vitesse et acceleration 1D

Sur une durée $\Delta t=t_2-t_1$, si l'abscisse passe de $x_1$ à $x_2$ :

$\Delta x$ est le déplacement algébrique : $v_{\text{moy}}>0$ dans le sens de l'axe, $v_{\text{moy}}<0$ à contre-sens. Pour un trajet fait de plusieurs tronçons, $v_{\text{moy}}=\dfrac{\text{distance totale}}{\text{durée totale}}$.

Il suffit de deux vitesses à deux instants. Sur une même direction : $a>0$ si la vitesse augmente (dans le sens $+$), $a<0$ si elle diminue (souvent un freinage).

La vitesse et l'accélération instantanées s'obtiennent en dérivant par rapport au temps :

On remonte la chaîne en intégrant : $\displaystyle v(t)=v_0+\int_0^t a\,\mathrm{d}t'$ et $\displaystyle x(t)=x_0+\int_0^t v\,\mathrm{d}t'$.

Agrandir le schéma

Conversion. $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}=\dfrac{90\times1000}{3600}=25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (diviser par $3{,}6$ pour passer de $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ à $\mathrm{m}/\mathrm{s}$).
Dérivation. Si $x(t)=3t^2+2t$ (en $\mathrm{m}$), alors $v(t)=6t+2$ et $a(t)=6\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (constante).

(1) Distance $\neq$ déplacement. Pour un aller-retour, le déplacement $\Delta x$ (donc $v_{\text{moy}}$) est nul, alors que la distance parcourue ne l'est pas.
(2) Moyenne des vitesses $\neq$ vitesse moyenne. Faire la moitié d'un trajet à $40\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ puis l'autre moitié à $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ne donne pas $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : il faut diviser la distance totale par la durée totale.

Sur la courbe $x(t)$, la vitesse est la pente de la tangente. Sur la courbe $v(t)$, l'aire algébrique sous la courbe donne le déplacement $\Delta x$, et la pente donne l'accélération.

Agrandir le schéma