Variations extremums concavite

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Facile15 exercices

Exercice 11

Soit $f(x)=x^2-4x+3$ . Calculer $f'$ , résoudre $f'(x)=0$ , puis en déduire la nature et la valeur de l'extremum.

$f'(x)=2x-4$ . $f'(x)=0 \iff 2x-4=0 \iff x=2$ .
Signe : $f'(x)=2(x-2)$ est du signe de $x-2$ : négatif avant $2$ , positif après.

$f'$ passe de $-$ à $+$ : minimum en $x=2$ , $\ f(2)=4-8+3=\mathbf{-1}$ .

Exercice 22

Soit $f(x)=-x^2+2x$ . Déterminer la nature de l'extremum de $f$ .

$f'(x)=-2x+2=-2(x-1)$ . $f'(x)=0 \iff x=1$ .
Signe de $-2(x-1)$ : positif avant $1$ , négatif après.

$f'$ passe de $+$ à $-$ : maximum en $x=1$ , $\ f(1)=-1+2=\mathbf{1}$ .

Exercice 33

Soit $f(x)=x^3-3x$ . Trouver les racines de $f'$ et étudier leur signe.

$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$ . Racines : $x=-1$ et $x=1$ .
Signe du produit $(x-1)(x+1)$ (parabole $\smile$ ) : positif à l'extérieur, négatif entre $-1$ et $1$ .

$f'$ change de signe en $-1$ ( $+\to-$ : maximum) et en $1$ ( $-\to+$ : minimum).

Exercice 44

Soit $f(x)=x^4-2x^2$ . Déterminer les racines de $f'$ .

$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)$ . Racines : $x=-1$ , $x=0$ , $x=1$ .
Règle des signes du produit de trois facteurs (change de signe à chaque racine simple) :

Trois valeurs critiques, avec changement de signe à chacune : minimum en $-1$ , maximum en $0$ , minimum en $1$ .

Exercice 55

Soit $f(x)=x^3$ . Montrer que $f'(x)\geq 0$ sur $\mathbb{R}$ et que $f'$ s'annule en $0$ sans changer de signe. Qu'en conclure sur l'existence d'un extremum ?

$f'(x)=3x^2$ . Comme un carré, $x^2\geq 0$ , donc $f'(x)=3x^2\geq 0$ pour tout $x$ : $f$ est croissante partout. De plus $f'(x)=0 \iff x=0$ , mais $f'$ reste positive de part et d'autre de $0$ (pas de changement de signe).

Pas de changement de signe $\Rightarrow$ aucun extremum. En $x=0$ la tangente est horizontale mais la courbe traverse : c'est un point d'inflexion à tangente horizontale.

Exercice 66

Lors d'un saut, la hauteur (en mètres) d'un plongeur au-dessus de l'eau vaut $h(t)=-5t^2+20t$ , où $t$ désigne le temps (en secondes) écoulé depuis l'impulsion. À quel instant la hauteur est-elle maximale, et quelle est cette hauteur maximale ?

$h'(t)=-10t+20=-10(t-2)$ . $h'(t)=0 \iff t=2$ .
Signe : $h'(t)>0$ pour $t<2$ (la hauteur augmente, $\nearrow$ ), $h'(t)<0$ pour $t>2$ ( $\searrow$ ).

$h'$ passe de $+$ à $-$ : maximum à l'instant $t=2$ s, de valeur $h(2)=-20+40=\mathbf{20}$ mètres.

Exercice 77

La dérivée d'une fonction $f$ est $f'(x)=(x-2)(x+4)$ . Sans connaître l'expression de $f$ , déterminer le sens de variation de $f$ et la nature de chacun de ses extremums.

Le produit $(x-2)(x+4)$ est une parabole tournée vers le haut ( $\smile$ ), de racines $-4$ et $2$ : positif à l'extérieur de $[-4,2]$ , négatif entre.

$f$ est croissante sur $]-\infty,-4]$ , décroissante sur $[-4,2]$ , croissante sur $[2,+\infty[$ . En $x=-4$ ( $+\to-$ ) : maximum local ; en $x=2$ ( $-\to+$ ) : minimum local. (On ne peut pas calculer les valeurs sans connaître $f$ .)

Exercice 88

Soit $f(x)=x^3-6x^2$ . Calculer $f''$ et déterminer l'intervalle sur lequel la courbe de $f$ est convexe.

$f'(x)=3x^2-12x$ , puis $f''(x)=6x-12=6(x-2)$ . $f''(x)=0 \iff x=2$ .
$f''(x)>0 \iff x>2$ : la courbe est convexe sur $]2,+\infty[$ (et concave sur $]-\infty,2[$ ).

Exercice 99

La courbe ci-dessous représente une fonction $f$ . Par lecture graphique, donner l'intervalle sur lequel $f$ est décroissante, puis les coordonnées de son extremum en précisant sa nature.

La courbe descend jusqu'au point le plus bas puis remonte : elle est décroissante sur $]-\infty,2]$ et croissante sur $[2,+\infty[$ . Le point le plus bas est le sommet $S(2\,;-1)$ : c'est un minimum, atteint en $x=2$ , de valeur $-1$ .

Exercice 1010

On donne ci-dessous le tableau de signes de la dérivée $f'$ d'une fonction $f$ . En déduire le sens de variation de $f$ ainsi que le nombre d'extremums.

On lit le signe de $f'$ et on en déduit les flèches : $-$ donne $\searrow$ , $+$ donne $\nearrow$ .

$f$ décroît, puis croît, puis décroît : minimum en $x=-1$ ( $-\to+$ ) et maximum en $x=3$ ( $+\to-$ ). Il y a donc $2$ extremums.

Exercice 1111

Soit $f(x)=(2x-4)^2$ . Montrer que $f'$ s'annule en $x=2$ , puis déterminer si $f$ admet un extremum en ce point (préciser sa nature et sa valeur).

Dérivée d'un carré : $f'(x)=2(2x-4)\cdot 2=8(x-2)$ . $f'(x)=0 \iff x=2$ .
Signe de $8(x-2)$ : négatif avant $2$ , positif après — $f'$ change bien de signe.

$f'$ passe de $-$ à $+$ : $f$ admet un minimum en $x=2$ , de valeur $f(2)=0$ .

Exercice 1212

Soit $f(x)=2x^3-9x^2+12x$ . Déterminer les abscisses des extremums de $f$ et préciser, pour chacun, s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum, avec sa valeur.

$f'(x)=6x^2-18x+12=6(x^2-3x+2)=6(x-1)(x-2)$ . Racines $1$ et $2$ .
Signe du produit $(x-1)(x-2)$ ( $\smile$ ) : positif à l'extérieur de $[1,2]$ , négatif entre.

Maximum en $x=1$ : $f(1)=2-9+12=\mathbf{5}$ ; minimum en $x=2$ : $f(2)=16-36+24=\mathbf{4}$ .

Exercice 1313

Soit $f(x)=-x^2+x+2$ . Calculer $f''$ et en déduire que la courbe de $f$ est concave sur $\mathbb{R}$ tout entier.

$f'(x)=-2x+1$ , puis $f''(x)=-2$ . $f''(x)=-2<0$ pour tout $x$ .
La dérivée seconde est strictement négative partout : la courbe est concave sur $\mathbb{R}$ tout entier (allure de cloche $\frown$ ), sans point d'inflexion.

Exercice 1414

Soit $f(x)=x^3+3x$ . Montrer que $f'(x)>0$ pour tout réel $x$ , et en déduire que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ sans aucun extremum.

$f'(x)=3x^2+3=3(x^2+1)$ . Or $x^2\geq 0$ donc $x^2+1\geq 1>0$ : $f'(x)>0$ pour tout réel $x$ .

$f'$ ne s'annule jamais et reste positive : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , aucun extremum.

Exercice 1515

Les deux courbes ci-dessous représentent deux fonctions. Pour chacune, indiquer si elle est convexe ou concave, puis préciser le signe de sa dérivée seconde $f''$ .

$\mathcal{C}_1$ a la forme d'un bol $\smile$ (creux vers le haut) : elle est convexe, donc $f''>0$ .
$\mathcal{C}_2$ a la forme d'une cloche $\frown$ (bosse vers le haut) : elle est concave, donc $f''<0$ .

Moyen15 exercices

Exercice 11

Soit $f(x)=x^3-3x^2+1$ . Dresser le tableau de variation complet et donner les extremums avec leurs valeurs.

$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ . $f'(x)=0 \iff x=0$ ou $x=2$ .
Signe du produit $x(x-2)$ (parabole $\smile$ ) : $+$ à l'extérieur de $[0,2]$ , $-$ entre. Valeurs : $f(0)=1$ , $f(2)=8-12+1=-3$ .

Maximum local $f(0)=1$ en $x=0$ ; minimum local $f(2)=-3$ en $x=2$ .

Exercice 22

Soit $f(x)=3x^3-3x^2+x+1$ . Étudier les variations de $f$ .

$f'(x)=9x^2-6x+1$ . On reconnaît une identité remarquable : $f'(x)=(3x-1)^2$ .
Un carré est toujours $\geq 0$ : $f'(x)\geq 0$ , et $f'(x)=0 \iff x=\tfrac13$ (racine double). En $\tfrac13$ , $f'$ ne change pas de signe (reste $+$ ).

$f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , avec une tangente horizontale en $x=\tfrac13$ : aucun extremum (point d'inflexion à tangente horizontale).

Exercice 33

Soit $f(x)=\dfrac{x^5}{5}-16x$ . Combien $f$ possède-t-elle d'extremums ?

$f'(x)=x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4)$ .
Le facteur $x^2+4>0$ toujours : le signe de $f'$ est celui de $(x-2)(x+2)$ (parabole $\smile$ ). Racines : $x=-2$ et $x=2$ .

$f'$ change de signe en $-2$ ( $+\to-$ : maximum) et en $2$ ( $-\to+$ : minimum) : $f$ possède exactement $2$ extremums.

Exercice 44

Soit $f(x)=\dfrac{x}{x+1}$ (définie pour $x\neq -1$ ). Déterminer le sens de variation de $f$ .

Quotient $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u=x$ , $v=x+1$ :

f'(x)=\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{x+1-x}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}.

Un carré au dénominateur : $f'(x)>0$ pour tout $x\neq-1$ . $f'$ ne s'annule jamais.

$f$ est croissante sur $]-\infty,-1[$ et sur $]-1,+\infty[$ (double barre : valeur interdite), aucun extremum.

Exercice 55

Soit $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ (définie pour $x\neq 0$ ). Déterminer les extremums de $f$ .

$f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x^2-1}{x^2}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x^2}$ .
$x^2>0$ : le signe de $f'$ est celui de $(x-1)(x+1)$ . Racines $-1$ et $1$ ; $0$ interdit.

$f'$ passe de $+$ à $-$ en $-1$ : maximum local $f(-1)=-1-1=\mathbf{-2}$ .
$f'$ passe de $-$ à $+$ en $1$ : minimum local $f(1)=1+1=\mathbf{2}$ .

Exercice 66

Soit $f(x)=x\,e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$ . Étudier les variations de $f$ et déterminer son extremum (nature et valeur exacte).

Produit $u v$ avec $u=x$ , $v=e^{-x}$ : $f'(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot(-e^{-x})=e^{-x}(1-x)$ .
Comme $e^{-x}>0$ , le signe de $f'$ est celui de $1-x$ : positif pour $x<1$ , négatif pour $x>1$ .

$f'$ passe de $+$ à $-$ : maximum en $x=1$ , de valeur $f(1)=1\cdot e^{-1}=\dfrac{1}{e}$ .

Exercice 77

Soit $f(x)=x-\ln x$ définie sur $]0,+\infty[$ . Dresser le tableau de variation et donner l'extremum de $f$ .

$f'(x)=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}$ . Sur $]0,+\infty[$ le dénominateur $x>0$ , donc le signe de $f'$ est celui de $x-1$ .

$f'$ passe de $-$ à $+$ : minimum en $x=1$ , de valeur $f(1)=1-\ln 1=\mathbf{1}$ .

Exercice 88

Soit $f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$ . Montrer que $f'(x)=\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}$ , puis étudier les variations de $f$ et donner son extremum.

Quotient $\dfrac{u}{v}$ avec $u=x^2$ , $v=x^2+1$ :

f'(x)=\frac{2x\,(x^2+1)-x^2\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{2x^3+2x-2x^3}{(x^2+1)^2}=\frac{2x}{(x^2+1)^2}.

Le dénominateur $(x^2+1)^2>0$ : le signe de $f'$ est celui de $2x$ , donc de $x$ .

$f'$ passe de $-$ à $+$ : minimum en $x=0$ , de valeur $f(0)=0$ (la fonction est paire).

Exercice 99

Soit $f(x)=(x-1)^2(x+2)$ . Déterminer les extremums de $f$ (abscisses, nature et valeurs).

Produit : $f'(x)=2(x-1)(x+2)+(x-1)^2=(x-1)\big[2(x+2)+(x-1)\big]=(x-1)(3x+3)=3(x-1)(x+1)$ .
Racines $-1$ et $1$ ; signe du produit ( $\smile$ ) : $+$ dehors, $-$ dedans. Valeurs : $f(-1)=(-2)^2\cdot 1=4$ , $f(1)=0\cdot 3=0$ .

Maximum local $f(-1)=\mathbf{4}$ en $x=-1$ ; minimum local $f(1)=\mathbf{0}$ en $x=1$ .

Exercice 1010

Soit $f(x)=\sqrt{x^2-2x+2}$ . Après avoir justifié que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ , déterminer le minimum de $f$ .

On écrit $x^2-2x+2=(x-1)^2+1\geq 1>0$ : le radicande est toujours strictement positif, donc $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ . Avec $g(x)=x^2-2x+2$ et $g'(x)=2x-2$ :

f'(x)=\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}=\frac{2x-2}{2\sqrt{g(x)}}=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+2}}.

Le dénominateur est $>0$ : le signe de $f'$ est celui de $x-1$ .

$f'$ passe de $-$ à $+$ : minimum en $x=1$ , de valeur $f(1)=\sqrt{1}=\mathbf{1}$ .

Exercice 1111

Parmi tous les rectangles de périmètre $20$ (unités de longueur), on cherche celui d'aire maximale. En notant $x$ la longueur d'un côté, exprimer l'aire $A(x)$ , puis déterminer les dimensions du rectangle d'aire maximale.

Périmètre $2(x+y)=20 \Rightarrow y=10-x$ , avec $0<x<10$ . Aire :

A(x)=x(10-x)=10x-x^2,\qquad A'(x)=10-2x=-2(x-5).

$A'(x)=0 \iff x=5$ ; $A'>0$ avant $5$ , $A'<0$ après : maximum en $x=5$ .

Alors $y=10-5=5$ : le rectangle d'aire maximale est le carré $5\times 5$ , d'aire $A(5)=\mathbf{25}$ .

Exercice 1212

Soit $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$ (définie pour $x\neq 1$ ). Étudier le sens de variation de $f$ et préciser si elle admet un extremum.

Quotient : $f'(x)=\dfrac{2(x-1)-(2x+1)\cdot 1}{(x-1)^2}=\dfrac{2x-2-2x-1}{(x-1)^2}=\dfrac{-3}{(x-1)^2}$ .
Le dénominateur $(x-1)^2>0$ , donc $f'(x)=\dfrac{-3}{(x-1)^2}<0$ pour tout $x\neq 1$ .

$f$ est décroissante sur $]-\infty,1[$ et sur $]1,+\infty[$ (double barre : valeur interdite), aucun extremum.

Exercice 1313

Soit $f(x)=x^4-4x^3$ . Déterminer les points critiques de $f$ , puis montrer que $f$ ne possède qu'un seul extremum (préciser lequel).

$f'(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)$ . Points critiques : $x=0$ (racine double) et $x=3$ .
Comme $4x^2\geq 0$ , le signe de $f'$ est celui de $x-3$ (sauf en $0$ où $f'=0$ ) : $f'<0$ sur $]-\infty,3[$ , $f'>0$ sur $]3,+\infty[$ .

En $x=0$ , $f'$ ne change pas de signe ( $-$ puis $-$ ) : pas d'extremum. En $x=3$ , $f'$ passe de $-$ à $+$ : minimum, $f(3)=81-108=\mathbf{-27}$ . Donc $f$ possède un seul extremum.

Exercice 1414

Soit $f(x)=x^2\,e^{x}$ sur $\mathbb{R}$ . Étudier les variations de $f$ et donner ses deux extremums (nature et valeur exacte).

$f'(x)=2x\,e^{x}+x^2 e^{x}=x\,e^{x}(x+2)=x(x+2)\,e^{x}$ .
Comme $e^{x}>0$ , le signe de $f'$ est celui de $x(x+2)$ ( $\smile$ ), de racines $-2$ et $0$ .

Maximum local en $x=-2$ : $f(-2)=4e^{-2}=\dfrac{4}{e^2}$ ; minimum en $x=0$ : $f(0)=0$ .

Exercice 1515

Soit $f(x)=x^3-6x^2+9x$ .

Dresser le tableau de variation et donner les extremums.
Calculer $f''$ , étudier la concavité et déterminer le point d'inflexion.

a) $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)$ . Racines $1$ et $3$ , signe ( $\smile$ ) : $+$ dehors, $-$ dedans. $f(1)=1-6+9=4$ , $f(3)=27-54+27=0$ .

Maximum $f(1)=4$ en $x=1$ ; minimum $f(3)=0$ en $x=3$ .
b) $f''(x)=6x-12=6(x-2)$ : $f''<0$ pour $x<2$ (concave $\frown$ ), $f''>0$ pour $x>2$ (convexe $\smile$ ).

$f''$ change de signe en $x=2$ : point d'inflexion $(2\,;\,f(2))$ avec $f(2)=8-24+18=\mathbf{2}$ , soit le point $(2\,;2)$ .

Difficile13 exercices

Exercice 11

Soit $f(x)=x^3-3x^2+2$ .

Calculer $f'$ et dresser le tableau de variation.
Calculer $f''$ et étudier la concavité.
Justifier que $x=1$ est un point d'inflexion et calculer $f(1)$ .

a) $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ , racines $0$ et $2$ . Signe de $x(x-2)$ ( $\smile$ ) : $+$ dehors, $-$ dedans. $f(0)=2$ , $f(2)=8-12+2=-2$ .

Maximum $f(0)=2$ ; minimum $f(2)=-2$ .
b) $f''(x)=6x-6=6(x-1)$ . $f''(x)<0$ pour $x<1$ (concave, cloche $\frown$ ) ; $f''(x)>0$ pour $x>1$ (convexe, bol $\smile$ ).

c) $f''$ change de signe en $x=1$ $\Rightarrow$ point d'inflexion. $f(1)=1-3+2=\mathbf{0}$ . L'inflexion est le point $(1,0)$ .

Exercice 22

Soit $f(x)=x^4-6x^2$ .

Calculer $f'(x)=4x(x^2-3)$ et étudier les variations.
Calculer $f''(x)=12(x^2-1)$ .
Déterminer les points d'inflexion et préciser la concavité (haut / bas / haut).

a) $f'(x)=4x^3-12x=4x(x^2-3)=4x(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)$ , racines $-\sqrt3,\,0,\,\sqrt3$ . Trois racines simples : $f'$ change de signe à chacune. $f(0)=0$ , $f(\pm\sqrt3)=9-18=-9$ .

Minimums en $\pm\sqrt3$ ( $f=-9$ ), maximum local en $0$ ( $f=0$ ).
b) $f''(x)=12x^2-12=12(x^2-1)=12(x-1)(x+1)$ , racines $-1$ et $1$ .
c) Signe de $(x-1)(x+1)$ ( $\smile$ ) :

$f''$ change de signe en $-1$ et en $1$ : deux points d'inflexion, en $x=-1$ et $x=1$ (avec $f(\pm1)=1-6=-5$ ). Concavité : vers le haut ( $x<-1$ ), vers le bas ( $-1<x<1$ ), vers le haut ( $x>1$ ).

Exercice 33

Étude complète de $f(x)=x-3\ln|x+2|$ .

Déterminer le domaine de définition de $f$ .
Montrer que $f'(x)=\dfrac{x-1}{x+2}$ .
Dresser le tableau de signes de $f'$ et en déduire les variations (préciser l'extremum local).
Calculer $f''(x)$ et en déduire la concavité. Y a-t-il un point d'inflexion ?

a) $\ln|x+2|$ exige $x+2\neq 0$ , soit $x\neq -2$ . Domaine : $\boxed{\mathbb{R}\setminus\{-2\}}$ .
b) $\big(\ln|x+2|\big)'=\dfrac{1}{x+2}$ , donc

f'(x)=1-\frac{3}{x+2}=\frac{(x+2)-3}{x+2}=\frac{x-1}{x+2}.

c) Signe de $\dfrac{x-1}{x+2}$ : numérateur nul en $1$ , dénominateur nul (interdit) en $-2$ . Règle des signes du quotient :

(Double barre en $-2$ : valeur interdite.) Sur $]-2,1[$ $f$ décroît, sur $]1,+\infty[$ elle croît : $f'$ passe de $-$ à $+$ en $x=1$ $\Rightarrow$ minimum local en $x=1$ , $f(1)=1-3\ln 3$ .
d) $f'(x)=\dfrac{x-1}{x+2}$ , dérivée du quotient : $\dfrac{1\cdot(x+2)-(x-1)\cdot1}{(x+2)^2}=\dfrac{3}{(x+2)^2}$ . Donc $f''(x)=\dfrac{3}{(x+2)^2}>0$ sur tout le domaine : concavité toujours vers le haut (convexe). $f''$ ne s'annule jamais et ne change pas de signe : aucun point d'inflexion.

Exercice 44

Étude de $f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}$ .

Donner le domaine de définition de $f$ .
Montrer que $f'(x)=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}$ .
Dresser le tableau de variation et donner les extremums locaux (nature et valeurs).
Montrer que $f''(x)=\dfrac{2}{(x-1)^3}$ , en déduire la concavité ; la courbe possède-t-elle un point d'inflexion ?

a) $\ln$ absent ; seule contrainte : $x-1\neq 0$ . Domaine : $\boxed{\mathbb{R}\setminus\{1\}}$ .
b) Quotient $\dfrac uv$ , $u=x^2$ , $v=x-1$ :

f'(x)=\frac{2x(x-1)-x^2\cdot 1}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}.

c) $(x-1)^2>0$ : le signe de $f'$ est celui de $x(x-2)$ ( $\smile$ , racines $0$ et $2$ ).

En $x=0$ ( $+\to-$ ) : maximum local $f(0)=0$ . En $x=2$ ( $-\to+$ ) : minimum local $f(2)=\dfrac{4}{1}=4$ . (Fait remarquable dû à l'asymptote $x=1$ : le maximum local $0$ est inférieur au minimum local $4$ .)
d) $f'(x)=\dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2}$ ; en dérivant ce quotient on obtient $f''(x)=\dfrac{2}{(x-1)^3}$ . Le numérateur $2>0$ : le signe de $f''$ est celui de $(x-1)^3$ , donc de $x-1$ . Ainsi $f''<0$ sur $]-\infty,1[$ (concave) et $f''>0$ sur $]1,+\infty[$ (convexe). Le changement de concavité a lieu en la valeur interdite $x=1$ : $f''$ ne s'annule jamais, il n'y a aucun point d'inflexion.

Exercice 55

Étude de $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ sur $]0,+\infty[$ .

Montrer que $f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$ .
Étudier le signe de $f'$ et en déduire l'extremum de $f$ (nature et valeur).
Montrer que $f''(x)=\dfrac{2\ln x-3}{x^3}$ et déterminer l'abscisse du point d'inflexion.

a) Quotient $\dfrac uv$ , $u=\ln x$ , $v=x$ :

f'(x)=\frac{\frac1x\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}.

b) $x^2>0$ : le signe de $f'$ est celui de $1-\ln x$ . Or $1-\ln x>0 \iff \ln x<1 \iff x<e$ .

$f'$ passe de $+$ à $-$ : maximum en $x=e$ , de valeur $f(e)=\dfrac{\ln e}{e}=\dfrac{1}{e}$ .
c) $f'(x)=(1-\ln x)x^{-2}$ ; en dérivant : $f''(x)=\dfrac{-1}{x}\cdot x^{-2}+(1-\ln x)(-2x^{-3}) =x^{-3}\big(-1-2(1-\ln x)\big)=\dfrac{2\ln x-3}{x^3}$ . Sur $x>0$ , $x^3>0$ : $f''$ s'annule pour $2\ln x-3=0 \iff \ln x=\tfrac32 \iff x=e^{3/2}$ , en changeant de signe : point d'inflexion en $x=e^{3/2}$ .

Exercice 66

On dispose d'une plaque carrée de côté $12$ cm. On découpe un carré de côté $x$ à chaque coin, puis on relève les bords pour former une boîte ouverte.

Exprimer le volume $V(x)$ de la boîte et préciser l'intervalle des valeurs de $x$ .
Calculer $V'(x)$ et le factoriser.
Déterminer la valeur de $x$ qui rend le volume maximal, ainsi que ce volume maximal.

a) Le fond mesure $(12-2x)\times(12-2x)$ et la hauteur vaut $x$ , donc $V(x)=x(12-2x)^2$ , avec $0<x<6$ (il faut $12-2x>0$ ).
b) $V'(x)=(12-2x)^2+x\cdot 2(12-2x)(-2)=(12-2x)\big[(12-2x)-4x\big]=(12-2x)(12-6x)$ , soit $V'(x)=12(6-x)(2-x)$ .
c) Sur $]0,6[$ , $6-x>0$ ; le signe de $V'$ est celui de $2-x$ : positif pour $x<2$ , négatif pour $x>2$ .

Maximum en $x=2$ : $V(2)=2\cdot(12-4)^2=2\cdot 64=\mathbf{128}$ cm $^3$ .

Exercice 77

Soit $m$ un réel et $f(x)=x^3-3mx$ .

a)
Calculer $f'(x)$ .
a) $f'(x)=3x^2-3m=3(x^2-m)$ .
b) Discussion selon $m$ :
Si $m<0$ : $x^2-m>0$ pour tout $x$ , donc $f'>0$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , sans extremum.
b)
Discuter, selon les valeurs de $m$ , le signe de $f'$ et les variations de $f$ .
Si $m=0$ : $f'(x)=3x^2\geq 0$ , nulle seulement en $0$ sans changer de signe : $f$ croissante sur $\mathbb{R}$ , point d'inflexion à tangente horizontale en $0$ , pas d'extremum.
c)
En déduire pour quelles valeurs de $m$ la fonction $f$ admet exactement deux extremums.
Si $m>0$ : $f'(x)=3(x-\sqrt m)(x+\sqrt m)$ , racines $\pm\sqrt m$ . Signe ( $\smile$ ) : $+$ dehors, $-$ dedans.
Alors $f$ admet un maximum en $-\sqrt m$ et un minimum en $\sqrt m$ .
c) $f$ admet exactement deux extremums si et seulement si $m>0$ .

Exercice 88

Soit $f(x)=(x^2-1)^2$ .

Montrer que $f'(x)=4x(x-1)(x+1)$ et déterminer les extremums (abscisses, nature, valeurs).
Calculer $f''(x)$ et déterminer les abscisses des points d'inflexion.
Résumer la concavité de la courbe sur chaque intervalle.

a) $f'(x)=2(x^2-1)\cdot 2x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)$ , racines $-1,0,1$ . Trois racines simples : $f'$ change de signe à chacune. $f(-1)=0$ , $f(0)=1$ , $f(1)=0$ .

Minimums en $x=\pm 1$ ( $f=0$ ) et maximum local en $x=0$ ( $f=1$ ).
b) $f''(x)=12x^2-4=4(3x^2-1)$ , qui s'annule en $x=\pm\dfrac{1}{\sqrt3}=\pm\dfrac{\sqrt3}{3}$ (en changeant de signe) : deux points d'inflexion, d'ordonnée $f\!\left(\pm\tfrac{1}{\sqrt3}\right)=\left(\tfrac13-1\right)^2=\dfrac{4}{9}$ .
c) $f''>0$ (convexe) sur $\left]-\infty,-\tfrac{\sqrt3}{3}\right[$ , $f''<0$ (concave) sur $\left]-\tfrac{\sqrt3}{3},\tfrac{\sqrt3}{3}\right[$ , $f''>0$ (convexe) sur $\left]\tfrac{\sqrt3}{3},+\infty\right[$ .

Exercice 99

Soit $f(x)=2x^3-3x^2-12x$ .

Dresser le tableau de variation et donner les extremums.
Calculer $f''$ et déterminer les coordonnées du point d'inflexion.
Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'inflexion.

a) $f'(x)=6x^2-6x-12=6(x^2-x-2)=6(x-2)(x+1)$ , racines $-1$ et $2$ . Signe ( $\smile$ ) : $+$ dehors, $-$ dedans. $f(-1)=-2-3+12=7$ , $f(2)=16-12-24=-20$ .

Maximum $f(-1)=7$ ; minimum $f(2)=-20$ .
b) $f''(x)=12x-6=6(2x-1)$ , nulle en $x=\tfrac12$ (changement de signe) : point d'inflexion d'abscisse $\tfrac12$ , avec $f\!\left(\tfrac12\right)=\tfrac14-\tfrac34-6=-\dfrac{13}{2}$ , soit le point $\left(\tfrac12\,;-\tfrac{13}{2}\right)$ .
c) Pente au point d'inflexion : $f'\!\left(\tfrac12\right)=6\cdot\tfrac14-6\cdot\tfrac12-12 =\tfrac32-3-12=-\dfrac{27}{2}$ . Tangente : $y=-\dfrac{27}{2}\left(x-\tfrac12\right)-\dfrac{13}{2}=-\dfrac{27}{2}x+\dfrac14$ .

Exercice 1010

Étude de $f(x)=x^2-8\ln x$ sur $]0,+\infty[$ .

Déterminer le domaine puis montrer que $f'(x)=\dfrac{2(x-2)(x+2)}{x}$ .
Dresser le tableau de variation et donner le minimum de $f$ (valeur exacte).
Calculer $f''(x)$ et préciser la concavité. Y a-t-il un point d'inflexion ?

a) $\ln x$ exige $x>0$ : domaine $]0,+\infty[$ . $f'(x)=2x-\dfrac{8}{x}=\dfrac{2x^2-8}{x}=\dfrac{2(x^2-4)}{x}=\dfrac{2(x-2)(x+2)}{x}$ .
b) Sur $x>0$ : $x>0$ et $x+2>0$ , donc le signe de $f'$ est celui de $x-2$ .

$f'$ passe de $-$ à $+$ : minimum en $x=2$ , de valeur $f(2)=4-8\ln 2$ .
c) $f''(x)=2+\dfrac{8}{x^2}>0$ sur tout le domaine : la courbe est convexe partout. $f''$ ne s'annule jamais : aucun point d'inflexion.

Exercice 1111

Soit $f(x)=(x^2-2x)\,e^{x}$ .

Montrer que $f'(x)=(x^2-2)\,e^{x}$ et déterminer les abscisses et la nature des extremums.
Montrer que $f''(x)=(x^2+2x-2)\,e^{x}$ .
En déduire les abscisses des points d'inflexion.

a) $f'(x)=(2x-2)e^{x}+(x^2-2x)e^{x}=e^{x}\big(x^2-2x+2x-2\big)=(x^2-2)\,e^{x}$ . Comme $e^{x}>0$ , le signe de $f'$ est celui de $x^2-2$ ( $\smile$ ), de racines $\pm\sqrt2$ .

Maximum local en $x=-\sqrt2$ ( $f(-\sqrt2)=(2+2\sqrt2)e^{-\sqrt2}$ ) et minimum en $x=\sqrt2$ ( $f(\sqrt2)=(2-2\sqrt2)e^{\sqrt2}$ ).
b) $f''(x)=2x\,e^{x}+(x^2-2)e^{x}=(x^2+2x-2)\,e^{x}$ .
c) $e^{x}>0$ : $f''$ s'annule quand $x^2+2x-2=0$ , soit $x=-1\pm\sqrt3$ (discriminant $4+8=12$ ), en changeant de signe : deux points d'inflexion, d'abscisses $-1-\sqrt3$ et $-1+\sqrt3$ .

Exercice 1212

La courbe ci-dessous est celle de la dérivée $f'$ d'une fonction $f$ .

Lire les valeurs de $x$ pour lesquelles $f'(x)=0$ .
En déduire le signe de $f'$ , puis les variations de $f$ .
Préciser la nature des extremums de $f$ .

a) La courbe de $f'$ coupe l'axe des abscisses en $x=-1$ et $x=3$ : $f'(x)=0$ pour $x=-1$ et $x=3$ .
b) C'est une parabole tournée vers le haut : $f'>0$ à l'extérieur de $[-1,3]$ et $f'<0$ à l'intérieur. Donc $f$ est croissante sur $]-\infty,-1]$ , décroissante sur $[-1,3]$ , croissante sur $[3,+\infty[$ .

c) $f'$ passe de $+$ à $-$ en $x=-1$ : maximum local ; $f'$ passe de $-$ à $+$ en $x=3$ : minimum local.

Exercice 1313

Soit $f(x)=x^3+ax^2+bx+1$ , où $a$ et $b$ sont deux réels.

Exprimer $f'(x)$ et $f''(x)$ en fonction de $a$ et $b$ .
Déterminer $a$ et $b$ sachant que $f$ admet un extremum local en $x=-1$ et un point d'inflexion en $x=1$ .
Préciser alors la nature de l'extremum en $x=-1$ et sa valeur.

a) $f'(x)=3x^2+2ax+b$ et $f''(x)=6x+2a$ .
b) Point d'inflexion en $x=1$ $\Rightarrow f''(1)=0$ : $6+2a=0 \Rightarrow a=-3$ .
Extremum en $x=-1$ $\Rightarrow f'(-1)=0$ : $3-2a+b=0 \Rightarrow 3+6+b=0 \Rightarrow b=-9$ . Donc $\boxed{a=-3,\ b=-9}$ et $f(x)=x^3-3x^2-9x+1$ .
c) $f'(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$ : signe ( $\smile$ ), $+$ dehors, $-$ dedans. En $x=-1$ , $f'$ passe de $+$ à $-$ : c'est un maximum local, de valeur $f(-1)=-1-3+9+1=\mathbf{6}$ .

Revoir le tutoriel de cette mécanique