Mécanique 1 · Tutoriel

Notations, lecture graphique, calcul direct & continuité

La mécanique à maîtriser avant de passer aux exercices.

MémoThème 1 — Notations, lecture graphique & calcul direct

Mécanique travaillée : lire une notation de limite, calculer une limite par remplacement direct quand la fonction est définie, distinguer limite à gauche et limite à droite, et relier tout cela à la continuité en un point (et à la lecture d'un graphe).

1. Que veut dire « $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x)=\ell$ » ?

Étudier une limite, c'est répondre à : « vers quelle valeur se rapproche $f(x)$ quand $x$ se rapproche de la cible ? » La cible est soit un nombre $x_0$ , soit $+\infty$ , soit $-\infty$ . On ne demande pas forcément la valeur au point : on regarde le comportement autour.

L'essentieldécoder la notation

Dans $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x)=\ell$ :

ce qui est sous le $\lim$ ( $x\to x_0$ ) indique comment bouge la variable ;
le résultat à droite ( $\ell$ ) est la valeur-cible de $f(x)$ : un réel, ou $+\infty$ , ou $-\infty$ .

2. Calcul direct par remplacement

La plupart des fonctions usuelles (polynômes, $\sin$ , $\cos$ , $\exp$ , $\ln$ , $\sqrt{\,}$ , et les quotients là où le dénominateur ne s'annule pas) sont continues sur leur domaine. Pour elles, calculer $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x)$ avec $x_0\in D_f$ revient simplement à remplacer $x$ par $x_0$ .

Méthodecalcul direct d'une limite en un point du domaine

Vérifier que $x_0$ appartient au domaine $D_f$ (pas de division par $0$ , pas de racine de négatif…).
Remplacer chaque $x$ par $x_0$ et calculer.

Exempleremplacement immédiat

\lim_{x\to 3}\bigl(2x^2-5x+1\bigr)=2\cdot 3^2-5\cdot 3+1=18-15+1=4, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{x+2}{3}=\frac{0+2}{3}=\frac{2}{3}.

Les propriétés des limites (la limite d'une somme est la somme des limites, celle d'un produit le produit des limites, celle d'un quotient le quotient si le dénominateur ne tend pas vers $0$ ) justifient ce remplacement.

3. Limite à gauche et limite à droite

Parfois $f$ ne se comporte pas pareil selon le côté d'où l'on arrive. On note :

\lim_{x\to x_0^{+}} f(x)\ \ (\text{par la \textbf{droite}, }x>x_0),\qquad \lim_{x\to x_0^{-}} f(x)\ \ (\text{par la \textbf{gauche}, }x<x_0).

L'essentielexistence d'une limite globale

$f$ possède une limite (globale) en $x_0$ si et seulement si les deux limites latérales existent et sont égales :

\lim_{x\to x_0^{-}} f(x)=\lim_{x\to x_0^{+}} f(x)\ \Longrightarrow\ f\text{ possède une limite en }x_0.

Si elles diffèrent, $f$ n'a pas de limite en $x_0$ .

4. Lien avec la continuité (lecture d'un graphe)

L'essentieltrois situations en un point $x_0$

Limite qui existe (mais $x_0\notin D_f$ ) : la courbe « pointe » vers une valeur, représentée par un rond ouvert (un trou).
Continuité en $x_0$ (avec $x_0\in D_f$ ) : les deux limites latérales sont égales et valent $f(x_0)$ : $\displaystyle\lim_{x\to x_0^{-}}f=\lim_{x\to x_0^{+}}f=f(x_0)$ . La courbe passe par le point, sans saut ni trou.
Continuité d'un seul côté : une seule limite latérale colle à $f(x_0)$ ; la courbe présente un saut.

Attentionne pas confondre « valeur » et « tendance »

La limite décrit une tendance : elle peut exister même là où $f$ n'est pas définie, et peut différer de $f(x_0)$ lorsque la fonction fait un saut. Toujours vérifier les deux côtés avant de conclure qu'une limite globale existe.

Astuceréflexe de départ

Face à une limite en un point : on remplace d'abord. Si le remplacement donne un nombre « franc » (sans division par $0$ , sans racine interdite), c'est fini. Sinon, on passe aux techniques des thèmes suivants (règle $\frac{a}{0^{\pm}}$ , terme dominant, conjugué, l'Hospital).

Ensuite, 3 niveaux d'exercices :

FacileMoyenDifficile

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