobile est $x(t)=t^2+2t$ (en $\mathrm{m}$ , $t$ en $\mathrm{s}$ ).

a)
Calcule la vitesse moyenne entre $t=1\,\mathrm{s}$ et $t=4\,\mathrm{s}$ .
$x(1)=3$ , $x(4)=24$ : $\displaystyle v_{\text{moy}}=\frac{24-3}{4-1}=\frac{21}{3}=7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Calcule la vitesse instantanée à $t=1\,\mathrm{s}$ et à $t=4\,\mathrm{s}$ .
$v(t)=2t+2$ : $v(1)=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $v(4)=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
c)
La vitesse moyenne est-elle la moyenne des deux vitesses instantanées ? Commente.
Ici $\tfrac{4+10}{2}=7=v_{\text{moy}}$ : c'est vrai parce que $v(t)$ est affine (mouvement uniformément varié), et la vitesse moyenne vaut alors la vitesse instantanée au milieu de l'intervalle. En général, $v_{\text{moy}}\neq$ moyenne des vitesses instantanées.

Exercice 11accélération d'après un tableau

On relève la vitesse d'un mobile à intervalles réguliers :

$t$ ( $\mathrm{s}$ )	0	2	4	6
$v$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ )	0	5	12	21

a)
Calcule l'accélération moyenne sur l'ensemble $[0;6]$ $\mathrm{s}$ .
$\displaystyle a_{\text{moy}}=\frac{21-0}{6-0}=3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .
b)
Calcule l'accélération moyenne sur chacun des trois intervalles.
$[0;2]$ : $\tfrac{5-0}{2}=2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $[2;4]$ : $\tfrac{12-5}{2}=3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $[4;6]$ : $\tfrac{21-12}{2}=4.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .
c)
Le mouvement est-il uniformément accéléré ?
Non : l'accélération augmente d'un intervalle à l'autre, le mouvement n'est pas uniformément accéléré.

Exercice 12intégrer et repasser par l'origine

La vitesse d'un mobile est $v(t)=2t-8$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) et, à $t=0$ , il se trouve en $x_0=7\,\mathrm{m}$ .

a)
Détermine l'équation horaire $x(t)$ .
$\displaystyle x(t)=x_0+\int_0^t(2t'-8)\,\mathrm{d}t'=7+\big[t'^2-8t'\big]_0^t=t^2-8t+7$ ( $\mathrm{m}$ ).
b)
À quels instants le mobile passe-t-il par l'origine $x=0$ ?
$x=0 \Leftrightarrow t^2-8t+7=0 \Leftrightarrow (t-1)(t-7)=0$ : $t=1\,\mathrm{s}$ et $t=7\,\mathrm{s}$ .
c)
Quelle est son accélération ?
$a=\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (constante).

Exercice 13vitesse donnée sous forme quadratique

La vitesse d'un mobile sur $Ox$ est $v(t)=t^2-4t+3$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ), $t\ge0$ en $\mathrm{s}$ .

a)
Donne l'accélération $a(t)$ et l'instant où elle s'annule.
$a(t)=2t-4$ ; $a=0 \Leftrightarrow t=2\,\mathrm{s}$ .
b)
À quels instants la vitesse s'annule-t-elle ? Précise le sens du mouvement sur $[0;1]$ , $[1;3]$ et au-delà de $3\,\mathrm{s}$ .
$v=0 \Leftrightarrow (t-1)(t-3)=0$ : $t=1\,\mathrm{s}$ et $t=3\,\mathrm{s}$ . Sur $[0;1]$ , $v>0$ (avance) ; sur $[1;3]$ , $v<0$ (recule) ; au-delà de $3\,\mathrm{s}$ , $v>0$ (avance de nouveau).
c)
Calcule le déplacement entre $t=0$ et $t=3\,\mathrm{s}$ .
$\displaystyle \Delta x=\int_0^3(t^2-4t+3)\,\mathrm{d}t=\Big[\tfrac{t^3}{3}-2t^2+3t\Big]_0^3=9-18+9=0\,\mathrm{m}$ .
d)
Calcule la distance réellement parcourue sur ce même intervalle.
On sépare à $t=1$ et $t=3$ : $\displaystyle \int_0^1 v\,\mathrm{d}t=\tfrac13-2+3=\tfrac43$ et $\displaystyle \int_1^3 v\,\mathrm{d}t=0-\tfrac43=-\tfrac43$ . Distance $=\tfrac43+\tfrac43=\dfrac83\approx2.67\,\mathrm{m}$ (le déplacement est nul mais le mobile a bougé).

Exercice 14accélération d'un démarrage

Une voiture passe de l'arrêt à $108\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ en $6\,\mathrm{s}$ .

a)
Convertis $108\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
$\displaystyle 108\,\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{108}{3{,}6}=30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Calcule son accélération moyenne en $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .
$\displaystyle a_{\text{moy}}=\frac{30-0}{6}=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Exercice 15deux phases, accélération moyenne nulle

Un mobile part du repos, accélère à $3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ pendant $4\,\mathrm{s}$ , puis freine jusqu'à l'arrêt en $3\,\mathrm{s}$ .

a)
Quelle vitesse atteint-il à la fin de la première phase ?
$v_1=a_1\,\Delta t_1=3\times4=12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Quelle est l'accélération (moyenne) durant la phase de freinage ?
$\displaystyle a_2=\frac{0-12}{3}=-4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .
c)
Que vaut l'accélération moyenne sur l'ensemble des $7\,\mathrm{s}$ ? Commente.
$\displaystyle a_{\text{moy}}=\frac{v_{\text{final}}-v_{\text{initial}}}{\Delta t_{\text{tot}}}=\frac{0-0}{7}=0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . L'accélération moyenne ne dépend que des vitesses aux extrémités : elle est nulle bien que le mobile ait accéléré puis freiné.

Difficile14 exercices

Exercice 1vrai ou faux sur un graphe de vitesse

Le graphe donne la vitesse d'un mobile $M$ le long de l'axe $Ox$ .

Indique si chaque affirmation est vraie ( $V$ ) ou fausse ( $F$ ), puis compte les affirmations vraies.

a)
Entre $t=0$ et $t=2\,\mathrm{s}$ , le mouvement est uniformément accéléré.
V : la vitesse croît linéairement (droite de pente $\frac{6}{2}=3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ), c'est un MRUA.
b)
Entre $t=2$ et $t=4\,\mathrm{s}$ , le mobile est à l'arrêt.
F : la vitesse est constante non nulle ( $6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) : le mobile avance en MRU, il n'est pas à l'arrêt.
c)
À $t=6\,\mathrm{s}$ , le mobile change de sens.
V : à $t=6\,\mathrm{s}$ la vitesse passe de positive à négative en s'annulant : le mobile fait demi-tour.
d)
Entre $t=4$ et $t=7\,\mathrm{s}$ , l'accélération vaut $-3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .
V : pente $=\dfrac{-3-6}{7-4}=\dfrac{-9}{3}=-3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .
e)
La distance parcourue entre $t=0$ et $t=2\,\mathrm{s}$ vaut $6\,\mathrm{m}$ .
V : aire du triangle $\tfrac12\times2\times6=6\,\mathrm{m}$ .
Bilan : 4 affirmations vraies (a, c, d, e) ; seule b est fausse.

Exercice 2décrypter une équation horaire parabolique

Un mobile a pour position $x(t)=-t^2+6t-5$ (en $\mathrm{m}$ , $t\ge0$ en $\mathrm{s}$ ).

a)
Donne $v(t)$ et $a(t)$ . De quel type de mouvement s'agit-il ?
$v(t)=-2t+6$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) et $a(t)=-2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : accélération constante $\Rightarrow$ mouvement rectiligne uniformément varié (ici décéléré tant que $v>0$ ).
b)
À quel instant la vitesse s'annule-t-elle ? Que représente ce point sur la trajectoire ?
$v=0 \Leftrightarrow t=3\,\mathrm{s}$ ; la trajectoire atteint alors son point le plus avancé ( $x_{\max}=x(3)=-9+18-5=4\,\mathrm{m}$ ), c'est le sommet de la parabole.
c)
À quels instants le mobile passe-t-il par l'origine $x=0$ ?
$x=0 \Leftrightarrow t^2-6t+5=0 \Leftrightarrow (t-1)(t-5)=0$ : $t=1\,\mathrm{s}$ et $t=5\,\mathrm{s}$ .
d)
Dans quel sens se déplace-t-il avant, puis après l'instant trouvé au b) ?
Avant $t=3\,\mathrm{s}$ , $v>0$ : il avance dans le sens de $Ox$ ; après, $v<0$ : il recule.

Exercice 3déplacement contre distance parcourue

La vitesse d'un mobile sur $Ox$ est $v(t)=-2t+4$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ), $t$ en $\mathrm{s}$ .

a)
Écris l'intégrale donnant le déplacement entre $t=0$ et $t=3\,\mathrm{s}$ , puis calcule-le.
$\displaystyle \Delta x=\int_0^3(-2t+4)\,\mathrm{d}t=\big[-t^2+4t\big]_0^3=-9+12=3\,\mathrm{m}$ .
b)
À quel instant le mobile change-t-il de sens ?
$v=0 \Leftrightarrow -2t+4=0 \Leftrightarrow t=2\,\mathrm{s}$ (avant : $v>0$ ; après : $v<0$ ).
c)
En déduis la distance réellement parcourue entre $t=0$ et $t=3\,\mathrm{s}$ .
On sépare les deux phases (distance $=\int|v|$ ) :
$\int_0^2(-2t+4)\,\mathrm{d}t+\int_2^3(2t-4)\,\mathrm{d}t =\big[-t^2+4t\big]_0^2+\big[t^2-4t\big]_2^3=4+1=5\,\mathrm{m}.$
La distance ( $5\,\mathrm{m}$ ) dépasse le déplacement ( $3\,\mathrm{m}$ ) car le mobile est revenu en arrière.

Exercice 4affirmations de cours à trancher

Pour chaque proposition, réponds par $V$ ou $F$ et justifie en une ligne. Combien sont exactes ?

a)
Une accélération constante et non nulle impose une vitesse qui varie linéairement avec le temps.
V : $a=\text{cte}\Rightarrow v(t)=v_0+at$ , fonction affine du temps.
b)
Si la vitesse instantanée est nulle à un instant, alors l'accélération y est forcément nulle.
F : au sommet d'un tir vertical $v=0$ mais $a=-g\neq0$ ; vitesse nulle n'implique pas accélération nulle.
c)
Le déplacement entre deux instants est l'aire algébrique sous la courbe $v(t)$ .
V : c'est la définition de l'intégrale $\int v\,\mathrm{d}t$ .
d)
Un mobile dont l'accélération est négative ralentit toujours.
F : si $v<0$ (mobile reculant), une accélération négative le fait accélérer dans le sens négatif. Il ne ralentit que si $a$ et $v$ sont de signes opposés.
e)
La vitesse moyenne d'un aller-retour revenant au point de départ est nulle.
V : le déplacement est nul, donc $v_{\text{moy}}=\Delta x/\Delta t=0$ (la distance, elle, n'est pas nulle).
Bilan : 3 affirmations vraies (a, c, e).

Exercice 5disséquer un mouvement cubique

La position d'un mobile est $x(t)=2t^3-9t^2+12t$ (en $\mathrm{m}$ , $t\ge0$ en $\mathrm{s}$ ).

a)
Donne $v(t)$ et $a(t)$ .
$v(t)=6t^2-18t+12=6(t-1)(t-2)$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) et $a(t)=12t-18$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).
b)
À quels instants la vitesse s'annule-t-elle ?
$v=0 \Leftrightarrow t=1\,\mathrm{s}$ et $t=2\,\mathrm{s}$ .
c)
Calcule la position à ces instants.
$x(1)=2-9+12=5\,\mathrm{m}$ ; $x(2)=16-36+24=4\,\mathrm{m}$ .
d)
Précise le sens du mouvement sur $[0;1]$ , $[1;2]$ et au-delà de $2\,\mathrm{s}$ .
Sur $[0;1]$ , $v>0$ : il avance ; sur $[1;2]$ , $v<0$ : il recule ; au-delà de $2\,\mathrm{s}$ , $v>0$ : il avance.
e)
Calcule le déplacement et la distance réellement parcourue entre $t=0$ et $t=3\,\mathrm{s}$ .
$x(0)=0$ et $x(3)=54-81+36=9\,\mathrm{m}$ . Déplacement $\Delta x=9-0=9\,\mathrm{m}$ . Distance $=|5-0|+|4-5|+|9-4|=5+1+5=11\,\mathrm{m}$ .

Exercice 6tout lire sur un graphe de vitesse

Le graphe donne la vitesse d'un mobile sur l'axe $Ox$ .

a)
Détermine l'accélération sur chacune des trois phases $[0;2]$ , $[2;4]$ , $[4;7]$ $\mathrm{s}$ .
$[0;2]$ : $a=\dfrac{8-0}{2}=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $[2;4]$ : $a=0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $[4;7]$ : $a=\dfrac{-4-8}{3}=-4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .
b)
À quel instant le mobile change-t-il de sens ?
Sur la phase $[4;7]$ , $v$ s'annule à $t=6\,\mathrm{s}$ : le mobile y fait demi-tour.
c)
Calcule le déplacement total (aire algébrique) entre $t=0$ et $t=7\,\mathrm{s}$ .
Aires : $[0;2]$ $\tfrac12\cdot2\cdot8=8$ ; $[2;4]$ $8\cdot2=16$ ; $[4;6]$ $\tfrac12\cdot2\cdot8=+8$ ; $[6;7]$ $\tfrac12\cdot1\cdot4=-2$ . Déplacement $=8+16+8-2=30\,\mathrm{m}$ .
d)
Calcule la distance totale parcourue.
Distance $=8+16+8+2=34\,\mathrm{m}$ .
e)
Compare la vitesse moyenne et la vitesse moyenne scalaire (distance/temps).
$\displaystyle v_{\text{moy}}=\frac{30}{7}\approx4.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; vitesse moyenne scalaire $=\dfrac{34}{7}\approx4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . La seconde est plus grande car elle compte le retour comme du chemin parcouru.

Exercice 7reconstruire le mouvement depuis l'accélération

Le graphe donne l'accélération d'un mobile parti du repos ( $v_0=0$ ) à l'origine.

a)
Donne la vitesse $v(t)$ sur chacune des trois phases (intègre l'accélération).
$[0;3]$ : $a=2 \Rightarrow v(t)=2t$ (donc $v(3)=6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) ; $[3;5]$ : $a=0 \Rightarrow v=6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $[5;7]$ : $a=-3 \Rightarrow v(t)=6-3(t-5)$ (donc $v(7)=0$ ).
b)
Quelle est la vitesse maximale, et à partir de quel instant est-elle atteinte ?
La vitesse maximale est $6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , atteinte dès $t=3\,\mathrm{s}$ et maintenue jusqu'à $5\,\mathrm{s}$ .
c)
Calcule le déplacement total entre $t=0$ et $t=7\,\mathrm{s}$ .
Aire sous $v(t)$ : $[0;3]$ $\tfrac12\cdot3\cdot6=9$ ; $[3;5]$ $6\cdot2=12$ ; $[5;7]$ $\tfrac12\cdot2\cdot6=6$ . Déplacement $=9+12+6=27\,\mathrm{m}$ .
d)
Que vaut l'accélération moyenne sur $[0;7]$ $\mathrm{s}$ ? Commente.
$\displaystyle a_{\text{moy}}=\frac{v(7)-v(0)}{7}=\frac{0-0}{7}=0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : nulle, car le mobile part et finit au repos, bien qu'il ait parcouru $27\,\mathrm{m}$ .

Exercice 8un trajet en zigzag

Un mobile se déplace sur l'axe $Ox$ (positions en $\mathrm{m}$ ) : il part de $x=0$ et atteint $x=300\,\mathrm{m}$ en $60\,\mathrm{s}$ ; puis il revient à $x=100\,\mathrm{m}$ en $40\,\mathrm{s}$ ; puis il repart et atteint $x=400\,\mathrm{m}$ en $60\,\mathrm{s}$ .

a)
Quel est le déplacement total $\Delta x$ ?
$\Delta x = 400-0=400\,\mathrm{m}$ .
b)
Quelle est la distance totale parcourue ?
Distance $=300+200+300=800\,\mathrm{m}$ (aller $300\,\mathrm{m}$ , retour $200\,\mathrm{m}$ , aller $300\,\mathrm{m}$ ).
c)
Calcule la vitesse moyenne (algébrique).
Durée totale $60+40+60=160\,\mathrm{s}$ : $\displaystyle v_{\text{moy}}=\frac{400}{160}=2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
d)
Calcule la vitesse moyenne scalaire (distance/durée).
Vitesse moyenne scalaire $=\dfrac{800}{160}=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
e)
Pourquoi les deux résultats diffèrent-ils ?
La première divise le déplacement (net) par le temps, la seconde la distance (chemin réel) : le demi-tour réduit le déplacement mais pas la distance.

Exercice 9décoder un graphe de position

Le graphe donne la position d'un mobile sur l'axe $Ox$ .

a)
Précise le signe de la vitesse sur chacune des quatre phases $[0;3]$ , $[3;5]$ , $[5;7]$ , $[7;9]$ $\mathrm{s}$ .
La pente donne $v$ : $[0;3]$ $v>0$ ; $[3;5]$ $v>0$ ; $[5;7]$ $v=0$ ; $[7;9]$ $v<0$ .
b)
Sur quelle phase la vitesse (algébrique) est-elle la plus grande ? Donne sa valeur.
La pente positive la plus forte est sur $[3;5]$ : $v=\dfrac{14-6}{5-3}=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
c)
À quel moment le mobile est-il immobile ?
Le mobile est immobile sur $[5;7]$ $\mathrm{s}$ (position constante $x=14\,\mathrm{m}$ ).
d)
Sur quelle phase se déplace-t-il le plus vite en valeur absolue ?
Sur $[7;9]$ la pente vaut $\dfrac{2-14}{9-7}=-6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : c'est là qu'il va le plus vite en valeur absolue.

Exercice 10déplacement et distance, vitesse quadratique

La vitesse d'un mobile sur $Ox$ est $v(t)=t^2-5t+6$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ), $t\ge0$ en $\mathrm{s}$ .

a)
À quels instants la vitesse s'annule-t-elle ? Précise le sens du mouvement entre ces instants.
$v=(t-2)(t-3)=0 \Leftrightarrow t=2\,\mathrm{s}$ et $t=3\,\mathrm{s}$ . Sur $[0;2]$ $v>0$ , sur $[2;3]$ $v<0$ (recule), au-delà de $3\,\mathrm{s}$ $v>0$ .
b)
Calcule le déplacement entre $t=0$ et $t=4\,\mathrm{s}$ .
$\displaystyle \Delta x=\int_0^4(t^2-5t+6)\,\mathrm{d}t=\Big[\tfrac{t^3}{3}-\tfrac{5t^2}{2}+6t\Big]_0^4=\frac{64}{3}-40+24=\frac{16}{3}\approx5.33\,\mathrm{m}$ .
c)
Calcule la distance réellement parcourue sur ce même intervalle.
En séparant à $t=2$ et $t=3$ : $\displaystyle \int_0^2 v=\frac{14}{3}$ , $\displaystyle \int_2^3 v=-\frac16$ , $\displaystyle \int_3^4 v=\frac56$ . Distance $=\frac{14}{3}+\frac16+\frac56=\frac{17}{3}\approx5.67\,\mathrm{m}$ .
d)
Que vaut l'accélération à chacun des instants trouvés au a) ?
$a(t)=2t-5$ : $a(2)=-1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ et $a(3)=+1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Exercice 11une accélération qui décroît

Un mobile part de l'origine, au repos, avec l'accélération $a(t)=6-2t$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
Détermine $v(t)$ par intégration.
$\displaystyle v(t)=\int_0^t(6-2t')\,\mathrm{d}t'=\big[6t'-t'^2\big]_0^t=6t-t^2$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ).
b)
À quel instant la vitesse est-elle maximale, et quelle est cette valeur ?
$v$ est maximale quand $a=6-2t=0$ , soit $t=3\,\mathrm{s}$ : $v(3)=18-9=9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
c)
À quels instants la vitesse s'annule-t-elle ?
$v=6t-t^2=t(6-t)=0 \Leftrightarrow t=0\,\mathrm{s}$ ou $t=6\,\mathrm{s}$ .
d)
Détermine l'équation horaire $x(t)$ .
$\displaystyle x(t)=\int_0^t(6t'-t'^2)\,\mathrm{d}t'=3t^2-\frac{t^3}{3}$ ( $\mathrm{m}$ ).
e)
Calcule le déplacement et la distance parcourue entre $t=0$ et $t=8\,\mathrm{s}$ .
$x(6)=108-72=36\,\mathrm{m}$ et $x(8)=192-\tfrac{512}{3}=\tfrac{64}{3}\approx21.3\,\mathrm{m}$ . Déplacement $=\tfrac{64}{3}\approx21.3\,\mathrm{m}$ . Le mobile avance jusqu'à $t=6\,\mathrm{s}$ ( $v>0$ ) puis recule ( $v<0$ ) : distance $=36+\big|\tfrac{64}{3}-36\big|=36+\tfrac{44}{3}=\tfrac{152}{3}\approx50.7\,\mathrm{m}$ .

Exercice 12la moyenne harmonique des vitesses

Un mobile parcourt la première moitié d'une distance $D$ à la vitesse constante $v_1$ , puis la seconde moitié à la vitesse constante $v_2$ .

a)
Exprime la durée de chaque moitié en fonction de $D$ , $v_1$ et $v_2$ .
Chaque moitié mesure $\tfrac{D}{2}$ : $\displaystyle t_1=\frac{D}{2v_1}$ et $\displaystyle t_2=\frac{D}{2v_2}$ .
b)
Montre que la vitesse moyenne vaut $\displaystyle v_{\text{moy}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$ .
$\displaystyle v_{\text{moy}}=\frac{D}{t_1+t_2}=\frac{D}{\frac{D}{2v_1}+\frac{D}{2v_2}}=\frac{1}{\frac{1}{2v_1}+\frac{1}{2v_2}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$ .
c)
Applique à $v_1=30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ et $v_2=60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
$\displaystyle v_{\text{moy}}=\frac{2\times30\times60}{30+60}=\frac{3600}{90}=40\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
d)
Compare au résultat naïf $\tfrac{v_1+v_2}{2}$ . Le vrai résultat est-il plus grand ou plus petit ?
La moyenne arithmétique donnerait $45\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : le vrai résultat est plus petit (la moyenne harmonique est toujours $\le$ la moyenne arithmétique).
e)
Dans quel cas les deux moyennes coïncident-elles ?
Elles coïncident uniquement si $v_1=v_2$ .

Exercice 13chronophotographie

Un mobile est photographié toutes les secondes le long de l'axe $Ox$ . On relève ses positions :

$t$ ( $\mathrm{s}$ )	0	1	2	3	4	5
$x$ ( $\mathrm{m}$ )	0	2	8	18	32	50

a)
Calcule la vitesse moyenne sur chacun des intervalles d'une seconde.
Vitesses moyennes (en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) : $2$ , $6$ , $10$ , $14$ , $18$ sur $[0;1]$ , $[1;2]$ , $[2;3]$ , $[3;4]$ , $[4;5]$ .
b)
Ces vitesses varient-elles régulièrement ? En déduis l'accélération.
Ces vitesses augmentent de $4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à chaque seconde : l'accélération est constante, $a=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .
c)
De quel type de mouvement s'agit-il ?
Accélération constante $\Rightarrow$ mouvement rectiligne uniformément accéléré (les positions suivent $x=2t^2$ ).
d)
Prédis la position et la vitesse instantanée à $t=6\,\mathrm{s}$ .
Avec $x=2t^2$ et $v(t)=4t$ : $x(6)=2\times36=72\,\mathrm{m}$ et $v(6)=4\times6=24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 14le trajet d'un métro

Une rame de métro part du repos, accélère uniformément jusqu'à $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $10\,\mathrm{s}$ , roule à cette vitesse pendant $30\,\mathrm{s}$ , puis freine uniformément jusqu'à l'arrêt en $8\,\mathrm{s}$ .

a)
Calcule l'accélération de chacune des trois phases.
Phase 1 : $a=\dfrac{20-0}{10}=2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; phase 2 : $a=0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; phase 3 : $a=\dfrac{0-20}{8}=-2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .
b)
Calcule la distance parcourue pendant chaque phase (aires).
Aires : phase 1 $\tfrac12\cdot10\cdot20=100\,\mathrm{m}$ ; phase 2 $20\cdot30=600\,\mathrm{m}$ ; phase 3 $\tfrac12\cdot8\cdot20=80\,\mathrm{m}$ .
c)
En déduis la distance totale.
Distance totale $=100+600+80=780\,\mathrm{m}$ .
d)
Quelle est la durée totale du trajet et la vitesse moyenne ?
Durée totale $10+30+8=48\,\mathrm{s}$ : $\displaystyle v_{\text{moy}}=\frac{780}{48}=16.25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
e)
Compare la vitesse moyenne à la vitesse maximale.
La vitesse moyenne ( $16.25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) est inférieure à la vitesse maximale ( $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ), à cause des phases d'accélération et de freinage.

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