familles elements vergence

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Facile15 exercices

Exercice 1reconnaître la famille

Pour chacune des trois lentilles ci-dessous (vue en coupe), dis si elle est convergente ou divergente, en te fondant uniquement sur l'épaisseur de ses bords.

Critère unique : bords minces $\Rightarrow$ convergente ; bords épais $\Rightarrow$ divergente.

(a) biconvexe : plus épaisse au centre, bords minces $\Rightarrow$ convergente.
(b) biconcave : plus mince au centre, bords épais $\Rightarrow$ divergente.
(c) plan-convexe : une face plate, une face bombée, plus épaisse au centre $\Rightarrow$ bords minces $\Rightarrow$ convergente.

Exercice 2symbole et signe de

f

On schématise une lentille par un segment fléché sur l'axe optique. Pour chacun des deux symboles, donne la famille de la lentille et le signe de sa distance focale $f$ .

Les flèches du symbole donnent le sens du comportement.

Flèches vers l'extérieur : lentille convergente, donc $f>0$ .
Flèches vers l'intérieur : lentille divergente, donc $f<0$ .

Exercice 3de la distance focale à la vergence

Calcule la vergence $C$ (en dioptries) de chaque lentille convergente. Pense à convertir $f$ en mètres.

a)
$f=+50\,\mathrm{cm}$ ;
On applique $C=\dfrac{1}{f}$ avec $f$ en mètres.
$f=+50\,\mathrm{cm}=+0.50\,\mathrm{m}$ : $C=\dfrac{1}{0,50}=+2~\delta$ .
b)
$f=+10\,\mathrm{cm}$ .
$f=+10\,\mathrm{cm}=+0.10\,\mathrm{m}$ : $C=\dfrac{1}{0,10}=+10~\delta$ .
La seconde est plus convergente (vergence plus grande, focale plus courte).

Exercice 4de la vergence à la distance focale

On donne la vergence ; retrouve la distance focale $f$ (en cm) et précise la famille.

a)
$C=+4~\delta$ ;
On inverse : $f=\dfrac{1}{C}$ (résultat en mètres).
$f=\dfrac{1}{+4}=+0.25\,\mathrm{m}=+25\,\mathrm{cm}$ : $C>0\Rightarrow$ convergente.
b)
$C=-5~\delta$ .
$f=\dfrac{1}{-5}=-0.20\,\mathrm{m}=-20\,\mathrm{cm}$ : $C<0\Rightarrow$ divergente.

Exercice 5deux lentilles accolées

On accole deux lentilles minces convergentes de vergences $C_1=+3~\delta$ et $C_2=+2~\delta$ .

a)
Donne la vergence $C_{\text{éq}}$ du système.
Les vergences des lentilles accolées s'ajoutent.
$C_{\text{éq}}=C_1+C_2=+3+2=+5~\delta$ .
b)
Le système est-il convergent ou divergent ? Quelle est sa distance focale $f_{\text{éq}}$ ?
$C_{\text{éq}}>0$ : le système est convergent, de distance focale $f_{\text{éq}}=\dfrac{1}{C_{\text{éq}}}=\dfrac{1}{5}=+0.20\,\mathrm{m}=+20\,\mathrm{cm}$ .

Exercice 6la famille d'après le nom

Sans dessin, uniquement d'après la description de la forme, indique si chaque lentille est convergente ou divergente. Rappelle-toi : seul compte le rapport bord/centre.

a)
lentille biconvexe (les deux faces bombées vers l'extérieur) ;
Le nom ne suffit pas : on regarde si la lentille est plus épaisse au centre (bords minces $\Rightarrow$ convergente) ou plus mince au centre (bords épais $\Rightarrow$ divergente).
biconvexe : plus épaisse au centre, bords minces $\Rightarrow$ convergente.
b)
lentille biconcave (les deux faces creusées vers l'intérieur) ;
biconcave : plus mince au centre, bords épais $\Rightarrow$ divergente.
c)
ménisque plus épais au centre que sur les bords ;
ménisque plus épais au centre : bords minces $\Rightarrow$ convergente.
d)
ménisque plus mince au centre que sur les bords.
ménisque plus mince au centre : bords épais $\Rightarrow$ divergente.

Exercice 7nommer les éléments

Sur le schéma d'une lentille convergente (la lumière va de gauche à droite), trois points particuliers de l'axe sont notés $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ ; un rayon a été tracé en bleu.

a)
Nomme les points $P_1$ , $P_2$ et $P_3$ (centre optique, foyer objet, foyer image).
$P_2$ (au milieu) est le centre optique $O$ ; $P_1$ (côté objet, à gauche) est le foyer objet $F$ ; $P_3$ (côté image, à droite) est le foyer image $F'$ . $F$ et $F'$ sont symétriques par rapport à $O$ .
b)
Le rayon tracé passe par $P_2$ : pourquoi ressort-il sans être dévié ?
Parce que $P_2$ est le centre optique : tout rayon passant par $O$ ressort sans déviation.

Exercice 8le rayon parallèle à l'axe

On envoie sur une lentille un rayon parallèle à l'axe optique.

a)
Pour la lentille convergente du schéma, par quel point passe le rayon après la lentille ?
C'est l'un des trois rayons particuliers.
Pour une convergente, un rayon parallèle à l'axe émerge en passant par le foyer image $F'$ .
b)
Pour une lentille divergente, comment ce même rayon ressort-il ?
Pour une divergente, il émerge en s'écartant de l'axe, comme s'il provenait du foyer image $F'$ (qui est virtuel, situé du côté de l'objet).

Exercice 9vergence d'une divergente

Calcule la vergence $C$ (en dioptries) de chaque lentille divergente. Attention au signe et à la conversion en mètres.

a)
$f=-20\,\mathrm{cm}$ ;
On applique $C=\dfrac{1}{f}$ avec $f$ en mètres ; $f<0 \Rightarrow C<0$ .
$f=-0.20\,\mathrm{m}$ : $C=\dfrac{1}{-0,20}=-5~\delta$ .
b)
$f=-40\,\mathrm{cm}$ .
$f=-0.40\,\mathrm{m}$ : $C=\dfrac{1}{-0,40}=-2{,}5~\delta$ .

Exercice 10des vergences puissantes

Retrouve la distance focale $f$ , exprimée en millimètres, de chaque lentille convergente.

a)
$C=+50~\delta$ ;
On inverse : $f=\dfrac{1}{C}$ (en mètres), puis on convertit en mm.
$f=\dfrac{1}{50}=0.02\,\mathrm{m}=20\,\mathrm{mm}$ .
b)
$C=+200~\delta$ .
$f=\dfrac{1}{200}=0.005\,\mathrm{m}=5\,\mathrm{mm}$ (lentille très puissante, focale minuscule).

Exercice 11quelle loupe est la plus puissante ?

Deux loupes ont pour distances focales $f_1=+8\,\mathrm{cm}$ et $f_2=+12\,\mathrm{cm}$ .

a)
Calcule la vergence de chacune.
$C_1=\dfrac{1}{0,08}=+12{,}5~\delta$ ; $C_2=\dfrac{1}{0,12}\approx+8{,}3~\delta$ .
b)
Laquelle est la plus convergente (donc la plus puissante) ?
$C_1>C_2$ : la loupe $f_1=+8\,\mathrm{cm}$ est la plus convergente (plus grande vergence, focale plus courte), donc la plus puissante.

Exercice 12deux divergentes accolées

On accole deux lentilles divergentes de vergences $C_1=-3~\delta$ et $C_2=-1~\delta$ .

a)
Donne la vergence équivalente $C_{\text{éq}}$ .
Les vergences des lentilles accolées s'ajoutent.
$C_{\text{éq}}=C_1+C_2=-3+(-1)=-4~\delta$ .
b)
Quelle est la nature du système et sa distance focale $f_{\text{éq}}$ ?
$C_{\text{éq}}<0$ : le système est divergent, de distance focale $f_{\text{éq}}=\dfrac{1}{-4}=-0.25\,\mathrm{m}=-25\,\mathrm{cm}$ .

Exercice 13vrai ou faux : les bases

Réponds par vrai ou faux et justifie en une ligne.

a)
Une loupe est une lentille convergente.
Vrai : une loupe est convergente (bords minces, $f>0$ ).
b)
La dioptrie est l'unité de la distance focale.
Faux : la dioptrie ( $\delta=1/\mathrm{m}$ ) est l'unité de la vergence ; la distance focale, elle, se mesure en mètres.
c)
Une lentille à bords épais est divergente.
Vrai : bords épais $\Rightarrow$ divergente ( $f<0$ ).

Exercice 14la vergence de l'œil au repos

On modélise l'œil au repos par une lentille convergente qui forme, sur la rétine, l'image d'un objet très éloigné. La distance entre le centre optique $O$ et la rétine vaut $20\,\mathrm{mm}$ .

a)
Quelle est la distance focale $f$ de l'œil au repos (en mètres) ?
L'objet est très éloigné : son image se forme au foyer image $F'$ , qui coïncide avec la rétine. Donc $f=\overline{O\text{rétine}}=20\,\mathrm{mm}=0.020\,\mathrm{m}$ .
b)
En déduire sa vergence $C$ .
$C=\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{0,020}=+50~\delta$ : l'œil est un système très convergent.

Exercice 15convergente ou divergente ?

D'après le seul signe de la vergence, indique la famille de chaque lentille.

a)
$C=+3~\delta$ ;
Le signe de $C$ donne directement la famille ( $C>0$ convergente, $C<0$ divergente).
$C=+3~\delta>0$ : convergente.
b)
$C=-0{,}5~\delta$ ;
$C=-0{,}5~\delta<0$ : divergente.
c)
$C=-12~\delta$ ;
$C=-12~\delta<0$ : divergente.
d)
$C=+0{,}25~\delta$ .
$C=+0{,}25~\delta>0$ : convergente.

Moyen15 exercices

Exercice 1vergences et pièges d'unités

Calcule la vergence de chaque lentille. Sois attentif aux unités et aux signes.

a)
lentille convergente $f=+5\,\mathrm{cm}$ ;
Toujours $f$ en mètres avant $C=1/f$ ; le signe de $C$ suit celui de $f$ .
$f=+0.05\,\mathrm{m}$ : $C=\dfrac{1}{0,05}=+20~\delta$ .
b)
lentille divergente $f=-40\,\mathrm{cm}$ ;
$f=-0.40\,\mathrm{m}$ : $C=\dfrac{1}{-0,40}=-2{,}5~\delta$ .
c)
lentille convergente $f=+2\,\mathrm{mm}$ .
$f=+2\,\mathrm{mm}=+0.002\,\mathrm{m}$ : $C=\dfrac{1}{0,002}=+500~\delta$ (lentille très puissante).

Exercice 2une convergente et une divergente accolées

On accole une lentille convergente $C_1=+6~\delta$ et une lentille divergente $C_2=-2~\delta$ .

a)
Calcule la vergence équivalente $C_{\text{éq}}$ .
$C_{\text{éq}}=C_1+C_2=+6+(-2)=+4~\delta$ .
b)
Le système global est-il convergent ou divergent ? Donne sa distance focale $f_{\text{éq}}$ (en cm).
$C_{\text{éq}}>0$ : système convergent, $f_{\text{éq}}=\dfrac{1}{4}=+0.25\,\mathrm{m}=+25\,\mathrm{cm}$ .

Exercice 3fabriquer un verre neutre (afocal)

On dispose d'une lentille convergente de vergence $C_1=+3~\delta$ . On veut, en lui accolant une seconde lentille, obtenir un système afocal (vergence totale nulle, équivalent à une vitre plane).

a)
Quelle vergence $C_2$ doit avoir la seconde lentille ?
Afocal $\Leftrightarrow C_{\text{éq}}=0$ , donc $C_1+C_2=0$ .
$C_2=-C_1=-3~\delta$ .
b)
Quelle est sa nature et sa distance focale $f_2$ ?
$C_2<0$ : lentille divergente, $f_2=\dfrac{1}{-3}=-0.33\,\mathrm{m}\approx-33\,\mathrm{cm}$ . Les deux lentilles se « compensent » exactement.

Exercice 4classer par puissance

Quatre lentilles ont pour distances focales :

L_1:\ f=+20\,\mathrm{cm}\quad L_2:\ f=+5\,\mathrm{cm}\quad L_3:\ f=-10\,\mathrm{cm}\quad L_4:\ f=+1\,\mathrm{m}.

a)
Donne la vergence de chacune.
$C_1=\dfrac{1}{0,20}=+5~\delta$ ; $C_2=\dfrac{1}{0,05}=+20~\delta$ ; $C_3=\dfrac{1}{-0,10}=-10~\delta$ ; $C_4=\dfrac{1}{1}=+1~\delta$ .
b)
Classe les lentilles convergentes de la plus puissante à la moins puissante.
Convergentes ( $C>0$ ) classées par vergence décroissante :
$L_2\,(+20~\delta)\ >\ L_1\,(+5~\delta)\ >\ L_4\,(+1~\delta).$
$L_3$ est divergente ( $C<0$ ). La plus puissante est $L_2$ (plus courte focale).

Exercice 5aller-retour

f \leftrightarrow C

a)
Une lentille a une vergence $C=-2{,}5~\delta$ . Quelle est sa distance focale (en cm) et sa famille ?
$f=\dfrac{1}{C}$ en mètres, puis conversion.
$f=\dfrac{1}{-2,5}=-0.40\,\mathrm{m}=-40\,\mathrm{cm}$ : $C<0\Rightarrow$ divergente.
b)
Un objectif « puissant » a une vergence $C=+20~\delta$ . Exprime sa distance focale en cm puis en mm.
$f=\dfrac{1}{20}=+0.05\,\mathrm{m}=+5\,\mathrm{cm}=+50\,\mathrm{mm}$ : convergente et très puissante.

Exercice 6l'œil qui accommode

Un œil normal a une distance centre optique $O$ – rétine de $16\,\mathrm{mm}$ . Au repos, il voit net un objet à l'infini.

a)
Quelle est sa vergence au repos $C_{\text{repos}}$ ?
Au repos, l'image de l'infini est sur la rétine : $f=16\,\mathrm{mm}=0.016\,\mathrm{m}$ , donc $C_{\text{repos}}=\dfrac{1}{0,016}=+62{,}5~\delta$ .
b)
Pour fixer un objet proche, le cristallin bombe et la vergence passe à $C=+65~\delta$ . Quelle est alors la distance focale de l'œil (en mm) ?
$f=\dfrac{1}{65}=0.01538\,\mathrm{m}\approx15.4\,\mathrm{mm}$ (le cristallin a bombé, la focale a raccourci).
c)
De combien de dioptries l'œil a-t-il « accommodé » ?
$\Delta C=65-62{,}5=+2{,}5~\delta$ : l'œil a accommodé de $2.5\,\mathrm{delta}$ .

Exercice 7corriger un œil myope

Un œil myope est trop convergent : au repos sa vergence vaut $C_{\text{œil}}=+66{,}5~\delta$ , alors que sa rétine (située à $16\,\mathrm{mm}$ ) exigerait $C=+62{,}5~\delta$ pour voir net un objet à l'infini. L'image se forme donc en avant de la rétine. On accole à l'œil un verre correcteur (même axe optique : les vergences s'ajoutent).

a)
Quelle vergence $C_v$ le verre doit-il apporter pour ramener le total à $+62{,}5~\delta$ ?
Les vergences œil + verre s'ajoutent ; on veut ramener le total à $+62{,}5~\delta$ .
$C_v=62{,}5-66{,}5=-4~\delta$ .
b)
Quelle est la nature du verre et sa distance focale $f_v$ (en cm) ?
$C_v<0$ : verre divergent, $f_v=\dfrac{1}{-4}=-0.25\,\mathrm{m}=-25\,\mathrm{cm}$ .
c)
Ce résultat confirme-t-il la règle « le myope porte des verres divergents » ?
Oui : le correcteur est divergent $\Rightarrow$ « le myope porte des verres divergents ». Il réduit la vergence totale pour reculer l'image sur la rétine.

Exercice 8retrouver une lentille inconnue

On accole une lentille $L_1$ de focale $f_1=+25\,\mathrm{cm}$ et une lentille inconnue $L_2$ . Le système équivaut à une lentille de focale $f_{\text{éq}}=+20\,\mathrm{cm}$ .

a)
Calcule la vergence $C_1$ de $L_1$ .
$C_1=\dfrac{1}{f_1}=\dfrac{1}{0,25}=+4~\delta$ .
b)
Calcule la vergence équivalente $C_{\text{éq}}$ .
$C_{\text{éq}}=\dfrac{1}{f_{\text{éq}}}=\dfrac{1}{0,20}=+5~\delta$ .
c)
Déduis-en la vergence $C_2$ , la nature et la distance focale $f_2$ de $L_2$ .
$C_2=C_{\text{éq}}-C_1=5-4=+1~\delta$ : $L_2$ est convergente, $f_2=\dfrac{1}{1}=+1\,\mathrm{m}=+100\,\mathrm{cm}$ .

Exercice 9trois lentilles, une conversion

Un opticien accole trois lentilles minces : $C_1=+8~\delta$ , une lentille $L_2$ de distance focale $f_2=-10\,\mathrm{cm}$ , et $C_3=+0{,}5~\delta$ .

a)
Convertis $f_2$ en vergence $C_2$ .
$C_2=\dfrac{1}{-0,10}=-10~\delta$ .
b)
Calcule la vergence équivalente $C_{\text{éq}}$ du système.
$C_{\text{éq}}=C_1+C_2+C_3=+8-10+0{,}5=-1{,}5~\delta$ .
c)
Le système est-il convergent ou divergent ? Donne $f_{\text{éq}}$ (en cm).
$C_{\text{éq}}<0$ : système divergent, $f_{\text{éq}}=\dfrac{1}{-1,5}\approx-0.667\,\mathrm{m}\approx-66.7\,\mathrm{cm}$ .

Exercice 10empiler des lentilles identiques

Une lentille convergente a une distance focale $f=+40\,\mathrm{cm}$ .

a)
Quelle est sa vergence $C$ ?
$C=\dfrac{1}{0,40}=+2{,}5~\delta$ .
b)
On accole deux exemplaires identiques : donne $C_{\text{éq}}$ et $f_{\text{éq}}$ .
Deux exemplaires : $C_{\text{éq}}=2\times2{,}5=+5~\delta$ , donc $f_{\text{éq}}=\dfrac{1}{5}=+0.20\,\mathrm{m}=+20\,\mathrm{cm}$ .
c)
Combien de tels exemplaires faut-il accoler pour obtenir une focale équivalente $f_{\text{éq}}=+10\,\mathrm{cm}$ ?
On veut $C_{\text{éq}}=\dfrac{1}{0,10}=+10~\delta$ . Avec $n$ exemplaires, $C_{\text{éq}}=n\times2{,}5$ , d'où $n=\dfrac{10}{2,5}=4$ lentilles.

Exercice 11un afocal à trois lentilles

On veut construire un système afocal (vergence totale nulle) en accolant trois lentilles : $C_1=+4~\delta$ , une lentille inconnue $L_2$ , et $C_3=-1~\delta$ .

a)
Écris la condition sur la somme des vergences.
Afocal $\Leftrightarrow C_{\text{éq}}=0$ , soit $C_1+C_2+C_3=0$ .
b)
Quelle doit être la vergence $C_2$ de $L_2$ ?
$C_2=-(C_1+C_3)=-(4-1)=-3~\delta$ .
c)
Quelle est sa nature et sa distance focale $f_2$ (en cm) ?
$C_2<0$ : $L_2$ est divergente, $f_2=\dfrac{1}{-3}\approx-0.33\,\mathrm{m}\approx-33\,\mathrm{cm}$ .

Exercice 12corriger un œil hypermétrope

Un œil hypermétrope est trop peu convergent. Pour voir net un objet à l'infini sur sa rétine (à $16\,\mathrm{mm}$ ), il faudrait une vergence $C=+62{,}5~\delta$ , mais son cristallin au repos ne fournit que $C_{\text{œil}}=+60~\delta$ .

a)
Quelle vergence $C_v$ un verre correcteur accolé doit-il apporter ?
$C_v=62{,}5-60=+2{,}5~\delta$ (il faut ajouter de la vergence).
b)
Quelle est sa nature et sa distance focale $f_v$ (en cm) ?
$C_v>0$ : verre convergent, $f_v=\dfrac{1}{2,5}=+0.40\,\mathrm{m}=+40\,\mathrm{cm}$ .
c)
Énonce la règle correspondante pour l'hypermétrope.
« L'hypermétrope porte des verres convergents » : le verre augmente la vergence globale pour ramener l'image sur la rétine.

Exercice 13objectif de microscope

Un objectif de microscope se comporte comme une lentille convergente de vergence $C=+250~\delta$ .

a)
Donne sa distance focale $f$ en mm.
$f=\dfrac{1}{250}=0.004\,\mathrm{m}=4\,\mathrm{mm}$ .
b)
On lui accole une bonnette convergente de $+50~\delta$ . Calcule $C_{\text{éq}}$ et $f_{\text{éq}}$ (en mm).
$C_{\text{éq}}=250+50=+300~\delta$ , donc $f_{\text{éq}}=\dfrac{1}{300}\approx3.33\,\mathrm{mm}$ .
c)
La bonnette rend-elle le système plus ou moins puissant ?
Plus puissant : la vergence a augmenté et la focale a diminué.

Exercice 14résoudre pour la vergence manquante

On veut un système convergent de vergence $C_{\text{éq}}=+5~\delta$ en accolant une lentille divergente $C_1=-3~\delta$ à une lentille convergente inconnue $L_2$ .

a)
Quelle doit être la vergence $C_2$ de $L_2$ ?
$C_2=C_{\text{éq}}-C_1=5-(-3)=+8~\delta$ .
b)
Donne la distance focale $f_2$ (en cm) et vérifie qu'elle est bien convergente.
$f_2=\dfrac{1}{8}=+0.125\,\mathrm{m}=+12.5\,\mathrm{cm}$ : $C_2>0\Rightarrow$ bien convergente.
c)
Sans la divergente, quelle serait la vergence du système ?
Sans la divergente, il ne reste que $L_2$ : la vergence serait $+8~\delta$ . La divergente affaiblit le système (de $+8$ à $+5~\delta$ ).

Exercice 15classer des systèmes optiques réels

On compare quatre systèmes : l'œil au repos (focale $16\,\mathrm{mm}$ ), une paire de lunettes de lecture ( $+2~\delta$ ), une loupe (focale $+5\,\mathrm{cm}$ ) et un objectif de microscope (focale $+4\,\mathrm{mm}$ ).

a)
Calcule la vergence de chacun.
Œil : $\dfrac{1}{0,016}=+62{,}5~\delta$ ; lunettes : $+2~\delta$ ; loupe : $\dfrac{1}{0,05}=+20~\delta$ ; microscope : $\dfrac{1}{0,004}=+250~\delta$ .
b)
Classe-les par vergence croissante.
Par vergence croissante :
$\text{lunettes}\,(+2)\ <\ \text{loupe}\,(+20)\ <\ \text{œil}\,(+62{,}5)\ <\ \text{microscope}\,(+250).$
c)
Lequel est le plus puissant ?
Le microscope est le plus puissant (plus grande vergence, plus courte focale).

Difficile14 exercices

Exercice 1vrai ou faux : repérer les affirmations correctes

Pour chaque affirmation, réponds par vrai ou faux et justifie en une ligne.

a)
La vergence d'une lentille est l'opposé de sa distance focale.
Faux : la vergence est l'inverse de $f$ ( $C=1/f$ ), pas son opposé.
b)
Une loupe est une lentille divergente.
Faux : une loupe est convergente (bords minces, $f>0$ ).
c)
Une lentille à bords épais a une distance focale négative.
Vrai : bords épais $\Rightarrow$ divergente $\Rightarrow f<0$ .
d)
Une lentille de vergence $+8~\delta$ a une distance focale de $8\,\mathrm{cm}$ .
Faux : $f=\dfrac{1}{8}=0.125\,\mathrm{m}=12.5\,\mathrm{cm}$ , pas $8\,\mathrm{cm}$ .
e)
En accolant deux lentilles, la vergence du système est la somme des vergences.
Vrai : pour des lentilles accolées, $C_{\text{éq}}=\sum_k C_k$ .
Bilan : les affirmations correctes sont c) et e).

Exercice 2un jeu de trois lentilles accolées

Un opticien accole trois lentilles minces de vergences

C_1=+5~\delta,\qquad C_2=-8~\delta,\qquad C_3=+1~\delta.

a)
Calcule la vergence équivalente $C_{\text{éq}}$ du système.
$C_{\text{éq}}=C_1+C_2+C_3=+5-8+1=-2~\delta$ .
b)
Le système est-il convergent ou divergent ? Donne sa distance focale $f_{\text{éq}}$ (en cm).
$C_{\text{éq}}<0$ : système divergent, $f_{\text{éq}}=\dfrac{1}{-2}=-0.5\,\mathrm{m}=-50\,\mathrm{cm}$ .
c)
Par quelle unique lentille pourrait-on remplacer l'ensemble sans rien changer ?
Par une unique lentille divergente de vergence $-2~\delta$ (focale $-50\,\mathrm{cm}$ ) : elle est optiquement équivalente au jeu des trois.

Exercice 3remonter à une lentille inconnue

On accole une lentille convergente $L_1$ de distance focale $f_1=+20\,\mathrm{cm}$ et une lentille inconnue $L_2$ . On mesure que le système équivalent a une vergence $C_{\text{éq}}=+2~\delta$ .

a)
Détermine la vergence $C_1$ de $L_1$ .
$C_1=\dfrac{1}{f_1}=\dfrac{1}{0,20}=+5~\delta$ .
b)
Déduis-en la vergence $C_2$ , la nature et la distance focale $f_2$ de $L_2$ .
$C_2=C_{\text{éq}}-C_1=+2-5=-3~\delta$ : $L_2$ est divergente, $f_2=\dfrac{1}{-3}\approx-0.33\,\mathrm{m}=-33\,\mathrm{cm}$ .
c)
Par quelle lentille $L_2'$ faudrait-il remplacer $L_2$ pour rendre le système afocal ( $C_{\text{éq}}=0$ ) ?
Afocal : $C_1+C_2'=0\Rightarrow C_2'=-C_1=-5~\delta$ , soit une divergente de focale $-20\,\mathrm{cm}$ (elle annule exactement $L_1$ ).

Exercice 4qui plie le plus la lumière ?

On compare quatre lentilles :

L_1:\ C=+2~\delta\quad L_2:\ f=+5\,\mathrm{cm}\quad L_3:\ f=-25\,\mathrm{cm}\quad L_4:\ C=-4~\delta.

a)
Exprime toutes ces lentilles par leur vergence, puis sépare les convergentes des divergentes.
$L_1:+2~\delta$ ; $L_2: \dfrac{1}{0,05}=+20~\delta$ ; $L_3:\dfrac{1}{-0,25}=-4~\delta$ ; $L_4:-4~\delta$ .
Convergentes : $L_1,\,L_2$ ( $C>0$ ). Divergentes : $L_3,\,L_4$ ( $C<0$ ).
b)
Range les quatre lentilles par pouvoir de déviation décroissant (c'est-à-dire par $|C|$ décroissant) et indique laquelle « plie » le plus fortement la lumière.
Par $|C|$ décroissant :
$L_2\,(20)\ >\ L_3\,(4)\ =\ L_4\,(4)\ >\ L_1\,(2).$
$L_2$ « plie » le plus fortement la lumière (plus grande vergence en valeur absolue, focale la plus courte). $L_3$ et $L_4$ dévient autant l'une que l'autre, mais en écartant les rayons (divergentes).

Exercice 5l'œil myope, du diagnostic à la correction

La rétine d'un œil est à $16\,\mathrm{mm}$ du centre optique $O$ . Cet œil est myope : au repos, il fait converger un faisceau parallèle à l'axe en un point situé à seulement $15\,\mathrm{mm}$ derrière $O$ , donc en avant de la rétine.

a)
Quelle est la vergence de l'œil au repos $C_{\text{œil}}$ ?
Le faisceau parallèle converge au foyer image, à $15\,\mathrm{mm}$ : $f_{\text{œil}}=0.015\,\mathrm{m}$ , donc $C_{\text{œil}}=\dfrac{1}{0,015}\approx+66{,}7~\delta$ .
b)
Quelle vergence $C_{\text{rét}}$ faudrait-il pour que l'image d'un objet à l'infini se forme sur la rétine ?
Pour une image sur la rétine (à $16\,\mathrm{mm}$ ) : $C_{\text{rét}}=\dfrac{1}{0,016}=+62{,}5~\delta$ .
c)
On accole un verre correcteur : quelle vergence $C_v$ doit-il apporter ?
Vergences accolées additives : $C_v=C_{\text{rét}}-C_{\text{œil}}=62{,}5-66{,}7=-4{,}2~\delta$ .
d)
Donne la nature et la distance focale $f_v$ du verre ; est-ce cohérent avec « myope $\Rightarrow$ verre divergent » ?
$C_v<0$ : verre divergent, $f_v=\dfrac{1}{-4,2}\approx-0.24\,\mathrm{m}=-24\,\mathrm{cm}$ . C'est bien cohérent : l'œil trop convergent (myope) se corrige par une divergente.

Exercice 6amplitude d'accommodation

Un œil normal a sa rétine à $16\,\mathrm{mm}$ de $O$ . Au repos il voit net à l'infini ; en accommodation maximale, sa vergence atteint $+68{,}5~\delta$ .

a)
Quelle est sa vergence au repos $C_{\text{repos}}$ ?
$C_{\text{repos}}=\dfrac{1}{0,016}=+62{,}5~\delta$ .
b)
Quelle est l'amplitude d'accommodation $\Delta C=C_{\max}-C_{\text{repos}}$ ?
$\Delta C=68{,}5-62{,}5=+6~\delta$ .
c)
Donne les deux distances focales correspondantes (en mm).
Repos : $f=16\,\mathrm{mm}$ . Accommodation maximale : $f=\dfrac{1}{68,5}\approx14.6\,\mathrm{mm}$ .
d)
Laquelle de ces deux configurations correspond à la vision de près ?
La vergence maximale ( $+68{,}5~\delta$ , focale la plus courte $\approx14.6\,\mathrm{mm}$ ) correspond à la vision de près (cristallin bombé).

Exercice 7trois lentilles à vergence réglable

On accole trois lentilles minces : $C_1=+6~\delta$ , une lentille $L_2$ de vergence réglable $x$ (en $\delta$ ), et $C_3=-2~\delta$ .

a)
Exprime la vergence équivalente $C_{\text{éq}}$ en fonction de $x$ .
$C_{\text{éq}}=C_1+x+C_3=6+x-2=x+4$ (en $\delta$ ).
b)
Pour quelle valeur de $x$ le système est-il afocal ?
Afocal : $x+4=0\Rightarrow x=-4~\delta$ .
c)
Pour quelle valeur de $x$ obtient-on $f_{\text{éq}}=+50\,\mathrm{cm}$ ?
$f_{\text{éq}}=+50\,\mathrm{cm}\Rightarrow C_{\text{éq}}=\dfrac{1}{0,50}=+2~\delta$ , donc $x+4=2\Rightarrow x=-2~\delta$ .
d)
Pour quelles valeurs de $x$ le système est-il divergent ?
Divergent $\Leftrightarrow C_{\text{éq}}<0\Leftrightarrow x+4<0\Leftrightarrow x<-4~\delta$ .

Exercice 8une pile de lentilles identiques

On dispose de lentilles convergentes identiques de distance focale $f_0=+25\,\mathrm{cm}$ .

a)
Quelle est la vergence $C_0$ d'une lentille ? Exprime $C_{\text{éq}}$ et $f_{\text{éq}}$ pour $k$ lentilles accolées.
$C_0=\dfrac{1}{0,25}=+4~\delta$ . Pour $k$ lentilles : $C_{\text{éq}}=4k~\delta$ et $f_{\text{éq}}=\dfrac{1}{4k}~\mathrm{m}=\dfrac{25}{k}~\mathrm{cm}$ .
b)
Combien de lentilles faut-il accoler pour obtenir $f_{\text{éq}}\le+5\,\mathrm{cm}$ ?
$f_{\text{éq}}\le5\,\mathrm{cm}\Leftrightarrow\dfrac{25}{k}\le 5\Leftrightarrow k\ge 5$ : il faut 5 lentilles.
c)
À un empilement de $5$ lentilles, on accole en plus une divergente $-6~\delta$ . Donne $C_{\text{éq}}$ et $f_{\text{éq}}$ .
Cinq lentilles : $C=5\times4=+20~\delta$ ; avec la divergente : $C_{\text{éq}}=20-6=+14~\delta$ , $f_{\text{éq}}=\dfrac{1}{14}\approx7.1\,\mathrm{cm}$ .
d)
Le système final reste-t-il convergent ?
$C_{\text{éq}}=+14~\delta>0$ : le système reste convergent.

Exercice 9deux mesures pour une lentille inconnue

On étudie une lentille inconnue $L$ . Accolée à une lentille $A$ de vergence $+3~\delta$ , l'ensemble a une vergence $C_{\text{éq}1}=+1~\delta$ . On l'accole ensuite à une lentille $B$ de focale $f_B=+25\,\mathrm{cm}$ .

a)
Détermine la vergence $C_L$ de la lentille inconnue.
$C_L=C_{\text{éq}1}-C_A=1-3=-2~\delta$ .
b)
Quelle est la vergence $C_B$ de $B$ ?
$C_B=\dfrac{1}{0,25}=+4~\delta$ .
c)
Quelle est la vergence $C_{\text{éq}2}$ et la focale du second ensemble $L+B$ ?
$C_{\text{éq}2}=C_L+C_B=-2+4=+2~\delta$ , soit $f_{\text{éq}2}=\dfrac{1}{2}=+0.50\,\mathrm{m}=+50\,\mathrm{cm}$ .
d)
Quelle est la nature de $L$ et sa distance focale $f_L$ ?
$C_L<0$ : $L$ est divergente, $f_L=\dfrac{1}{-2}=-0.50\,\mathrm{m}=-50\,\mathrm{cm}$ .

Exercice 10le verre du presbyte

Un presbyte a une rétine à $16\,\mathrm{mm}$ de $O$ et voit net à l'infini au repos. Pour lire, le système œil $+$ verre doit totaliser $+66~\delta$ , mais son cristallin vieilli n'atteint plus que $+63~\delta$ en accommodation maximale.

a)
Combien de dioptries manque-t-il pour la lecture ?
Il manque $66-63=3~\delta$ .
b)
Quelle est la vergence, la nature et la focale $f_v$ du verre de lecture accolé ?
Verre $C_v=+3~\delta$ , convergent, $f_v=\dfrac{1}{3}\approx+0.33\,\mathrm{m}=+33\,\mathrm{cm}$ .
c)
Pourquoi le presbyte a-t-il besoin d'un verre convergent ?
Parce que la vergence disponible est insuffisante : un verre convergent, accolé, ajoute sa vergence à celle de l'œil (vergences additives) et rétablit le total nécessaire.
d)
Ce même œil a-t-il besoin de ce verre pour la vision de loin ? Justifie.
Non : au repos l'œil voit déjà net à l'infini ( $62{,}5~\delta$ suffisent). Le verre n'est utile que pour la lecture — d'où les verres « progressifs », convergents seulement dans la partie basse.

Exercice 11vrai ou faux : niveau expert

Réponds par vrai ou faux et justifie chaque réponse.

a)
Une lentille de très courte focale a une petite vergence.
Faux : $C=1/f$ , une courte focale donne une grande vergence.
b)
Deux lentilles de vergences opposées ( $+C$ et $-C$ ) accolées forment un système afocal.
Vrai : $C_{\text{éq}}=(+C)+(-C)=0$ , système afocal.
c)
L'œil humain est un système optique de faible puissance.
Faux : l'œil vaut $\approx+60~\delta$ , c'est un système très puissant.
d)
Pour des lentilles accolées, ce sont les distances focales qui s'additionnent.
Faux : ce sont les vergences qui s'additionnent, pas les focales.
e)
Une lentille divergente ne peut jamais faire partie d'un système globalement convergent.
Faux : ex. $+6~\delta$ et $-2~\delta$ accolées donnent $+4~\delta$ (convergent).

Exercice 12un jeu de cinq lentilles

On dispose de cinq lentilles :

L_1:\ C=+5~\delta\quad L_2:\ f=+10\,\mathrm{cm}\quad L_3:\ f=-20\,\mathrm{cm}\quad L_4:\ C=-5~\delta\quad L_5:\ f=+50\,\mathrm{cm}.

a)
Donne la vergence de chacune.
$L_1:+5~\delta$ ; $L_2:\dfrac{1}{0,10}=+10~\delta$ ; $L_3:\dfrac{1}{-0,20}=-5~\delta$ ; $L_4:-5~\delta$ ; $L_5:\dfrac{1}{0,50}=+2~\delta$ .
b)
Sépare les convergentes des divergentes.
Convergentes : $L_1,\,L_2,\,L_5$ ( $C>0$ ). Divergentes : $L_3,\,L_4$ ( $C<0$ ).
c)
Par quelle unique lentille peut-on remplacer l'accolage des deux plus divergentes ?
Les deux plus divergentes sont $L_3$ et $L_4$ ( $-5~\delta$ chacune) : leur accolage vaut $-10~\delta$ , remplaçable par une unique divergente de vergence $-10~\delta$ ( $f=-10\,\mathrm{cm}$ ).
d)
Peut-on accoler deux lentilles de la liste pour obtenir exactement un système afocal ? Si oui, donne toutes les paires possibles.
Afocal $\Leftrightarrow$ somme nulle : il faut $+5$ avec $-5$ . Paires possibles : $(L_1,L_3)$ et $(L_1,L_4)$ . Aucune autre (il n'existe pas de $-10$ ni de $-2~\delta$ ).

Exercice 13concevoir un objectif à la carte

On veut réaliser un système de vergence totale exactement $+45~\delta$ par accolage. On part d'un objectif fixe de $+30~\delta$ et l'on dispose d'un tiroir de lentilles $\{+5,\ +10,\ +15,\ +20,\ -5\}~\delta$ (chaque lentille utilisable au plus une fois).

a)
Quelle vergence doit apporter le tiroir ?
Le tiroir doit apporter $C_{\text{tiroir}}=45-30=+15~\delta$ .
b)
Propose une solution avec une seule lentille, puis une solution avec deux lentilles.
Une lentille : $+15~\delta$ . Deux lentilles : $+20$ et $-5$ (somme $+15$ ), ou bien $+10$ et $+5$ .
c)
Quelle est la focale de l'objectif seul (en cm) ?
Objectif seul : $f=\dfrac{1}{30}\approx3.33\,\mathrm{cm}$ .
d)
Quelle est la focale du système complet ? Est-il plus ou moins puissant que l'objectif seul ?
Système complet : $f=\dfrac{1}{45}\approx2.22\,\mathrm{cm}$ ; focale plus courte $\Rightarrow$ système plus puissant que l'objectif seul.

Exercice 14les rayons particuliers et les deux familles

La figure montre une lentille convergente de centre $O$ , de foyers $F$ et $F'$ . Deux rayons incidents arrivent : $R_1$ parallèle à l'axe, et $R_2$ passant par le foyer objet $F$ .

a)
Par quel point le rayon $R_1$ émerge-t-il de la lentille ?
$R_1$ (parallèle à l'axe) émerge en passant par le foyer image $F'$ .
b)
Comment le rayon $R_2$ émerge-t-il ?
$R_2$ (passant par le foyer objet $F$ ) émerge parallèlement à l'axe.
c)
Un troisième rayon passe par $O$ : que devient-il ?
Le rayon passant par $O$ (centre optique) n'est pas dévié.
d)
On remplace la lentille par une divergente de même $|f|$ . Où se trouvent alors $F$ et $F'$ , et comment un rayon parallèle à l'axe en ressort-il ?
Pour une divergente de même $|f|$ , les foyers « changent de côté » : le foyer image $F'$ devient virtuel, du côté de l'objet (à gauche), et $F$ passe du côté image. Un rayon parallèle à l'axe ressort alors en s'écartant de l'axe, comme s'il provenait de $F'$ .

Revoir le tutoriel de cette mécanique