Formulaire de derivation

Les trois niveaux s'enchaînent. Clique sur « Corrigé » pour révéler la solution d'une seule question.

Facile15 exercices

Exercice 11 — dérivée d'une constante

Dériver $\;y=12$ .

$y=12$ est une constante, donc

y'=0.

Exercice 22 — puissances entières

Dériver $\;y=x^{6}$ , puis $\;y=4x^{3}$ .

Règle $(x^{n})'=n\,x^{n-1}$ et $(aU)'=aU'$ :

y=x^{6}\ \Rightarrow\ y'=6\,x^{5};\qquad y=4x^{3}\ \Rightarrow\ y'=4\cdot 3\,x^{2}=12\,x^{2}.

Exercice 33 — combinaison de puissances

Dériver $\;y=5x^{4}-3x^{2}+7x-9$ .

On dérive terme à terme (règle de la somme et du multiple) :

y=5x^{4}-3x^{2}+7x-9 \ \Rightarrow\ y'=5\cdot4x^{3}-3\cdot2x+7\cdot1-0=20x^{3}-6x+7.

Exercice 44 — racines réécrites en puissances

Réécrire en puissance, puis dériver : $\;y=\sqrt{x}$ ; $y=\sqrt[3]{x}$ .

a) $y=\sqrt{x}=x^{1/2}$ , donc

y'=\tfrac12\,x^{-1/2}=\frac{1}{2\,x^{1/2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

b) $y=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$ , donc

y'=\tfrac13\,x^{-2/3}=\frac{1}{3\,x^{2/3}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}.

Exercice 55 — inverses réécrits en puissances

Réécrire en puissance, puis dériver : $\;y=\dfrac{1}{x^{3}}$ ; $y=\dfrac{2}{x}$ .

a) $y=\dfrac{1}{x^{3}}=x^{-3}$ , donc

y'=-3\,x^{-4}=-\frac{3}{x^{4}}.

b) $y=\dfrac{2}{x}=2x^{-1}$ , donc

y'=2\cdot(-1)\,x^{-2}=-2\,x^{-2}=-\frac{2}{x^{2}}.

Exercice 66 — coefficients devant les puissances

a)
$y=7x^{5}$
$y'=7\cdot5\,x^{4}=35x^{4}.$
b)
$y=-3x^{8}$
$y'=-3\cdot8\,x^{7}=-24x^{7}.$
c)
$y=\tfrac12\,x^{4}$
$y'=\tfrac12\cdot4\,x^{3}=2x^{3}.$

Exercice 77 — polynôme dérivé terme à terme

a)
$y=2x^{4}-5x^{3}+x-6$
On dérive terme à terme (somme et multiple) :
$y'=8x^{3}-15x^{2}+1.$
b)
$y=9x^{2}-4x+10$
$y'=18x-4.$

Exercice 88 — inverses (exposants négatifs)

Réécris d'abord en puissance de $x$ , puis dérive.

a)
$y=\dfrac{1}{x^{5}}$
$y=x^{-5}\Rightarrow y'=-5x^{-6}=-\dfrac{5}{x^{6}}.$
b)
$y=\dfrac{3}{x^{2}}$
$y=3x^{-2}\Rightarrow y'=-6x^{-3}=-\dfrac{6}{x^{3}}.$
c)
$y=-\dfrac{4}{x}$
$y=-4x^{-1}\Rightarrow y'=4x^{-2}=\dfrac{4}{x^{2}}.$

Exercice 99 — racines réécrites en puissances

Réécris en puissance de $x$ , puis dérive.

a)
$y=\sqrt[4]{x}$
$y=x^{1/4}\Rightarrow y'=\tfrac14 x^{-3/4}=\dfrac{1}{4\sqrt[4]{x^{3}}}.$
b)
$y=\sqrt[3]{x^{2}}$
$y=x^{2/3}\Rightarrow y'=\tfrac23 x^{-1/3}=\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}.$
c)
$y=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$
$y=x^{-1/2}\Rightarrow y'=-\tfrac12 x^{-3/2}=-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}.$

Exercice 1010 — coefficient et somme avec racine

a)
$y=6\sqrt{x}$
$y=6x^{1/2}\Rightarrow y'=6\cdot\tfrac12 x^{-1/2}=3x^{-1/2}=\dfrac{3}{\sqrt{x}}.$
b)
$y=\sqrt{x}+x$
$y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+1.$

Exercice 1111 — puissances fractionnaires directes

a)
$y=x^{3/2}$
$y'=\tfrac32 x^{1/2}=\tfrac32\sqrt{x}.$
b)
$y=x^{5/2}$
$y'=\tfrac52 x^{3/2}.$

Exercice 1212 — puissances et inverses mélangés

a)
$y=x^{3}-\dfrac{2}{x^{2}}$
$y=x^{3}-2x^{-2}\Rightarrow y'=3x^{2}+4x^{-3}=3x^{2}+\dfrac{4}{x^{3}}.$
b)
$y=5x^{2}+\dfrac{1}{x}$
$y=5x^{2}+x^{-1}\Rightarrow y'=10x-x^{-2}=10x-\dfrac{1}{x^{2}}.$

Exercice 1313 — racine et puissance dans la même somme

a)
$y=4\sqrt{x}-x^{3}$
$y'=4\cdot\tfrac12 x^{-1/2}-3x^{2}=\dfrac{2}{\sqrt{x}}-3x^{2}.$
b)
$y=\sqrt[3]{x}+x^{2}$
$y=x^{1/3}+x^{2}\Rightarrow y'=\tfrac13 x^{-2/3}+2x=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}+2x.$

Exercice 1414 — simplifier avant de dériver

Simplifie l'écriture en une seule puissance, puis dérive.

a)
$y=\dfrac{x^{5}}{x^{2}}$
On simplifie l'exposant, puis on applique $(x^{n})'=n\,x^{n-1}$ :
$y=x^{5-2}=x^{3}\Rightarrow y'=3x^{2}.$
b)
$y=\dfrac{x^{6}}{x^{4}}$
$y=x^{6-4}=x^{2}\Rightarrow y'=2x.$
c)
$y=\dfrac{3x^{4}}{x}$
$y=3x^{4-1}=3x^{3}\Rightarrow y'=9x^{2}.$

Exercice 1515 — constante sur une racine

Réécris en puissance de $x$ , puis dérive.

a)
$y=\dfrac{2}{\sqrt{x}}$
$y=2x^{-1/2}\Rightarrow y'=2\cdot\left(-\tfrac12\right)x^{-3/2}=-x^{-3/2}=-\dfrac{1}{x\sqrt{x}}.$
b)
$y=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}$
$y=x^{-1/3}\Rightarrow y'=-\tfrac13 x^{-4/3}=-\dfrac{1}{3x\sqrt[3]{x}}.$

Moyen15 exercices

Exercice 11 — règle du produit

Dériver $\;y=(x^{2}+1)(x-3)$ à l'aide de la règle du produit.

On pose $U=x^{2}+1$ et $V=x-3$ , donc $U'=2x$ et $V'=1$ .

y'=U'V+UV'=2x\,(x-3)+(x^{2}+1)\cdot 1 =2x^{2}-6x+x^{2}+1=3x^{2}-6x+1.

Exercice 22 — produit avec racine

Dériver $\;y=x\sqrt{x}$ par la règle du produit, puis vérifier le résultat en réécrivant $y=x^{3/2}$ .

On pose $U=x$ et $V=\sqrt{x}=x^{1/2}$ , donc $U'=1$ et $V'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ .

y'=U'V+UV'=\sqrt{x}+x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} =\sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{2}=\frac{3}{2}\sqrt{x}.

Vérification : $y=x\cdot x^{1/2}=x^{3/2}\Rightarrow y'=\tfrac32 x^{1/2}=\tfrac32\sqrt{x}$ .

Exercice 33 — quotient affine

Dériver $\;y=\dfrac{2x-1}{x+3}$ .

On pose $U=2x-1$ et $V=x+3$ , donc $U'=2$ et $V'=1$ .

y'=\frac{U'V-UV'}{V^{2}} =\frac{2\,(x+3)-(2x-1)\cdot 1}{(x+3)^{2}} =\frac{2x+6-2x+1}{(x+3)^{2}}=\frac{7}{(x+3)^{2}}.

Exercice 44 — quotient avec carré

Dériver $\;y=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+1}$ .

On pose $U=x^{2}$ et $V=x^{2}+1$ , donc $U'=2x$ et $V'=2x$ .

y'=\frac{U'V-UV'}{V^{2}} =\frac{2x\,(x^{2}+1)-x^{2}\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{2x^{3}+2x-2x^{3}}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}.

Exercice 55 — quotient affine

Dériver $\;y=\dfrac{x+1}{x-1}$ .

On pose $U=x+1$ et $V=x-1$ , donc $U'=1$ et $V'=1$ .

y'=\frac{U'V-UV'}{V^{2}} =\frac{1\cdot(x-1)-(x+1)\cdot 1}{(x-1)^{2}} =\frac{x-1-x-1}{(x-1)^{2}}=\frac{-2}{(x-1)^{2}}.

Exercice 66 — règle du produit

Soit $\;y=(3x+2)(x^{2}-x)$ .

a)
Dériver par la règle du produit.
On pose $U=3x+2$ , $V=x^{2}-x$ , donc $U'=3$ , $V'=2x-1$ .
$y'=U'V+UV'=3(x^{2}-x)+(3x+2)(2x-1)=3x^{2}-3x+6x^{2}+x-2=9x^{2}-2x-2.$
b)
En déduire la valeur de $y'(1)$ .
$y'(1)=9-2-2=5.$

Exercice 77 — produit puissance et binôme

Soit $\;y=x^{3}(2x-5)$ .

a)
Dériver par la règle du produit.
On pose $U=x^{3}$ , $V=2x-5$ , donc $U'=3x^{2}$ , $V'=2$ .
$y'=U'V+UV'=3x^{2}(2x-5)+x^{3}\cdot2=6x^{3}-15x^{2}+2x^{3}=8x^{3}-15x^{2}.$
b)
Vérifier en développant $y$ avant de dériver.
En développant : $y=2x^{4}-5x^{3}$ , d'où $y'=8x^{3}-15x^{2}$ .

Exercice 88 — produit avec racine

Soit $\;y=(x+1)\sqrt{x}$ .

a)
Dériver par la règle du produit.
On pose $U=x+1$ , $V=\sqrt{x}=x^{1/2}$ , donc $U'=1$ , $V'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ .
$y'=U'V+UV'=\sqrt{x}+\dfrac{x+1}{2\sqrt{x}}.$
b)
Réduire au même dénominateur $2\sqrt{x}$ .
Avec $\sqrt{x}=\dfrac{2x}{2\sqrt{x}}$ : $\;y'=\dfrac{2x+x+1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{3x+1}{2\sqrt{x}}.$

Exercice 99 — quotient polynôme sur affine

Soit $\;y=\dfrac{x^{2}-1}{x+2}$ .

a)
Dériver par la règle du quotient.
On pose $U=x^{2}-1$ , $V=x+2$ , donc $U'=2x$ , $V'=1$ .
$y'=\dfrac{U'V-UV'}{V^{2}}=\dfrac{2x(x+2)-(x^{2}-1)}{(x+2)^{2}}=\dfrac{x^{2}+4x+1}{(x+2)^{2}}.$
b)
Calculer $y'(0)$ .
$y'(0)=\dfrac{1}{4}.$

Exercice 1010 — quotient d'une constante

Soit $\;y=\dfrac{3}{x^{2}+1}$ .

a)
Dériver par la règle du quotient.
On pose $U=3$ , $V=x^{2}+1$ , donc $U'=0$ , $V'=2x$ .
$y'=\dfrac{0\cdot(x^{2}+1)-3\cdot2x}{(x^{2}+1)^{2}}=\dfrac{-6x}{(x^{2}+1)^{2}}.$
b)
Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $y'=0$ ?
$y'=0\iff -6x=0\iff x=0.$

Exercice 1111 — quotient et point d'annulation

Soit $\;y=\dfrac{2x}{x^{2}+1}$ .

a)
Dériver par la règle du quotient.
On pose $U=2x$ , $V=x^{2}+1$ , donc $U'=2$ , $V'=2x$ .
$y'=\dfrac{2(x^{2}+1)-2x\cdot2x}{(x^{2}+1)^{2}}=\dfrac{2-2x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.$
b)
Calculer $y'(1)$ .
$y'(1)=\dfrac{2-2}{4}=0.$

Exercice 1212 — produit et pente de la tangente

La parabole ci-dessous est la courbe de $\;f(x)=(x-1)(x-3)$ .

a)
Dériver $f$ par la règle du produit.
On pose $U=x-1$ , $V=x-3$ , donc $U'=1$ , $V'=1$ .
$f'(x)=U'V+UV'=(x-3)+(x-1)=2x-4.$
b)
Calculer $f'(2)$ ; que vaut la pente de la tangente au sommet ?
$f'(2)=0$ : la tangente au sommet $(2,-1)$ est horizontale (pente nulle).

Exercice 1313 — quotient affine et sens de variation

Soit $\;y=\dfrac{5x+2}{x-1}$ .

a)
Dériver par la règle du quotient.
On pose $U=5x+2$ , $V=x-1$ , donc $U'=5$ , $V'=1$ .
$y'=\dfrac{5(x-1)-(5x+2)}{(x-1)^{2}}=\dfrac{5x-5-5x-2}{(x-1)^{2}}=\dfrac{-7}{(x-1)^{2}}.$
b)
En déduire le signe de $y'$ et le sens de variation sur chaque intervalle.
Le numérateur $-7<0$ et $(x-1)^{2}>0$ , donc $y'<0$ : $y$ est strictement décroissante sur $]-\infty,1[$ et sur $]1,+\infty[$ .

Exercice 1414 — règle du produit

Soit $\;y=(x^{2}+3)(2x-1)$ .

a)
Dériver par la règle du produit.
On pose $U=x^{2}+3$ , $V=2x-1$ , donc $U'=2x$ , $V'=2$ .
$y'=U'V+UV'=2x(2x-1)+(x^{2}+3)\cdot2=4x^{2}-2x+2x^{2}+6=6x^{2}-2x+6.$
b)
Vérifier en développant $y$ avant de dériver.
En développant : $y=2x^{3}-x^{2}+6x-3$ , d'où $y'=6x^{2}-2x+6$ .

Exercice 1515 — quotient à numérateur carré

Soit $\;y=\dfrac{x^{2}}{2x-1}$ .

a)
Dériver par la règle du quotient.
On pose $U=x^{2}$ , $V=2x-1$ , donc $U'=2x$ , $V'=2$ .
$y'=\dfrac{2x(2x-1)-x^{2}\cdot2}{(2x-1)^{2}}=\dfrac{2x^{2}-2x}{(2x-1)^{2}}=\dfrac{2x(x-1)}{(2x-1)^{2}}.$
b)
Calculer $y'(1)$ .
$y'(1)=\dfrac{2\cdot1\cdot0}{1^{2}}=0.$

Difficile14 exercices

Exercice 11 — produit avec racine et réduction

On considère $\;y=(x^{2}-1)\sqrt{x}$ .

Poser $U$ , $V$ et calculer $U'$ , $V'$ .
Appliquer la règle du produit.
Réduire au même dénominateur pour obtenir $\dfrac{5x^{2}-1}{2\sqrt{x}}$ .

a) $U=x^{2}-1$ et $V=\sqrt{x}=x^{1/2}$ , donc $U'=2x$ et $V'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ .
b) Règle du produit :

y'=U'V+UV'=2x\sqrt{x}+(x^{2}-1)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} =2x\sqrt{x}+\frac{x^{2}-1}{2\sqrt{x}}.

c) On réduit au même dénominateur $2\sqrt{x}$ , en écrivant $2x\sqrt{x}=\dfrac{2x\sqrt{x}\cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=\dfrac{4x^{2}}{2\sqrt{x}}$ (car $\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x$ ) :

y'=\frac{4x^{2}}{2\sqrt{x}}+\frac{x^{2}-1}{2\sqrt{x}} =\frac{4x^{2}+x^{2}-1}{2\sqrt{x}}=\frac{5x^{2}-1}{2\sqrt{x}}.

Exercice 22 — quotient avec développement

On considère $\;y=\dfrac{x^{2}+2x}{x^{2}+1}$ .

Poser $U$ , $V$ , $U'$ , $V'$ .
Appliquer la règle du quotient.
Développer le numérateur pour obtenir $\dfrac{-2x^{2}+2x+2}{(x^{2}+1)^{2}}$ .

a) $U=x^{2}+2x$ et $V=x^{2}+1$ , donc $U'=2x+2$ et $V'=2x$ .
b) Règle du quotient :

y'=\frac{U'V-UV'}{V^{2}} =\frac{(2x+2)(x^{2}+1)-(x^{2}+2x)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}.

c) On développe le numérateur :

(2x+2)(x^{2}+1)=2x^{3}+2x^{2}+2x+2,\qquad (x^{2}+2x)(2x)=2x^{3}+4x^{2},

\text{numérateur}=2x^{3}+2x^{2}+2x+2-2x^{3}-4x^{2}=-2x^{2}+2x+2,

d'où

y'=\frac{-2x^{2}+2x+2}{(x^{2}+1)^{2}}.

Exercice 33 — quotient affine à simplifier

On considère $\;y=\dfrac{3x-2}{2x+1}$ .

a)
Dériver par la règle du quotient.
$U=3x-2$ et $V=2x+1$ , donc $U'=3$ et $V'=2$ :
$y'=\frac{U'V-UV'}{V^{2}}=\frac{3\,(2x+1)-(3x-2)\cdot 2}{(2x+1)^{2}}.$
b)
Simplifier le numérateur pour obtenir $\dfrac{7}{(2x+1)^{2}}$ .
On simplifie le numérateur :
$3(2x+1)-2(3x-2)=6x+3-6x+4=7, \qquad\text{donc}\qquad y'=\frac{7}{(2x+1)^{2}}.$

Exercice 44 — produit vs développement

On considère $\;y=x(x^{2}-4)$ .

a)
Dériver par la règle du produit ; montrer que $y'=3x^{2}-4$ .
Par le produit : $U=x$ et $V=x^{2}-4$ , donc $U'=1$ et $V'=2x$ :
$y'=U'V+UV'=(x^{2}-4)+x\cdot 2x=x^{2}-4+2x^{2}=3x^{2}-4.$
b)
Dériver après développement (en écrivant d'abord $y=x^{3}-4x$ ).
Après développement : $y=x(x^{2}-4)=x^{3}-4x$ , donc
$y'=3x^{2}-4.$
c)
Vérifier que les deux résultats coïncident.
Les deux méthodes donnent le même résultat $3x^{2}-4$ : cohérence confirmée.

Exercice 55 — produit de trois facteurs

Soit $\;y=x(x-1)(x+2)$ .

a)
Grouper $U=x(x-1)$ et $V=x+2$ , puis dériver par la règle du produit.
$U=x(x-1)=x^{2}-x$ (donc $U'=2x-1$ ) et $V=x+2$ (donc $V'=1$ ) :
$y'=U'V+UV'=(2x-1)(x+2)+(x^{2}-x)=2x^{2}+3x-2+x^{2}-x=3x^{2}+2x-2.$
b)
Vérifier en développant $y$ entièrement avant de dériver.
$y=x(x-1)(x+2)=x(x^{2}+x-2)=x^{3}+x^{2}-2x$ , d'où $y'=3x^{2}+2x-2$ .
c)
En admettant la formule $(UVW)'=U'VW+UV'W+UVW'$ , retrouver le résultat.
Avec $U=x$ , $V=x-1$ , $W=x+2$ :
$(UVW)'=U'VW+UV'W+UVW'=(x-1)(x+2)+x(x+2)+x(x-1)=3x^{2}+2x-2.$

Exercice 66 — quotient à numérateur factorisé

Soit $\;y=\dfrac{x(x+1)}{x-1}$ .

a)
Écrire le numérateur sous forme développée.
$x(x+1)=x^{2}+x$ , donc $U=x^{2}+x$ et $V=x-1$ , avec $U'=2x+1$ , $V'=1$ .
b)
Dériver par la règle du quotient et réduire le numérateur.
$\displaystyle y'=\frac{(2x+1)(x-1)-(x^{2}+x)}{(x-1)^{2}}=\frac{2x^{2}-x-1-x^{2}-x}{(x-1)^{2}}=\frac{x^{2}-2x-1}{(x-1)^{2}}.$
c)
Calculer $y'(0)$ .
$y'(0)=\dfrac{-1}{(-1)^{2}}=-1.$

Exercice 77 — quotient avec une racine

Soit $\;y=\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}$ .

a)
Poser $U$ , $V$ , $U'$ , $V'$ .
$U=\sqrt{x}=x^{1/2}$ (donc $U'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ ) et $V=x+1$ (donc $V'=1$ ).
b)
Appliquer la règle du quotient.
$\displaystyle y'=\frac{U'V-UV'}{V^{2}}=\frac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}}{(x+1)^{2}}.$
c)
Réduire le numérateur au dénominateur $2\sqrt{x}$ pour obtenir $\dfrac{1-x}{2\sqrt{x}\,(x+1)^{2}}$ .
Au numérateur, avec $\sqrt{x}=\dfrac{2x}{2\sqrt{x}}$ :
$\frac{x+1}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}=\frac{x+1-2x}{2\sqrt{x}}=\frac{1-x}{2\sqrt{x}}, \qquad\text{donc}\qquad y'=\frac{1-x}{2\sqrt{x}\,(x+1)^{2}}.$

Exercice 88 — dérivée et tangente à l'origine

On considère $\;f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}$ , dont la courbe est tracée ci-dessous.

a)
Dériver $f$ par la règle du quotient.
$U=x$ , $V=x^{2}+1$ , donc $U'=1$ , $V'=2x$ :
$f'(x)=\frac{1\cdot(x^{2}+1)-x\cdot2x}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.$
b)
Calculer $f'(0)$ et donner l'équation de la tangente à la courbe en $O$ .
$f'(0)=\dfrac{1}{1}=1$ et $f(0)=0$ : la tangente en $O$ a pour équation $y=x$ .

Exercice 99 — produit contre réécriture

Soit $\;y=x^{2}\sqrt{x}$ .

a)
Dériver par la règle du produit, puis réduire au même dénominateur.
$U=x^{2}$ , $V=\sqrt{x}$ , donc $U'=2x$ , $V'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ :
$y'=U'V+UV'=2x\sqrt{x}+\frac{x^{2}}{2\sqrt{x}} =\frac{4x^{2}}{2\sqrt{x}}+\frac{x^{2}}{2\sqrt{x}} =\frac{5x^{2}}{2\sqrt{x}}=\frac{5}{2}x^{3/2},$
car $2x\sqrt{x}=\dfrac{4x^{2}}{2\sqrt{x}}$ (puisque $\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x$ ).
b)
Dériver après réécriture $y=x^{5/2}$ .
$y=x^{5/2}\Rightarrow y'=\dfrac{5}{2}x^{3/2}.$
c)
Vérifier que les deux résultats coïncident.
Les deux voies donnent $\dfrac{5}{2}x^{3/2}$ .

Exercice 1010 — quotient et signe de la dérivée

Soit $\;y=\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+1}$ .

a)
Dériver par la règle du quotient.
$U=x^{2}-1$ , $V=x^{2}+1$ , donc $U'=2x$ , $V'=2x$ :
$y'=\frac{2x(x^{2}+1)-(x^{2}-1)\cdot2x}{(x^{2}+1)^{2}}.$
b)
Développer et réduire le numérateur.
Numérateur : $2x^{3}+2x-2x^{3}+2x=4x$ , donc $y'=\dfrac{4x}{(x^{2}+1)^{2}}.$
c)
Étudier le signe de $y'$ et en déduire le sens de variation.
$(x^{2}+1)^{2}>0$ , donc $y'$ a le signe de $x$ : $y$ décroît sur $]-\infty,0]$ et croît sur $[0,+\infty[$ (minimum en $x=0$ ).

Exercice 1111 — quotient contre puissances négatives

Soit $\;y=\dfrac{x+1}{x^{2}}$ .

a)
Dériver par la règle du quotient et simplifier.
$U=x+1$ , $V=x^{2}$ , donc $U'=1$ , $V'=2x$ :
$y'=\frac{1\cdot x^{2}-(x+1)\cdot2x}{(x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}-2x^{2}-2x}{x^{4}}=\frac{-x^{2}-2x}{x^{4}}=-\frac{x+2}{x^{3}}.$
b)
Retrouver le résultat en réécrivant $y=x^{-1}+x^{-2}$ .
$y=x^{-1}+x^{-2}\Rightarrow y'=-x^{-2}-2x^{-3}=-\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{2}{x^{3}}=-\dfrac{x+2}{x^{3}}.$
c)
Vérifier la coïncidence des deux résultats.
Les deux méthodes donnent $-\dfrac{x+2}{x^{3}}$ .

Exercice 1212 — quotient de degré supérieur

Soit $\;y=\dfrac{x^{3}}{x^{2}+1}$ .

a)
Poser $U$ , $V$ , $U'$ , $V'$ , puis appliquer la règle du quotient.
$U=x^{3}$ , $V=x^{2}+1$ , donc $U'=3x^{2}$ , $V'=2x$ :
$y'=\frac{3x^{2}(x^{2}+1)-x^{3}\cdot2x}{(x^{2}+1)^{2}}.$
b)
Développer et réduire le numérateur.
Numérateur : $3x^{4}+3x^{2}-2x^{4}=x^{4}+3x^{2}$ , donc $y'=\dfrac{x^{4}+3x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.$
c)
Factoriser le numérateur et en déduire le signe de $y'$ .
$x^{4}+3x^{2}=x^{2}(x^{2}+3)\ge0$ , donc $y'\ge0$ : $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 1313 — vitesse instantanée

Un mobile se déplace sur un axe ; sa position (en mètres) à l'instant $t$ (en secondes, $t\ge0$ ) est $\;s(t)=t^{3}-6t^{2}+9t$ . Sa courbe est donnée ci-dessous.

a)
La vitesse est $v(t)=s'(t)$ . Calculer $v(t)$ .
$v(t)=s'(t)=3t^{2}-12t+9.$
b)
Déterminer les instants où le mobile est à l'arrêt ( $v=0$ ).
$v=0\iff 3(t^{2}-4t+3)=0\iff (t-1)(t-3)=0\iff t=1\ \text{ou}\ t=3.$
c)
Interpréter ces instants sur la courbe.
À $t=1$ et $t=3$ la vitesse s'annule : le mobile s'arrête et change de sens. Ce sont les sommets de la courbe (maximum local en $t=1$ , minimum local en $t=3$ ).

Exercice 1414 — synthèse : dérivée, extremums, tangente

Soit $\;f(x)=\dfrac{3x}{x^{2}+1}$ .

a)
Dériver $f$ par la règle du quotient et réduire le numérateur.
$U=3x$ , $V=x^{2}+1$ , donc $U'=3$ , $V'=2x$ :
$f'(x)=\frac{3(x^{2}+1)-3x\cdot2x}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{3-3x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{3(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}}.$
b)
Résoudre $f'(x)=0$ .
$f'(x)=0\iff 1-x^{2}=0\iff x=-1\ \text{ou}\ x=1.$
c)
Donner l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $0$ .
$f(0)=0$ et $f'(0)=3$ : la tangente au point d'abscisse $0$ a pour équation $y=3x$ .

Revoir le tutoriel de cette mécanique