Règle a/0± et fonctions rationnelles en un point interdit

Mécanique travaillée : calculer la limite d'une fonction rationnelle en un point $x_0$ qui annule le dénominateur (donc $x_0\notin D_f$). On y arrive avec un tableau de signes du dénominateur et la règle des signes $\frac{a}{0^{\pm}}\to\pm\infty$.

$\dfrac{a}{0^{\pm}}$ avec $a\neq 0$ se conclut directement par $\pm\infty$. On ne confond pas avec $\dfrac{0}{0}$, qui, elle, est indéterminée (thèmes 3 et 5). Ici le numérateur ne tend pas vers $0$.

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to x_0} P(x)=a$ (un nombre non nul).
2. Dresser le tableau de signes du dénominateur $Q$ autour de $x_0$ : est-il $0^{+}$ ou $0^{-}$ à droite ? à gauche ?
3. Appliquer la règle $\dfrac{a}{0^{\pm}}$ de chaque côté.
4. Conclure : si les deux côtés donnent le même infini, la limite existe (infinie) ; s'ils diffèrent, pas de limite globale. Dans tous les cas, $x=x_0$ est une asymptote verticale.

Domaine $\mathbb{R}\setminus\{1\}$. Numérateur en $1$ : $-2(1)+5=3\ (>0)$. Dénominateur $1-x$ : positif si $x<1$, négatif si $x>1$.

Donc $x\to 1^{-}\Rightarrow 1-x\to 0^{+}$ et $x\to 1^{+}\Rightarrow 1-x\to 0^{-}$ :

Les deux côtés diffèrent : pas de limite globale en $1$ ; la droite $x=1$ est asymptote verticale.

$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{1}{(x-2)^2}$. Le numérateur vaut $1>0$ ; le dénominateur $(x-2)^2$ est toujours $>0$ (carré), donc tend vers $0^{+}$ des deux côtés :

Ici la limite existe : $\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty$.

Pour un facteur affine $(\alpha x+\beta)$, le signe change en $x=-\frac{\beta}{\alpha}$ ; il est du signe de $\alpha$ « à droite » de cette racine. Pour un carré $(\dots)^2$ ou toute puissance paire, le signe est constant positif (sauf au zéro) : les deux côtés se comportent pareil.