Notations, lecture graphique, calcul direct & continuité

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Facile15 exercices

Exercice 1calcul direct par remplacement

Toutes ces fonctions sont définies au point visé. Calculer chaque limite en remplaçant $x$ par la cible.

a)
$\displaystyle\lim_{x\to 2}\bigl(3x^2-x+4\bigr)$
On remplace directement $x$ par la cible (les fonctions sont définies au point).
$\displaystyle\lim_{x\to 2}(3x^2-x+4)=3\cdot 4-2+4=12-2+4=\boxed{14}$ .
b)
$\displaystyle\lim_{x\to -1}\frac{2x+5}{x^2+3}$
$\displaystyle\lim_{x\to -1}\frac{2x+5}{x^2+3}=\frac{2(-1)+5}{(-1)^2+3}=\frac{3}{4}=\boxed{\tfrac34}$ (le dénominateur vaut $4\neq 0$ ).
c)
$\displaystyle\lim_{x\to 4}\bigl(\sqrt{x}+x\bigr)$
$\displaystyle\lim_{x\to 4}(\sqrt{x}+x)=\sqrt{4}+4=2+4=\boxed{6}$ .
d)
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\bigl(x^3+2x-7\bigr)$
$\displaystyle\lim_{x\to 0}(x^3+2x-7)=0+0-7=\boxed{-7}$ .

Exercice 2lire et écrire une notation

a)
Traduire en une phrase : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)=3$ .
« Lorsque $x$ devient de plus en plus grand (tend vers $+\infty$ ), $f(x)$ se rapproche de $3$ . » (Géométriquement : la droite $y=3$ est asymptote horizontale.)
b)
Traduire en une phrase : $\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=-\infty$ .
« Lorsque $x$ se rapproche de $2$ par la gauche (par valeurs inférieures à $2$ ), $f(x)$ devient de plus en plus grand en valeur négative, c.-à-d. tend vers $-\infty$ . »
c)
Écrire avec le symbole $\lim$ : « lorsque $x$ se rapproche de $5$ par la droite, $g(x)$ tend vers $0$ ».
$\displaystyle\lim_{x\to 5^{+}} g(x)=0$ .

Exercice 3limites à gauche et à droite d'une fonction par morceaux

Soit $f$ définie par

f(x)=\begin{cases} x+1 & \text{si } x<2,\\[2pt] 3x-2 & \text{si } x\geq 2.\end{cases}

a)
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} f(x)$ (on utilise le morceau valable pour $x<2$ ).
À gauche de $2$ on a $x<2$ , donc $f(x)=x+1$ : $\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=2+1=3$ .
b)
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} f(x)$ (on utilise le morceau valable pour $x\geq 2$ ).
À droite (et en $2$ ) on a $x\geq 2$ , donc $f(x)=3x-2$ : $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=3\cdot 2-2=4$ .
c)
Les deux résultats sont-ils égaux ? $f$ a-t-elle une limite (globale) en $2$ ?
Les deux limites latérales sont différentes ( $3\neq 4$ ) : $f$ n'a pas de limite (globale) en $2$ . (La courbe présente un saut de hauteur $1$ .)

Exercice 4lecture graphique

La courbe de $f$ est donnée ci-dessous. Lire graphiquement les limites demandées.

a)
$\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)=\ ?$
La courbe se rapproche de la droite $y=2$ aux deux bouts, et passe par l'origine.
$\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)=2$ .
b)
$\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x)=\ ?$
$\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x)=2$ .
c)
$\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)=\ ?$
$\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)=0$ (la courbe passe par le point $(0,0)$ , sans trou ni saut).

Exercice 5vérifier une continuité

Soit $g(x)=\dfrac{x^2-1}{x+3}$ .

a)
Le point $x_0=1$ appartient-il au domaine de $g$ ? (le dénominateur s'annule-t-il ?)
$g(x)=\dfrac{x^2-1}{x+3}$ .
En $x_0=1$ , le dénominateur vaut $1+3=4\neq 0$ : donc $1\in D_g$ et $g$ est définie en $1$ .
b)
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 1} g(x)$ et la valeur $g(1)$ .
$\displaystyle\lim_{x\to 1} g(x)=\frac{1^2-1}{1+3}=\frac{0}{4}=0$ , et $g(1)=\dfrac{1-1}{1+3}=0$ .
c)
En déduire si $g$ est continue en $1$ (comparer la limite et $g(1)$ ).
La limite ( $0$ ) est égale à $g(1)$ ( $0$ ) : $g$ est continue en $1$ . (C'est le cas général d'une fonction rationnelle en un point où le dénominateur ne s'annule pas.)

Exercice 6calcul direct : polynômes et quotients définis

Chaque cible appartient au domaine. Calculer par remplacement.

a)
$\displaystyle\lim_{x\to 3}\bigl(x^2-2x+5\bigr)$
$\displaystyle\lim_{x\to 3}(x^2-2x+5)=9-6+5=\boxed{8}$ .
b)
$\displaystyle\lim_{x\to -2}\frac{4x+7}{x^2+1}$
$\displaystyle\lim_{x\to -2}\frac{4x+7}{x^2+1}=\frac{4(-2)+7}{(-2)^2+1}=\frac{-1}{5}=\boxed{-\tfrac15}$ (dénominateur $5\neq 0$ ).
c)
$\displaystyle\lim_{x\to 1}\bigl(5-3x+x^2\bigr)$
$\displaystyle\lim_{x\to 1}(5-3x+x^2)=5-3+1=\boxed{3}$ .
d)
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{7-2x}{x+4}$
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{7-2x}{x+4}=\frac{7-0}{0+4}=\boxed{\tfrac74}$ .

Exercice 7calcul direct avec une racine carrée

Les radicandes sont positifs au point visé. Calculer.

a)
$\displaystyle\lim_{x\to 16}\frac{\sqrt{x}}{2}$
$\displaystyle\lim_{x\to 16}\frac{\sqrt{x}}{2}=\frac{\sqrt{16}}{2}=\frac{4}{2}=\boxed{2}$ .
b)
$\displaystyle\lim_{x\to 25}\bigl(\sqrt{x}-x\bigr)$
$\displaystyle\lim_{x\to 25}(\sqrt{x}-x)=\sqrt{25}-25=5-25=\boxed{-20}$ .
c)
$\displaystyle\lim_{x\to 1}\sqrt{3x+1}$
$\displaystyle\lim_{x\to 1}\sqrt{3x+1}=\sqrt{3\cdot 1+1}=\sqrt{4}=\boxed{2}$ .
d)
$\displaystyle\lim_{x\to 2}\sqrt{x^2+5}$
$\displaystyle\lim_{x\to 2}\sqrt{x^2+5}=\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=\boxed{3}$ .

Exercice 8traduire une notation en une phrase

Traduire chaque écriture par une phrase en français courant.

a)
$\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x)=0$
« Lorsque $x$ devient de plus en plus grand en valeur négative (tend vers $-\infty$ ), $f(x)$ se rapproche de $0$ . » (La droite $y=0$ est asymptote horizontale.)
b)
$\displaystyle\lim_{x\to 3^{+}} f(x)=5$
« Lorsque $x$ se rapproche de $3$ par la droite (par valeurs supérieures à $3$ ), $f(x)$ tend vers $5$ . »
c)
$\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$
« Lorsque $x$ devient de plus en plus grand (tend vers $+\infty$ ), $f(x)$ décroît sans borne, c.-à-d. tend vers $-\infty$ . »

Exercice 9écrire une limite avec le symbole

\lim

Traduire chaque phrase par une écriture utilisant le symbole $\lim$ .

a)
« Lorsque $x$ tend vers $4$ , $h(x)$ se rapproche de $7$ . »
$\displaystyle\lim_{x\to 4} h(x)=7$ .
b)
« Lorsque $x$ devient très grand négatif, $f(x)$ tend vers $2$ . »
$\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x)=2$ .
c)
« Lorsque $x$ s'approche de $0$ par la gauche, $g(x)$ tend vers $+\infty$ . »
$\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}} g(x)=+\infty$ .

Exercice 10limites latérales d'une fonction par morceaux

Soit $\displaystyle f(x)=$

2x-1 & si x<3,
x+2 & si x 3.

a)
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 3^{-}} f(x)$ (morceau valable pour $x<3$ ).
À gauche de $3$ on a $x<3$ , donc $f(x)=2x-1$ : $\displaystyle\lim_{x\to 3^{-}}f(x)=2\cdot 3-1=5$ .
b)
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 3^{+}} f(x)$ (morceau valable pour $x\geq 3$ ).
À droite (et en $3$ ) on a $x\geq 3$ , donc $f(x)=x+2$ : $\displaystyle\lim_{x\to 3^{+}}f(x)=3+2=5$ .
c)
Les deux résultats sont-ils égaux ? $f$ a-t-elle une limite en $3$ ?
Les deux limites latérales sont égales à $5$ : $f$ possède une limite en $3$ , et $\displaystyle\lim_{x\to 3} f(x)=5$ .

Exercice 11continuité d'un polynôme en un point

Soit $f(x)=x^2-3x+1$ et le point $x_0=2$ .

a)
Calculer la valeur $f(2)$ .
$f(2)=2^2-3\cdot 2+1=4-6+1=-1$ .
b)
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 2} f(x)$ .
$\displaystyle\lim_{x\to 2}(x^2-3x+1)=4-6+1=-1$ (un polynôme se calcule par remplacement direct).
c)
En comparant, $f$ est-elle continue en $2$ ?
La limite ( $-1$ ) est égale à $f(2)$ ( $-1$ ) : $f$ est continue en $2$ . (Tout polynôme est continu en chaque point de $\mathbb{R}$ .)

Exercice 12vérifier une continuité : fonction rationnelle

Soit $g(x)=\dfrac{x+4}{x-1}$ et le point $x_0=3$ .

a)
Le dénominateur s'annule-t-il en $3$ ? Le point $3$ appartient-il à $D_g$ ?
En $x_0=3$ , le dénominateur vaut $3-1=2\neq 0$ : donc $3\in D_g$ et $g$ est définie en $3$ .
b)
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 3} g(x)$ et la valeur $g(3)$ .
$\displaystyle\lim_{x\to 3} g(x)=\frac{3+4}{3-1}=\frac{7}{2}$ , et $g(3)=\dfrac{3+4}{3-1}=\dfrac72$ .
c)
En déduire si $g$ est continue en $3$ .
La limite ( $\tfrac72$ ) est égale à $g(3)$ ( $\tfrac72$ ) : $g$ est continue en $3$ .

Exercice 13lecture graphique : asymptote horizontale

La courbe de $f$ est donnée ci-dessous. Lire les limites demandées.

a)
$\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)=\ ?$
La courbe colle à la droite $y=1$ aux deux bouts et culmine en $(0\,;2)$ .
$\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)=1$ .
b)
$\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x)=\ ?$
$\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x)=1$ .
c)
$\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)=\ ?$
$\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)=2$ (la courbe passe par le point $(0\,;2)$ , sans trou ni saut).

Exercice 14peut-on remplacer directement ?

Sans calculer la limite, dire si le point visé appartient au domaine (donc si le remplacement direct est légitime). Justifier en une ligne.

a)
$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x+1}{x-5}$
En $2$ , le dénominateur vaut $2-5=-3\neq 0$ : oui, $2\in D_f$ , le remplacement est légitime.
b)
$\displaystyle\lim_{x\to 5}\frac{x+1}{x-5}$
En $5$ , le dénominateur vaut $5-5=0$ : non, $5\notin D_f$ (division par $0$ ).
c)
$\displaystyle\lim_{x\to -1}\sqrt{x+3}$
En $-1$ , on a $x+3=2\geq 0$ : oui, la racine est définie, remplacement légitime.
d)
$\displaystyle\lim_{x\to -4}\sqrt{x+3}$
En $-4$ , on a $x+3=-1<0$ : non, racine d'un nombre négatif, $-4\notin D_f$ .

Exercice 15lecture graphique : un saut

La courbe de $f$ présente un saut en $x=1$ (rond plein, rond ouvert). Lire les limites.

a)
Lire $\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} f(x)$ .
La branche de gauche arrive au niveau $1$ (rond ouvert) : $\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} f(x)=1$ .
b)
Lire $\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}} f(x)$ ainsi que la valeur $f(1)$ (rond plein).
La branche de droite part du niveau $3$ , avec le rond plein : $\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}} f(x)=3$ et $f(1)=3$ .
c)
$f$ a-t-elle une limite en $1$ ? Justifier.
Les deux limites latérales diffèrent ( $1\neq 3$ ) : $f$ n'a pas de limite en $1$ (saut de hauteur $2$ ).

Moyen15 exercices

Exercice 1calcul direct avec fonctions usuelles

Chaque point est visé dans le domaine. Calculer.

a)
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\bigl(e^{x}+3\cos x\bigr)$
$\displaystyle\lim_{x\to 0}(e^{x}+3\cos x)=e^{0}+3\cos 0=1+3=\boxed{4}$ .
b)
$\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{\ln x + 2}{x+1}$
$\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{\ln x+2}{x+1}=\frac{\ln 1+2}{1+1}=\frac{0+2}{2}=\boxed{1}$ .
c)
$\displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\bigl(2\sin x - x\bigr)$
$\displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}(2\sin x-x)=2\sin\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{2}=2-\tfrac{\pi}{2}=\boxed{2-\tfrac{\pi}{2}}\approx 0{,}43$ .
d)
$\displaystyle\lim_{x\to 9}\frac{\sqrt{x}-1}{x-5}$
$\displaystyle\lim_{x\to 9}\frac{\sqrt{x}-1}{x-5}=\frac{\sqrt{9}-1}{9-5}=\frac{3-1}{4}=\frac{2}{4}=\boxed{\tfrac12}$ (le dénominateur vaut $4\neq 0$ ).

Exercice 2raccord de deux morceaux

Soit $f(x)=$

x^2+1 & si x 1,
4x-2 & si x>1.

a)
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}} f(x)$ .
À gauche $x\leq 1$ : $f(x)=x^2+1$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} f(x)=1^2+1=2$ .
À droite $x>1$ : $f(x)=4x-2$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}} f(x)=4\cdot 1-2=2$ .
b)
$f$ possède-t-elle une limite en $1$ ? Si oui, laquelle ?
Les deux limites latérales sont égales à $2$ : $f$ possède la limite $\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x)=2$ .
c)
$f$ est-elle continue en $1$ ? (comparer avec $f(1)$ ).
$f(1)$ se calcule avec le morceau $x\leq 1$ : $f(1)=1^2+1=2$ . Comme $\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x)=2=f(1)$ , $f$ est continue en $1$ .

Exercice 3ajuster un paramètre pour la continuité

Soit $k$ un réel et $f(x)=$

2x+k & si x<3,
x^2 & si x 3.

a)
Exprimer $\displaystyle\lim_{x\to 3^{-}} f(x)$ en fonction de $k$ , puis $\displaystyle\lim_{x\to 3^{+}} f(x)$ .
À gauche $x<3$ : $f(x)=2x+k$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 3^{-}} f(x)=6+k$ .
À droite $x\geq 3$ : $f(x)=x^2$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 3^{+}} f(x)=9$ ; de plus $f(3)=9$ .
b)
Déterminer la valeur de $k$ pour que $f$ soit continue en $3$ .
$f$ est continue en $3$ ssi limite à gauche $=$ limite à droite $=f(3)$ , soit $6+k=9$ , donc $\boxed{k=3}$ .

Exercice 4lecture graphique fine

La courbe de $f$ comporte un rond plein et un rond ouvert au voisinage de $x=1$ .

a)
Lire $\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}} f(x)$ .
La branche de gauche arrive au niveau $2$ : $\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} f(x)=2$ . La branche de droite part du niveau $0{,}8$ : $\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}} f(x)=0{,}8$ .
b)
Quelle est la valeur $f(1)$ (rond plein) ?
Le rond plein est placé en $(1\,;0{,}8)$ , donc $f(1)=0{,}8$ .
c)
$f$ est-elle continue en $1$ ? à gauche ? à droite ? Justifier.
Les deux limites latérales diffèrent ( $2\neq 0{,}8$ ) : $f$ n'a pas de limite en $1$ , donc n'est pas continue en $1$ . En revanche, à droite $\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}} f(x)=0{,}8=f(1)$ : $f$ est continue à droite en $1$ (mais pas à gauche).

Exercice 5vrai / faux justifié

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, en une ligne de justification.

a)
Si $\displaystyle\lim_{x\to x_0^{-}} f(x)=\lim_{x\to x_0^{+}} f(x)$ , alors $f$ est continue en $x_0$ .
Faux. L'égalité des limites latérales garantit seulement que la limite existe ; il faut en plus que cette limite vaille $f(x_0)$ (et que $x_0\in D_f$ ) pour la continuité.
b)
Une fonction peut avoir une limite en $x_0$ sans être définie en $x_0$ .
Vrai. Par exemple $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ n'est pas définie en $1$ , mais tend vers $2$ en $1$ . La limite décrit une tendance, pas une valeur au point.
c)
Si $f$ est continue en $x_0$ , alors $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$ .
Vrai. C'est exactement la définition de la continuité en $x_0$ : $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$ .

Exercice 6calcul direct : exponentielle, logarithme, trigonométrie

Chaque point est dans le domaine. Calculer.

a)
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\bigl(e^{3x}+2\cos x\bigr)$
$\displaystyle\lim_{x\to 0}(e^{3x}+2\cos x)=e^{0}+2\cos 0=1+2=\boxed{3}$ .
b)
$\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{\ln x+x}{x^2+1}$
$\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{\ln x+x}{x^2+1}=\frac{\ln 1+1}{1^2+1}=\frac{0+1}{2}=\boxed{\tfrac12}$ .
c)
$\displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{6}}\bigl(2\sin x+1\bigr)$
$\displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{6}}(2\sin x+1)=2\sin\tfrac{\pi}{6}+1=2\cdot\tfrac12+1=\boxed{2}$ .
d)
$\displaystyle\lim_{x\to e}\frac{\ln x}{x}$
$\displaystyle\lim_{x\to e}\frac{\ln x}{x}=\frac{\ln e}{e}=\frac{1}{e}=\boxed{\tfrac1e}$ (le dénominateur vaut $e\neq 0$ ).

Exercice 7raccord qui ne se fait pas

Soit $\displaystyle f(x)=$

x+3 & si x<2,
x^2 & si x 2.

a)
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} f(x)$ , $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} f(x)$ et la valeur $f(2)$ .
À gauche $x<2$ : $f(x)=x+3$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=5$ .
À droite (et en $2$ ) $x\geq 2$ : $f(x)=x^2$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=4$ et $f(2)=4$ .
b)
$f$ possède-t-elle une limite en $2$ ?
Les deux limites latérales diffèrent ( $5\neq 4$ ) : $f$ n'a pas de limite en $2$ .
c)
$f$ est-elle continue en $2$ ? continue à droite ? Justifier.
N'ayant pas de limite en $2$ , $f$ n'est pas continue en $2$ . En revanche, à droite $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=4=f(2)$ : $f$ est continue à droite en $2$ (mais pas à gauche, car $5\neq 4$ ).

Exercice 8ajuster un coefficient pour la continuité

Soit $a\in\mathbb{R}$ et $\displaystyle f(x)=$

a x-1 & si x 2,
x^2+x & si x>2.

a)
Exprimer $\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} f(x)$ (qui vaut aussi $f(2)$ ) en fonction de $a$ , puis $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} f(x)$ .
À gauche (et en $2$ ) $x\leq 2$ : $f(x)=a x-1$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=2a-1=f(2)$ .
À droite $x>2$ : $f(x)=x^2+x$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=4+2=6$ .
b)
Déterminer la valeur de $a$ pour que $f$ soit continue en $2$ .
$f$ est continue en $2$ ssi $2a-1=6$ , soit $2a=7$ , donc $\boxed{a=\tfrac72=3{,}5}$ .

Exercice 9lecture graphique : un trou

La courbe de $f$ ci-dessous présente un trou (rond ouvert) en $x=1$ : $f$ n'est pas définie en $1$ .

a)
Lire $\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}} f(x)$ .
La courbe est la droite $y=x+1$ privée du point $(1\,;2)$ (rond ouvert).
Des deux côtés la courbe pointe vers le niveau $2$ : $\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} f(x)=\lim_{x\to 1^{+}} f(x)=2$ .
b)
$f$ possède-t-elle une limite en $1$ ? Laquelle ?
Les deux limites latérales sont égales : $f$ possède une limite en $1$ , $\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x)=2$ .
c)
$f$ est-elle continue en $1$ ? Justifier.
$f$ n'est pas continue en $1$ car $1\notin D_f$ (rond ouvert : $f$ n'y est pas définie). La limite existe pourtant : on pourrait « boucher le trou » en posant $f(1)=2$ (prolongement par continuité).

Exercice 10vrai / faux justifié

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, avec une courte justification.

a)
Si $f(x_0)$ existe, alors $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x)$ existe.
Faux. $f$ peut être définie en $x_0$ tout en ayant des limites latérales différentes (un saut) : la limite n'existe alors pas. Ainsi la fonction « $x+3$ / $x^2$ » de l'exercice précédent est définie en $2$ mais n'a pas de limite en $2$ .
b)
Si $\displaystyle\lim_{x\to x_0^{-}} f(x)=\lim_{x\to x_0^{+}} f(x)=f(x_0)$ , alors $f$ est continue en $x_0$ .
Vrai. C'est exactement la définition de la continuité en $x_0$ : les deux limites latérales existent, sont égales, et valent $f(x_0)$ .
c)
Un polynôme est continu en tout point de $\mathbb{R}$ .
Vrai. Les polynômes sont continus sur $\mathbb{R}$ ; on calcule d'ailleurs leurs limites par simple remplacement.

Exercice 11calcul direct : quotients définis

Chaque dénominateur est non nul au point visé. Calculer.

a)
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}}{\cos x}$
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}}{\cos x}=\frac{e^{0}}{\cos 0}=\frac{1}{1}=\boxed{1}$ .
b)
$\displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin x}{\cos x}$
$\displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\sin\frac{\pi}{4}}{\cos\frac{\pi}{4}} =\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=\boxed{1}$ .
c)
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1+x}{e^{x}}$
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1+x}{e^{x}}=\frac{1+0}{e^{0}}=\frac{1}{1}=\boxed{1}$ .
d)
$\displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{1+\sin x}$
$\displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{1+\sin x}=\frac{\cos\frac{\pi}{2}}{1+\sin\frac{\pi}{2}} =\frac{0}{1+1}=\boxed{0}$ (dénominateur $2\neq 0$ ).

Exercice 12limite et valeur : comparer

Soit $\displaystyle f(x)=$

2x+1 & si x 1,
5 & si x=1.

a)
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x)$ .
Autour de $1$ (pour $x\neq 1$ ) on a $f(x)=2x+1$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x)=2\cdot 1+1=3$ .
b)
Donner la valeur $f(1)$ .
La valeur imposée est $f(1)=5$ .
c)
$f$ est-elle continue en $1$ ? Justifier en comparant la limite et $f(1)$ .
La limite ( $3$ ) diffère de $f(1)$ ( $5$ ) : $f$ n'est pas continue en $1$ , bien que la limite existe. (La courbe est la droite $y=2x+1$ avec le point en $1$ « déplacé » vers $5$ .)

Exercice 13notations et asymptotes

a)
Traduire $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=+\infty$ par une phrase, puis nommer l'asymptote correspondante et donner son équation.
« Quand $x$ tend vers $2$ par la droite, $f(x)$ devient infiniment grand. » L'asymptote est verticale, d'équation $x=2$ .
b)
Traduire $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)=3$ par une phrase, puis nommer l'asymptote correspondante et donner son équation.
« Quand $x$ tend vers $+\infty$ , $f(x)$ se rapproche de $3$ . » L'asymptote est horizontale, d'équation $y=3$ .
c)
Une fonction peut-elle admettre deux asymptotes horizontales distinctes ? Justifier.
Oui : une fonction peut avoir une asymptote horizontale en $+\infty$ et une autre, différente, en $-\infty$ (par exemple $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f=3$ et $\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f=-1$ ). Il y en a au plus deux, une par côté.

Exercice 14fonction à trois morceaux

Soit $\displaystyle f(x)=$

x+2 & si x<0,
2 & si x=0,
x^2+3 & si x>0.

a)
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} f(x)$ .
À gauche $x<0$ : $f(x)=x+2$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=2$ .
À droite $x>0$ : $f(x)=x^2+3$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=3$ .
b)
$f$ possède-t-elle une limite en $0$ ?
Les deux limites latérales diffèrent ( $2\neq 3$ ) : $f$ n'a pas de limite en $0$ .
c)
$f$ est-elle continue en $0$ ? continue à gauche ? Justifier.
$f$ n'est pas continue en $0$ . Comme $f(0)=2$ et $\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=2=f(0)$ , $f$ est continue à gauche en $0$ (mais pas à droite, car $3\neq 2$ ).

Exercice 15lecture graphique : une branche infinie

La courbe de $f$ ci-dessous possède une asymptote verticale. Lire les limites demandées.

a)
Lire $\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}} f(x)$ .
La courbe est celle de $\dfrac{1}{x-1}$ : deux branches séparées par la droite $x=1$ .
À gauche de $1$ , la branche plonge : $\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} f(x)=-\infty$ . À droite, elle monte : $\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}} f(x)=+\infty$ .
b)
Quelle est la nature de la droite $x=1$ pour la courbe ?
Les limites latérales étant infinies, la droite $x=1$ est une asymptote verticale.
c)
Lire $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x)$ ; nommer l'asymptote correspondante.
Aux deux bouts la courbe se rapproche de l'axe des abscisses : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)=\lim_{x\to -\infty} f(x)=0$ . La droite $y=0$ est une asymptote horizontale.

Difficile13 exercices

Exercice 1une fonction à deux paramètres

Soit $a$ et $b$ deux réels et

f(x)=\begin{cases} ax+1 & \text{si } x<2,\\[2pt] 3 & \text{si } x=2,\\[2pt] x^2+b & \text{si } x>2.\end{cases}

a)
Exprimer $\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} f(x)$ en fonction de $a$ et $b$ .
À gauche ( $x<2$ ) : $f(x)=ax+1$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=2a+1$ .
À droite ( $x>2$ ) : $f(x)=x^2+b$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=4+b$ .
b)
Écrire la condition sur $a$ et $b$ pour que $f$ possède une limite en $2$ .
$f$ possède une limite en $2$ ssi les deux limites latérales sont égales :
$2a+1=4+b\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{b=2a-3}.$
c)
Écrire la (les) condition(s) supplémentaire(s) pour que $f$ soit continue en $2$ .
Pour la continuité en $2$ , il faut de plus que cette limite commune soit égale à $f(2)=3$ :
$2a+1=3\ \text{(et)}\ 4+b=3.$
d)
En déduire toutes les paires $(a,b)$ rendant $f$ continue en $2$ , puis donner un exemple numérique.
De $2a+1=3$ on tire $a=1$ ; de $4+b=3$ on tire $b=-1$ . (Ces valeurs vérifient bien $b=2a-3=-1$ .)
$\boxed{(a,b)=(1,-1)}$
est l'unique paire rendant $f$ continue en $2$ . Exemple : $f(x)=x+1$ pour $x<2$ , $f(2)=3$ , $f(x)=x^2-1$ pour $x>2$ ; on a alors $\lim_{x\to2^\pm} f=3=f(2)$ .

Exercice 2lecture graphique complète

On donne ci-dessous la courbe d'une fonction $f$ (ronds pleins et ouverts, asymptotes en pointillés).

a)
Donner $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x)$ , et nommer l'asymptote correspondante.
Aux deux bouts la courbe colle à la droite $y=1$ : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)=\lim_{x\to -\infty} f(x)=1$ . La droite $y=1$ est une asymptote horizontale.
b)
Donner $\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} f(x)$ ; que peut-on en conclure sur l'asymptote verticale ?
À gauche de $2$ , la branche plonge : $\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=-\infty$ . La droite $x=2$ est donc une asymptote verticale.
c)
Donner $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} f(x)$ et la valeur $f(2)$ (rond plein).
Le rond ouvert est en $(2\,;3)$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=3$ ; le rond plein est en $(2\,;0)$ , donc $f(2)=0$ .
d)
$f$ possède-t-elle une limite en $2$ ? est-elle continue en $2$ ? à droite ? Justifier chaque réponse.
Les limites latérales en $2$ diffèrent ( $-\infty$ à gauche, $3$ à droite) : $f$ n'a pas de limite en $2$ et n'est donc pas continue. De plus, à droite $\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=3\neq f(2)=0$ : $f$ n'est pas continue à droite non plus. (La valeur $f(2)=0$ est un point isolé.)

Exercice 3mise en situation : un tarif par paliers

Une clinique facture une consultation selon la durée $t$ (en minutes). Le montant $M(t)$ (en euros) est :

M(t)=\begin{cases} 30 & \text{si } 0< t\leq 20,\\[2pt] 30+2\,(t-20) & \text{si } t>20.\end{cases}

a)
Calculer $\displaystyle\lim_{t\to 20^{-}} M(t)$ et $\displaystyle\lim_{t\to 20^{+}} M(t)$ .
À gauche ( $t\leq 20$ ) : $M(t)=30$ , donc $\displaystyle\lim_{t\to 20^{-}} M(t)=30$ .
À droite ( $t>20$ ) : $M(t)=30+2(t-20)$ , donc $\displaystyle\lim_{t\to 20^{+}} M(t)=30+2(20-20)=30$ .
b)
La fonction montant est-elle continue en $t=20$ ? Interpréter concrètement (le tarif « saute »-t-il ?).
Les deux limites valent $30$ et $M(20)=30$ : $M$ est continue en $20$ . Concrètement, le tarif ne saute pas : à $20$ minutes on paie $30$ €, et juste après le montant augmente continûment (pas de bond brutal).
c)
Même question au point $t=20$ si l'on remplace le second morceau par $35+2\,(t-20)$ : la facturation présenterait-elle un saut ? de combien d'euros ?
Avec $35+2(t-20)$ pour $t>20$ : $\displaystyle\lim_{t\to 20^{+}} M(t)=35$ tandis que $\displaystyle\lim_{t\to 20^{-}} M(t)=30$ . Les limites latérales diffèrent : $M$ serait discontinue en $20$ , avec un saut de $35-30=5$ € (le prix bondirait de $5$ € dès qu'on dépasse $20$ minutes).

Exercice 4deux paramètres et une contrainte

Soit $a,b\in\mathbb{R}$ et $\displaystyle f(x)=$

ax+b & si x 2,
x^2+1 & si x>2.

$On veut que$ f $soit continue en$ 2 $\emph{et} que la branche de gauche passe par le point$ (0 ;3) $.$

a)
Traduire « la branche de gauche passe par $(0\,;3)$ » par une équation portant sur $a$ et $b$ .
La branche de gauche est $ax+b$ ; passer par $(0\,;3)$ signifie $f(0)=b=3$ , donc $\boxed{b=3}$ .
b)
Exprimer $\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} f(x)$ (qui vaut $f(2)$ ) et $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} f(x)$ en fonction de $a,b$ .
À gauche (et en $2$ ) : $f(x)=ax+b$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=2a+b=f(2)$ .
À droite : $f(x)=x^2+1$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=4+1=5$ .
c)
Écrire la condition de continuité en $2$ .
Continuité en $2$ : $2a+b=5$ .
d)
En déduire $(a,b)$ , puis vérifier.
Avec $b=3$ : $2a+3=5$ , d'où $a=1$ . Donc $\boxed{(a,b)=(1,3)}$ . Vérification : à gauche $f(x)=x+3$ , $f(2)=5$ ; à droite $\lim_{x\to 2^{+}} f=5$ : la limite commune vaut $5=f(2)$ , $f$ est bien continue.

Exercice 5continuité en deux points de raccord

Soit $a,b\in\mathbb{R}$ et

f(x)=\begin{cases} x+1 & \text{si } x<0,\\[2pt] x^2+1 & \text{si } 0\leq x<2,\\[2pt] ax+b & \text{si } x\geq 2.\end{cases}

a)
Étudier la continuité en $0$ : calculer $\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}} f(x)$ , $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} f(x)$ et $f(0)$ .
À gauche $x<0$ : $f(x)=x+1$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=1$ . À droite $0\leq x<2$ : $f(x)=x^2+1$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=1$ et $f(0)=1$ . Les trois valent $1$ : $f$ est continue en $0$ .
b)
Écrire la condition de continuité en $2$ (relation entre $a$ et $b$ ).
En $2$ : à gauche $f(x)=x^2+1$ donne $\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=5$ ; à droite (et en $2$ ) $f(x)=ax+b$ donne $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=2a+b=f(2)$ . Continuité en $2$ : $\boxed{2a+b=5}$ .
c)
On impose de plus $f(3)=6$ . En déduire $a$ et $b$ .
$f(3)=3a+b=6$ . Avec $2a+b=5$ , on soustrait : $(3a+b)-(2a+b)=6-5$ , soit $a=1$ ; puis $b=5-2=3$ . Donc $\boxed{(a,b)=(1,3)}$ .

Exercice 6mise en situation : impôt par tranches

L'impôt $I$ (en euros) dû sur un revenu $r$ (en euros) est

I(r)=\begin{cases} 0 & \text{si } 0\leq r\leq 10\,000,\\[3pt] 0{,}1\,(r-10\,000) & \text{si } 10\,000< r\leq 25\,000,\\[3pt] 1500+0{,}2\,(r-25\,000) & \text{si } r>25\,000.\end{cases}

a)
Calculer $\displaystyle\lim_{r\to 10\,000^{-}} I(r)$ et $\displaystyle\lim_{r\to 10\,000^{+}} I(r)$ : le barème est-il continu en $10\,000$ ?
À gauche ( $r\leq 10\,000$ ) : $I=0$ , donc $\displaystyle\lim_{r\to 10\,000^{-}} I(r)=0$ . À droite : $I(r)=0{,}1\,(r-10\,000)\to 0{,}1\cdot 0=0$ . Comme $I(10\,000)=0$ , le barème est continu en $10\,000$ .
b)
Calculer $\displaystyle\lim_{r\to 25\,000^{-}} I(r)$ et $\displaystyle\lim_{r\to 25\,000^{+}} I(r)$ : le barème est-il continu en $25\,000$ ?
À gauche : $0{,}1\,(25\,000-10\,000)=0{,}1\cdot 15\,000=1500$ , donc $\displaystyle\lim_{r\to 25\,000^{-}} I(r)=1500$ . À droite : $1500+0{,}2\,(25\,000-25\,000)=1500$ . Comme $I(25\,000)=1500$ , le barème est continu en $25\,000$ .
c)
Interpréter : le montant de l'impôt fait-il un « saut » quand on franchit un seuil ?
Aux deux seuils, les limites latérales coïncident : le montant ne fait aucun saut. Franchir un seuil ne provoque pas de bond brutal de l'impôt ; seul le taux (la pente) change. C'est le principe d'un barème progressif continu.

Exercice 7continuité selon la valeur d'un paramètre

Soit $m\in\mathbb{R}$ et $\displaystyle f(x)=$

x^2 & si x 1,
mx+2 & si x>1.

a)
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} f(x)$ et $f(1)$ .
À gauche (et en $1$ ) : $f(x)=x^2$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} f(x)=1$ et $f(1)=1^2=1$ .
b)
Exprimer $\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}} f(x)$ en fonction de $m$ .
À droite : $f(x)=mx+2$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}} f(x)=m+2$ .
c)
Déterminer $m$ pour que $f$ soit continue en $1$ .
Continuité en $1$ : $m+2=1$ , donc $\boxed{m=-1}$ .
d)
Pour toute autre valeur de $m$ , $f$ est-elle au moins continue à gauche en $1$ ? Justifier.
Oui, pour tout $m$ . La limite à gauche vaut toujours $1=f(1)$ (le morceau gauche inclut $x=1$ ), donc $f$ est toujours continue à gauche en $1$ . Seule la continuité à droite dépend de $m$ : elle n'a lieu que pour $m=-1$ .

Exercice 8lecture graphique complète

On donne ci-dessous la courbe d'une fonction $f$ (rond plein, rond ouvert, asymptotes en pointillés).

a)
Donner $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)$ et nommer l'asymptote correspondante (avec son équation).
À droite, la courbe colle à la droite $y=1$ : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)=1$ . C'est une asymptote horizontale d'équation $y=1$ .
b)
Donner $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} f(x)$ ; qu'en déduit-on sur la droite $x=0$ ?
Près de $0$ par la droite, la courbe monte sans borne : $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=+\infty$ . La droite $x=0$ est donc une asymptote verticale.
c)
Donner $\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}} f(x)$ (rond ouvert) et la valeur $f(0)$ (rond plein).
Le rond ouvert est en $(0\,;3)$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=3$ ; le rond plein est en $(0\,;1)$ , donc $f(0)=1$ .
d)
$f$ possède-t-elle une limite en $0$ ? est-elle continue en $0$ ? à droite ? Justifier chaque réponse.
Les limites latérales en $0$ diffèrent ( $3$ à gauche, $+\infty$ à droite) : $f$ n'a pas de limite en $0$ , donc n'est pas continue. À droite, $\lim_{x\to 0^{+}} f=+\infty\neq f(0)=1$ : $f$ n'est pas non plus continue à droite. (La valeur $f(0)=1$ est un point isolé.)

Exercice 9limite, puis continuité : deux exigences distinctes

Soit $c\in\mathbb{R}$ et $\displaystyle f(x)=$

2x+c & si x<0,
1 & si x=0,
x^2+4 & si x>0.

a)
Exprimer $\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} f(x)$ en fonction de $c$ .
À gauche : $f(x)=2x+c$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=c$ . À droite : $f(x)=x^2+4$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=4$ .
b)
Pour quelle valeur de $c$ la fonction $f$ possède-t-elle une limite en $0$ ?
$f$ possède une limite en $0$ ssi les limites latérales sont égales : $c=4$ (la limite vaut alors $4$ ).
c)
Pour cette valeur de $c$ , $f$ est-elle continue en $0$ ? Justifier en comparant à $f(0)$ .
Avec $c=4$ , la limite en $0$ vaut $4$ , mais la valeur imposée est $f(0)=1\neq 4$ : $f$ n'est pas continue en $0$ , bien que la limite existe.
d)
Toujours avec cette valeur de $c$ , quelle valeur faudrait-il donner à $f(0)$ pour rendre $f$ continue en $0$ ?
Il faudrait poser $f(0)=4$ (la valeur de la limite) pour rendre $f$ continue en $0$ .

Exercice 10synthèse : vrai / faux justifié

Pour chaque affirmation, répondre Vrai ou Faux et justifier (preuve courte ou contre-exemple).

a)
Si $f$ et $g$ sont continues en $x_0$ , alors $f+g$ est continue en $x_0$ .
Vrai. La limite d'une somme est la somme des limites : $\displaystyle\lim_{x\to x_0}(f+g)=\lim_{x\to x_0} f+\lim_{x\to x_0} g=f(x_0)+g(x_0)=(f+g)(x_0)$ .
b)
Si $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x)$ existe, alors $x_0\in D_f$ .
Faux. Une limite peut exister là où $f$ n'est pas définie. Contre-exemple : $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ n'est pas définie en $1$ , mais $\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x)=2$ .
c)
Si $f$ est continue à gauche et à droite en $x_0$ , alors $f$ est continue en $x_0$ .
Vrai. Continue à gauche signifie $\displaystyle\lim_{x\to x_0^{-}} f=f(x_0)$ et continue à droite $\displaystyle\lim_{x\to x_0^{+}} f=f(x_0)$ : les deux limites latérales valent $f(x_0)$ , donc sont égales entre elles et à $f(x_0)$ — c'est la continuité.
d)
Si $\displaystyle\lim_{x\to x_0^{-}} f(x)=\lim_{x\to x_0^{+}} f(x)$ , alors $f$ est continue en $x_0$ .
Faux. L'égalité des limites latérales garantit seulement que la limite existe ; encore faut-il qu'elle vaille $f(x_0)$ . Contre-exemple : $f(x)=2x+1$ pour $x\neq 1$ et $f(1)=5$ : la limite vaut $3$ , mais $f(1)=5$ , donc $f$ est discontinue en $1$ .

Exercice 11continuité d'une fonction avec valeur absolue

Soit $f(x)=\lvert x-2\rvert+1$ .

a)
Écrire $f$ sous forme d'une fonction définie par morceaux (selon le signe de $x-2$ ).
Selon le signe de $x-2$ : $\lvert x-2\rvert=2-x$ si $x<2$ et $x-2$ si $x\geq 2$ . Donc
$f(x)=\begin{cases} (2-x)+1=3-x & \text{si } x<2,\\[2pt] (x-2)+1=x-1 & \text{si } x\geq 2.\end{cases}$
b)
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} f(x)$ , $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} f(x)$ et $f(2)$ .
À gauche : $\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=3-2=1$ . À droite : $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=2-1=1$ . Et $f(2)=\lvert 0\rvert+1=1$ .
c)
$f$ est-elle continue en $2$ ? Justifier.
Les deux limites latérales valent $1=f(2)$ : $f$ est continue en $2$ . (La courbe forme un « coin » anguleux en $2$ , mais un point anguleux n'empêche pas la continuité.)

Exercice 12quelle valeur donner au point ?

On considère la fonction $g$ définie pour tout $x\neq 2$ par $g(x)=3x-1$ , la valeur $g(2)$ restant à fixer.

a)
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 2} g(x)$ .
Autour de $2$ (pour $x\neq 2$ ) on a $g(x)=3x-1$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 2} g(x)=3\cdot 2-1=5$ .
b)
Quelle valeur faut-il donner à $g(2)$ pour que $g$ soit continue en $2$ ?
Pour la continuité en $2$ , il faut $g(2)=\displaystyle\lim_{x\to 2} g(x)=5$ .
c)
Si l'on pose au contraire $g(2)=10$ , $g$ possède-t-elle une limite en $2$ ? est-elle continue en $2$ ? Expliquer la différence entre « avoir une limite » et « être continue ».
Avec $g(2)=10$ : la limite ne dépend que du comportement autour de $2$ , pas de la valeur au point ; elle vaut donc toujours $5$ : la limite existe ( $=5$ ). Mais $g(2)=10\neq 5$ , donc $g$ n'est pas continue en $2$ . Différence : la limite est une tendance autour du point ; la continuité exige en plus que cette tendance coïncide avec la valeur au point.

Exercice 13synthèse : lire un tableau de limites

On donne, pour une fonction $f$ , les renseignements suivants en trois points.

point $x_0$	$\displaystyle\lim_{x\to x_0^{-}} f$	$\displaystyle\lim_{x\to x_0^{+}} f$	$f(x_0)$
$-1$	$2$	$2$	$2$
$0$	$1$	$3$	$1$
$1$	$4$	$4$	$7$

a)
En quel(s) point(s) $f$ possède-t-elle une limite ? Donner sa valeur.
Une limite existe là où les deux limites latérales sont égales : en $-1$ (limite $2$ ) et en $1$ (limite $4$ ). En $0$ , elles diffèrent ( $1\neq 3$ ) : pas de limite.
b)
En quel(s) point(s) $f$ est-elle continue ?
$f$ est continue là où la limite existe et vaut $f(x_0)$ : en $-1$ , $2=f(-1)=2$ continue ; en $1$ , la limite $4\neq f(1)=7$ non continue ; en $0$ , pas de limite non continue. Donc $f$ est continue seulement en $-1$ .
c)
Au point $x_0=0$ , $f$ est-elle continue à gauche ? à droite ? Justifier.
En $0$ : à gauche $\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}} f=1=f(0)$ $\Rightarrow$ continue à gauche ; à droite $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} f=3\neq f(0)=1$ $\Rightarrow$ pas continue à droite.

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