Lois historiques transformations

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Facile14 exercices

Exercice 1loi de Boyle-Mariotte (

T

constante)

Un gaz est maintenu à température constante. On utilise $p_1 V_1 = p_2 V_2$ .

a)
$p_1=1\,\mathrm{atm}$ , $V_1=6\,\mathrm{L}$ , $p_2=2\,\mathrm{atm}$ : calcule $V_2$ .
On isole l'inconnue dans $p_1 V_1 = p_2 V_2$ .
$V_2=\dfrac{p_1 V_1}{p_2}=\dfrac{1\times6}{2}=3\,\mathrm{L}$ .
b)
$p_1=4\,\mathrm{atm}$ , $V_1=3\,\mathrm{L}$ , $V_2=6\,\mathrm{L}$ : calcule $p_2$ .
$p_2=\dfrac{p_1 V_1}{V_2}=\dfrac{4\times3}{6}=2\,\mathrm{atm}$ .
c)
À $T$ constante, on triple la pression. Par quel facteur le volume est-il multiplié ?
$p$ et $V$ inversement proportionnels : $V$ est divisé par $3$ .

Exercice 2loi de Charles–Gay-Lussac (

p

constante)

Un gaz est maintenu à pression constante. On utilise $\dfrac{V_1}{T_1}=\dfrac{V_2}{T_2}$ ( $T$ en kelvins).

a)
$V_1=2\,\mathrm{L}$ à $T_1=300\,\mathrm{K}$ , $T_2=600\,\mathrm{K}$ : calcule $V_2$ .
On isole $V_2=V_1\times\dfrac{T_2}{T_1}$ , après conversion en kelvins.
$V_2=2\times\dfrac{600}{300}=4\,\mathrm{L}$ .
b)
$V_1=5\,\mathrm{L}$ à $\theta_1=27\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , chauffé à $\theta_2=327\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : calcule $V_2$ .
$T_1=300$ K, $T_2=600$ K : $V_2=5\times\dfrac{600}{300}=10\,\mathrm{L}$ .
c)
À $p$ constante, on double la température absolue. Par quel facteur $V$ est-il multiplié ?
$V$ et $T$ directement proportionnels : $V$ est doublé ( $\times2$ ).

Exercice 3transformation isochore (

V

constant)

Un gaz est enfermé dans un récipient rigide (volume constant). On utilise $\dfrac{p_1}{T_1}=\dfrac{p_2}{T_2}$ .

a)
$p_1=1\,\mathrm{atm}$ à $T_1=300\,\mathrm{K}$ , $T_2=450\,\mathrm{K}$ : calcule $p_2$ .
On isole $p_2=p_1\times\dfrac{T_2}{T_1}$ , températures en kelvins.
$p_2=1\times\dfrac{450}{300}=1.5\,\mathrm{atm}$ .
b)
$p_1=2\,\mathrm{atm}$ à $\theta_1=27\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , refroidi à $\theta_2=-123\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : calcule $p_2$ .
$T_1=300$ K, $T_2=150$ K : $p_2=2\times\dfrac{150}{300}=1\,\mathrm{atm}$ .

Exercice 4loi d'Avogadro (

p

T

constants)

On fait varier la quantité de gaz à $p$ et $T$ constants. On utilise $\dfrac{V_1}{n_1}=\dfrac{V_2}{n_2}$ .

a)
$V_1=12\,\mathrm{L}$ pour $n_1=0.5\,\mathrm{mol}$ , $n_2=1.0\,\mathrm{mol}$ : calcule $V_2$ .
On isole $V_2=V_1\times\dfrac{n_2}{n_1}$ .
$V_2=12\times\dfrac{1{,}0}{0{,}5}=24\,\mathrm{L}$ .
b)
À $p$ et $T$ constants, on double la quantité de matière. Par quel facteur $V$ est-il multiplié ?
$V$ et $n$ directement proportionnels : $V$ est doublé ( $\times2$ ).

Exercice 5Boyle-Mariotte : détente d'une bulle en plongée

Une petite bulle d'air remonte vers la surface, à température constante. On applique $p_1V_1=p_2V_2$ .

a)
Au fond, la bulle occupe $V_1=1.5\,\mathrm{mL}$ sous $p_1=4.0\,\mathrm{atm}$ . À la surface, $p_2=1.0\,\mathrm{atm}$ : calcule $V_2$ .
On isole l'inconnue dans $p_1V_1=p_2V_2$ ; ici $p_1V_1=4{,}0\times1{,}5=6{,}0$ (en $\mathrm{atm\cdot mL}$ ) est conservé.
$V_2=\dfrac{p_1V_1}{p_2}=\dfrac{4{,}0\times1{,}5}{1{,}0}=6.0\,\mathrm{mL}$ .
b)
Par quel facteur le volume de la bulle a-t-il été multiplié ?
$p$ divisée par $4$ $\Rightarrow$ $V$ multiplié par $4$ .
c)
À quelle pression le volume de cette bulle vaudrait-il exactement $3.0\,\mathrm{mL}$ ?
$p=\dfrac{p_1V_1}{V}=\dfrac{6{,}0}{3{,}0}=2.0\,\mathrm{atm}$ .

Exercice 6Charles : trouver la température finale

Un gaz est maintenu à pression constante. On utilise $\dfrac{V_1}{T_1}=\dfrac{V_2}{T_2}$ ( $T$ en kelvins).

a)
$V_1=3.0\,\mathrm{L}$ à $T_1=300\,\mathrm{K}$ ; le gaz se dilate jusqu'à $V_2=4.5\,\mathrm{L}$ : calcule $T_2$ .
On isole $T_2=T_1\dfrac{V_2}{V_1}$ (kelvins).
$T_2=300\times\dfrac{4{,}5}{3{,}0}=450\,\mathrm{K}$ .
b)
Exprime cette température finale en degrés Celsius.
$\theta_2=450-273=177\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
c)
À quelle température (en $\mathrm{K}$ ) le volume atteindrait-il $6.0\,\mathrm{L}$ ?
$T=300\times\dfrac{6{,}0}{3{,}0}=600\,\mathrm{K}$ .

Exercice 7isochore : trouver la température (pneu)

L'air d'un pneu occupe un volume constant. On utilise $\dfrac{p_1}{T_1}=\dfrac{p_2}{T_2}$ .

a)
$p_1=2.0\,\mathrm{bar}$ à $T_1=300\,\mathrm{K}$ : à quelle température $T_2$ la pression atteint-elle $2.4\,\mathrm{bar}$ ?
On isole $T_2=T_1\dfrac{p_2}{p_1}$ (kelvins), ou $p=p_1\dfrac{T}{T_1}$ .
$T_2=300\times\dfrac{2{,}4}{2{,}0}=360\,\mathrm{K}$ .
b)
Exprime cette température en degrés Celsius.
$\theta_2=360-273=87\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
c)
Si le pneu est refroidi à $T=150\,\mathrm{K}$ , quelle est sa pression ?
$p=2{,}0\times\dfrac{150}{300}=1.0\,\mathrm{bar}$ .

Exercice 8Avogadro : trouver la quantité de matière

On fait varier la quantité de gaz d'un ballon souple à $p$ et $T$ constants : $\dfrac{V_1}{n_1}=\dfrac{V_2}{n_2}$ .

a)
$V_1=5.0\,\mathrm{L}$ pour $n_1=0.20\,\mathrm{mol}$ ; on gonfle jusqu'à $V_2=8.0\,\mathrm{L}$ : calcule $n_2$ .
On isole $n_2=n_1\dfrac{V_2}{V_1}$ , ou $V=V_1\dfrac{n}{n_1}$ .
$n_2=0{,}20\times\dfrac{8{,}0}{5{,}0}=0.32\,\mathrm{mol}$ .
b)
Quelle quantité de gaz (en $\mathrm{mol}$ ) a-t-on ajoutée ?
$\Delta n=n_2-n_1=0{,}32-0{,}20=0.12\,\mathrm{mol}$ ajoutées.
c)
Quel serait le volume pour $n=0.40\,\mathrm{mol}$ ?
$V=5{,}0\times\dfrac{0{,}40}{0{,}20}=10.0\,\mathrm{L}$ .

Exercice 9conversions de température et choix des unités

Un rapport de températures ne se fait qu'en kelvins.

a)
Convertis $25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en kelvins.
$T(\mathrm{K})=\theta({}^{\circ}\mathrm{C})+273$ .
$25+273=298\,\mathrm{K}$ .
b)
Convertis $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en kelvins.
$100+273=373\,\mathrm{K}$ .
c)
Convertis $350\,\mathrm{K}$ en degrés Celsius.
$350-273=77\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
d)
Parmi Boyle-Mariotte, Charles, l'isochore et Avogadro, quelles lois exigent des kelvins dans leur rapport ?
Charles et l'isochore : ce sont les seules où $T$ figure dans un rapport. Boyle ( $p_1V_1=p_2V_2$ ) et Avogadro ( $V/n$ ) n'en contiennent pas.

Exercice 10proportion directe ou inverse ?

Pour chaque loi, indique si les deux grandeurs qui varient sont en proportion directe ou inverse, et complète : « si l'une double, l'autre… ».

a)
Boyle-Mariotte : $p$ et $V$ (à $T$ constante).
Inverse : $pV=$ cste. Si $p$ double, $V$ est divisé par $2$ .
b)
Charles : $V$ et $T$ (à $p$ constante).
Directe : $V\propto T$ . Si $T$ (en $\mathrm{K}$ ) double, $V$ double.
c)
Isochore : $p$ et $T$ (à $V$ constant).
Directe : $p\propto T$ . Si $T$ double, $p$ double.
d)
Avogadro : $V$ et $n$ (à $p,T$ constants).
Directe : $V\propto n$ . Si $n$ double, $V$ double.

Exercice 11lecture graphique d'une isotherme

Le graphique donne la pression d'un gaz en fonction de son volume, à température constante.

a)
Lis les coordonnées $(V,p)$ des points $A$ et $B$ .
$A=(3\,\mathrm{L},\ 4\,\mathrm{atm})$ et $B=(6\,\mathrm{L},\ 2\,\mathrm{atm})$ .
b)
Vérifie que le produit $p\times V$ est le même en $A$ et en $B$ .
$p_AV_A=3\times4=12$ et $p_BV_B=6\times2=12$ : le produit $pV$ est conservé (isotherme).
c)
Prédis le volume du gaz lorsque la pression vaut $1.0\,\mathrm{atm}$ .
$V=\dfrac{12}{p}=\dfrac{12}{1{,}0}=12\,\mathrm{L}$ .

Exercice 12lecture graphique d'une isobare

À pression constante, on trace le volume d'un gaz en fonction de sa température absolue.

a)
Lis le volume aux températures $300\,\mathrm{K}$ et $450\,\mathrm{K}$ .
La droite a pour équation $V=\dfrac{T}{150}$ ( $V$ en $\mathrm{L}$ , $T$ en $\mathrm{K}$ ).
$2\,\mathrm{L}$ à $300\,\mathrm{K}$ et $3\,\mathrm{L}$ à $450\,\mathrm{K}$ .
b)
La droite passe-t-elle par l'origine ? Quel volume prédit-elle à $T=0\,\mathrm{K}$ , et comment s'appelle cette température (en ${}^{\circ}\mathrm{C}$ ) ?
Oui : à $T=0\,\mathrm{K}$ elle prédit $V=0$ . C'est le zéro absolu, soit $\theta=-273\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
c)
Prédis le volume à $T=600\,\mathrm{K}$ .
$V=\dfrac{600}{150}=4.0\,\mathrm{L}$ .

Exercice 13dilatation isobare en pourcentage

Un gaz est chauffé à pression constante ; on raisonne en températures absolues.

a)
La température absolue passe de $300\,\mathrm{K}$ à $330\,\mathrm{K}$ : de quel pourcentage le volume augmente-t-il ?
$V\propto T$ (kelvins) : le volume varie du même pourcentage que la température absolue.
$\dfrac{330}{300}=1{,}10$ : le volume augmente de $10\,\%$ .
b)
Si le volume initial est $V_1=2.0\,\mathrm{L}$ , calcule le volume final $V_2$ .
$V_2=2{,}0\times1{,}10=2.2\,\mathrm{L}$ .
c)
Par quel facteur la température absolue a-t-elle été multipliée si le volume augmente de $50\,\%$ ?
$V$ augmente de $50\,\%$ $\Rightarrow$ la température absolue est multipliée par $1{,}5$ .

Exercice 14Avogadro : volumes égaux, mêmes molécules

On compare des gaz pris dans les mêmes conditions de pression et de température.

a)
$1\,\mathrm{L}$ de $\ce{H2}$ et $1\,\mathrm{L}$ de $\ce{CO2}$ : lequel contient le plus de molécules ?
À $p$ et $T$ fixés, le nombre de molécules ne dépend que du volume ( $N\propto n\propto V$ ).
Le même nombre : à volumes égaux et mêmes $p,T$ , $\ce{H2}$ et $\ce{CO2}$ contiennent autant de molécules (seules leurs masses diffèrent).
b)
$2\,\mathrm{L}$ de $\ce{O2}$ et $1\,\mathrm{L}$ de $\ce{N2}$ : quel est le rapport de leurs nombres de molécules ?
Les volumes sont dans le rapport $2:1$ , donc les nombres de molécules aussi : deux fois plus dans l' $\ce{O2}$ .
c)
Si $1\,\mathrm{L}$ de gaz contient $N$ molécules, combien en contient $3\,\mathrm{L}$ (mêmes $p,T$ ) ?
$3\,\mathrm{L}$ contient $3N$ molécules.

Moyen14 exercices

Exercice 1reconnaître la loi

Pour chaque situation, indique la grandeur maintenue constante et écris la relation à utiliser (sans calcul).

a)
On comprime un gaz à température constante.
On repère la grandeur constante, ce qui fixe la relation.
$T$ constante $\Rightarrow$ Boyle-Mariotte : $p_1V_1=p_2V_2$ .
b)
On chauffe un gaz dans un cylindre à piston libre (pression atmosphérique).
$p$ constante (piston libre) $\Rightarrow$ Charles : $\dfrac{V_1}{T_1}=\dfrac{V_2}{T_2}$ .
c)
On chauffe un gaz enfermé dans une bouteille rigide.
$V$ constant (récipient rigide) $\Rightarrow$ isochore : $\dfrac{p_1}{T_1}=\dfrac{p_2}{T_2}$ .
d)
On ajoute du gaz dans un ballon souple, à température et pression ambiantes constantes.
$p$ et $T$ constants $\Rightarrow$ Avogadro : $\dfrac{V_1}{n_1}=\dfrac{V_2}{n_2}$ .

Exercice 2raisonnement proportionnel sans calcul détaillé

Déduis l'effet demandé par proportionnalité (directe ou inverse).

a)
À $V$ constant, la température absolue passe de $1100\,\mathrm{K}$ à $550\,\mathrm{K}$ : que devient la pression ?
$V$ constant : $p\propto T$ . $T$ est divisée par $2$ $\Rightarrow$ $p$ est divisée par $2$ .
b)
À $p$ constante, on double la température absolue : que devient le volume ?
$p$ constante : $V\propto T$ . $T$ doublée $\Rightarrow$ $V$ doublé.
c)
À $T$ constante, on divise la pression par deux : que devient le volume ?
$T$ constante : $p\,V=$ cste (inverse). $p$ divisée par $2$ $\Rightarrow$ $V$ doublé.
d)
À $p$ constante, on double le volume : que devient la température absolue ?
$p$ constante : $V\propto T$ . $V$ doublé $\Rightarrow$ $T$ absolue doublée.

Exercice 3loi de Charles avec conversions

Un gaz est maintenu à pression constante. Convertis en kelvins puis calcule.

a)
$V_1=2.0\,\mathrm{L}$ à $27\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , chauffé à $87\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : $V_2$ ?
$V_2=V_1\dfrac{T_2}{T_1}$ (ou $T_2=T_1\dfrac{V_2}{V_1}$ ), en kelvins.
$T_1=300$ K, $T_2=360$ K : $V_2=2{,}0\times\dfrac{360}{300}=2.4\,\mathrm{L}$ .
b)
$V_1=4.0\,\mathrm{L}$ à $127\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , refroidi à $27\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : $V_2$ ?
$T_1=400$ K, $T_2=300$ K : $V_2=4{,}0\times\dfrac{300}{400}=3.0\,\mathrm{L}$ .
c)
Le volume passe de $5.0\,\mathrm{L}$ à $6.0\,\mathrm{L}$ en partant de $250\,\mathrm{K}$ : quelle est la température finale $T_2$ ?
$T_2=T_1\dfrac{V_2}{V_1}=250\times\dfrac{6{,}0}{5{,}0}=300\,\mathrm{K}$ .

Exercice 4isochore et Avogadro

Applique la relation adaptée (attention aux kelvins pour les températures).

a)
( $V$ constant) $p_1=1.0\,\mathrm{atm}$ à $250\,\mathrm{K}$ , chauffé à $500\,\mathrm{K}$ : $p_2$ ?
$p_2=p_1\dfrac{T_2}{T_1}=1{,}0\times\dfrac{500}{250}=2.0\,\mathrm{atm}$ .
b)
( $V$ constant) La pression passe de $2.0\,\mathrm{atm}$ à $3.0\,\mathrm{atm}$ en partant de $300\,\mathrm{K}$ : quelle est $T_2$ ?
$T_2=T_1\dfrac{p_2}{p_1}=300\times\dfrac{3{,}0}{2{,}0}=450\,\mathrm{K}$ .
c)
( $p,T$ constants) $V_1=6.0\,\mathrm{L}$ pour $n_1=0.25\,\mathrm{mol}$ ; on porte la quantité à $n_2=0.40\,\mathrm{mol}$ : $V_2$ ?
$V_2=V_1\dfrac{n_2}{n_1}=6{,}0\times\dfrac{0{,}40}{0{,}25}=9.6\,\mathrm{L}$ .

Exercice 5Boyle : compressions à facteurs non entiers

Gaz maintenu à température constante ( $p_1V_1=p_2V_2$ ).

a)
$V_1=8.0\,\mathrm{L}$ sous $p_1=1.0\,\mathrm{atm}$ , comprimé à $p_2=2.5\,\mathrm{atm}$ : calcule $V_2$ .
$p_1V_1=8{,}0$ (en $\mathrm{atm\cdot L}$ ) est conservé.
$V_2=\dfrac{p_1V_1}{p_2}=\dfrac{1{,}0\times8{,}0}{2{,}5}=3.2\,\mathrm{L}$ .
b)
Quelle pression faut-il appliquer pour réduire le volume à $2.0\,\mathrm{L}$ ?
$p=\dfrac{8{,}0}{2{,}0}=4.0\,\mathrm{atm}$ .
c)
En repartant de l'état $(2.0\,\mathrm{L},\ 4.0\,\mathrm{atm})$ , on détend le gaz jusqu'à $1.6\,\mathrm{atm}$ : quel volume occupe-t-il ?
$V=\dfrac{4{,}0\times2{,}0}{1{,}6}=5.0\,\mathrm{L}$ .

Exercice 6Charles : vers le zéro absolu

À pression constante, un gaz occupe $V_0=2.0\,\mathrm{L}$ à $\theta_0=0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

a)
Calcule son volume à $\theta=273\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
$V\propto T$ (kelvins) ; $T_0=273$ K.
$T=273+273=546\,\mathrm{K}$ : $V=2{,}0\times\dfrac{546}{273}=4.0\,\mathrm{L}$ .
b)
Sur le graphe $V$ – $T$ (droite passant par l'origine des kelvins), à quelle température $\theta$ (en ${}^{\circ}\mathrm{C}$ ) la droite prédirait-elle un volume nul ?
$V=0$ pour $T=0\,\mathrm{K}$ , soit $\theta=-273\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : le zéro absolu (jamais atteint).
c)
À quelle température (en ${}^{\circ}\mathrm{C}$ ) faut-il refroidir le gaz pour que son volume soit divisé par deux ?
Volume divisé par deux $\Rightarrow$ $T$ divisée par deux : $T=\dfrac{273}{2}=136{,}5$ K, soit $\theta=136{,}5-273=-136.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Exercice 7isochore : pression des pneus

Le volume d'air d'un pneu est supposé constant ; températures en kelvins.

a)
Au départ $p_1=2.0\,\mathrm{bar}$ à $\theta_1=7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; après autoroute $\theta_2=42\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : calcule $p_2$ .
$\dfrac{p_1}{T_1}=\dfrac{p_2}{T_2}$ , kelvins : $T_1=280$ K, $T_2=315$ K.
$p_2=2{,}0\times\dfrac{315}{280}=2.25\,\mathrm{bar}$ .
b)
À quelle température (en ${}^{\circ}\mathrm{C}$ ) la pression atteindrait-elle $2.5\,\mathrm{bar}$ ?
$T=280\times\dfrac{2{,}5}{2{,}0}=350$ K, soit $\theta=77\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
c)
Pourquoi la pression des pneus se contrôle-t-elle « à froid » ? (une phrase)
Parce que rouler échauffe le pneu : à volume constant sa pression monte, ce qui fausserait un contrôle fait à chaud.

Exercice 8transformations exprimées en pourcentages

Raisonne par proportionnalité (directe ou inverse selon la loi).

a)
À $T$ constante, on augmente la pression de $25\,\%$ : de quel pourcentage le volume varie-t-il ?
Inverse : $V\times\dfrac{1}{1{,}25}=0{,}80\,V$ : le volume diminue de $20\,\%$ .
b)
À $p$ constante, on augmente la température absolue de $20\,\%$ : que devient le volume ?
Directe : le volume augmente de $20\,\%$ .
c)
À $V$ constant, la pression augmente de $5\,\%$ : de quel pourcentage la température absolue a-t-elle varié ?
Directe ( $p\propto T$ ) : la température absolue a augmenté de $5\,\%$ .

Exercice 9loi combinée : première rencontre

Une quantité fixe de gaz voit $p$ , $V$ et $T$ changer.

a)
Écris la relation reliant les états $1$ et $2$ (à $n$ constant).
$\dfrac{p_1V_1}{T_1}=\dfrac{p_2V_2}{T_2}$ .
b)
État initial : $p_1=1.0\,\mathrm{atm}$ , $V_1=6.0\,\mathrm{L}$ , $T_1=300\,\mathrm{K}$ . État final : $V_2=2.0\,\mathrm{L}$ , $T_2=400\,\mathrm{K}$ . Calcule $p_2$ .
$p_2=p_1\times\dfrac{V_1}{V_2}\times\dfrac{T_2}{T_1} =1{,}0\times\dfrac{6{,}0}{2{,}0}\times\dfrac{400}{300}=4.0\,\mathrm{atm}$ .
c)
Retrouve le résultat en combinant l'effet de la compression et celui du chauffage.
Compression $\times3$ ( $p$ triple) puis chauffage $\times\tfrac{4}{3}$ ( $p$ augmente d'un tiers) : $1{,}0\times3\times\tfrac{4}{3}=4.0\,\mathrm{atm}$ . Même résultat.

Exercice 10deux isothermes sur un même diagramme

Le diagramme montre deux transformations isothermes d'une même quantité de gaz, à deux températures différentes.

a)
Pour un même volume, quelle courbe correspond à la température la plus élevée ?
Pour un gaz, $pV=nRT$ : à $V$ fixé, une pression plus grande traduit une température plus grande.
À volume égal, $\mathcal{C}_2$ est au-dessus ( $p$ plus grand) : c'est la température la plus élevée.
b)
Détermine la constante $pV$ de chaque courbe.
$\mathcal{C}_1$ : $pV=12$ ; $\mathcal{C}_2$ : $pV=24$ (en $\mathrm{atm\cdot L}$ ).
c)
Sur la courbe $\mathcal{C}_2$ , quelle pression correspond à $V=8.0\,\mathrm{L}$ ?
$p=\dfrac{24}{8{,}0}=3.0\,\mathrm{atm}$ .

Exercice 11choisir la loi puis calculer

Pour chaque situation, identifie la loi adaptée puis donne le résultat numérique.

a)
À température constante, un gaz passe de $10\,\mathrm{L}$ à $4.0\,\mathrm{L}$ ; sa pression initiale vaut $1.0\,\mathrm{atm}$ . Quelle est sa pression finale ?
Boyle : $p_2=\dfrac{p_1V_1}{V_2}=\dfrac{1{,}0\times10}{4{,}0}=2.5\,\mathrm{atm}$ .
b)
À pression constante, un gaz de $2.0\,\mathrm{L}$ à $250\,\mathrm{K}$ est chauffé à $400\,\mathrm{K}$ . Quel est son volume final ?
Charles : $V_2=2{,}0\times\dfrac{400}{250}=3.2\,\mathrm{L}$ .
c)
Dans un flacon rigide, la pression passe de $1.0\,\mathrm{atm}$ à $1.5\,\mathrm{atm}$ alors qu'il était à $300\,\mathrm{K}$ . Quelle est la température finale ?
Isochore : $T_2=300\times\dfrac{1{,}5}{1{,}0}=450\,\mathrm{K}$ .

Exercice 12Avogadro : fuite d'un ballon

Un ballon souple à $p$ et $T$ constants contient $V_1=6.0\,\mathrm{L}$ pour $n_1=0.30\,\mathrm{mol}$ .

a)
Une fuite ramène le volume à $V_2=4.0\,\mathrm{L}$ : quelle quantité de gaz $n_2$ reste-t-il ?
$\dfrac{V_1}{n_1}=\dfrac{V_2}{n_2}$ à $p,T$ constants.
$n_2=n_1\dfrac{V_2}{V_1}=0{,}30\times\dfrac{4{,}0}{6{,}0}=0.20\,\mathrm{mol}$ .
b)
Quelle quantité de gaz (en $\mathrm{mol}$ ) s'est échappée ?
$\Delta n=0{,}30-0{,}20=0.10\,\mathrm{mol}$ échappées.
c)
Quel pourcentage du gaz initial cela représente-t-il ?
$\dfrac{0{,}10}{0{,}30}\approx 33\,\%$ du gaz initial.

Exercice 13loi des volumes de combinaison

À pression et température fixées, les volumes gazeux sont proportionnels aux quantités de matière (Avogadro). Soit la synthèse de l'ammoniac :

\ce{N2 + 3 H2 -> 2 NH3}.

a)
Quel volume de $\ce{H2}$ faut-il pour réagir exactement avec $10\,\mathrm{L}$ de $\ce{N2}$ ?
Les coefficients stœchiométriques donnent directement les rapports de volumes (mêmes $p,T$ ).
$\ce{N2}:\ce{H2}=1:3$ , donc $3\times10\,\mathrm{L}=30\,\mathrm{L}$ de $\ce{H2}$ .
b)
Quel volume de $\ce{NH3}$ gazeux se forme alors ?
$\ce{N2}:\ce{NH3}=1:2$ , donc $20\,\mathrm{L}$ de $\ce{NH3}$ .
c)
De combien le volume gazeux total varie-t-il au cours de la réaction ?
Avant : $10+30=40\,\mathrm{L}$ de gaz ; après : $20\,\mathrm{L}$ . Le volume gazeux diminue de $20\,\mathrm{L}$ (de moitié).

Exercice 14vérifier la loi de Boyle sur des mesures

À température constante, on mesure la pression d'un gaz pour différents volumes :

$V$ ( $\mathrm{L}$ )	$1{,}0$	$2{,}0$	$3{,}0$	$4{,}0$
$p$ (atm)	$12{,}0$	$6{,}0$	$3{,}8$	$3{,}0$

a)
Calcule le produit $pV$ pour chacune des quatre mesures.
$pV$ : $1{,}0\times12{,}0=12$ ; $2{,}0\times6{,}0=12$ ; $3{,}0\times3{,}8=11{,}4$ ; $4{,}0\times3{,}0=12$ .
b)
La loi de Boyle-Mariotte est-elle vérifiée ? Repère la mesure aberrante.
Trois mesures donnent $pV=12$ : la loi est vérifiée. La mesure à $V=3.0\,\mathrm{L}$ est aberrante ( $pV=11{,}4\neq12$ ).
c)
Quelle valeur de pression était attendue pour $V=3.0\,\mathrm{L}$ ?
On attendait $p=\dfrac{12}{3{,}0}=4.0\,\mathrm{atm}$ .

Difficile14 exercices

Exercice 1la loi combinée

pV/T=\text{cste}

Un gaz occupe $V_1=0.040\,\mathrm{m}^{3}$ sous $p_1=2.0\times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ à $T_1=200\,\mathrm{K}$ . On le comprime jusqu'à $V_2=0.010\,\mathrm{m}^{3}$ tout en portant sa température à $T_2=400\,\mathrm{K}$ .

a)
Écris la relation reliant les deux états lorsque $p$ , $V$ et $T$ varient tous (à $n$ constant).
Toutes les grandeurs sont déjà en unités SI cohérentes.
À $n$ constant : $\dfrac{p_1 V_1}{T_1}=\dfrac{p_2 V_2}{T_2}$ .
b)
Isole littéralement la pression finale $p_2$ .
$p_2 = p_1\times\dfrac{V_1}{V_2}\times\dfrac{T_2}{T_1}$ .
c)
Calcule $p_2$ .
$p_2 = 2.0\times 10^{5}\times\dfrac{0{,}040}{0{,}010}\times\dfrac{400}{200} = 2.0\times 10^{5}\times4\times2 = 1.6\times 10^{6}\,\mathrm{Pa}$ .
La compression ( $\times4$ ) et le chauffage ( $\times2$ ) augmentent tous deux la pression : facteur $8$ .

Exercice 2transformation en deux étapes

Un cylindre à piston contient un gaz dans l'état initial $V_0=6.0\,\mathrm{L}$ , $p_0=1.0\,\mathrm{atm}$ , $T_0=300\,\mathrm{K}$ . On réalise deux étapes successives :

a)
Étape 1 — isotherme : on comprime le gaz jusqu'à $p_1=3.0\,\mathrm{atm}$ (température inchangée). Calcule le volume $V_1$ .
On applique la bonne loi à chaque étape, puis on vérifie globalement.
Étape isotherme (Boyle) : $V_1=\dfrac{p_0 V_0}{p_1}=\dfrac{1{,}0\times6{,}0}{3{,}0}=2.0\,\mathrm{L}$ .
b)
Étape 2 — isobare : à $p_1=3.0\,\mathrm{atm}$ , on chauffe de $300\,\mathrm{K}$ à $450\,\mathrm{K}$ . Calcule le volume final $V_2$ .
Étape isobare (Charles) : $V_2=V_1\dfrac{T_2}{T_0}=2{,}0\times\dfrac{450}{300}=3.0\,\mathrm{L}$ .
c)
Retrouve directement $V_2$ à partir de l'état initial à l'aide de la loi combinée.
Loi combinée depuis l'état initial : $V_2=V_0\times\dfrac{p_0}{p_1}\times\dfrac{T_2}{T_0} =6{,}0\times\dfrac{1{,}0}{3{,}0}\times\dfrac{450}{300}=3.0\,\mathrm{L}$ . Même résultat : les deux étapes équivalent à la transformation globale.

Exercice 3dilatation isobare d'un gaz chauffé

À pression constante, on chauffe une quantité fixe de gaz de $\theta_1=127\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ à $\theta_2=527\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

a)
Convertis les deux températures en kelvins.
$p$ constante $\Rightarrow$ Charles : $V\propto T$ (en kelvins).
$T_1=127+273=400\,\mathrm{K}$ , $T_2=527+273=800\,\mathrm{K}$ .
b)
Par quel facteur le volume est-il multiplié ?
Facteur $=\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{800}{400}=2$ : le volume est doublé.
c)
Si le volume initial est $V_1=5.0\,\mathrm{L}$ , calcule le volume final $V_2$ .
$V_2=V_1\times2=5{,}0\times2=10\,\mathrm{L}$ .

Exercice 4sécurité d'une bombe aérosol (isochore)

Une bombe aérosol rigide contient un gaz sous $p_1=3.0\,\mathrm{bar}$ à $\theta_1=27\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Le volume ne change pas.

a)
On la laisse au soleil : sa température atteint $127\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Calcule la nouvelle pression $p_2$ .
$V$ constant $\Rightarrow$ $\dfrac{p_1}{T_1}=\dfrac{p_2}{T_2}$ , températures en kelvins.
$T_1=300$ K, $T_2=400$ K : $p_2=p_1\dfrac{T_2}{T_1}=3{,}0\times\dfrac{400}{300}=4.0\,\mathrm{bar}$ .
b)
À quelle température (en ${}^{\circ}\mathrm{C}$ ) la pression atteindrait-elle $6.0\,\mathrm{bar}$ ?
$T=T_1\dfrac{p}{p_1}=300\times\dfrac{6{,}0}{3{,}0}=600\,\mathrm{K}$ , soit $\theta=600-273=327\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
c)
Explique en une phrase pourquoi l'étiquette interdit de la jeter au feu.
Au feu, la température grimpe fortement ; à volume constant, la pression grimpe proportionnellement et peut faire éclater la bombe.

Exercice 5cycle en trois transformations

Une quantité fixe de gaz décrit un cycle. État $A$ : $p_A=1.0\,\mathrm{atm}$ , $V_A=4.0\,\mathrm{L}$ , $T_A=300\,\mathrm{K}$ .

a)
$A\to B$ (isotherme) : le gaz est comprimé jusqu'à $V_B=2.0\,\mathrm{L}$ . Calcule $p_B$ et donne $T_B$ .
Isotherme (Boyle) : $p_B=\dfrac{p_AV_A}{V_B}=\dfrac{1{,}0\times4{,}0}{2{,}0}=2.0\,\mathrm{atm}$ ; la température ne change pas : $T_B=T_A=300\,\mathrm{K}$ .
b)
$B\to C$ (isochore) : à volume constant, on chauffe jusqu'à $p_C=3.0\,\mathrm{atm}$ . Calcule $T_C$ .
Isochore : $T_C=T_B\dfrac{p_C}{p_B}=300\times\dfrac{3{,}0}{2{,}0}=450\,\mathrm{K}$ .
c)
$C\to A$ : montre que la transformation qui referme le cycle est compatible avec $\dfrac{pV}{T}=\text{cste}$ (vérifie l'égalité des deux côtés).
État $C$ : $\dfrac{p_CV_C}{T_C}=\dfrac{3{,}0\times2{,}0}{450}=\dfrac{6{,}0}{450}$ ; état $A$ : $\dfrac{p_AV_A}{T_A}=\dfrac{1{,}0\times4{,}0}{300}=\dfrac{4{,}0}{300}$ . Les deux valent $0.0133$ : $C\to A$ respecte bien $\dfrac{pV}{T}=\text{cste}$ (à $n$ constant), le cycle est cohérent.

Exercice 6loi combinée : rigueur des conversions

Un gaz passe d'un état initial ( $p_1=2.0\,\mathrm{bar}$ , $V_1=750\,\mathrm{mL}$ , $\theta_1=27\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ) à un état final ( $V_2=1.5\,\mathrm{L}$ , $\theta_2=127\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ).

a)
Convertis les données dans des unités cohérentes ( $V$ en $\mathrm{L}$ , $T$ en $\mathrm{K}$ ).
$V_1=0.75\,\mathrm{L}$ , $V_2=1.5\,\mathrm{L}$ ; $T_1=27+273=300\,\mathrm{K}$ , $T_2=127+273=400\,\mathrm{K}$ ; $p_1=2.0\,\mathrm{bar}$ .
b)
Isole littéralement la pression finale $p_2$ .
$p_2=p_1\times\dfrac{V_1}{V_2}\times\dfrac{T_2}{T_1}$ .
c)
Calcule $p_2$ .
$p_2=2{,}0\times\dfrac{0{,}75}{1{,}5}\times\dfrac{400}{300} =2{,}0\times0{,}50\times\dfrac{4}{3}=1.33\,\mathrm{bar}$ .
d)
De quel pourcentage la pression a-t-elle varié ?
$\dfrac{1{,}33-2{,}0}{2{,}0}\approx-33\,\%$ : la pression diminue d'environ un tiers.

Exercice 7extrapolation historique du zéro absolu

À pression constante, on relève le volume d'un gaz à deux températures : $V=2.00\,\mathrm{L}$ à $\theta=0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , et $V=2.73\,\mathrm{L}$ à $\theta=100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

a)
On modélise $V=a\,\theta+b$ ( $\theta$ en ${}^{\circ}\mathrm{C}$ ). Détermine $a$ et $b$ .
À $\theta=0$ : $b=2.00\,\mathrm{L}$ . Pente : $a=\dfrac{2{,}73-2{,}00}{100-0}=0.0073\,\mathrm{L}/{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
b)
À quelle température $\theta_0$ (en ${}^{\circ}\mathrm{C}$ ) ce modèle prédit-il $V=0$ ?
$V=0\Rightarrow\theta_0=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{2{,}00}{0{,}0073}\approx-273\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
c)
Vérifie que $a=\dfrac{b}{273}$ et déduis-en la forme $V=V_0\left(1+\dfrac{\theta}{273}\right)$ . Quel lien avec $T(\mathrm{K})=\theta+273$ ?
$\dfrac{b}{273}=\dfrac{2{,}00}{273}=0.00733\approx a$ . Donc $V=b\left(1+\dfrac{\theta}{273}\right)=V_0\left(1+\dfrac{\theta}{273}\right)$ . En posant $T=\theta+273$ , on obtient $V=\dfrac{V_0}{273}\,T$ , soit $V\propto T$ (loi de Charles) : le volume nul correspond exactement à $T=0\,\mathrm{K}$ .

Exercice 8ballon-sonde météorologique

Au sol, un ballon souple contient $V_1=5.0\,\mathrm{L}$ d'hélium sous $p_1=1.0\,\mathrm{atm}$ à $T_1=290\,\mathrm{K}$ . L'enveloppe éclate si le volume dépasse $V_{\max}=25\,\mathrm{L}$ .

a)
À $5000\,\mathrm{m}$ d'altitude : $p=0.50\,\mathrm{atm}$ , $T=255\,\mathrm{K}$ . Calcule le volume.
Loi combinée : $V=V_1\times\dfrac{p_1}{p}\times\dfrac{T}{T_1}$ .
$V=5{,}0\times\dfrac{1{,}0}{0{,}50}\times\dfrac{255}{290}=5{,}0\times2\times0{,}879 \approx8.8\,\mathrm{L}$ .
b)
À $15000\,\mathrm{m}$ : $p=0.12\,\mathrm{atm}$ , $T=210\,\mathrm{K}$ . Le ballon a-t-il éclaté ?
$V=5{,}0\times\dfrac{1{,}0}{0{,}12}\times\dfrac{210}{290}\approx5{,}0\times8{,}33\times0{,}724 \approx30\,\mathrm{L}>V_{\max}$ : oui, il a éclaté.
c)
À la température $T=210\,\mathrm{K}$ , sous quelle pression le volume atteint-il exactement $V_{\max}$ ?
$p=p_1\times\dfrac{V_1}{V_{\max}}\times\dfrac{T}{T_1} =1{,}0\times\dfrac{5{,}0}{25}\times\dfrac{210}{290}\approx0.14\,\mathrm{atm}$ : le ballon éclate en dessous de cette pression.

Exercice 9eudiométrie : combustion du méthane

On enflamme $20\,\mathrm{mL}$ de méthane $\ce{CH4}$ avec $60\,\mathrm{mL}$ de dioxygène $\ce{O2}$ , tous deux mesurés dans les mêmes conditions de $p$ et $T$ . L'eau formée est entièrement condensée (volume négligeable) :

\ce{CH4 + 2 O2 -> CO2 + 2 H2O(l)}.

a)
Détermine le réactif limitant.
Volumes $\propto$ moles : $\ce{CH4}$ exige $2\times$ son volume en $\ce{O2}$ .
$20\,\mathrm{mL}$ de $\ce{CH4}$ demandent $2\times20=40\,\mathrm{mL}$ de $\ce{O2}$ . On en dispose de $60\,\mathrm{mL}$ : $\ce{O2}$ est en excès, $\ce{CH4}$ est limitant.
b)
Quel volume de $\ce{O2}$ reste-t-il après réaction ?
$\ce{O2}$ restant : $60-40=20\,\mathrm{mL}$ .
c)
Quel volume de $\ce{CO2}$ se forme ?
$\ce{CO2}$ formé : autant que de $\ce{CH4}$ , soit $20\,\mathrm{mL}$ .
d)
Quel est le volume gazeux total à la fin (mêmes $p,T$ ) ?
Gaz final (eau liquide) : $20\,\mathrm{mL}$ ( $\ce{O2}$ ) $+\ 20\,\mathrm{mL}$ ( $\ce{CO2}$ ) $=40\,\mathrm{mL}$ .

Exercice 10lecture d'un cycle sur un diagramme

p

–

V

Une quantité fixe de gaz décrit le cycle $A\to B\to C\to A$ ci-dessous.

a)
Nomme chaque transformation $A\to B$ , $B\to C$ et $C\to A$ .
$A\to B$ : $V=2\,\mathrm{L}$ constant $\Rightarrow$ isochore ; $B\to C$ : $pV=6$ constant ( $3\times2=1\times6$ ) $\Rightarrow$ isotherme ; $C\to A$ : $p=1\,\mathrm{atm}$ constant $\Rightarrow$ isobare.
b)
Classe les trois états par température croissante (on rappelle $pV\propto T$ ).
$pV$ vaut $2$ en $A$ , $6$ en $B$ et $6$ en $C$ . Comme $pV\propto T$ : $T_A<T_B=T_C$ .
c)
Si $T_A=200\,\mathrm{K}$ , calcule $T_B$ et $T_C$ .
$T_B=T_A\dfrac{(pV)_B}{(pV)_A}=200\times\dfrac{6}{2}=600\,\mathrm{K}$ ; $T_C=600\,\mathrm{K}$ (même isotherme que $B$ ).

Exercice 11loi de Gay-Lussac : coefficient de pression

À volume constant, on mesure la pression d'un gaz : $p=1.00\,\mathrm{atm}$ à $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ et $p=1.366\,\mathrm{atm}$ à $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

a)
Montre que ces mesures sont compatibles avec $p=p_0\left(1+\dfrac{\theta}{273}\right)$ , où $p_0$ est la pression à $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
$p_0=1.00\,\mathrm{atm}$ . À $\theta=100$ : $p_0\left(1+\dfrac{100}{273}\right)=1{,}00\times1{,}366 =1.366\,\mathrm{atm}$ : conforme à la mesure.
b)
À quelle température $\theta$ (en ${}^{\circ}\mathrm{C}$ ) ce modèle prédit-il $p=0$ ?
$p=0\Rightarrow 1+\dfrac{\theta}{273}=0\Rightarrow\theta=-273\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
c)
Prédis la pression à $\theta=250\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
$p=1{,}00\left(1+\dfrac{250}{273}\right)=1.92\,\mathrm{atm}$ .
d)
Montre que ce modèle équivaut à l'isochore $\dfrac{p_1}{T_1}=\dfrac{p_2}{T_2}$ avec $T=\theta+273$ .
Avec $T=\theta+273$ : $p=p_0\dfrac{273+\theta}{273}=\dfrac{p_0}{273}\,T$ , donc $\dfrac{p}{T}=\dfrac{p_0}{273}=\text{cste}$ , c'est-à-dire $\dfrac{p_1}{T_1}=\dfrac{p_2}{T_2}$ .

Exercice 12réserve d'une bouteille de plongée

Une bouteille rigide de $12\,\mathrm{L}$ contient de l'air comprimé à $p_1=200\,\mathrm{bar}$ (température supposée constante). L'air respiré est détendu à la pression ambiante.

a)
Quel volume d'air, ramené à $1.0\,\mathrm{bar}$ , la bouteille contient-elle au total ?
Loi de Boyle à $T$ constante : $p\,V$ est conservé.
$V=\dfrac{200\times12}{1{,}0}=2400\,\mathrm{L}$ d'air ramené à $1.0\,\mathrm{bar}$ .
b)
Le plongeur ne l'utilise que jusqu'à une réserve de $50\,\mathrm{bar}$ . Quel volume d'air (à $1.0\,\mathrm{bar}$ ) est réellement disponible ?
Air utilisable : $\dfrac{(200-50)\times12}{1{,}0}=\dfrac{150\times12}{1}=1800\,\mathrm{L}$ à $1.0\,\mathrm{bar}$ .
c)
À $30\,\mathrm{m}$ de profondeur, la pression ambiante vaut $4.0\,\mathrm{bar}$ . À quel volume respirable à cette profondeur ce volume disponible correspond-il ?
À $4.0\,\mathrm{bar}$ : $\dfrac{1800}{4{,}0}=450\,\mathrm{L}$ respirables à $30\,\mathrm{m}$ .

Exercice 13cartouche de gaz : deux lois enchaînées

Une cartouche rigide de volume $V_0=0.30\,\mathrm{L}$ contient un gaz sous $p_1=2.0\,\mathrm{bar}$ à $\theta_1=27\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Sa paroi cède à $p_{\max}=8.0\,\mathrm{bar}$ .

a)
À quelle température (en ${}^{\circ}\mathrm{C}$ ) la cartouche éclate-t-elle (volume constant) ?
Isochore : $T=T_1\dfrac{p_{\max}}{p_1}=300\times\dfrac{8{,}0}{2{,}0}=1200$ K, soit $\theta=1200-273=927\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
b)
Juste avant la rupture, quel volume ce gaz occuperait-il s'il se détendait jusqu'à $1.0\,\mathrm{bar}$ à température alors inchangée ?
Isotherme (Boyle) à cette température : $V=\dfrac{p_{\max}V_0}{p}=\dfrac{8{,}0\times0{,}30}{1{,}0} =2.4\,\mathrm{L}$ .
c)
Explique en une phrase pourquoi il ne faut jamais jeter une telle cartouche au feu.
Au feu, la température grimpe fortement : à volume constant, la pression monte proportionnellement et dépasse vite $p_{\max}$ , ce qui fait exploser la cartouche.

Exercice 14gonflage puis chauffage d'un ballon

Un ballon souple travaille à la pression atmosphérique. Initialement : $n_0=0.20\,\mathrm{mol}$ , $V_0=4.8\,\mathrm{L}$ , $T=300\,\mathrm{K}$ .

a)
À $p$ et $T$ constants, on injecte du gaz jusqu'à $n_1=0.35\,\mathrm{mol}$ . Calcule le nouveau volume $V_1$ (Avogadro).
Avogadro : $V_1=V_0\dfrac{n_1}{n_0}=4{,}8\times\dfrac{0{,}35}{0{,}20}=8.4\,\mathrm{L}$ .
b)
Puis, à quantité fixe $n_1$ et à pression constante, on chauffe de $300\,\mathrm{K}$ à $350\,\mathrm{K}$ . Calcule $V_2$ (Charles).
Charles : $V_2=V_1\dfrac{T_2}{T_1}=8{,}4\times\dfrac{350}{300}=9.8\,\mathrm{L}$ .
c)
Par quel facteur le volume a-t-il été multiplié entre l'état initial et l'état final ?
Facteur global : $\dfrac{V_2}{V_0}=\dfrac{9{,}8}{4{,}8}\approx1{,}7$ , soit $\dfrac{n_1}{n_0}\times\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{0{,}35}{0{,}20}\times\dfrac{350}{300}$ .

Revoir le tutoriel de cette mécanique