Règle a/0± et fonctions rationnelles en un point interdit

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Facile15 exercices

Exercice 1appliquer la règle des signes

Donner le résultat ( $+\infty$ ou $-\infty$ ) de chaque forme.

$\dfrac{5}{0^{+}}$ b) $\dfrac{-3}{0^{+}}$ c) $\dfrac{2}{0^{-}}$ d) $\dfrac{-7}{0^{-}}$

Règle des signes ( $0^{+}$ compte $+$ , $0^{-}$ compte $-$ ) :

$\dfrac{5}{0^{+}}=+\infty$ b) $\dfrac{-3}{0^{+}}=-\infty$ c) $\dfrac{2}{0^{-}}=-\infty$ d) $\dfrac{-7}{0^{-}}=+\infty$ (moins par moins $=$ plus).

Exercice 2signe du dénominateur

Pour chaque expression, dire si le dénominateur tend vers $0^{+}$ ou $0^{-}$ du côté indiqué.

$x-4$ quand $x\to 4^{+}$ b) $x-4$ quand $x\to 4^{-}$
$2-x$ quand $x\to 2^{+}$ d) $(x-1)^2$ quand $x\to 1^{-}$

$x\to 4^{+}$ : $x>4$ donc $x-4>0$ , c.-à-d. $x-4\to 0^{+}$ .
$x\to 4^{-}$ : $x<4$ donc $x-4<0$ , c.-à-d. $x-4\to 0^{-}$ .
$x\to 2^{+}$ : $x>2$ donc $2-x<0$ , c.-à-d. $2-x\to 0^{-}$ .
$x\to 1^{-}$ : $(x-1)^2>0$ (un carré) donc $(x-1)^2\to 0^{+}$ (des deux côtés d'ailleurs).

Exercice 3limites latérales élémentaires

Calculer les deux limites latérales.

a)
$\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\frac{3}{x}$ et $\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\frac{3}{x}$
$\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\frac{3}{x}=\frac{3}{0^{+}}=+\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\frac{3}{x}=\frac{3}{0^{-}}=-\infty$ .
b)
$\displaystyle\lim_{x\to 4^{+}}\frac{1}{x-4}$ et $\displaystyle\lim_{x\to 4^{-}}\frac{1}{x-4}$
$x\to 4^{+}$ : $x-4\to 0^{+}$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 4^{+}}\frac{1}{x-4}=\frac{1}{0^{+}}=+\infty$ ;
$x\to 4^{-}$ : $x-4\to 0^{-}$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 4^{-}}\frac{1}{x-4}=\frac{1}{0^{-}}=-\infty$ .

Exercice 4une fonction rationnelle simple

Soit $f(x)=\dfrac{7}{x+3}$ , de domaine $\mathbb{R}\setminus\{-3\}$ .

a)
Le numérateur tend-il vers $0$ en $-3$ ? Quel est son signe ?
$f(x)=\dfrac{7}{x+3}$ .
Le numérateur est la constante $7$ : il ne tend pas vers $0$ , il est $>0$ .
b)
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to -3^{+}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to -3^{-}} f(x)$ .
$x\to -3^{+}$ : $x+3\to 0^{+}$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to -3^{+}} f(x)=\frac{7}{0^{+}}=+\infty$ ;
$x\to -3^{-}$ : $x+3\to 0^{-}$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to -3^{-}} f(x)=\frac{7}{0^{-}}=-\infty$ .

Exercice 5repérer une asymptote verticale

Pour chaque fonction, donner la valeur $x_0$ qui annule le dénominateur (sans l'annuler au numérateur) : c'est l'abscisse d'une asymptote verticale.

$\dfrac{x+1}{x-5}$ b) $\dfrac{4}{2x+6}$ c) $\dfrac{5}{x^2}$

On cherche le zéro du dénominateur (numérateur non nul en ce point) :

$x-5=0\Rightarrow x_0=5$ (asymptote verticale $x=5$ ).
$2x+6=0\Rightarrow x_0=-3$ (asymptote verticale $x=-3$ ).
$x^2=0\Rightarrow x_0=0$ (asymptote verticale $x=0$ ; numérateur $5\neq 0$ ).

Exercice 6règle des signes : numérateur positif ou négatif

Donner le résultat ( $+\infty$ ou $-\infty$ ) de chaque forme.

a)
$\dfrac{-4}{0^{+}}$
$\dfrac{-4}{0^{+}}=-\infty$ ( $a<0$ divisé par $0^{+}$ ).
b)
$\dfrac{9}{0^{-}}$
$\dfrac{9}{0^{-}}=-\infty$ ( $a>0$ divisé par $0^{-}$ ).
c)
$\dfrac{-6}{0^{-}}$
$\dfrac{-6}{0^{-}}=+\infty$ (moins par moins).
d)
$\dfrac{8}{0^{+}}$
$\dfrac{8}{0^{+}}=+\infty$ .

Exercice 7signe d'un dénominateur affine

Le dénominateur tend-il vers $0^{+}$ ou $0^{-}$ du côté indiqué ?

a)
$2x-6$ quand $x\to 3^{+}$
$x\to 3^{+}$ : $x>3$ donc $2x-6>0$ , c.-à-d. $2x-6\to 0^{+}$ .
b)
$2x-6$ quand $x\to 3^{-}$
$x\to 3^{-}$ : $x<3$ donc $2x-6<0$ , c.-à-d. $2x-6\to 0^{-}$ .
c)
$5-x$ quand $x\to 5^{-}$
$x\to 5^{-}$ : $x<5$ donc $5-x>0$ , c.-à-d. $5-x\to 0^{+}$ .
d)
$-3x+9$ quand $x\to 3^{+}$
$x\to 3^{+}$ : $x>3$ donc $-3x+9<0$ , c.-à-d. $-3x+9\to 0^{-}$ .

Exercice 8limites latérales : numérateur négatif, coefficient au dénominateur

Calculer les deux limites latérales.

a)
$\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\frac{-2}{x}$ et $\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\frac{-2}{x}$
$\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\frac{-2}{x}=\frac{-2}{0^{+}}=-\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\frac{-2}{x}=\frac{-2}{0^{-}}=+\infty$ .
b)
$\displaystyle\lim_{x\to (1/2)^{+}}\frac{1}{2x-1}$ et $\displaystyle\lim_{x\to (1/2)^{-}}\frac{1}{2x-1}$
$x\to (1/2)^{+}$ : $2x-1\to 0^{+}$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to (1/2)^{+}}\frac{1}{2x-1}=\frac{1}{0^{+}}=+\infty$ ;
$x\to (1/2)^{-}$ : $2x-1\to 0^{-}$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to (1/2)^{-}}\frac{1}{2x-1}=\frac{1}{0^{-}}=-\infty$ .

Exercice 9fonction rationnelle à numérateur constant négatif

Soit $f(x)=\dfrac{-5}{x-2}$ , de domaine $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ .

a)
Le numérateur tend-il vers $0$ en $2$ ? Quel est son signe ?
$f(x)=\dfrac{-5}{x-2}$ .
Le numérateur est la constante $-5$ : il ne tend pas vers $0$ , il est $<0$ .
b)
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} f(x)$ .
$x\to 2^{+}$ : $x-2\to 0^{+}$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=\frac{-5}{0^{+}}=-\infty$ ;
$x\to 2^{-}$ : $x-2\to 0^{-}$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=\frac{-5}{0^{-}}=+\infty$ .

Exercice 10numérateur variable, non nul au point

Soit $f(x)=\dfrac{x+4}{x-1}$ .

a)
Que vaut le numérateur en $1$ ? S'annule-t-il ?
$f(x)=\dfrac{x+4}{x-1}$ .
En $1$ , le numérateur vaut $1+4=5\ (>0)$ : il ne s'annule pas.
b)
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} f(x)$ .
$x\to 1^{+}$ : $x-1\to 0^{+}$ et le numérateur $\to 5$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}} f(x)=\frac{5}{0^{+}}=+\infty$ ;
$x\to 1^{-}$ : $x-1\to 0^{-}$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} f(x)=\frac{5}{0^{-}}=-\infty$ .

Exercice 11dénominateur au carré

Soit $f(x)=\dfrac{3}{(x-2)^2}$ .

a)
Quel est le signe de $(x-2)^2$ pour $x\neq 2$ ? Vers quoi tend-il en $2$ (des deux côtés) ?
$f(x)=\dfrac{3}{(x-2)^2}$ .
$(x-2)^2>0$ pour tout $x\neq 2$ ; il tend vers $0^{+}$ des deux côtés de $2$ .
b)
En déduire $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} f(x)$ ; $f$ a-t-elle une limite globale en $2$ ?
$\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=\frac{3}{0^{+}}=+\infty=\lim_{x\to 2^{-}} f(x)$ : les deux côtés donnent le même résultat, donc $f$ a une limite globale $\displaystyle\lim_{x\to 2} f(x)=+\infty$ .

Exercice 12repérer l'asymptote verticale

Donner la valeur $x_0$ qui annule le dénominateur sans annuler le numérateur (abscisse d'une asymptote verticale).

a)
$\dfrac{x+2}{x-7}$
On cherche le zéro du dénominateur (numérateur non nul en ce point) :
$x-7=0\Rightarrow x_0=7$ (asymptote verticale $x=7$ ).
b)
$\dfrac{3}{5-2x}$
$5-2x=0\Rightarrow x_0=\tfrac52$ (asymptote verticale $x=\tfrac52$ ).
c)
$\dfrac{-4}{(x+2)^2}$
$(x+2)^2=0\Rightarrow x_0=-2$ (asymptote verticale $x=-2$ ; numérateur $-4\neq 0$ ).

Exercice 13lire un tableau de signes

Le tableau ci-dessous donne le signe du dénominateur $(x-1)(x-4)$ . On étudie $f(x)=\dfrac{3}{(x-1)(x-4)}$ (numérateur $3>0$ ) au voisinage de $x=1$ .

$x$	$-\infty$		$1$		$4$		$+\infty$
$(x-1)(x-4)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

a)
Donner $\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} f(x)$ .
$f(x)=\dfrac{3}{(x-1)(x-4)}$ , numérateur $3>0$ .
À gauche de $1$ , le tableau donne $(x-1)(x-4)>0$ , donc $\to 0^{+}$ : $\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} f(x)=\frac{3}{0^{+}}=+\infty$ .
b)
Donner $\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}} f(x)$ .
À droite de $1$ , le tableau donne $(x-1)(x-4)<0$ , donc $\to 0^{-}$ : $\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}} f(x)=\frac{3}{0^{-}}=-\infty$ .
c)
Quelle asymptote verticale reconnaît-on en $x=1$ ?
Les limites latérales sont infinies : la droite $x=1$ est asymptote verticale.

Exercice 14vrai ou faux

Vrai ou faux ? Justifier d'un mot.

a)
« $\dfrac{a}{0^{+}}=+\infty$ pour tout réel $a\neq 0$ . »
Faux : le signe dépend de celui de $a$ ; si $a<0$ , $\dfrac{a}{0^{+}}=-\infty$ .
b)
« $\dfrac{a}{0^{-}}$ et $\dfrac{a}{0^{+}}$ ont toujours des signes opposés (pour $a\neq 0$ ). »
Vrai : changer $0^{+}$ en $0^{-}$ inverse le signe du résultat.
c)
« Une forme $\dfrac{0}{0}$ se conclut par $\pm\infty$ . »
Faux : $\dfrac{0}{0}$ est une forme indéterminée (ce n'est pas $\dfrac{a}{0^{\pm}}$ ).
d)
« Si le dénominateur est un carré, les deux limites latérales sont égales. »
Vrai : un carré est toujours $\to 0^{+}$ , donc les deux côtés donnent le même infini.

Exercice 15reconnaître la forme obtenue

Après remplacement, dire si la forme est du type $\dfrac{a}{0^{\pm}}$ (réponse $\pm\infty$ ) ou un simple nombre, puis donner sa valeur.

a)
$\dfrac{5}{0^{+}}$
$\dfrac{5}{0^{+}}$ : type $\dfrac{a}{0^{\pm}}$ , vaut $+\infty$ .
b)
$\dfrac{2}{7}$
$\dfrac{2}{7}$ : simple nombre, vaut $\dfrac27$ .
c)
$\dfrac{-3}{0^{-}}$
$\dfrac{-3}{0^{-}}$ : type $\dfrac{a}{0^{\pm}}$ , vaut $+\infty$ (moins par moins).
d)
$\dfrac{0}{4}$
$\dfrac{0}{4}$ : simple nombre, vaut $0$ .

Moyen15 exercices

Exercice 1étude complète des deux côtés

Soit $f(x)=\dfrac{3x-1}{x-2}$ .

a)
Donner $D_f$ et la limite du numérateur en $2$ (son signe).
$f(x)=\dfrac{3x-1}{x-2}$ .
$D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}$ . Numérateur en $2$ : $3\cdot 2-1=5\ (>0)$ .
b)
Étudier le signe de $x-2$ à gauche et à droite de $2$ .
$x-2$ : négatif si $x<2$ ( $\to 0^{-}$ à gauche), positif si $x>2$ ( $\to 0^{+}$ à droite).
c)
En déduire $\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} f(x)$ .
$\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=\frac{5}{0^{-}}=-\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=\frac{5}{0^{+}}=+\infty$ .
d)
$f$ a-t-elle une limite en $2$ ? Quelle asymptote en déduit-on ?
Les côtés diffèrent : pas de limite globale en $2$ . La droite $x=2$ est asymptote verticale.

Exercice 2dénominateur qui change de signe

Soit $g(x)=\dfrac{4}{3-x}$ .

a)
Dresser le tableau de signes de $3-x$ autour de $3$ .
$g(x)=\dfrac{4}{3-x}$ , numérateur $4>0$ .
$3-x>0$ si $x<3$ , $3-x<0$ si $x>3$ (change de signe en $3$ ).
b)
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 3^{-}} g(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to 3^{+}} g(x)$ .
$x\to 3^{-}$ : $3-x\to 0^{+}$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 3^{-}} g(x)=\frac{4}{0^{+}}=+\infty$ ;
$x\to 3^{+}$ : $3-x\to 0^{-}$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 3^{+}} g(x)=\frac{4}{0^{-}}=-\infty$ .

Exercice 3dénominateur au carré

Soit $h(x)=\dfrac{-2}{(x+1)^2}$ .

a)
Quel est le signe de $(x+1)^2$ pour $x\neq -1$ ? Vers quoi tend-il en $-1$ ?
$h(x)=\dfrac{-2}{(x+1)^2}$ , numérateur $-2<0$ .
$(x+1)^2>0$ pour tout $x\neq -1$ , et $(x+1)^2\to 0^{+}$ quand $x\to -1$ (des deux côtés).
b)
En déduire $\displaystyle\lim_{x\to -1^{-}} h(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to -1^{+}} h(x)$ .
$\displaystyle\lim_{x\to -1^{-}} h(x)=\frac{-2}{0^{+}}=-\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x\to -1^{+}} h(x)=\frac{-2}{0^{+}}=-\infty$ .
c)
$h$ a-t-elle une limite (globale) en $-1$ ? Si oui, laquelle ?
Les deux côtés donnent le même résultat : $h$ possède une limite en $-1$ , $\displaystyle\lim_{x\to -1} h(x)=-\infty$ . (Asymptote verticale $x=-1$ .)

Exercice 4dénominateur factorisé

Soit $k(x)=\dfrac{5}{(x-1)(x-4)}$ . On étudie la limite en $x_0=4$ .

a)
En $4$ , quel est le signe du facteur $(x-1)$ ? (il ne s'annule pas en $4$ )
$k(x)=\dfrac{5}{(x-1)(x-4)}$ , numérateur $5>0$ ; étude en $4$ .
En $4$ , $x-1\to 3>0$ : le facteur $(x-1)$ est positif au voisinage de $4$ .
b)
En déduire le signe du produit $(x-1)(x-4)$ à droite puis à gauche de $4$ .
Le signe de $(x-1)(x-4)$ est donc celui de $(x-4)$ : négatif à gauche de $4$ ( $\to 0^{-}$ ), positif à droite ( $\to 0^{+}$ ).
c)
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 4^{-}} k(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to 4^{+}} k(x)$ .
$\displaystyle\lim_{x\to 4^{-}} k(x)=\frac{5}{0^{-}}=-\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x\to 4^{+}} k(x)=\frac{5}{0^{+}}=+\infty$ . (Asymptote verticale $x=4$ .)

Exercice 5reconnaître le bon outil

Pour chaque limite, dire d'abord si le remplacement direct donne un nombre, une forme $\frac{a}{0^{\pm}}$ (avec $a\neq 0$ ), ou une forme $\frac{0}{0}$ (indéterminée). Ne calculer que les deux premiers types.

$\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{x+2}{x-1}$ b) $\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}\frac{x+2}{x-1}$
$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$

En $3$ : $\dfrac{3+2}{3-1}=\dfrac{5}{2}$ : forme déterminée, résultat $\dfrac52$ .
En $1^{+}$ : numérateur $\to 3\neq 0$ , dénominateur $x-1\to 0^{+}$ : forme $\dfrac{3}{0^{+}}$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}\frac{x+2}{x-1}=+\infty$ .
En $2$ : numérateur $x^2-4\to 0$ et dénominateur $x-2\to 0$ : forme $\dfrac{0}{0}$ indéterminée — on ne conclut pas ici (il faudrait factoriser : $\frac{x^2-4}{x-2}=x+2\to 4$ , voir thèmes 3/5).

Exercice 6étude complète : numérateur négatif

Soit $f(x)=\dfrac{2x+3}{x+4}$ .

a)
Donner $D_f$ et la limite du numérateur en $-4$ (avec son signe).
$f(x)=\dfrac{2x+3}{x+4}$ .
$D_f=\mathbb{R}\setminus\{-4\}$ . Numérateur en $-4$ : $2(-4)+3=-5\ (<0)$ .
b)
Étudier le signe de $x+4$ à gauche et à droite de $-4$ .
$x+4$ : négatif si $x<-4$ ( $\to 0^{-}$ à gauche), positif si $x>-4$ ( $\to 0^{+}$ à droite).
c)
En déduire $\displaystyle\lim_{x\to -4^{-}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to -4^{+}} f(x)$ .
$\displaystyle\lim_{x\to -4^{-}} f(x)=\frac{-5}{0^{-}}=+\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x\to -4^{+}} f(x)=\frac{-5}{0^{+}}=-\infty$ .
d)
$f$ a-t-elle une limite en $-4$ ? Quelle asymptote en déduit-on ?
Les côtés diffèrent : pas de limite globale en $-4$ . La droite $x=-4$ est asymptote verticale.

Exercice 7coefficient et dénominateur renversé

Soit $g(x)=\dfrac{-3}{5-2x}$ .

a)
Étudier le signe de $5-2x$ autour de $\tfrac52$ .
$g(x)=\dfrac{-3}{5-2x}$ , numérateur $-3<0$ .
$5-2x=0$ en $\tfrac52$ ; $5-2x>0$ si $x<\tfrac52$ ( $\to 0^{+}$ à gauche), $5-2x<0$ si $x>\tfrac52$ ( $\to 0^{-}$ à droite).
b)
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to (5/2)^{-}} g(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to (5/2)^{+}} g(x)$ .
$\displaystyle\lim_{x\to (5/2)^{-}} g(x)=\frac{-3}{0^{+}}=-\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x\to (5/2)^{+}} g(x)=\frac{-3}{0^{-}}=+\infty$ . (Asymptote verticale $x=\tfrac52$ .)

Exercice 8dénominateur factorisé : étude à la racine de gauche

Soit $k(x)=\dfrac{7}{(x+2)(x-3)}$ . On étudie la limite en $x_0=-2$ .

a)
Quel est le signe du facteur $(x-3)$ au voisinage de $-2$ ? (il ne s'annule pas en $-2$ )
$k(x)=\dfrac{7}{(x+2)(x-3)}$ , numérateur $7>0$ ; étude en $-2$ .
En $-2$ , $x-3\to -5<0$ : le facteur $(x-3)$ est négatif au voisinage de $-2$ .
b)
En déduire le signe du produit $(x+2)(x-3)$ à gauche puis à droite de $-2$ .
Le signe de $(x+2)(x-3)$ est donc l'opposé de celui de $(x+2)$ : à gauche ( $x+2\to 0^{-}$ ) le produit $\to 0^{+}$ ; à droite ( $x+2\to 0^{+}$ ) le produit $\to 0^{-}$ .
c)
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to -2^{-}} k(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to -2^{+}} k(x)$ .
$\displaystyle\lim_{x\to -2^{-}} k(x)=\frac{7}{0^{+}}=+\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x\to -2^{+}} k(x)=\frac{7}{0^{-}}=-\infty$ . (Asymptote verticale $x=-2$ .)

Exercice 9dénominateur au carré, numérateur variable

Soit $h(x)=\dfrac{x-5}{(x-2)^2}$ .

a)
Que vaut le numérateur en $2$ (avec son signe) ? S'annule-t-il ?
$h(x)=\dfrac{x-5}{(x-2)^2}$ .
Numérateur en $2$ : $2-5=-3\ (<0)$ ; il ne s'annule pas.
b)
Vers quoi tend $(x-2)^2$ en $2$ (des deux côtés) ?
$(x-2)^2>0$ pour $x\neq 2$ et $(x-2)^2\to 0^{+}$ des deux côtés.
c)
En déduire $\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} h(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} h(x)$ ; $h$ a-t-elle une limite globale en $2$ ?
$\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} h(x)=\frac{-3}{0^{+}}=-\infty=\lim_{x\to 2^{+}} h(x)$ : les deux côtés donnent le même résultat, donc $h$ a une limite globale $\displaystyle\lim_{x\to 2} h(x)=-\infty$ . (Asymptote verticale $x=2$ .)

Exercice 10factoriser un trinôme puis étudier

Soit $\varphi(x)=\dfrac{-4}{x^2-2x-3}$ .

a)
Factoriser $x^2-2x-3$ et donner $D_\varphi$ .
$\varphi(x)=\dfrac{-4}{x^2-2x-3}$ , numérateur $-4<0$ .
$x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$ (racines $3$ et $-1$ ). $D_\varphi=\mathbb{R}\setminus\{-1,\,3\}$ .
b)
Dresser le tableau de signes du dénominateur sur $\mathbb{R}$ .
Tableau de signes de $(x-3)(x+1)$ (parabole tournée vers le haut) :
$x$ $-\infty$ $-1$ $3$ $+\infty$
$(x-3)(x+1)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
c)
Étudier les limites latérales en $x=-1$ .
En $-1$ : le dénominateur passe de $+$ (à gauche, $\to 0^{+}$ ) à $-$ (à droite, $\to 0^{-}$ ) :
$\lim_{x\to -1^{-}} \varphi=\frac{-4}{0^{+}}=-\infty,\qquad \lim_{x\to -1^{+}} \varphi=\frac{-4}{0^{-}}=+\infty.$
d)
Étudier les limites latérales en $x=3$ .
En $3$ : le dénominateur passe de $-$ (à gauche, $\to 0^{-}$ ) à $+$ (à droite, $\to 0^{+}$ ) :
$\lim_{x\to 3^{-}} \varphi=\frac{-4}{0^{-}}=+\infty,\qquad \lim_{x\to 3^{+}} \varphi=\frac{-4}{0^{+}}=-\infty.$
e)
Combien d'asymptotes verticales ? Donner leurs équations.
Deux asymptotes verticales : $x=-1$ et $x=3$ .

$x$	$-\infty$		$-1$		$3$		$+\infty$
$(x-3)(x+1)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Exercice 11zéro du numérateur ou pôle ?

Soit $\psi(x)=\dfrac{x-1}{x-4}$ .

a)
En quel point le numérateur s'annule-t-il ? Le dénominateur y est-il nul ?
$\psi(x)=\dfrac{x-1}{x-4}$ .
Le numérateur s'annule en $x=1$ ; en $1$ le dénominateur vaut $1-4=-3\neq 0$ , donc $\psi(1)=0$ (la courbe coupe l'axe des abscisses).
b)
En quel point le dénominateur s'annule-t-il ? Le numérateur y est-il nul ?
Le dénominateur s'annule en $x=4$ ; en $4$ le numérateur vaut $4-1=3\neq 0$ , donc $4$ est un point interdit (un pôle).
c)
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 4^{-}} \psi(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to 4^{+}} \psi(x)$ .
Numérateur $\to 3>0$ : $\displaystyle\lim_{x\to 4^{-}} \psi(x)=\frac{3}{0^{-}}=-\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x\to 4^{+}} \psi(x)=\frac{3}{0^{+}}=+\infty$ .
d)
Où est l'asymptote verticale ? Que se passe-t-il en $x=1$ ?
Asymptote verticale : $x=4$ seulement. En $x=1$ , pas d'asymptote : c'est simplement un zéro de $\psi$ ( $\psi(1)=0$ ).

Exercice 12pôle à l'origine

Soit $u(x)=\dfrac{2}{x(x-3)}$ . On étudie la limite en $x_0=0$ .

a)
Quel est le signe du facteur $(x-3)$ au voisinage de $0$ ?
$u(x)=\dfrac{2}{x(x-3)}$ , numérateur $2>0$ ; étude en $0$ .
En $0$ , $x-3\to -3<0$ : le facteur $(x-3)$ est négatif au voisinage de $0$ .
b)
En déduire le signe du produit $x(x-3)$ à gauche puis à droite de $0$ .
Le signe de $x(x-3)$ est l'opposé de celui de $x$ : à gauche ( $x\to 0^{-}$ ) le produit $\to 0^{+}$ ; à droite ( $x\to 0^{+}$ ) le produit $\to 0^{-}$ .
c)
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}} u(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} u(x)$ .
$\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}} u(x)=\frac{2}{0^{+}}=+\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} u(x)=\frac{2}{0^{-}}=-\infty$ . (Asymptote verticale $x=0$ .)

Exercice 13reconnaître le bon outil

Pour chaque limite, indiquer d'abord la forme obtenue par remplacement direct : un nombre, une forme $\dfrac{a}{0^{\pm}}$ (avec $a\neq 0$ ), ou une forme $\dfrac{0}{0}$ (indéterminée). Ne calculer que les deux premiers types.

a)
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x+3}{x^2}$
En $0$ : numérateur $\to 3$ , dénominateur $x^2\to 0^{+}$ : forme $\dfrac{3}{0^{+}}$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x+3}{x^2}=+\infty$ .
b)
$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x-2}{x^2-4}$
En $2$ : numérateur $x-2\to 0$ et dénominateur $x^2-4\to 0$ : forme $\dfrac{0}{0}$ indéterminée — on ne conclut pas ici (il faudrait factoriser : $\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=\frac{1}{x+2}\to\frac14$ , voir thèmes 3/5).
c)
$\displaystyle\lim_{x\to 5}\frac{2x}{x-1}$
En $5$ : $\dfrac{2\cdot 5}{5-1}=\dfrac{10}{4}$ : forme déterminée, résultat $\dfrac52$ .
d)
$\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}\frac{x+2}{x^2-1}$
En $1^{-}$ : numérateur $\to 3>0$ ; dénominateur $(x-1)(x+1)$ , avec $x-1\to 0^{-}$ et $x+1\to 2$ , donc le produit $\to 0^{-}$ : forme $\dfrac{3}{0^{-}}$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}\frac{x+2}{x^2-1}=-\infty$ .

Exercice 14vrai ou faux, style concours

Soit $f(x)=\dfrac{-1}{2-x}$ . Vrai ou faux ? Justifier.

a)
$\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=-\infty$ .
$f(x)=\dfrac{-1}{2-x}$ , numérateur $-1<0$ . Rappel : $x\to 2^{+}\Rightarrow 2-x\to 0^{-}$ et $x\to 2^{-}\Rightarrow 2-x\to 0^{+}$ .
Faux : $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=\frac{-1}{0^{-}}=+\infty$ (et non $-\infty$ ).
b)
$\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=-\infty$ .
Vrai : $\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=\frac{-1}{0^{+}}=-\infty$ .
c)
$f$ admet une limite en $2$ .
Faux : les deux côtés ( $+\infty$ et $-\infty$ ) diffèrent, donc pas de limite globale en $2$ .
d)
La droite $x=2$ est asymptote verticale.
Vrai : les limites latérales sont infinies, donc $x=2$ est asymptote verticale.

Exercice 15dénominateur renversé et numérateur négatif

Soit $m(x)=\dfrac{x-6}{2-x}$ .

a)
Donner $D_m$ et la limite du numérateur en $2$ (avec son signe).
$m(x)=\dfrac{x-6}{2-x}$ .
$D_m=\mathbb{R}\setminus\{2\}$ . Numérateur en $2$ : $2-6=-4\ (<0)$ .
b)
Étudier le signe de $2-x$ à gauche et à droite de $2$ .
$2-x>0$ si $x<2$ ( $\to 0^{+}$ à gauche), $2-x<0$ si $x>2$ ( $\to 0^{-}$ à droite).
c)
En déduire $\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} m(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} m(x)$ .
$\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} m(x)=\frac{-4}{0^{+}}=-\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} m(x)=\frac{-4}{0^{-}}=+\infty$ .
d)
$m$ a-t-elle une limite en $2$ ? Quelle asymptote ?
Les côtés diffèrent : pas de limite globale en $2$ . Asymptote verticale $x=2$ .

Difficile13 exercices

Exercice 1deux asymptotes verticales

Soit $f(x)=\dfrac{x+5}{x^2-x-6}$ .

a)
Factoriser $x^2-x-6$ et donner le domaine $D_f$ .
$f(x)=\dfrac{x+5}{x^2-x-6}$ .
$x^2-x-6=(x-3)(x+2)$ (racines $3$ et $-2$ ). Donc $D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2,\,3\}$ .
b)
Dresser le tableau de signes du dénominateur sur $\mathbb{R}$ .
Tableau de signes de $(x-3)(x+2)$ (parabole tournée vers le haut) :
$x$ $-\infty$ $-2$ $3$ $+\infty$
$(x-3)(x+2)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
c)
Étudier les limites latérales en $x=3$ : $\displaystyle\lim_{x\to 3^{-}} f$ et $\displaystyle\lim_{x\to 3^{+}} f$ .
En $3$ : numérateur $\to 3+5=8>0$ . Le dénominateur passe de $-$ (à gauche, $\to 0^{-}$ ) à $+$ (à droite, $\to 0^{+}$ ) :
$\lim_{x\to 3^{-}} f=\frac{8}{0^{-}}=-\infty,\qquad \lim_{x\to 3^{+}} f=\frac{8}{0^{+}}=+\infty.$
d)
Étudier les limites latérales en $x=-2$ .
En $-2$ : numérateur $\to -2+5=3>0$ . Le dénominateur passe de $+$ (à gauche, $\to 0^{+}$ ) à $-$ (à droite, $\to 0^{-}$ ) :
$\lim_{x\to -2^{-}} f=\frac{3}{0^{+}}=+\infty,\qquad \lim_{x\to -2^{+}} f=\frac{3}{0^{-}}=-\infty.$
e)
Conclure : combien d'asymptotes verticales ? Donner leurs équations.
Deux asymptotes verticales : $x=-2$ et $x=3$ . ( $f$ n'a de limite (globale) ni en $-2$ ni en $3$ .)

$x$	$-\infty$		$-2$		$3$		$+\infty$
$(x-3)(x+2)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Exercice 2contraste : multiplicité paire ou impaire

On compare deux fonctions en $x=1$ :

f(x)=\frac{3}{x-1}\qquad\text{et}\qquad g(x)=\frac{3}{(x-1)^2}.

a)
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} f$ et $\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}} f$ . $f$ a-t-elle une limite en $1$ ?
$f=\dfrac{3}{x-1}$ : $x\to 1^{-}\Rightarrow x-1\to 0^{-}$ , donc $\dfrac{3}{0^{-}}=-\infty$ ; $x\to 1^{+}\Rightarrow \dfrac{3}{0^{+}}=+\infty$ . Côtés opposés : pas de limite en $1$ .
b)
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} g$ et $\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}} g$ . $g$ a-t-elle une limite en $1$ ?
$g=\dfrac{3}{(x-1)^2}$ : $(x-1)^2\to 0^{+}$ des deux côtés, donc $\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} g=\lim_{x\to 1^{+}} g=\dfrac{3}{0^{+}}=+\infty$ . $g$ a une limite globale : $+\infty$ .
c)
Expliquer, à l'aide du signe du dénominateur, pourquoi $g$ a une limite globale mais pas $f$ .
Le dénominateur $x-1$ change de signe en $1$ (puissance impaire) : les deux côtés donnent des infinis opposés, d'où l'absence de limite. Le dénominateur $(x-1)^2$ garde un signe (puissance paire, toujours $>0$ ) : les deux côtés donnent le même infini, d'où une limite globale.
d)
Associer chaque fonction à l'une des deux allures ci-dessous près de l'asymptote $x=1$ .
$f\leftrightarrow$ Allure A (une branche vers $-\infty$ , l'autre vers $+\infty$ ) ; $g\leftrightarrow$ Allure B (les deux branches vers $+\infty$ ).

Exercice 3mise en situation : dilution qui s'emballe

En pharmacologie, la concentration (en mg/L) d'un principe actif dans une cuve est modélisée, sur $[0\,;5[$ (temps $t$ en heures), par

C(t)=\frac{20}{5-t}.

a)
Calculer $C(0)$ , $C(3)$ et $C(4{,}9)$ . Que constate-t-on quand $t$ approche $5$ ?
$C(t)=\dfrac{20}{5-t}$ sur $[0\,;5[$ .
$C(0)=\dfrac{20}{5}=4$ ; $C(3)=\dfrac{20}{2}=10$ ; $C(4{,}9)=\dfrac{20}{0{,}1}=200$ . La concentration explose à mesure que $t$ approche $5$ .
b)
Calculer $\displaystyle\lim_{t\to 5^{-}} C(t)$ à l'aide de la règle $\frac{a}{0^{\pm}}$ .
$t\to 5^{-}$ : $5-t\to 0^{+}$ et le numérateur $20>0$ , donc $\displaystyle\lim_{t\to 5^{-}} C(t)=\frac{20}{0^{+}}=+\infty$ .
c)
Interpréter : que traduit cette asymptote verticale $t=5$ pour le modèle ? Est-il réaliste au-delà de $t=5$ ?
La droite $t=5$ est une asymptote verticale : le modèle prévoit une concentration qui tend vers l'infini en $t=5$ . Ce n'est pas réaliste physiquement (une concentration reste bornée) : le modèle n'est valable que sur $[0\,;5[$ et cesse d'avoir un sens en $t=5$ et au-delà.

Exercice 4pôle simple contre pôle double

Soit $f(x)=\dfrac{x-3}{(x-1)^2(x+2)}$ .

a)
Donner le domaine $D_f$ .
$f(x)=\dfrac{x-3}{(x-1)^2(x+2)}$ .
$D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2,\,1\}$ .
b)
Dresser le tableau de signes du dénominateur $(x-1)^2(x+2)$ sur $\mathbb{R}$ .
$(x-1)^2\geq 0$ (nul en $1$ ) et $(x+2)$ change de signe en $-2$ ; le signe du produit est donc celui de $(x+2)$ (sauf aux zéros) :
$x$ $-\infty$ $-2$ $1$ $+\infty$
$(x-1)^2$ $+$ $+$ $+$ $0$ $+$
$x+2$ $-$ $0$ $+$ $+$ $+$
$(x-1)^2(x+2)$ $-$ $0$ $+$ $0$ $+$
c)
Étudier les limites latérales en $x=-2$ .
En $-2$ : numérateur $\to -2-3=-5<0$ ; $(x-1)^2\to 9>0$ , donc le dénominateur a le signe de $(x+2)$ : $\to 0^{-}$ à gauche, $\to 0^{+}$ à droite.
$\lim_{x\to -2^{-}} f=\frac{-5}{0^{-}}=+\infty,\qquad \lim_{x\to -2^{+}} f=\frac{-5}{0^{+}}=-\infty.$
d)
Étudier les limites latérales en $x=1$ .
En $1$ : numérateur $\to 1-3=-2<0$ ; $(x-1)^2\to 0^{+}$ et $(x+2)\to 3>0$ , donc le dénominateur $\to 0^{+}$ des deux côtés.
$\lim_{x\to 1^{-}} f=\frac{-2}{0^{+}}=-\infty=\lim_{x\to 1^{+}} f.$
e)
Combien d'asymptotes verticales ? En quoi le comportement en $-2$ diffère-t-il de celui en $1$ ?
Deux asymptotes verticales : $x=-2$ et $x=1$ . En $-2$ (facteur simple) les infinis sont opposés : pas de limite globale. En $1$ (facteur au carré) le même infini des deux côtés : $f$ a une limite globale $\displaystyle\lim_{x\to 1} f=-\infty$ .

$x$		$-2$		$1$
$(x-1)^2$	$+$	$+$	$+$	$0$	$+$
$x+2$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$(x-1)^2(x+2)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$

Exercice 5trou ou asymptote : ne pas confondre avec

\frac{0}{0}

Soit $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x^2-x-2}$ .

a)
Factoriser le numérateur et le dénominateur ; donner $D_f$ .
$f(x)=\dfrac{x^2-4}{x^2-x-2}$ .
$x^2-4=(x-2)(x+2)$ et $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$ . $D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1,\,2\}$ .
b)
Simplifier $f(x)$ pour $x\neq 2$ .
Pour $x\neq 2$ : $f(x)=\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}=\dfrac{x+2}{x+1}$ .
c)
Étudier la limite en $x=2$ : la droite $x=2$ est-elle une asymptote verticale ?
En $2$ , la forme brute est $\dfrac{0}{0}$ (le facteur $(x-2)$ s'annule en haut et en bas) : ce n'est pas une forme $\frac{a}{0}$ . Après simplification, $\displaystyle\lim_{x\to 2} f(x)=\frac{2+2}{2+1}=\frac{4}{3}$ (fini). Donc $x=2$ n'est pas une asymptote : c'est un « trou » (la valeur $2$ est simplement exclue du domaine).
d)
Étudier les limites latérales en $x=-1$ .
Sur la forme simplifiée $\dfrac{x+2}{x+1}$ , le numérateur $\to 1\neq 0$ en $-1$ :
$\lim_{x\to -1^{-}} f=\frac{1}{0^{-}}=-\infty,\qquad \lim_{x\to -1^{+}} f=\frac{1}{0^{+}}=+\infty.$
e)
Conclure : combien d'asymptotes verticales ? Que se passe-t-il exactement en $x=2$ ?
Une seule asymptote verticale : $x=-1$ . En $x=2$ la limite existe ( $=\tfrac43$ ) : pas d'asymptote, seulement un point manquant.

Exercice 6mise en situation : objet au foyer d'une lentille

En optique, pour une lentille convergente de distance focale $f=10$ (en cm), la position de l'image d'un objet placé à la distance $d_o$ (en cm, avec $d_o>0$ et $d_o\neq 10$ ) est

d_i(d_o)=\frac{10\,d_o}{d_o-10}.

a)
Calculer $d_i$ pour $d_o=30$ , $d_o=11$ et $d_o=10{,}5$ . Que constate-t-on quand $d_o$ approche $10$ par valeurs supérieures ?
$d_i(d_o)=\dfrac{10\,d_o}{d_o-10}$ , numérateur $10\,d_o>0$ pour $d_o>0$ .
$d_i(30)=\dfrac{300}{20}=15$ ; $d_i(11)=\dfrac{110}{1}=110$ ; $d_i(10{,}5)=\dfrac{105}{0{,}5}=210$ . La position de l'image explose à mesure que $d_o$ approche $10$ .
b)
Calculer $\displaystyle\lim_{d_o\to 10^{+}} d_i(d_o)$ à l'aide de la règle $\frac{a}{0^{\pm}}$ .
$d_o\to 10^{+}$ : numérateur $\to 100>0$ et $d_o-10\to 0^{+}$ , donc $\displaystyle\lim_{d_o\to 10^{+}} d_i=\frac{100}{0^{+}}=+\infty$ .
c)
Calculer $\displaystyle\lim_{d_o\to 10^{-}} d_i(d_o)$ .
$d_o\to 10^{-}$ : $d_o-10\to 0^{-}$ , donc $\displaystyle\lim_{d_o\to 10^{-}} d_i=\frac{100}{0^{-}}=-\infty$ (image « virtuelle », de l'autre côté de la lentille).
d)
Interpréter : que devient l'image quand l'objet est au foyer ( $d_o=10$ ) ? La droite $d_o=10$ est-elle une asymptote verticale ?
Quand l'objet est au foyer, l'image part à l'infini (les rayons émergents deviennent parallèles) ; la droite $d_o=10$ est une asymptote verticale : le modèle ne donne aucune position finie en $d_o=10$ .

Exercice 7avec un paramètre

Soit $m$ un réel et $f(x)=\dfrac{x+m}{x-2}$ .

a)
Pour quelles valeurs de $m$ a-t-on $\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=+\infty$ ?
$f(x)=\dfrac{x+m}{x-2}$ . En $2$ , le numérateur $\to 2+m$ ; $x\to 2^{-}\Rightarrow x-2\to 0^{-}$ et $x\to 2^{+}\Rightarrow x-2\to 0^{+}$ .
$\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} f=\frac{2+m}{0^{-}}=+\infty$ exige $2+m<0$ , soit $\boxed{m<-2}$ .
b)
Pour quelles valeurs de $m$ a-t-on $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=+\infty$ ?
$\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} f=\frac{2+m}{0^{+}}=+\infty$ exige $2+m>0$ , soit $\boxed{m>-2}$ .
c)
Étudier le cas particulier $m=-2$ : que devient $f$ ? Y a-t-il une asymptote verticale en $2$ ?
Si $m=-2$ : $f(x)=\dfrac{x-2}{x-2}=1$ pour $x\neq 2$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 2} f=1$ (fini). Le numérateur s'annule aussi en $2$ (forme $\tfrac00$ ) : pas d'asymptote verticale, mais un trou en $(2\,;1)$ .

Exercice 8grand tableau : trois pôles

Soit $f(x)=\dfrac{x+1}{x(x-2)(x+3)}$ .

a)
Donner le domaine $D_f$ .
$f(x)=\dfrac{x+1}{x(x-2)(x+3)}$ .
$D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3,\,0,\,2\}$ .
b)
Dresser le tableau de signes du dénominateur $x(x-2)(x+3)$ sur $\mathbb{R}$ .
Dénominateur $x(x-2)(x+3)$ (degré $3$ , positif en $+\infty$ ) :
$x$ $-\infty$ $-3$ $0$ $2$ $+\infty$
$x(x-2)(x+3)$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
c)
Étudier les limites latérales en $x=-3$ .
En $-3$ : numérateur $\to -2<0$ ; dénominateur $-$ à gauche ( $\to 0^{-}$ ), $+$ à droite ( $\to 0^{+}$ ).
$\lim_{x\to -3^{-}} f=\frac{-2}{0^{-}}=+\infty,\qquad \lim_{x\to -3^{+}} f=\frac{-2}{0^{+}}=-\infty.$
d)
Étudier les limites latérales en $x=0$ .
En $0$ : numérateur $\to 1>0$ ; dénominateur $+$ à gauche ( $\to 0^{+}$ ), $-$ à droite ( $\to 0^{-}$ ).
$\lim_{x\to 0^{-}} f=\frac{1}{0^{+}}=+\infty,\qquad \lim_{x\to 0^{+}} f=\frac{1}{0^{-}}=-\infty.$
e)
Étudier les limites latérales en $x=2$ .
En $2$ : numérateur $\to 3>0$ ; dénominateur $-$ à gauche ( $\to 0^{-}$ ), $+$ à droite ( $\to 0^{+}$ ).
$\lim_{x\to 2^{-}} f=\frac{3}{0^{-}}=-\infty,\qquad \lim_{x\to 2^{+}} f=\frac{3}{0^{+}}=+\infty.$
f)
Combien d'asymptotes verticales ? Donner leurs équations.
Trois asymptotes verticales : $x=-3$ , $x=0$ et $x=2$ .

$x$	$-\infty$		$-3$		$0$		$2$		$+\infty$
$x(x-2)(x+3)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Exercice 9associer trois fonctions à leur allure

Près de leur asymptote $x=1$ , on considère

f(x)=\frac{2}{x-1},\qquad g(x)=\frac{-2}{x-1},\qquad h(x)=\frac{2}{(x-1)^2}.

a)
Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}$ et $\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}$ pour chacune des trois fonctions.
$f=\dfrac{2}{x-1}$ : $x\to 1^{-}\Rightarrow \dfrac{2}{0^{-}}=-\infty$ et $x\to 1^{+}\Rightarrow \dfrac{2}{0^{+}}=+\infty$ (infinis opposés).
$g=\dfrac{-2}{x-1}$ : $x\to 1^{-}\Rightarrow \dfrac{-2}{0^{-}}=+\infty$ et $x\to 1^{+}\Rightarrow \dfrac{-2}{0^{+}}=-\infty$ (miroir de $f$ ).
$h=\dfrac{2}{(x-1)^2}$ : $(x-1)^2\to 0^{+}$ des deux côtés, donc $\dfrac{2}{0^{+}}=+\infty$ des deux côtés.
b)
Associer chaque fonction à l'une des trois allures A, B, C ci-dessous.
$f\leftrightarrow$ Allure A (branche gauche vers $-\infty$ , droite vers $+\infty$ ) ; $g\leftrightarrow$ Allure B (branche gauche vers $+\infty$ , droite vers $-\infty$ ) ; $h\leftrightarrow$ Allure C (les deux branches vers $+\infty$ ).

Exercice 10rôle de la parité de l'exposant

Pour un entier $n\geq 1$ , on pose $f_n(x)=\dfrac{2}{(x-1)^n}$ .

a)
Pour $n=1$ : calculer $\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} f_1$ et $\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}} f_1$ . $f_1$ a-t-elle une limite en $1$ ?
$f_n(x)=\dfrac{2}{(x-1)^n}$ .
$n=1$ : $(x-1)$ change de signe en $1$ : $x\to 1^{-}\Rightarrow \dfrac{2}{0^{-}}=-\infty$ , $x\to 1^{+}\Rightarrow \dfrac{2}{0^{+}}=+\infty$ . Côtés opposés : pas de limite globale.
b)
Pour $n=2$ : mêmes questions pour $f_2$ .
$n=2$ : $(x-1)^2\to 0^{+}$ des deux côtés, donc $\dfrac{2}{0^{+}}=+\infty$ des deux côtés : limite globale $+\infty$ .
c)
Pour $n=3$ : mêmes questions pour $f_3$ .
$n=3$ : $(x-1)^3$ (puissance impaire) change de signe : $x\to 1^{-}\Rightarrow \dfrac{2}{0^{-}}=-\infty$ , $x\to 1^{+}\Rightarrow \dfrac{2}{0^{+}}=+\infty$ . Pas de limite globale.
d)
Énoncer la règle générale : selon la parité de $n$ , $f_n$ admet-elle une limite globale en $1$ ? Justifier par le signe de $(x-1)^n$ .
Si $n$ est pair, $(x-1)^n>0$ des deux côtés : même infini, donc limite globale ( $+\infty$ ici, du signe de $2>0$ ). Si $n$ est impair, $(x-1)^n$ change de signe : infinis opposés, donc pas de limite globale. Dans tous les cas, $x=1$ est asymptote verticale.

Exercice 11mise en situation : saturation d'une file d'attente

Le temps moyen d'attente (en heures) à un guichet qui traite $12$ clients par heure est modélisé, en fonction du taux d'arrivée $\lambda$ (clients/heure), par

W(\lambda)=\frac{1}{12-\lambda},\qquad 0\leq\lambda<12.

a)
Calculer $W(6)$ , $W(10)$ et $W(11{,}5)$ . Que constate-t-on quand $\lambda$ approche $12$ ?
$W(\lambda)=\dfrac{1}{12-\lambda}$ , numérateur $1>0$ .
$W(6)=\dfrac{1}{6}$ ; $W(10)=\dfrac{1}{2}$ ; $W(11{,}5)=\dfrac{1}{0{,}5}=2$ (heures). Le temps d'attente explose quand $\lambda$ approche $12$ .
b)
Calculer $\displaystyle\lim_{\lambda\to 12^{-}} W(\lambda)$ à l'aide de la règle $\frac{a}{0^{\pm}}$ .
$\lambda\to 12^{-}$ : $12-\lambda\to 0^{+}$ , donc $\displaystyle\lim_{\lambda\to 12^{-}} W(\lambda)=\frac{1}{0^{+}}=+\infty$ .
c)
Interpréter : que traduit l'asymptote verticale $\lambda=12$ ? Le modèle a-t-il un sens pour $\lambda\geq 12$ ?
$\lambda=12$ correspond à la saturation (le taux d'arrivée égale la capacité) : l'attente tend vers l'infini, d'où l'asymptote verticale $\lambda=12$ . Pour $\lambda\geq 12$ le modèle n'a plus de sens ( $12-\lambda\leq 0$ ) : la file diverge.

Exercice 12retrouver la fonction à partir du graphe

La courbe ci-dessous représente une fonction $f$ de la forme $f(x)=\dfrac{a}{x+1}$ , où $a$ est un réel non nul.

a)
Lire graphiquement $\displaystyle\lim_{x\to -1^{-}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to -1^{+}} f(x)$ .
$f(x)=\dfrac{a}{x+1}$ .
Le graphe donne $\displaystyle\lim_{x\to -1^{-}} f(x)=-\infty$ (la branche de gauche plonge) et $\displaystyle\lim_{x\to -1^{+}} f(x)=+\infty$ (la branche de droite monte).
b)
En déduire la nature du point $x=-1$ ( $f$ y a-t-elle une limite globale ?).
Les deux infinis sont opposés : $f$ n'a pas de limite globale en $-1$ ; la droite $x=-1$ est une asymptote verticale.
c)
Sachant que la courbe passe par le point $(0\,;2)$ , déterminer $a$ . Vérifier avec le point $(1\,;1)$ .
$f(0)=\dfrac{a}{0+1}=a=2$ , donc $a=2$ . Vérification : $f(1)=\dfrac{2}{1+1}=1$ , conforme au point $(1\,;1)$ . Ainsi $f(x)=\dfrac{2}{x+1}$ .

Exercice 13chasse aux erreurs

Un étudiant calcule les limites latérales de $f(x)=\dfrac{1}{x^2-1}$ (avec $x^2-1=(x-1)(x+1)$ ). Deux de ses quatre réponses sont fausses : les retrouver et les corriger.

a)
$\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}} f(x)=+\infty$ .
$f(x)=\dfrac{1}{x^2-1}$ : signe de $x^2-1$ positif si $|x|>1$ , négatif si $|x|<1$ ; numérateur $1>0$ .
$x\to 1^{+}$ : $|x|>1$ , donc $x^2-1\to 0^{+}$ et $\dfrac{1}{0^{+}}=+\infty$ . Correct.
b)
$\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} f(x)=+\infty$ .
$x\to 1^{-}$ : $|x|<1$ , donc $x^2-1\to 0^{-}$ et $\dfrac{1}{0^{-}}=-\infty$ . Fausse : la bonne réponse est $-\infty$ (et non $+\infty$ ).
c)
$\displaystyle\lim_{x\to -1^{-}} f(x)=+\infty$ .
$x\to -1^{-}$ : $x<-1$ donc $|x|>1$ , $x^2-1\to 0^{+}$ et $\dfrac{1}{0^{+}}=+\infty$ . Correct.
d)
$\displaystyle\lim_{x\to -1^{+}} f(x)=+\infty$ .
$x\to -1^{+}$ : $x$ proche de $-1$ avec $|x|<1$ , donc $x^2-1\to 0^{-}$ et $\dfrac{1}{0^{-}}=-\infty$ . Fausse : la bonne réponse est $-\infty$ .
Les deux erreurs sont donc les affirmations b) et d).

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