Nombre derive taux accroissement

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Facile15 exercices

Exercice 11

Soit $f(x)=x^2$ . Calculer le taux d'accroissement $\tau(h)$ entre $x_0=2$ et $2+h$ , puis simplifier le résultat.

On applique la définition avec $x_0=2$ :

\tau(h)=\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{(2+h)^2-2^2}{h}.

On développe le numérateur : $(2+h)^2-4=4+4h+h^2-4=4h+h^2=h(4+h)$ . D'où

\tau(h)=\frac{h(4+h)}{h}=\boxed{4+h}\qquad(h\neq 0).

Exercice 22

Soit $f(x)=3x+1$ . Calculer le taux d'accroissement $\tau(h)$ en un point $x_0$ quelconque. Que remarque-t-on ?

\tau(h)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =\frac{\big(3(x_0+h)+1\big)-\big(3x_0+1\big)}{h}.

Le numérateur vaut $3x_0+3h+1-3x_0-1=3h$ , donc

\tau(h)=\frac{3h}{h}=\boxed{3}.

Le taux est constant, égal à $3$ : c'est normal, la courbe est une droite de pente $3$ , toutes ses sécantes ont la même pente.

Exercice 33

Soit $f(x)=x^2-x$ . Calculer le taux d'accroissement entre $x_0=1$ et $1+h$ , puis simplifier.

\tau(h)=\frac{f(1+h)-f(1)}{h} =\frac{\big[(1+h)^2-(1+h)\big]-\big[1^2-1\big]}{h}.

Or $f(1)=1-1=0$ et $(1+h)^2-(1+h)=1+2h+h^2-1-h=h+h^2=h(1+h)$ . Donc

\tau(h)=\frac{h(1+h)}{h}=\boxed{1+h}\qquad(h\neq 0).

Exercice 44

Un mobile se déplace : sa position (en mètres) au temps $x$ (en secondes) est donnée par $y=f(x)=x^2$ . Calculer sa vitesse moyenne entre les instants $t=2$ s et $t=5$ s.

La vitesse moyenne entre $t=2$ s et $t=5$ s est le taux d'accroissement entre ces deux instants :

v_{\text{moy}}=\frac{f(5)-f(2)}{5-2}=\frac{5^2-2^2}{3}=\frac{25-4}{3}=\frac{21}{3} =\boxed{7\ \text{m/s}}.

Exercice 55

On considère deux points d'une courbe : $A(1\,;2)$ et $B(4\,;8)$ . Calculer la pente de la sécante $(AB)$ .

La pente de la droite passant par $A(1\,;2)$ et $B(4\,;8)$ est le rapport de la variation des ordonnées sur celle des abscisses :

\text{pente}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{8-2}{4-1}=\frac{6}{3}=\boxed{2}.

Exercice 66

Soit $f(x)=x^2+1$ . Calculer le taux d'accroissement $\tau(h)$ entre $x_0=3$ et $3+h$ , puis simplifier.

\tau(h)=\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{\big[(3+h)^2+1\big]-\big[3^2+1\big]}{h}.

Le numérateur vaut $(9+6h+h^2+1)-10=6h+h^2=h(6+h)$ , donc

\tau(h)=\frac{h(6+h)}{h}=\boxed{6+h}\qquad(h\neq 0).

Exercice 77

Soit $f(x)=x^2-2x$ . Calculer la variation moyenne de $f$ entre $a=0$ et $b=3$ .

Avec $f(0)=0$ et $f(3)=9-6=3$ :

\frac{f(3)-f(0)}{3-0}=\frac{3-0}{3}=\boxed{1}.

Exercice 88

Soit $f(x)=-2x+5$ . Calculer le taux d'accroissement $\tau(h)$ en un point $x_0$ quelconque. Que constate-t-on, et pourquoi ?

\tau(h)=\frac{\big(-2(x_0+h)+5\big)-\big(-2x_0+5\big)}{h}=\frac{-2h}{h}=\boxed{-2}.

Le taux est constant, égal à $-2$ : la courbe est une droite de pente $-2$ (décroissante), toutes ses sécantes ont la même pente.

Exercice 99

On donne deux points d'une courbe : $A(-1\,;3)$ et $B(2\,;-3)$ . Calculer la pente de la sécante $(AB)$ .

\text{pente}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-3-3}{2-(-1)}=\frac{-6}{3}=\boxed{-2}.

Exercice 1010

La position (en mètres) d'un mobile au temps $x$ (en secondes) est $y=f(x)=x^2+x$ . Calculer sa vitesse moyenne entre les instants $t=1$ s et $t=4$ s.

Avec $f(1)=1+1=2$ et $f(4)=16+4=20$ :

v_{\text{moy}}=\frac{f(4)-f(1)}{4-1}=\frac{20-2}{3}=\frac{18}{3}=\boxed{6\ \text{m/s}}.

Exercice 1111

Soit $f(x)=x^2$ . Calculer le taux d'accroissement $\tau(h)$ entre $x_0=-1$ et $-1+h$ , puis simplifier.

\tau(h)=\frac{(-1+h)^2-(-1)^2}{h}=\frac{(1-2h+h^2)-1}{h}=\frac{-2h+h^2}{h} =\boxed{-2+h}\qquad(h\neq 0).

Exercice 1212

Soit $f(x)=x^2$ étudiée au point $x_0=1$ .

a)
Montrer que le taux d'accroissement entre $1$ et $1+h$ vaut $\tau(h)=2+h$ .
$\displaystyle \tau(h)=\frac{(1+h)^2-1^2}{h}=\frac{2h+h^2}{h}=\boxed{2+h}$ .
b)
Calculer $\tau(0{,}1)$ et $\tau(0{,}01)$ ; vers quelle valeur $\tau(h)$ semble-t-il se rapprocher quand $h$ devient très petit ?
$\tau(0{,}1)=2{,}1$ et $\tau(0{,}01)=2{,}01$ . Quand $h$ devient très petit, $\tau(h)=2+h$ se rapproche de $\boxed{2}$ : c'est la pente de la tangente en $1$ .

Exercice 1313

La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous passe par les points $A$ et $B$ à coordonnées entières. Lire leurs coordonnées, puis en déduire la pente de la sécante $(AB)$ .

On lit $A(0\,;1)$ et $B(2\,;5)$ . La pente de la sécante $(AB)$ est

\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{5-1}{2-0}=\frac{4}{2}=\boxed{2}.

Exercice 1414

Soit $f(x)=10-x^2$ . Calculer la variation moyenne de $f$ entre $a=1$ et $b=3$ . Quel est le signe du résultat, et que traduit-il sur $f$ ?

Avec $f(1)=9$ et $f(3)=1$ :

\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{1-9}{2}=\frac{-8}{2}=\boxed{-4}.

Le résultat est négatif : en moyenne, $f$ décroît sur $[1\,;3]$ .

Exercice 1515

Soit $f(x)=x^2+2$ .

a)
Calculer le taux d'accroissement $\tau(h)$ entre $x_0=1$ et $1+h$ , puis simplifier.
$\displaystyle \tau(h)=\frac{\big[(1+h)^2+2\big]-\big[1^2+2\big]}{h} =\frac{2h+h^2}{h}=\boxed{2+h}$ .
b)
En déduire la pente de la sécante joignant les points d'abscisses $1$ et $2$ .
La sécante entre les abscisses $1$ et $2$ correspond à $h=1$ , donc sa pente vaut $\tau(1)=2+1=\boxed{3}$ .

Moyen15 exercices

Exercice 11

Soit $f(x)=x^2$ . Montrer, par la définition (passage à la limite), que $f'(x_0)=2x_0$ .

Taux d'accroissement : $\displaystyle \tau(h)=\frac{(x_0+h)^2-x_0^2}{h}$ .
Numérateur : $(x_0+h)^2-x_0^2=x_0^2+2x_0h+h^2-x_0^2=2x_0h+h^2=h(2x_0+h)$ .
Simplification par $h$ : $\displaystyle \tau(h)=\frac{h(2x_0+h)}{h}=2x_0+h$ .
Limite : $\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to 0}(2x_0+h)=\boxed{2x_0}$ . $\square$

Exercice 22

Soit $f(x)=x^2+3x$ . Calculer $f'(x_0)$ par la définition.

\tau(h)=\frac{\big[(x_0+h)^2+3(x_0+h)\big]-\big[x_0^2+3x_0\big]}{h}.

Numérateur : $x_0^2+2x_0h+h^2+3x_0+3h-x_0^2-3x_0=2x_0h+h^2+3h=h(2x_0+h+3)$ . Donc

\tau(h)=2x_0+h+3\ \xrightarrow[h\to 0]{}\ \boxed{2x_0+3}.

Exercice 33

Soit $f(x)=x^3$ . Calculer $f'(x_0)$ par la définition. Indication : développer $(x_0+h)^3=x_0^3+3x_0^2h+3x_0h^2+h^3$ .

\tau(h)=\frac{(x_0+h)^3-x_0^3}{h}.

On développe : $(x_0+h)^3=x_0^3+3x_0^2h+3x_0h^2+h^3$ , donc le numérateur vaut

3x_0^2h+3x_0h^2+h^3=h\big(3x_0^2+3x_0h+h^2\big).

D'où $\displaystyle \tau(h)=3x_0^2+3x_0h+h^2$ , et en faisant $h\to 0$ :

f'(x_0)=\boxed{3x_0^2}.

Exercice 44

Soit $f(x)=\dfrac{1}{x}$ (avec $x_0\neq 0$ ). Calculer $f'(x_0)$ par la définition.

\tau(h)=\frac{\dfrac{1}{x_0+h}-\dfrac{1}{x_0}}{h}.

On réduit le numérateur au même dénominateur $x_0(x_0+h)$ :

\frac{1}{x_0+h}-\frac{1}{x_0}=\frac{x_0-(x_0+h)}{x_0(x_0+h)}=\frac{-h}{x_0(x_0+h)}.

Donc

\tau(h)=\frac{1}{h}\cdot\frac{-h}{x_0(x_0+h)}=\frac{-1}{x_0(x_0+h)} \ \xrightarrow[h\to 0]{}\ \frac{-1}{x_0\cdot x_0}=\boxed{-\frac{1}{x_0^{2}}}.

Exercice 55

Un mobile en mouvement rectiligne uniformément accéléré a pour position $y=f(x)=2x^2$ (en mètres, $x$ en secondes). Calculer la vitesse instantanée $f'(x_0)$ par la définition, puis en déduire la vitesse à l'instant $t=3$ s.

Vitesse instantanée par la définition :

\tau(h)=\frac{2(x_0+h)^2-2x_0^2}{h} =\frac{2\big(x_0^2+2x_0h+h^2\big)-2x_0^2}{h} =\frac{4x_0h+2h^2}{h}=4x_0+2h.

En faisant $h\to 0$ : $\displaystyle f'(x_0)=\boxed{4x_0}$ .
À l'instant $t=3$ s : $f'(3)=4\times 3=\boxed{12\ \text{m/s}}$ .

Exercice 66

Soit $f(x)=x^2-4x+1$ .

a)
Calculer $f'(x_0)$ par la définition.
Numérateur du taux : $\big[(x_0+h)^2-4(x_0+h)+1\big]-\big[x_0^2-4x_0+1\big] =2x_0h+h^2-4h=h(2x_0+h-4)$ . D'où $\displaystyle\tau(h)=2x_0+h-4\ \xrightarrow[h\to 0]{}\ \boxed{2x_0-4}$ .
b)
En déduire $f'(1)$ .
$f'(1)=2\times 1-4=\boxed{-2}$ .

Exercice 77

Soit $f(x)=5x^2$ . Calculer $f'(x_0)$ par la définition.

\tau(h)=\frac{5(x_0+h)^2-5x_0^2}{h}=\frac{5\big(2x_0h+h^2\big)}{h}=5(2x_0+h) \ \xrightarrow[h\to 0]{}\ \boxed{10x_0}.

Exercice 88

Soit $f(x)=x^2$ . Calculer directement le nombre dérivé $f'(3)$ par la définition (sans utiliser de formule toute faite).

\tau(h)=\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{(3+h)^2-9}{h}=\frac{6h+h^2}{h}=6+h \ \xrightarrow[h\to 0]{}\ \boxed{f'(3)=6}.

Exercice 99

Soit $f(x)=\dfrac{2}{x}$ (avec $x_0\neq 0$ ). Calculer $f'(x_0)$ par la définition.

\tau(h)=\frac{1}{h}\left(\frac{2}{x_0+h}-\frac{2}{x_0}\right) =\frac{1}{h}\cdot\frac{2x_0-2(x_0+h)}{x_0(x_0+h)} =\frac{1}{h}\cdot\frac{-2h}{x_0(x_0+h)}=\frac{-2}{x_0(x_0+h)}.

En faisant $h\to 0$ : $\displaystyle f'(x_0)=\boxed{-\dfrac{2}{x_0^{2}}}$ .

Exercice 1010

Soit $f(x)=x^3-x$ . Calculer $f'(x_0)$ par la définition. Indication : $(x_0+h)^3=x_0^3+3x_0^2h+3x_0h^2+h^3$ .

Le numérateur du taux vaut

\big[(x_0+h)^3-(x_0+h)\big]-\big[x_0^3-x_0\big] =3x_0^2h+3x_0h^2+h^3-h=h\big(3x_0^2+3x_0h+h^2-1\big).

Donc $\displaystyle\tau(h)=3x_0^2+3x_0h+h^2-1\ \xrightarrow[h\to 0]{}\ \boxed{3x_0^2-1}$ .

Exercice 1111

Soit $f(x)=-x^2+6x$ .

a)
Calculer $f'(x_0)$ par la définition.
Numérateur : $-\big[(x_0+h)^2-x_0^2\big]+6h=-(2x_0h+h^2)+6h=h(-2x_0-h+6)$ . D'où $\displaystyle\tau(h)=-2x_0-h+6\ \xrightarrow[h\to 0]{}\ \boxed{-2x_0+6}$ .
b)
Pour quelle abscisse $x_0$ le nombre dérivé est-il nul ? Interpréter.
$f'(x_0)=0\iff -2x_0+6=0\iff \boxed{x_0=3}$ . En ce point la tangente est horizontale : c'est le sommet de la parabole.

Exercice 1212

La position (en mètres) d'un mobile au temps $x$ (en secondes) est $y=f(x)=3x^2+x$ .

a)
Calculer la vitesse instantanée $f'(x_0)$ par la définition.
$\displaystyle\tau(h)=\frac{\big[3(x_0+h)^2+(x_0+h)\big]-\big[3x_0^2+x_0\big]}{h} =\frac{6x_0h+3h^2+h}{h}=6x_0+3h+1$ , donc $\displaystyle f'(x_0)=\boxed{6x_0+1}$ .
b)
En déduire la vitesse à l'instant $t=2$ s.
$f'(2)=6\times 2+1=\boxed{13\ \text{m/s}}$ .

Exercice 1313

La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x_0=2$ est tracée ci-dessous. En lisant deux points à coordonnées entières de cette tangente, déterminer le nombre dérivé $f'(2)$ .

On lit deux points entiers de la tangente : $(2\,;3)$ et $(3\,;7)$ . Le nombre dérivé $f'(2)$ est la pente de cette tangente :

f'(2)=\frac{7-3}{3-2}=\frac{4}{1}=\boxed{4}.

Exercice 1414

Soit $f(x)=ax^2$ , où $a$ est une constante. Montrer, par la définition, que $f'(x_0)=2ax_0$ .

\tau(h)=\frac{a(x_0+h)^2-ax_0^2}{h}=\frac{a\big(2x_0h+h^2\big)}{h}=a(2x_0+h) \ \xrightarrow[h\to 0]{}\ \boxed{2ax_0}. \qquad\square

Exercice 1515

Soit $f(x)=2x^2-3x+4$ .

a)
Calculer $f'(x_0)$ par la définition.
Numérateur : $2\big[(x_0+h)^2-x_0^2\big]-3h=2(2x_0h+h^2)-3h=h(4x_0+2h-3)$ . D'où $\displaystyle\tau(h)=4x_0+2h-3\ \xrightarrow[h\to 0]{}\ \boxed{4x_0-3}$ .
b)
Calculer $f'(0)$ et interpréter son signe géométriquement.
$f'(0)=-3<0$ : la tangente en $x=0$ a une pente négative, donc $f$ est décroissante au voisinage de $0$ .

Difficile14 exercices

Exercice 11 — fonction racine

Soit $f(x)=\sqrt{x}$ avec $x_0>0$ .

Écrire le taux d'accroissement $\tau(h)$ .
Multiplier numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée $\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}$ .
En déduire $\displaystyle f'(x_0)=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}$ .
Calculer $f'(4)$ .

a) $\displaystyle \tau(h)=\frac{\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}}{h}$ .
b) On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué $\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}$ :

\tau(h)=\frac{\big(\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}\big)\big(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}\big)} {h\big(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}\big)} =\frac{(x_0+h)-x_0}{h\big(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}\big)}.

Le numérateur se simplifie en $h$ :

\tau(h)=\frac{h}{h\big(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}\big)} =\frac{1}{\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}}.

c) On fait $h\to 0$ ; comme $\sqrt{x_0+h}\to\sqrt{x_0}$ :

f'(x_0)=\frac{1}{\sqrt{x_0}+\sqrt{x_0}}=\boxed{\frac{1}{2\sqrt{x_0}}}.

d) $\displaystyle f'(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{2\times 2}=\boxed{\frac{1}{4}}$ .

Exercice 22 — mobile MRUA

Un mobile a pour position $y=f(x)=\tfrac{1}{2}x^2+2x$ (vitesse initiale $2$ m/s, accélération $1$ m/s $^2$ ).

Écrire le taux d'accroissement $\tau(h)$ .
Développer et simplifier.
En déduire $f'(x_0)=x_0+2$ .
Calculer la vitesse instantanée à l'instant $t=3$ s.

a) $\displaystyle \tau(h)=\frac{\big[\tfrac12(x_0+h)^2+2(x_0+h)\big] -\big[\tfrac12 x_0^2+2x_0\big]}{h}$ .
b) On développe le numérateur :

\tfrac12\big(x_0^2+2x_0h+h^2\big)+2x_0+2h-\tfrac12 x_0^2-2x_0 =x_0h+\tfrac12 h^2+2h=h\Big(x_0+\tfrac12 h+2\Big).

Après simplification par $h$ : $\displaystyle \tau(h)=x_0+\tfrac12 h+2$ .
c) En faisant $h\to 0$ : $\displaystyle f'(x_0)=\boxed{x_0+2}$ .
d) À $t=3$ s : $f'(3)=3+2=\boxed{5\ \text{m/s}}$ .

Exercice 33 — fonction homographique

Soit $f(x)=\dfrac{1}{x+1}$ avec $x_0\neq -1$ .

Écrire le taux d'accroissement $\tau(h)$ .
Réduire le numérateur au même dénominateur.
En déduire $\displaystyle f'(x_0)=-\frac{1}{(x_0+1)^2}$ .

a) $\displaystyle \tau(h)=\frac{1}{h}\left(\frac{1}{x_0+h+1}-\frac{1}{x_0+1}\right)$ .
b) On réduit au même dénominateur $(x_0+h+1)(x_0+1)$ :

\frac{1}{x_0+h+1}-\frac{1}{x_0+1} =\frac{(x_0+1)-(x_0+h+1)}{(x_0+h+1)(x_0+1)} =\frac{-h}{(x_0+h+1)(x_0+1)}.

Donc

\tau(h)=\frac{1}{h}\cdot\frac{-h}{(x_0+h+1)(x_0+1)} =\frac{-1}{(x_0+h+1)(x_0+1)}.

c) En faisant $h\to 0$ (alors $x_0+h+1\to x_0+1$ ) :

f'(x_0)=\frac{-1}{(x_0+1)(x_0+1)}=\boxed{-\frac{1}{(x_0+1)^2}}.

Exercice 44 — valeur absolue, point anguleux

Soit $f(x)=|x|$ que l'on étudie en $x_0=0$ .

Calculer le taux d'accroissement $\tau(h)=\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}$ d'abord pour $h>0$ , puis pour $h<0$ .
Que valent les limites de $\tau(h)$ à droite ( $h\to 0^+$ ) et à gauche ( $h\to 0^-$ ) ?
Conclure : $f$ est-elle dérivable en $0$ ? Interpréter géométriquement.

Ici $f(0)=0$ , donc $\displaystyle \tau(h)=\frac{|0+h|-|0|}{h}=\frac{|h|}{h}$ .
a) Selon le signe de $h$ :

si $h>0$ : $|h|=h$ , donc $\displaystyle\tau(h)=\frac{h}{h}=1$ ;
si $h<0$ : $|h|=-h$ , donc $\displaystyle\tau(h)=\frac{-h}{h}=-1$ .

b) Les limites latérales sont donc

\lim_{h\to 0^+}\tau(h)=1 \qquad\text{et}\qquad \lim_{h\to 0^-}\tau(h)=-1.

c) Les deux limites latérales existent mais sont différentes ( $1\neq -1$ ) : la limite $\lim_{h\to 0}\tau(h)$ n'existe pas. Par conséquent $f$ n'est pas dérivable en $0$ . Géométriquement, la courbe présente en $O$ un point anguleux : elle admet une demi-tangente de pente $1$ à droite et une demi-tangente de pente $-1$ à gauche, sans tangente unique.

Exercice 55 — racine décalée

Soit $f(x)=\sqrt{x+3}$ avec $x_0>-3$ .

a)
Écrire le taux d'accroissement $\tau(h)$ .
$\displaystyle \tau(h)=\frac{\sqrt{x_0+h+3}-\sqrt{x_0+3}}{h}$ .
b)
Multiplier par la quantité conjuguée $\sqrt{x_0+h+3}+\sqrt{x_0+3}$ .
En multipliant haut et bas par $\sqrt{x_0+h+3}+\sqrt{x_0+3}$ :
$\tau(h)=\frac{(x_0+h+3)-(x_0+3)}{h\big(\sqrt{x_0+h+3}+\sqrt{x_0+3}\big)} =\frac{h}{h\big(\sqrt{x_0+h+3}+\sqrt{x_0+3}\big)} =\frac{1}{\sqrt{x_0+h+3}+\sqrt{x_0+3}}.$
c)
En déduire $\displaystyle f'(x_0)=\frac{1}{2\sqrt{x_0+3}}$ .
Quand $h\to 0$ : $\displaystyle f'(x_0)=\frac{1}{2\sqrt{x_0+3}}$ .
d)
Calculer $f'(1)$ .
$\displaystyle f'(1)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\boxed{\dfrac{1}{4}}$ .

Exercice 66 — inverse d'une racine

Soit $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ avec $x_0>0$ .

a)
Écrire le taux d'accroissement $\tau(h)$ et réduire les deux fractions au même dénominateur.
$\displaystyle \tau(h)=\frac{1}{h}\left(\frac{1}{\sqrt{x_0+h}}-\frac{1}{\sqrt{x_0}}\right) =\frac{\sqrt{x_0}-\sqrt{x_0+h}}{h\,\sqrt{x_0}\,\sqrt{x_0+h}}$ .
b)
Faire apparaître la quantité conjuguée $\sqrt{x_0}+\sqrt{x_0+h}$ pour lever l'indétermination.
On multiplie haut et bas par $\sqrt{x_0}+\sqrt{x_0+h}$ ; le numérateur devient $x_0-(x_0+h)=-h$ :
$\tau(h)=\frac{-h}{h\,\sqrt{x_0}\,\sqrt{x_0+h}\,\big(\sqrt{x_0}+\sqrt{x_0+h}\big)} =\frac{-1}{\sqrt{x_0}\,\sqrt{x_0+h}\,\big(\sqrt{x_0}+\sqrt{x_0+h}\big)}.$
c)
En déduire $\displaystyle f'(x_0)=-\frac{1}{2x_0\sqrt{x_0}}$ .
Quand $h\to 0$ , le dénominateur tend vers $\sqrt{x_0}\cdot\sqrt{x_0}\cdot 2\sqrt{x_0}=2x_0\sqrt{x_0}$ , d'où $\displaystyle f'(x_0)=\boxed{-\dfrac{1}{2x_0\sqrt{x_0}}}$ .

Exercice 77 — raccord de deux morceaux

Soit $f$ définie par $f(x)=x^2$ si $x\leq 1$ et $f(x)=2x-1$ si $x>1$ . On étudie la dérivabilité en $x_0=1$ .

a)
Vérifier que $f$ est continue en $1$ .
À gauche $x^2\to 1$ , à droite $2x-1\to 1$ , et $f(1)=1$ : $f$ est continue en $1$ .
b)
Calculer la limite de $\tau(h)$ pour $h<0$ (dérivée à gauche).
Pour $h<0$ on a $1+h<1$ , donc $f(1+h)=(1+h)^2$ : $\displaystyle\tau(h)=\frac{(1+h)^2-1}{h}=\frac{2h+h^2}{h}=2+h \ \xrightarrow[h\to 0^-]{}\ 2$ .
c)
Calculer la limite de $\tau(h)$ pour $h>0$ (dérivée à droite).
Pour $h>0$ on a $1+h>1$ , donc $f(1+h)=2(1+h)-1=1+2h$ : $\displaystyle\tau(h)=\frac{(1+2h)-1}{h}=\frac{2h}{h}=2\ \xrightarrow[h\to 0^+]{}\ 2$ .
d)
Conclure : $f$ est-elle dérivable en $1$ ? Si oui, donner $f'(1)$ .
Les deux dérivées latérales sont égales à $2$ : $f$ est dérivable en $1$ , avec $\boxed{f'(1)=2}$ (raccord lisse, tangente unique).

Exercice 88 — tangente verticale

Soit $f(x)=\sqrt{x}$ que l'on étudie en $x_0=0$ .

a)
Écrire le taux d'accroissement $\tau(h)$ pour $h>0$ et le simplifier.
$f(0)=0$ , donc pour $h>0$ : $\displaystyle\tau(h)=\frac{\sqrt{h}-0}{h}=\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}$ .
b)
Déterminer la limite de $\tau(h)$ quand $h\to 0^+$ .
Quand $h\to 0^+$ , $\sqrt{h}\to 0^+$ donc $\displaystyle\lim_{h\to 0^+}\frac{1}{\sqrt{h}}=+\infty$ .
c)
$f$ est-elle dérivable en $0$ ? Interpréter géométriquement.
La limite n'est pas un nombre réel ( $+\infty$ ) : $f$ n'est pas dérivable en $0$ . Géométriquement, la courbe admet en $O$ une tangente verticale.

Exercice 99 — déterminer deux paramètres

Soit $f$ définie par $f(x)=x^2+1$ si $x\leq 2$ et $f(x)=ax+b$ si $x>2$ . On cherche $a$ et $b$ pour que $f$ soit dérivable en $x_0=2$ .

a)
Écrire la condition de continuité en $2$ .
À gauche $f(2)=2^2+1=5$ ; à droite la limite est $2a+b$ . Continuité : $\boxed{2a+b=5}$ .
b)
Calculer la dérivée à gauche $f'(2^-)$ par la définition.
Pour $h<0$ , $f(2+h)=(2+h)^2+1$ : $\displaystyle\tau(h)=\frac{\big[(2+h)^2+1\big]-5}{h}=\frac{4h+h^2}{h}=4+h \ \xrightarrow[h\to 0^-]{}\ f'(2^-)=4$ .
c)
En déduire la valeur de $a$ .
À droite, $f(2+h)=a(2+h)+b$ donne $\displaystyle\tau(h)=\frac{ah}{h}=a$ , donc $f'(2^+)=a$ . La dérivabilité impose $f'(2^-)=f'(2^+)$ , d'où $\boxed{a=4}$ .
d)
En déduire alors la valeur de $b$ .
En reportant dans $2a+b=5$ : $8+b=5$ , donc $\boxed{b=-3}$ (le morceau de droite est $y=4x-3$ ).

Exercice 1010 — fonction homographique

Soit $f(x)=\dfrac{x}{x+1}$ avec $x_0\neq -1$ .

a)
Écrire le taux d'accroissement $\tau(h)$ .
$\displaystyle\tau(h)=\frac{1}{h}\left(\frac{x_0+h}{x_0+h+1}-\frac{x_0}{x_0+1}\right)$ .
b)
Réduire au même dénominateur et simplifier par $h$ .
Au même dénominateur $(x_0+h+1)(x_0+1)$ , le numérateur vaut
$(x_0+h)(x_0+1)-x_0(x_0+h+1)=x_0^2+x_0+hx_0+h-x_0^2-hx_0-x_0=h.$
Donc $\displaystyle\tau(h)=\frac{1}{h}\cdot\frac{h}{(x_0+h+1)(x_0+1)} =\frac{1}{(x_0+h+1)(x_0+1)}$ .
c)
En déduire $\displaystyle f'(x_0)=\frac{1}{(x_0+1)^2}$ .
Quand $h\to 0$ : $\displaystyle f'(x_0)=\boxed{\dfrac{1}{(x_0+1)^2}}$ .

Exercice 1111 — dérivable malgré un changement de forme

Soit $f(x)=x\,|x|$ que l'on étudie en $x_0=0$ .

a)
Montrer que $\tau(h)=\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=|h|$ .
$f(0)=0$ , donc $\displaystyle\tau(h)=\frac{h\,|h|-0}{h}=|h|$ .
b)
Déterminer les limites de $\tau(h)$ à droite et à gauche de $0$ .
$\displaystyle\lim_{h\to 0^+}|h|=0$ et $\displaystyle\lim_{h\to 0^-}|h|=0$ : les deux limites latérales valent $0$ .
c)
Conclure : $f$ est-elle dérivable en $0$ ? Si oui, donner $f'(0)$ .
Les limites latérales existent et sont égales : $\lim_{h\to 0}\tau(h)=0$ existe, donc $f$ est dérivable en $0$ avec $\boxed{f'(0)=0}$ . Contrairement à $|x|$ , la fonction $x|x|$ admet en $O$ une tangente horizontale unique.

Exercice 1212 — racine d'une fonction affine

Soit $f(x)=\sqrt{2x+1}$ avec $x_0>-\tfrac{1}{2}$ .

a)
Écrire le taux d'accroissement $\tau(h)$ .
$\displaystyle\tau(h)=\frac{\sqrt{2(x_0+h)+1}-\sqrt{2x_0+1}}{h} =\frac{\sqrt{2x_0+2h+1}-\sqrt{2x_0+1}}{h}$ .
b)
Multiplier par la quantité conjuguée.
En multipliant par le conjugué $\sqrt{2x_0+2h+1}+\sqrt{2x_0+1}$ , le numérateur devient $(2x_0+2h+1)-(2x_0+1)=2h$ :
$\tau(h)=\frac{2h}{h\big(\sqrt{2x_0+2h+1}+\sqrt{2x_0+1}\big)} =\frac{2}{\sqrt{2x_0+2h+1}+\sqrt{2x_0+1}}.$
c)
En déduire $\displaystyle f'(x_0)=\frac{1}{\sqrt{2x_0+1}}$ .
Quand $h\to 0$ : $\displaystyle f'(x_0)=\frac{2}{2\sqrt{2x_0+1}} =\boxed{\dfrac{1}{\sqrt{2x_0+1}}}$ .

Exercice 1313 — projectile

La hauteur (en mètres) d'un projectile au temps $x$ (en secondes) est $y=f(x)=-5x^2+20x$ .

a)
Calculer la vitesse instantanée $f'(x_0)$ par la définition.
Numérateur : $-5\big[(x_0+h)^2-x_0^2\big]+20h=-5(2x_0h+h^2)+20h =h(-10x_0-5h+20)$ . D'où $\displaystyle\tau(h)=-10x_0-5h+20\ \xrightarrow[h\to 0]{}\ \boxed{f'(x_0)=-10x_0+20}$ .
b)
À quel instant la vitesse s'annule-t-elle ?
$f'(x_0)=0\iff -10x_0+20=0\iff x_0=\boxed{2\ \text{s}}$ .
c)
En déduire la hauteur maximale atteinte.
La hauteur est maximale à cet instant (vitesse nulle au sommet) : $f(2)=-5\times 4+20\times 2=-20+40=\boxed{20\ \text{m}}$ .

Exercice 1414 — inverse d'un carré

Soit $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ avec $x_0\neq 0$ .

a)
Écrire le taux d'accroissement $\tau(h)$ .
$\displaystyle\tau(h)=\frac{1}{h}\left(\frac{1}{(x_0+h)^2}-\frac{1}{x_0^2}\right)$ .
b)
Réduire au même dénominateur et simplifier par $h$ .
Au même dénominateur $x_0^2(x_0+h)^2$ , le numérateur vaut $x_0^2-(x_0+h)^2=-(2x_0h+h^2)=-h(2x_0+h)$ , donc
$\tau(h)=\frac{1}{h}\cdot\frac{-h(2x_0+h)}{x_0^2(x_0+h)^2} =\frac{-(2x_0+h)}{x_0^2(x_0+h)^2}.$
c)
En déduire $\displaystyle f'(x_0)=-\frac{2}{x_0^{3}}$ .
Quand $h\to 0$ : $\displaystyle f'(x_0)=\frac{-2x_0}{x_0^2\cdot x_0^2} =\boxed{-\dfrac{2}{x_0^{3}}}$ .

Revoir le tutoriel de cette mécanique