Mécanique 3 · Tutoriel

Fonctions composees

La mécanique à maîtriser avant de passer aux exercices.

Une fonction composée est une fonction emboîtée dans une autre : $\sin(x^2)$ , c'est la fonction sinus appliquée à $x^2$ . On l'imagine comme un oignon : plusieurs couches superposées. Pour dériver, on épluche de l'extérieur vers l'intérieur.

À retenirle principe des pelures d'oignon

On note $U$ la quantité intérieure (ce qui est « emballé »). On dérive la couche externe en gardant $U$ intact, puis on multiplie par $U'$ , la dérivée de l'intérieur. Mini-formulaire :

(U^n)'=nU^{\,n-1}U' \qquad (\sqrt{U})'=\frac{U'}{2\sqrt U} \qquad (e^{U})'=U'\,e^{U} \qquad (a^{U})'=U'\,a^{U}\ln a

(\ln U)'=\frac{U'}{U} \qquad (\log_a U)'=\frac{U'}{U\ln a} \qquad (\sin U)'=U'\cos U \qquad (\cos U)'=-\,U'\sin U

(\operatorname{tg} U)'=\frac{U'}{\cos^2 U} \qquad (\operatorname{cotg} U)'=-\frac{U'}{\sin^2 U} \qquad (\operatorname{arctg} U)'=\frac{U'}{1+U^2}

(\arcsin U)'=\frac{U'}{\sqrt{1-U^2}} \qquad (\arccos U)'=-\frac{U'}{\sqrt{1-U^2}}

Dans chaque formule, le facteur $U'$ est la signature de la composée.

Méthodedériver une composée en 4 étapes

Repérer les couches : quelle est la fonction externe (celle du dessus) ? Que contient-elle ? On pose $U=$ l'intérieur.
Dériver l'externe avec la formule adaptée, en gardant $U$ tel quel.
Multiplier par $U'$ (dérivée de l'intérieur). S'il reste des couches dans $U$ , on recommence les étapes 1–3 sur $U$ .
Assembler et simplifier le produit obtenu.

Piègeon oublie presque toujours le facteur $U'$ !

C'est l'erreur numéro un. On dérive l'enveloppe mais on oublie de multiplier par la dérivée de l'intérieur.

(\sin x^2)' = 2x\cos x^2 \quad\text{et non}\quad \cos x^2 ;\qquad (f^2)' = 2f'f \quad\text{et non}\quad 2f.

Réflexe : après avoir dérivé la couche externe, demande-toi toujours « et l'intérieur, quelle est sa dérivée ? » — puis multiplie.

Exemple $y=\sin(x^2)$

Couche externe : le sinus. Intérieur : $U=x^2$ , donc $U'=2x$ .
Formule $(\sin U)'=U'\cos U$ :

y' = \underbrace{2x}_{U'}\cdot \underbrace{\cos(x^2)}_{\cos U} = 2x\cos(x^2).

Exemple $y=\sqrt{x^2+1}$

Couche externe : la racine. Intérieur : $U=x^2+1$ , donc $U'=2x$ .
Formule $(\sqrt U)'=\dfrac{U'}{2\sqrt U}$ :

y' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.

Ensuite, 3 niveaux d'exercices :

FacileMoyenDifficile

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