Fonctions composees

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Facile15 exercices

Exercice 11 — puissance d'une fonction

Dériver $y=(2x+1)^5$ .

Externe : puissance $5$ . Intérieur $U=2x+1$ , donc $U'=2$ . Formule $(U^n)'=nU^{n-1}U'$ :

y'=5(2x+1)^4\cdot 2 = 10(2x+1)^4.

Exercice 22 — sinus et cosinus d'une composée

Dériver $y=\sin(3x)$ , puis $y=\cos(x^2)$ .

$\bullet$ $U=3x$ , $U'=3$ , formule $(\sin U)'=U'\cos U$ :

y'=3\cos(3x).

$\bullet$ $U=x^2$ , $U'=2x$ , formule $(\cos U)'=-U'\sin U$ :

y'=-2x\sin(x^2).

Exercice 33 — exponentielle composée

Dériver $y=e^{2x}$ , puis $y=e^{-x^2}$ .

$\bullet$ $U=2x$ , $U'=2$ , formule $(e^U)'=U'e^U$ :

y'=2e^{2x}.

$\bullet$ $U=-x^2$ , $U'=-2x$ :

y'=-2x\,e^{-x^2}.

Exercice 44 — logarithme composé

Dériver $y=\ln(x^2+1)$ .

$U=x^2+1$ , $U'=2x$ , formule $(\ln U)'=\dfrac{U'}{U}$ :

y'=\frac{2x}{x^2+1}.

(Défini sur $\mathbb{R}$ car $x^2+1>0$ .)

Exercice 55 — racine composée

Dériver $y=\sqrt{x^2+1}$ .

$U=x^2+1$ , $U'=2x$ , formule $(\sqrt U)'=\dfrac{U'}{2\sqrt U}$ :

y'=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.

Exercice 66 — puissance d'une fonction affine

a)
Dériver $y=(3x-4)^7$ .
$U=3x-4$ , $U'=3$ , $(U^n)'=nU^{n-1}U'$ : $y'=7(3x-4)^6\cdot 3=21(3x-4)^6$ .
b)
Dériver $y=(1-x^2)^4$ .
$U=1-x^2$ , $U'=-2x$ : $y'=4(1-x^2)^3\cdot(-2x)=-8x(1-x^2)^3$ .

Exercice 77 — racine carrée composée

a)
Dériver $y=\sqrt{4x+3}$ (préciser le domaine).
$U=4x+3$ , $U'=4$ , $(\sqrt U)'=\dfrac{U'}{2\sqrt U}$ : $y'=\dfrac{4}{2\sqrt{4x+3}}=\dfrac{2}{\sqrt{4x+3}}$ , pour $x>-\tfrac34$ .
b)
Dériver $y=\sqrt{1-x}$ (préciser le domaine).
$U=1-x$ , $U'=-1$ : $y'=\dfrac{-1}{2\sqrt{1-x}}$ , pour $x<1$ .

Exercice 88 — exponentielle composée

a)
Dériver $y=e^{5x+1}$ .
$U=5x+1$ , $U'=5$ , $(e^U)'=U'e^U$ : $y'=5e^{5x+1}$ .
b)
Dériver $y=e^{x^3}$ .
$U=x^3$ , $U'=3x^2$ : $y'=3x^2 e^{x^3}$ .

Exercice 99 — logarithme composé

a)
Dériver $y=\ln(3x+2)$ .
$U=3x+2$ , $U'=3$ , $(\ln U)'=\dfrac{U'}{U}$ : $y'=\dfrac{3}{3x+2}$ (pour $x>-\tfrac23$ ).
b)
Dériver $y=\ln(5x)$ et commenter le résultat.
$U=5x$ , $U'=5$ : $y'=\dfrac{5}{5x}=\dfrac{1}{x}$ . La constante multiplicative $5$ disparaît, car $\ln(5x)=\ln 5+\ln x$ a la même dérivée que $\ln x$ .

Exercice 1010 — sinus et cosinus composés

a)
Dériver $y=\sin(4x-1)$ .
$U=4x-1$ , $U'=4$ , $(\sin U)'=U'\cos U$ : $y'=4\cos(4x-1)$ .
b)
Dériver $y=\cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right)$ .
$U=\dfrac{x}{2}$ , $U'=\dfrac12$ , $(\cos U)'=-U'\sin U$ : $y'=-\dfrac12\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)$ .

Exercice 1111 — fonction inverse (puissance

-1

)

a)
Dériver $y=\dfrac{1}{2x+1}$ en écrivant $y=(2x+1)^{-1}$ .
$y=(2x+1)^{-1}$ : $y'=-1\,(2x+1)^{-2}\cdot 2=-\dfrac{2}{(2x+1)^2}$ .
b)
Dériver $y=\dfrac{1}{(x^2+1)^2}$ .
$y=(x^2+1)^{-2}$ : $y'=-2(x^2+1)^{-3}\cdot 2x=-\dfrac{4x}{(x^2+1)^3}$ .

Exercice 1212 — exposant fractionnaire

a)
Dériver $y=(x^2+1)^{3/2}$ .
$y'=\dfrac32(x^2+1)^{1/2}\cdot 2x=3x\sqrt{x^2+1}$ .
b)
Dériver $y=(x^3+1)^{2/3}$ .
$y'=\dfrac23(x^3+1)^{-1/3}\cdot 3x^2=\dfrac{2x^2}{\sqrt[3]{x^3+1}}$ .

Exercice 1313 — décroissance exponentielle (situation)

La concentration d'un médicament (en mg/L) est $C(t)=5\,e^{-0{,}4t}$ , où $t\ge 0$ est en heures.

a)
Calculer $C'(t)$ .
$U=-0{,}4t$ , $U'=-0{,}4$ : $C'(t)=5\cdot(-0{,}4)e^{-0{,}4t}=-2\,e^{-0{,}4t}$ .
b)
Déduire du signe de $C'(t)$ le sens de variation de $C$ .
$e^{-0{,}4t}>0$ , donc $C'(t)<0$ : la concentration est strictement décroissante (le médicament s'élimine).

Exercice 1414 — oscillations (situation)

a)
L'élongation d'un ressort est $h(t)=2\sin(3t)$ . Calculer $h'(t)$ .
$U=3t$ , $U'=3$ : $h'(t)=2\cdot 3\cos(3t)=6\cos(3t)$ .
b)
Calculer la dérivée de $g(t)=1+\cos(2t)$ .
$g'(t)=-2\sin(2t)$ (la constante $1$ disparaît).

Exercice 1515 — racine d'un trinôme et domaine

Soit $y=\sqrt{9-x^2}$ .

a)
Déterminer le domaine de définition, puis le domaine de dérivabilité.
$9-x^2\ge 0\iff x\in[-3,3]$ : domaine de définition. La racine n'est pas dérivable là où $9-x^2=0$ , d'où la dérivabilité sur $]-3,3[$ .
b)
Calculer $y'$ .
$U=9-x^2$ , $U'=-2x$ : $y'=\dfrac{-2x}{2\sqrt{9-x^2}}=\dfrac{-x}{\sqrt{9-x^2}}$ .

Moyen15 exercices

Exercice 11 — fonctions réciproques composées

Dériver $y=\operatorname{arctg}(3x)$ , puis $y=\arcsin(x^2)$ .

$\bullet$ $U=3x$ , $U'=3$ , formule $(\operatorname{arctg} U)'=\dfrac{U'}{1+U^2}$ :

y'=\frac{3}{1+(3x)^2}=\frac{3}{1+9x^2}.

$\bullet$ $U=x^2$ , $U'=2x$ , formule $(\arcsin U)'=\dfrac{U'}{\sqrt{1-U^2}}$ :

y'=\frac{2x}{\sqrt{1-(x^2)^2}}=\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}.

Exercice 22 — base quelconque

Dériver $y=\log_{10}(x)$ , puis $y=2^{x}$ .

$\bullet$ Formule $(\log_a U)'=\dfrac{U'}{U\ln a}$ avec $U=x$ , $U'=1$ , $a=10$ :

y'=\frac{1}{x\ln 10}.

$\bullet$ Formule $(a^U)'=U'\,a^U\ln a$ avec $U=x$ , $U'=1$ , $a=2$ :

y'=2^{x}\ln 2.

Exercice 33 — tangente et cotangente composées

Dériver $y=\operatorname{tg}(2x)$ , puis $y=\operatorname{cotg}(x)$ .

$\bullet$ $U=2x$ , $U'=2$ , formule $(\operatorname{tg} U)'=\dfrac{U'}{\cos^2 U}$ :

y'=\frac{2}{\cos^2(2x)}.

$\bullet$ $U=x$ , $U'=1$ , formule $(\operatorname{cotg} U)'=-\dfrac{U'}{\sin^2 U}$ :

y'=-\frac{1}{\sin^2 x}.

Exercice 44 — produit et exponentielle

Dériver $y=x^2 e^{x}$ .

Règle du produit $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u=x^2$ ( $u'=2x$ ) et $v=e^x$ ( $v'=e^x$ ) :

y'=2x\,e^x+x^2 e^x = x(2+x)e^x.

Exercice 55 — produit de deux composées

Dériver $y=e^{x}\sin(x)$ .

Règle du produit avec $u=e^x$ ( $u'=e^x$ ) et $v=\sin x$ ( $v'=\cos x$ ) :

y'=e^x\sin x + e^x\cos x = e^x(\sin x+\cos x).

Exercice 66 — quotient et chaîne

a)
Dériver $y=\dfrac{e^{2x}}{x+1}$ .
Quotient $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u=e^{2x}$ ( $u'=2e^{2x}$ ), $v=x+1$ :
$y'=\frac{2e^{2x}(x+1)-e^{2x}}{(x+1)^2}=\frac{(2x+1)e^{2x}}{(x+1)^2}.$
b)
Dériver $y=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ .
$y=x(x^2+1)^{-1/2}$ (produit) :
$y'=(x^2+1)^{-1/2}+x\cdot\!\left(-\tfrac12\right)(x^2+1)^{-3/2}\cdot 2x =\frac{(x^2+1)-x^2}{(x^2+1)^{3/2}}=\frac{1}{(x^2+1)^{3/2}}.$

Exercice 77 — produit et exponentielle composée

a)
Dériver $y=x\,e^{-x^2}$ .
$u=x$ , $v=e^{-x^2}$ ( $v'=-2x\,e^{-x^2}$ ) : $y'=e^{-x^2}+x(-2x\,e^{-x^2})=(1-2x^2)e^{-x^2}$ .
b)
Dériver $y=(2x+1)e^{3x}$ .
$u=2x+1$ ( $u'=2$ ), $v=e^{3x}$ ( $v'=3e^{3x}$ ) : $y'=2e^{3x}+(2x+1)3e^{3x}=(6x+5)e^{3x}$ .

Exercice 88 — puissance et racine d'un trinôme

a)
Dériver $y=(x^2-3x+1)^4$ .
$U=x^2-3x+1$ , $U'=2x-3$ : $y'=4(x^2-3x+1)^3(2x-3)$ .
b)
Dériver $y=\sqrt{x^2+x+1}$ .
$U=x^2+x+1>0$ , $U'=2x+1$ : $y'=\dfrac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}$ .

Exercice 99 — logarithme d'un quotient

Soit $y=\ln\!\dfrac{x-1}{x+1}$ (pour $x>1$ ).

a)
Écrire $y$ comme une différence de deux logarithmes.
$y=\ln(x-1)-\ln(x+1)$ (valable pour $x>1$ ).
b)
En déduire $y'$ et le mettre sur un même dénominateur.
$y'=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{2}{x^2-1}$ .

Exercice 1010 — base quelconque composée

a)
Dériver $y=3^{\,x^2}$ .
$(a^U)'=U'a^U\ln a$ avec $U=x^2$ , $a=3$ : $y'=2x\cdot 3^{x^2}\ln 3$ .
b)
Dériver $y=\log_{2}(x^2+1)$ .
$(\log_a U)'=\dfrac{U'}{U\ln a}$ avec $U=x^2+1$ , $a=2$ : $y'=\dfrac{2x}{(x^2+1)\ln 2}$ .

Exercice 1111 — composée de deux fonctions transcendantes

a)
Dériver $y=\sin(\cos x)$ .
Externe $\sin$ , $U=\cos x$ , $U'=-\sin x$ : $y'=-\sin x\,\cos(\cos x)$ .
b)
Dériver $y=\cos(e^{x})$ .
Externe $\cos$ , $U=e^x$ , $U'=e^x$ : $y'=-e^x\sin(e^x)$ .

Exercice 1212 — fonctions réciproques composées

a)
Dériver $y=\operatorname{arctg}\!\left(\dfrac1x\right)$ (pour $x\neq 0$ ) ; commenter la forme obtenue.
$U=\dfrac1x=x^{-1}$ , $U'=-\dfrac1{x^2}$ , $(\operatorname{arctg} U)'=\dfrac{U'}{1+U^2}$ :
$y'=\frac{-1/x^2}{1+1/x^2}=\frac{-1/x^2}{(x^2+1)/x^2}=-\frac{1}{x^2+1}.$
C'est l'opposé de $(\operatorname{arctg} x)'$ , cohérent avec $\operatorname{arctg} x+\operatorname{arctg}\frac1x=\pm\frac{\pi}{2}$ .
b)
Dériver $y=\arcsin(2x)$ et préciser le domaine.
$U=2x$ , $U'=2$ , $(\arcsin U)'=\dfrac{U'}{\sqrt{1-U^2}}$ : $y'=\dfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$ , pour $x\in\left]-\tfrac12,\tfrac12\right[$ .

Exercice 1313 — carré d'une fonction trigonométrique

a)
Dériver $y=\operatorname{tg}^2 x$ .
$y=(\operatorname{tg} x)^2$ , $(F^2)'=2FF'$ avec $F=\operatorname{tg} x$ , $F'=\dfrac1{\cos^2 x}$ : $y'=2\operatorname{tg} x\cdot\dfrac{1}{\cos^2 x}=\dfrac{2\sin x}{\cos^3 x}$ .
b)
Montrer que la dérivée de $y=\ln(\cos x)$ est $-\operatorname{tg} x$ (préciser le domaine).
$U=\cos x$ , $U'=-\sin x$ , $(\ln U)'=\dfrac{U'}{U}$ : $y'=\dfrac{-\sin x}{\cos x}=-\operatorname{tg} x$ , là où $\cos x>0$ .

Exercice 1414 — exponentielle d'une fonction non affine

a)
Dériver $y=e^{1/x}$ (pour $x\neq 0$ ).
$U=\dfrac1x$ , $U'=-\dfrac1{x^2}$ : $y'=-\dfrac{1}{x^2}\,e^{1/x}$ .
b)
Dériver $y=e^{\sqrt{x}}$ (pour $x>0$ ).
$U=\sqrt x$ , $U'=\dfrac1{2\sqrt x}$ : $y'=\dfrac{e^{\sqrt x}}{2\sqrt x}$ .

Exercice 1515 — refroidissement de Newton (situation)

La température d'un café est $T(t)=20+80\,e^{-0{,}1t}$ (pour $t\ge 0$ en minutes, $T$ en degrés Celsius).

a)
Calculer $T'(t)$ .
$U=-0{,}1t$ , $U'=-0{,}1$ : $T'(t)=80\cdot(-0{,}1)e^{-0{,}1t}=-8\,e^{-0{,}1t}$ .
b)
Étudier le signe de $T'(t)$ et interpréter physiquement.
$e^{-0{,}1t}>0$ donc $T'(t)<0$ : la température décroît, le café refroidit et tend vers la température ambiante $20$ (car $e^{-0{,}1t}\to 0$ ).

Difficile14 exercices

Exercice 11 — trois couches : carré

\circ

sinus

\circ

racine

Soit $y=\sin^2\!\big(\sqrt{x}+1\big)$ .

a)
Couche externe (le carré) : justifier que $y'=2\sin(\sqrt x+1)\cdot\big(\sin(\sqrt x+1)\big)'$ .
Externe = le carré. Avec $(F^2)'=2F\cdot F'$ appliqué à $F=\sin(\sqrt x+1)$ :
$y'=2\sin(\sqrt x+1)\cdot\big(\sin(\sqrt x+1)\big)'.$
b)
Couche sinus : montrer que $\big(\sin(\sqrt x+1)\big)'=\dfrac{1}{2\sqrt x}\cos(\sqrt x+1)$ .
Pour $\sin(\sqrt x+1)$ : couche externe $\sin$ , intérieur $U=\sqrt x+1$ avec $U'=\dfrac{1}{2\sqrt x}$ . Donc $(\sin U)'=U'\cos U$ :
$\big(\sin(\sqrt x+1)\big)'=\frac{1}{2\sqrt x}\cos(\sqrt x+1).$
c)
Assembler puis, à l'aide de $2\sin\theta\cos\theta=\sin 2\theta$ , montrer que $y'=\dfrac{1}{2\sqrt x}\,\sin\!\big(2(\sqrt x+1)\big)$ . Préciser le domaine.
On assemble :
$y'=2\sin(\sqrt x+1)\cdot\frac{1}{2\sqrt x}\cos(\sqrt x+1) =\frac{1}{2\sqrt x}\cdot\underbrace{2\sin(\sqrt x+1)\cos(\sqrt x+1)}_{=\,\sin(2(\sqrt x+1))}.$
D'où, avec $2\sin\theta\cos\theta=\sin 2\theta$ ( $\theta=\sqrt x+1$ ) :
$\boxed{\,y'=\frac{\sin\big(2(\sqrt x+1)\big)}{2\sqrt x}\,}\qquad\text{pour } x>0$
(on exclut $x=0$ car $\sqrt x$ y est non dérivable et le dénominateur s'annule).

Exercice 22 — racine

\circ

logarithme

\circ

cosinus

Soit $y=\sqrt{\ln(\cos x+2)}$ .

a)
Réécrire $y=\big(\ln(\cos x+2)\big)^{1/2}$ et dériver la couche puissance $\tfrac12$ .
On écrit $y=\big(\ln(\cos x+2)\big)^{1/2}$ . Couche puissance $\tfrac12$ , avec $F=\ln(\cos x+2)$ et $(F^{1/2})'=\dfrac{F'}{2\sqrt F}$ :
$y'=\frac{\big(\ln(\cos x+2)\big)'}{2\sqrt{\ln(\cos x+2)}}.$
b)
Dériver la couche logarithme (poser $U=\cos x+2$ , donner $U'$ ).
Couche $\ln$ : $U=\cos x+2$ , $U'=-\sin x$ , donc $(\ln U)'=\dfrac{U'}{U}$ :
$\big(\ln(\cos x+2)\big)'=\frac{-\sin x}{\cos x+2}.$
c)
Assembler et montrer que $y'=\dfrac{-\sin x}{2(\cos x+2)\sqrt{\ln(\cos x+2)}}$ .
Remarque : $\cos x+2\ge 1>0$ , la racine et le $\ln$ sont bien définis.
On assemble :
$y'=\frac{1}{2\sqrt{\ln(\cos x+2)}}\cdot\frac{-\sin x}{\cos x+2} =\boxed{\,\frac{-\sin x}{2(\cos x+2)\sqrt{\ln(\cos x+2)}}\,}.$
(Comme $\cos x+2\ge 1$ , on a $\ln(\cos x+2)\ge 0$ ; il faut $\ln(\cos x+2)>0$ , soit $\cos x+2>1$ , i.e. $\cos x\neq -1$ .)

Exercice 33 — fonction inconnue

f

Soit $f$ une fonction dérivable.

Montrer que $\big(f^2\big)'=2f'f$ (par la règle du produit ou la formule $(U^2)'$ ).
Montrer que $\big(3\ln|f|\big)'=\dfrac{3f'}{f}$ (là où $f\neq 0$ ).
Application : $f(x)=x^2+1$ . Calculer $\big(f^2\big)'$ et $\big(3\ln|f|\big)'$ .

a) $f^2=f\cdot f$ . Règle du produit : $(f\cdot f)'=f'f+f f'=2f'f$ . (Ou bien $(U^2)'=2UU'$ avec $U=f$ .) Donc $\big(f^2\big)'=2f'f$ .
b) $\big(\ln|f|\big)'=\dfrac{f'}{f}$ (formule $(\ln|U|)'=U'/U$ ). En multipliant par la constante $3$ : $\big(3\ln|f|\big)'=\dfrac{3f'}{f}$ .
c) $f(x)=x^2+1$ , donc $f'(x)=2x$ .

\big(f^2\big)'=2f'f=2(2x)(x^2+1)=4x(x^2+1),\qquad \big(3\ln|f|\big)'=\frac{3f'}{f}=\frac{6x}{x^2+1}.

Exercice 44 — fonction inconnue

u

et changement de variable

Soit $u$ une fonction dérivable.

On pose $v(x)=u(3x)$ . Montrer que $v'(x)=3u'(3x)$ . Si $u(x)=x^2$ , vérifier que $v'(x)=18x$ .
On pose $v(x)=u\big(\ln(x+1)\big)$ . Exprimer $v'(x)$ .

a) $v(x)=u(3x)$ : externe $u$ , intérieur $U=3x$ avec $U'=3$ . La chaîne donne $v'(x)=u'(3x)\cdot 3=3u'(3x)$ .
Si $u(x)=x^2$ , alors $u'(x)=2x$ , donc $u'(3x)=2(3x)=6x$ et $v'(x)=3\cdot 6x=18x$ .
Vérification directe : $v(x)=u(3x)=(3x)^2=9x^2$ , d'où $v'(x)=18x$ .
b) $v(x)=u\big(\ln(x+1)\big)$ : externe $u$ , intérieur $U=\ln(x+1)$ avec $U'=\dfrac{1}{x+1}$ . Donc

v'(x)=u'\big(\ln(x+1)\big)\cdot\frac{1}{x+1}=\frac{u'\big(\ln(x+1)\big)}{x+1}\qquad(x>-1).

Exercice 55 — dérivée logarithmique

Soit $y=\dfrac{(x+1)^3\sqrt{2x-1}}{(x^2+1)^2}$ , pour $x>\tfrac12$ (donc $y>0$ ).

a)
Écrire $\ln y$ comme une somme de logarithmes.
$\ln y=3\ln(x+1)+\tfrac12\ln(2x-1)-2\ln(x^2+1)$ .
b)
Dériver cette égalité pour obtenir $\dfrac{y'}{y}$ .
En dérivant chaque terme ( $(\ln U)'=U'/U$ ) :
$\frac{y'}{y}=\frac{3}{x+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{2x-1}-2\cdot\frac{2x}{x^2+1} =\frac{3}{x+1}+\frac{1}{2x-1}-\frac{4x}{x^2+1}.$
c)
En déduire $y'$ .
Donc
$y'=\frac{(x+1)^3\sqrt{2x-1}}{(x^2+1)^2} \left(\frac{3}{x+1}+\frac{1}{2x-1}-\frac{4x}{x^2+1}\right).$

Exercice 66 — trois couches : racine

\circ

carré

\circ

logarithme

Soit $y=\sqrt{1+(\ln x)^2}$ , pour $x>0$ .

a)
Couche externe (racine) : écrire $y=\big(1+(\ln x)^2\big)^{1/2}$ et donner $y'$ en fonction de $\big(1+(\ln x)^2\big)'$ .
Avec $F=1+(\ln x)^2$ et $(\sqrt F)'=\dfrac{F'}{2\sqrt F}$ : $y'=\dfrac{\big(1+(\ln x)^2\big)'}{2\sqrt{1+(\ln x)^2}}$ .
b)
Dériver la couche interne $1+(\ln x)^2$ .
$\big(1+(\ln x)^2\big)'=2\ln x\cdot(\ln x)'=2\ln x\cdot\dfrac1x=\dfrac{2\ln x}{x}$ .
c)
Assembler et montrer que $y'=\dfrac{\ln x}{x\sqrt{1+(\ln x)^2}}$ .
En assemblant :
$y'=\frac{1}{2\sqrt{1+(\ln x)^2}}\cdot\frac{2\ln x}{x} =\frac{\ln x}{x\sqrt{1+(\ln x)^2}}.$

Exercice 77 — tangente à une composée

Soit $f(x)=\sqrt{x^2+9}$ , définie sur $\mathbb{R}$ . On s'intéresse au point d'abscisse $x_0=4$ .

a)
Calculer $f'(x)$ , puis $f(4)$ et $f'(4)$ .
$U=x^2+9$ , $U'=2x$ : $f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+9}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}$ . Ainsi $f(4)=\sqrt{25}=5$ et $f'(4)=\dfrac{4}{5}$ .
b)
En déduire l'équation de la tangente $\mathcal T$ à la courbe au point d'abscisse $4$ .
$\mathcal T:\ y=f(4)+f'(4)(x-4)=5+\dfrac45(x-4)=\dfrac45 x+\dfrac95$ .
c)
La figure ci-dessous représente $f$ et sa tangente en $x=4$ ; vérifier la cohérence (pente et ordonnée à l'origine).
Pente $\tfrac45=0{,}8$ et ordonnée à l'origine $\tfrac95=1{,}8$ : c'est bien la droite tracée, qui touche la courbe au point $(4,5)$ .

Exercice 88 — chaîne avec une fonction inconnue (valeurs numériques)

Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f(2)=5$ et $f'(2)=-1$ . Calculer, en fonction de ces données :

a)
$g'(2)$ où $g(x)=f(3x-4)$ .
$g(x)=f(3x-4)$ , $g'(x)=3f'(3x-4)$ . En $x=2$ : $3x-4=2$ , donc $g'(2)=3f'(2)=3(-1)=-3$ .
b)
$h'(2)$ où $h(x)=\big(f(x)\big)^3$ .
$h(x)=\big(f(x)\big)^3$ , $h'(x)=3\big(f(x)\big)^2 f'(x)$ : $h'(2)=3\cdot 5^2\cdot(-1)=-75$ .
c)
$k'(2)$ où $k(x)=e^{f(x)}$ .
$k(x)=e^{f(x)}$ , $k'(x)=f'(x)e^{f(x)}$ : $k'(2)=(-1)e^{5}=-e^{5}$ .

Exercice 99 — dérivée seconde et points d'inflexion

Soit $y=e^{-x^2}$ (la « courbe en cloche »).

a)
Calculer $y'$ .
$U=-x^2$ , $U'=-2x$ : $y'=-2x\,e^{-x^2}$ .
b)
Calculer $y''$ et montrer que $y''=(4x^2-2)e^{-x^2}$ .
$y''=\big(-2x\,e^{-x^2}\big)'=-2e^{-x^2}+(-2x)(-2x)e^{-x^2} =(-2+4x^2)e^{-x^2}=(4x^2-2)e^{-x^2}$ .
c)
En déduire les abscisses des points d'inflexion.
$e^{-x^2}>0$ , donc $y''=0\iff 4x^2-2=0\iff x=\pm\dfrac{1}{\sqrt2}=\pm\dfrac{\sqrt2}{2}$ . $y''$ change de signe en ces points : ce sont deux points d'inflexion.

Exercice 1010 — arc sinus d'une racine

Soit $y=\arcsin(\sqrt{x})$ .

a)
Déterminer le domaine de définition, puis de dérivabilité.
Il faut $x\ge 0$ (racine) et $\sqrt x\le 1$ , soit $x\le 1$ : domaine $[0,1]$ . Dérivabilité sur $]0,1[$ ( $\sqrt{\ }$ non dérivable en $0$ , $\arcsin$ non dérivable en $1$ ).
b)
Calculer $y'$ (deux couches : $\arcsin$ puis $\sqrt{\ }$ ).
$F=\sqrt x$ , $F'=\dfrac1{2\sqrt x}$ , $(\arcsin F)'=\dfrac{F'}{\sqrt{1-F^2}}$ : $y'=\dfrac{1/(2\sqrt x)}{\sqrt{1-x}}$ .
c)
Simplifier $y'$ sous la forme $\dfrac{1}{2\sqrt{x-x^2}}$ .
$y'=\dfrac{1}{2\sqrt x\,\sqrt{1-x}}=\dfrac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}=\dfrac{1}{2\sqrt{x-x^2}}$ .

Exercice 1111 — optimisation : rectangle inscrit dans un demi-disque

Un rectangle est inscrit dans un demi-disque de rayon $2$ , sa base reposant sur le diamètre. Si $x\in\,]0,2[$ désigne la demi-largeur, sa hauteur vaut $\sqrt{4-x^2}$ et son aire $A(x)=2x\sqrt{4-x^2}$ .

a)
Calculer $A'(x)$ et montrer que $A'(x)=\dfrac{4(2-x^2)}{\sqrt{4-x^2}}$ .
Produit avec $u=2x$ ( $u'=2$ ) et $v=\sqrt{4-x^2}$ ( $v'=\dfrac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}=\dfrac{-x}{\sqrt{4-x^2}}$ ) :
$A'(x)=2\sqrt{4-x^2}+2x\cdot\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}} =\frac{2(4-x^2)-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}=\frac{4(2-x^2)}{\sqrt{4-x^2}}.$
b)
Résoudre $A'(x)=0$ sur $]0,2[$ .
Sur $]0,2[$ , $\sqrt{4-x^2}>0$ , donc $A'(x)=0\iff 2-x^2=0\iff x=\sqrt2$ .
c)
En déduire l'aire maximale.
$A'$ est positive avant $\sqrt2$ et négative après : maximum en $x=\sqrt2$ . $A(\sqrt2)=2\sqrt2\cdot\sqrt{4-2}=2\sqrt2\cdot\sqrt2=4$ . Aire maximale $=4$ .

Exercice 1212 — modèle logistique

La taille d'une population est $P(t)=\dfrac{1000}{1+9\,e^{-0{,}5t}}$ (pour $t\ge 0$ ).

a)
Calculer $P'(t)$ (quotient et chaîne).
$P=1000\big(1+9e^{-0{,}5t}\big)^{-1}$ . Avec $D=1+9e^{-0{,}5t}$ , $D'=9\cdot(-0{,}5)e^{-0{,}5t}=-4{,}5\,e^{-0{,}5t}$ :
$P'=-1000\,D^{-2}D'=\frac{4500\,e^{-0{,}5t}}{\big(1+9e^{-0{,}5t}\big)^{2}}.$
b)
Justifier que $P$ est strictement croissante.
$e^{-0{,}5t}>0$ et le dénominateur est un carré $>0$ , donc $P'(t)>0$ : $P$ est strictement croissante.
c)
Montrer que $P'=\dfrac{0{,}5}{1000}\,P\,(1000-P)$ (équation logistique).
$1000-P=\dfrac{9000\,e^{-0{,}5t}}{1+9e^{-0{,}5t}}$ , donc
$\frac{0{,}5}{1000}\,P\,(1000-P) =\frac{0{,}5}{1000}\cdot\frac{1000}{1+9e^{-0{,}5t}}\cdot\frac{9000\,e^{-0{,}5t}}{1+9e^{-0{,}5t}} =\frac{4500\,e^{-0{,}5t}}{\big(1+9e^{-0{,}5t}\big)^{2}}=P'.$

Exercice 1313 — une identité obtenue par dérivation

Soit $y=\ln\!\big(\operatorname{tg}(x/2)\big)$ , pour $x\in\,]0,\pi[$ .

a)
Justifier que $y$ est bien défini sur $]0,\pi[$ .
Pour $x\in\,]0,\pi[$ , on a $x/2\in\,]0,\pi/2[$ , donc $\operatorname{tg}(x/2)>0$ : le logarithme est défini.
b)
Calculer $y'$ (chaîne : $\ln$ , puis $\operatorname{tg}$ , puis $x/2$ ).
$U=\operatorname{tg}(x/2)$ , $U'=\dfrac12\cdot\dfrac{1}{\cos^2(x/2)}$ , $(\ln U)'=\dfrac{U'}{U}$ :
$y'=\frac{\tfrac12\big/\cos^2(x/2)}{\operatorname{tg}(x/2)} =\frac{1}{2\cos^2(x/2)}\cdot\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} =\frac{1}{2\sin(x/2)\cos(x/2)}.$
c)
Simplifier et montrer que $y'=\dfrac{1}{\sin x}$ .
Or $2\sin(x/2)\cos(x/2)=\sin x$ , donc $y'=\dfrac{1}{\sin x}$ .

Exercice 1414 — étude complète de

\ln(1+x^2)

Soit $f(x)=\ln(1+x^2)$ , définie sur $\mathbb{R}$ .

a)
Calculer $f'(x)$ et étudier son signe (sens de variation).
$U=1+x^2$ , $U'=2x$ : $f'(x)=\dfrac{2x}{1+x^2}$ . Le dénominateur est $>0$ , donc $f'(x)$ a le signe de $x$ : $f$ décroît sur $]-\infty,0]$ , croît sur $[0,+\infty[$ (minimum $f(0)=0$ ).
b)
Calculer $f''(x)$ et déterminer les intervalles de convexité.
$f''(x)=\dfrac{2(1+x^2)-2x\cdot 2x}{(1+x^2)^2}=\dfrac{2-2x^2}{(1+x^2)^2} =\dfrac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}$ : elle est $>0$ sur $]-1,1[$ (convexe) et $<0$ sur $]-\infty,-1[\,\cup\,]1,+\infty[$ (concave).
c)
Donner les abscisses des points d'inflexion.
$f''$ s'annule en changeant de signe en $x=-1$ et $x=1$ : deux points d'inflexion.

Revoir le tutoriel de cette mécanique