Tangente et lecture graphique

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Facile15 exercices

Exercice 11

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x)=x^2$ au point d'abscisse $x_0=1$ .

Point : $f(1)=1$ . Pente : $f'(x)=2x$ , donc $f'(1)=2$ .
Tangente : $y=(x-1)\cdot 2+1=2x-2+1=\boxed{2x-1}$ .

Exercice 22

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x)=x^3$ au point d'abscisse $x_0=2$ .

Point : $f(2)=2^3=8$ . Pente : $f'(x)=3x^2$ , donc $f'(2)=3\cdot 4=12$ .
Tangente : $y=(x-2)\cdot 12+8=12x-24+8=\boxed{12x-16}$ .

Exercice 33

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x)=\dfrac{1}{x}$ au point d'abscisse $x_0=1$ .

Point : $f(1)=1$ . Pente : $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ , donc $f'(1)=-1$ .
Tangente : $y=(x-1)\cdot(-1)+1=-x+1+1=\boxed{-x+2}$ .

Exercice 44

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x)=\sqrt{x}$ au point d'abscisse $x_0=4$ .

Point : $f(4)=\sqrt{4}=2$ . Pente : $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , donc $f'(4)=\dfrac{1}{2\cdot 2}=\dfrac14$ .
Tangente : $y=(x-4)\cdot\dfrac14+2=\dfrac{x}{4}-1+2=\boxed{\dfrac{x}{4}+1}$ .

Exercice 55

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x)=x^2-2x$ au point d'abscisse $x_0=0$ .

Point : $f(0)=0$ . Pente : $f'(x)=2x-2$ , donc $f'(0)=-2$ .
Tangente : $y=(x-0)\cdot(-2)+0=\boxed{-2x}$ .

Exercice 66

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x)=x^2+3$ au point d'abscisse $x_0=1$ .

Point : $f(1)=1+3=4$ . Pente : $f'(x)=2x$ , donc $f'(1)=2$ .
Tangente : $y=(x-1)\cdot 2+4=2x-2+4=\boxed{2x+2}$ .

Exercice 77

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x)=2x^2-x$ au point d'abscisse $x_0=1$ .

Point : $f(1)=2-1=1$ . Pente : $f'(x)=4x-1$ , donc $f'(1)=3$ .
Tangente : $y=(x-1)\cdot 3+1=3x-3+1=\boxed{3x-2}$ .

Exercice 88

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x)=x^3+x$ au point d'abscisse $x_0=1$ .

Point : $f(1)=1+1=2$ . Pente : $f'(x)=3x^2+1$ , donc $f'(1)=4$ .
Tangente : $y=(x-1)\cdot 4+2=4x-4+2=\boxed{4x-2}$ .

Exercice 99

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x)=-x^2+4x$ au point d'abscisse $x_0=1$ .

Point : $f(1)=-1+4=3$ . Pente : $f'(x)=-2x+4$ , donc $f'(1)=2$ .
Tangente : $y=(x-1)\cdot 2+3=2x-2+3=\boxed{2x+1}$ .

Exercice 1010

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x)=x^2-6x+5$ au point d'abscisse $x_0=2$ .

Point : $f(2)=4-12+5=-3$ . Pente : $f'(x)=2x-6$ , donc $f'(2)=-2$ .
Tangente : $y=(x-2)\cdot(-2)-3=-2x+4-3=\boxed{-2x+1}$ .

Exercice 1111

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x)=2\sqrt{x}$ au point d'abscisse $x_0=1$ .

Point : $f(1)=2\sqrt{1}=2$ . Pente : $f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ , donc $f'(1)=1$ .
Tangente : $y=(x-1)\cdot 1+2=x-1+2=\boxed{x+1}$ .

Exercice 1212

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x)=x^3-2$ au point d'abscisse $x_0=1$ .

Point : $f(1)=1-2=-1$ . Pente : $f'(x)=3x^2$ , donc $f'(1)=3$ .
Tangente : $y=(x-1)\cdot 3-1=3x-3-1=\boxed{3x-4}$ .

Exercice 1313

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x)=(x-1)^2$ au point d'abscisse $x_0=0$ .

Point : $f(0)=(-1)^2=1$ . Pente : $f'(x)=2(x-1)$ , donc $f'(0)=-2$ .
Tangente : $y=(x-0)\cdot(-2)+1=\boxed{-2x+1}$ .

Exercice 1414

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x)=\dfrac{3}{x}$ au point d'abscisse $x_0=1$ .

Point : $f(1)=3$ . Pente : $f'(x)=-\dfrac{3}{x^2}$ , donc $f'(1)=-3$ .
Tangente : $y=(x-1)\cdot(-3)+3=-3x+3+3=\boxed{-3x+6}$ .

Exercice 1515 — lecture graphique

Ci-dessous, la droite verte est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $P$ d'abscisse $x_0=1$ . Cette tangente passe par les points $A(0;1)$ et $B(2;5)$ .

a)
Lire la pente de la tangente à l'aide des points $A$ et $B$ .
Pente lue entre $A(0;1)$ et $B(2;5)$ : $\displaystyle m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{5-1}{2-0}=\frac{4}{2}=\boxed{2}$ .
b)
En déduire le nombre dérivé $f'(1)$ .
La pente de la tangente est le nombre dérivé : $\boxed{f'(1)=2}$ .
c)
Donner l'équation de cette tangente.
La tangente passe par $A(0;1)$ : son ordonnée à l'origine est $1$ . Avec la pente $2$ : $\boxed{y=2x+1}$ .

Moyen15 exercices

Exercice 11

Soit $f(x)=x^2-4x+1$ . En quel point la tangente à $\mathcal{C}_f$ est-elle horizontale ? Donner l'équation de cette tangente.

Une tangente est horizontale là où $f'(x)=0$ .
$f'(x)=2x-4$ . On résout $2x-4=0\iff x=2$ .
Ordonnée : $f(2)=2^2-4\cdot 2+1=4-8+1=-3$ . Point $(2;-3)$ .
La tangente horizontale a pour équation $\boxed{y=-3}$ .

Exercice 22

Soit $f(x)=x^3-3x$ . Déterminer les abscisses pour lesquelles la tangente est horizontale, puis les points correspondants de la courbe.

$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$ .
$f'(x)=0\iff x=1$ ou $x=-1$ .
Points : $f(1)=1-3=-2\Rightarrow(1;-2)$ et $f(-1)=-1+3=2\Rightarrow(-1;2)$ .
Abscisses $\boxed{x=\pm 1}$ ; points $\boxed{(1;-2)\text{ et }(-1;2)}$ .

Exercice 33

Soit $f(x)=x^2$ . Montrer que la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x_0=1$ est perpendiculaire à la droite $\mathcal{D}:y=-\dfrac{x}{2}+3$ .

Pente de la tangente : $f'(x)=2x$ , donc $f'(1)=2$ . On note $m_1=2$ .
Pente de $\mathcal{D}:y=-\tfrac{x}{2}+3$ : $m_2=-\dfrac12$ .
Produit : $m_1\cdot m_2=2\cdot\left(-\dfrac12\right)=-1$ .
Le produit des pentes vaut $-1$ : la tangente est donc bien perpendiculaire à $\mathcal{D}$ . $\blacksquare$

Exercice 44

Une fonction $f$ est dérivable et l'on sait que $f(2)=1$ . La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x=2$ passe aussi par le point $B(4;5)$ . Déterminer $f'(2)$ .

La tangente passe par $A(2;f(2))=A(2;1)$ et par $B(4;5)$ .
Sa pente est $f'(2)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{5-1}{4-2}=\dfrac{4}{2}=2$ .
Donc $\boxed{f'(2)=2}$ .

Exercice 55

Soit $f(x)=x^2$ . En quel point la tangente à $\mathcal{C}_f$ est-elle parallèle à la droite $\mathcal{D}:y=6x-1$ ?

Deux droites sont parallèles si elles ont la même pente. Il faut donc $f'(x)=6$ .
$f'(x)=2x$ , d'où $2x=6\iff x=3$ .
Le point cherché a pour abscisse $\boxed{x=3}$ (et $f(3)=9$ , point $(3;9)$ ).

Exercice 66

Soit $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$ . Déterminer les points de $\mathcal{C}_f$ où la tangente est horizontale, puis donner l'équation de chacune de ces tangentes.

Une tangente est horizontale là où $f'(x)=0$ .
$f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)$ , donc $f'(x)=0\iff x=1$ ou $x=3$ .
Points : $f(1)=1-6+9+1=5\Rightarrow(1;5)$ et $f(3)=27-54+27+1=1\Rightarrow(3;1)$ .
Tangentes horizontales : $\boxed{y=5}$ (en $x=1$ ) et $\boxed{y=1}$ (en $x=3$ ).

Exercice 77

Soit $f(x)=x^2-4x+5$ . En quel point la tangente à $\mathcal{C}_f$ est-elle parallèle à la droite $\mathcal{D}:y=2x+3$ ? Donner l'équation de cette tangente.

Deux droites sont parallèles si elles ont la même pente : il faut $f'(x)=2$ .
$f'(x)=2x-4$ , d'où $2x-4=2\iff x=3$ . Ordonnée : $f(3)=9-12+5=2$ , point $(3;2)$ .
Tangente : $y=(x-3)\cdot 2+2=2x-6+2=\boxed{2x-4}$ .

Exercice 88

Soit $f(x)=\sqrt{x}$ . En quel point la tangente à $\mathcal{C}_f$ est-elle perpendiculaire à la droite $\mathcal{D}:y=-8x+1$ ? Donner l'équation de cette tangente.

Perpendiculaire à une droite de pente $-8$ : la tangente a pour pente $m$ avec $m\cdot(-8)=-1$ , soit $m=\dfrac18$ .
$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac18\iff 2\sqrt{x}=8\iff \sqrt{x}=4\iff x=16$ . Point : $f(16)=4\Rightarrow(16;4)$ .
Tangente : $y=(x-16)\cdot\dfrac18+4=\dfrac{x}{8}-2+4=\boxed{\dfrac{x}{8}+2}$ .

Exercice 99

Soit $f(x)=x^2$ . Déterminer les équations des tangentes à $\mathcal{C}_f$ qui passent par le point $A(0;-1)$ . (Indication : appeler $a$ l'abscisse du point de contact.)

Tangente au point d'abscisse $a$ : $f(a)=a^2$ , $f'(a)=2a$ , d'équation

y=(x-a)\cdot 2a+a^2=2ax-2a^2+a^2=2ax-a^2 .

Elle passe par $A(0;-1)$ ssi $-1=2a\cdot 0-a^2=-a^2$ , soit $a^2=1\iff a=\pm 1$ .
$a=1$ : $\boxed{y=2x-1}$ ; $a=-1$ : $\boxed{y=-2x-1}$ .

Exercice 1010

Soit $f(x)=x^2-3x$ . En quel point la tangente à $\mathcal{C}_f$ est-elle horizontale ? Donner l'équation de cette tangente.

$f'(x)=2x-3=0\iff x=\dfrac32$ . Ordonnée : $f\!\left(\dfrac32\right)=\dfrac94-\dfrac92=-\dfrac94$ , point $\left(\dfrac32;-\dfrac94\right)$ .
Tangente horizontale : $\boxed{y=-\dfrac94}$ .

Exercice 1111 — lecture graphique

Ci-dessous, la droite verte est la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $P$ d'abscisse $x_0=2$ ; elle passe par les points $A(1;-2)$ et $B(3;4)$ .

a)
Lire $f(2)$ et le nombre dérivé $f'(2)$ .
Le point de contact $P$ a pour ordonnée $f(2)=1$ . La pente lue entre $A(1;-2)$ et $B(3;4)$ est $\displaystyle f'(2)=\frac{4-(-2)}{3-1}=\frac{6}{2}=3$ . Donc $f(2)=1$ et $f'(2)=3$ .
b)
En déduire l'équation de la tangente.
Tangente : $y=(x-2)\cdot 3+1=3x-6+1=\boxed{3x-5}$ .
c)
La fonction $f$ est-elle croissante ou décroissante au voisinage de $x=2$ ? Justifier.
$f'(2)=3>0$ : le nombre dérivé est positif, donc $f$ est croissante au voisinage de $x=2$ .

Exercice 1212

Soit $f(x)=x^2+bx+3$ , où $b$ est un réel. Déterminer $b$ pour que la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x=2$ ait pour coefficient directeur $1$ , puis donner l'équation de cette tangente.

$f'(x)=2x+b$ . On impose $f'(2)=1$ : $2\cdot 2+b=1\iff 4+b=1\iff \boxed{b=-3}$ .
Alors $f(x)=x^2-3x+3$ et $f(2)=4-6+3=1$ .
Tangente : $y=(x-2)\cdot 1+1=x-2+1=\boxed{x-1}$ .

Exercice 1313

Soit $f(x)=x^3-3x^2+2$ . Déterminer le(s) point(s) de $\mathcal{C}_f$ où la tangente a pour pente $-3$ , puis donner l'équation de la tangente correspondante.

$f'(x)=3x^2-6x$ . On résout $f'(x)=-3$ :

3x^2-6x=-3\iff 3x^2-6x+3=0\iff x^2-2x+1=0\iff (x-1)^2=0\iff x=1 .

Un seul point : $f(1)=1-3+2=0\Rightarrow(1;0)$ (la pente $-3$ est en fait la pente minimale de $f'$ ).
Tangente : $y=(x-1)\cdot(-3)+0=\boxed{-3x+3}$ .

Exercice 1414

Soit $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ (avec $x\neq 0$ ). Déterminer les points de $\mathcal{C}_f$ où la tangente est horizontale, puis donner l'équation de chacune de ces tangentes.

$f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}$ . Tangente horizontale : $f'(x)=0\iff x^2=1\iff x=\pm 1$ .
Points : $f(1)=2\Rightarrow(1;2)$ et $f(-1)=-2\Rightarrow(-1;-2)$ .
Tangentes horizontales : $\boxed{y=2}$ (en $x=1$ ) et $\boxed{y=-2}$ (en $x=-1$ ).

Exercice 1515

Soit $f(x)=x^3$ . En quels points la tangente à $\mathcal{C}_f$ est-elle perpendiculaire à la droite $\mathcal{D}:y=-\dfrac{x}{3}$ ? Donner l'équation de chacune de ces tangentes.

La droite $\mathcal{D}$ a pour pente $-\dfrac13$ . Une tangente de pente $m$ lui est perpendiculaire ssi $m\cdot\left(-\dfrac13\right)=-1$ , soit $m=3$ .
$f'(x)=3x^2=3\iff x^2=1\iff x=\pm 1$ . Points : $(1;1)$ et $(-1;-1)$ .
$x=1$ : $y=(x-1)\cdot 3+1=\boxed{3x-2}$ ; $x=-1$ : $y=(x+1)\cdot 3-1=\boxed{3x+2}$ .

Difficile13 exercices

Exercice 11 — Lecture graphique d'une cubique

On considère la fonction $f(x)=x^3-3x$ , dont la courbe $\mathcal{C}_f$ est représentée ci-dessous. Elle monte, atteint un maximum en $x=-1$ , descend jusqu'à un minimum en $x=1$ , puis remonte.

Répondre par vrai/faux en justifiant par la lecture graphique.

a)
Donner le signe de $f'$ sur chacun des intervalles $]-\infty;-1[$ , $]-1;1[$ et $]1;+\infty[$ .
a) Signe de $f'$ . $f'$ traduit le sens de variation.
Sur $]-\infty;-1[$ la courbe monte $\Rightarrow f'>0$ .
b)
Que vaut $f'(-1)$ et $f'(1)$ ? Justifier.
Sur $]-1;1[$ la courbe descend $\Rightarrow f'<0$ .
c)
Où a-t-on $f''>0$ et où a-t-on $f''<0$ ? En déduire l'abscisse du point d'inflexion.
Sur $]1;+\infty[$ la courbe remonte $\Rightarrow f'>0$ .
Vérification analytique : $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$ , du signe attendu $(+,-,+)$ .
b) Valeurs $f'(-1)$ et $f'(1)$ . En $x=-1$ (maximum) et $x=1$ (minimum) la tangente est horizontale, donc
$f'(-1)=0\qquad\text{et}\qquad f'(1)=0.$
(On retrouve $f'(\pm 1)=3\cdot 1-3=0$ .)
c) Signe de $f''$ et point d'inflexion. $f''(x)=6x$ .
- Sur $]-\infty;0[$ : $f''<0$ , la courbe est concave ( $\smallfrown$ ).
- Sur $]0;+\infty[$ : $f''>0$ , la courbe est convexe ( $\smallsmile$ ).
$f''$ change de signe en $x=0$ : c'est le point d'inflexion, d'abscisse $\boxed{x=0}$ (point $(0;0)$ ).

Exercice 22 — Reconnaître la courbe de

f'

Soit $f$ une fonction cubique (de la forme $ax^3+bx^2+cx+d$ ) qui admet un maximum en $x=0$ et un minimum en $x=2$ .

Que valent $f'(0)$ et $f'(2)$ ?
Déterminer le signe de $f'$ avant $0$ , entre $0$ et $2$ , puis après $2$ .
En déduire que la courbe de $f'$ est une parabole tournée vers le haut passant par les points $(0;0)$ et $(2;0)$ .

a) Un extremum donne une tangente horizontale, donc $f'=0$ en ce point :

f'(0)=0\qquad\text{et}\qquad f'(2)=0.

b) Signe de $f'$ . Un maximum en $0$ : $f$ monte avant, descend après $\Rightarrow f'>0$ sur $]-\infty;0[$ puis $f'<0$ sur $]0;2[$ . Un minimum en $2$ : $f$ descend avant, monte après $\Rightarrow f'<0$ sur $]0;2[$ (cohérent) puis $f'>0$ sur $]2;+\infty[$ . Bilan : $(+,-,+)$ .

c) $f$ est cubique donc $f'$ est un polynôme du second degré (une parabole). Elle s'annule en $0$ et $2$ (racines) : $f'(x)=k\,x(x-2)$ . Comme $f'>0$ « à l'extérieur » des racines et $f'<0$ « entre » elles, la parabole est tournée vers le haut ( $k>0$ ), et elle passe bien par $(0;0)$ et $(2;0)$ .

Illustration avec l'exemple $f(x)=x^3-3x^2$ (alors $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ ) :

La parabole rouge ( $\mathcal{C}_{f'}$ ) est bien tournée vers le haut et coupe l'axe en $x=0$ et $x=2$ , précisément là où $\mathcal{C}_f$ (bleue) présente son maximum et son minimum.

Exercice 33 — Reconstituer les paramètres

Soit $f(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$ ). On sait que :

a)
la courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point $(0;2)$ ;
a) Traduction des conditions. On a $f(x)=ax^2+bx+c$ et $f'(x)=2ax+b$ .
$\mathcal{C}_f$ passe par $(0;2)$ : $f(0)=2\Rightarrow c=2$ .
b)
la tangente en $x=1$ est horizontale ;
tangente horizontale en $x=1$ : $f'(1)=0\Rightarrow 2a+b=0$ .
c)
$f(1)=0$ .
1. Traduire chacune des trois conditions (i), (ii), (iii) par une équation portant sur $a$ , $b$ , $c$ .
2. Résoudre le système obtenu.
3. Donner l'expression de $f$ et la factoriser.
$f(1)=0\Rightarrow a+b+c=0$ .
b) Résolution du système. De (i) : $c=2$ . On reporte dans (iii) : $a+b+2=0$ , soit $a+b=-2$ . Avec (ii) $b=-2a$ :
$a+(-2a)=-2\ \Longrightarrow\ -a=-2\ \Longrightarrow\ a=2,\quad b=-2a=-4,\quad c=2.$
c) Expression et factorisation.
$f(x)=2x^2-4x+2=2\,(x^2-2x+1)=\boxed{2\,(x-1)^2}.$
Contrôle : $f(0)=2$ ; $f(1)=0$ ; $f'(x)=4x-4$ , $f'(1)=0$ . La parabole a bien son sommet en $(1;0)$ , où la tangente est horizontale.

Exercice 44 — lire les variations sur la courbe de

f'

La courbe ci-dessous est celle de la dérivée $f'$ d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ . C'est une parabole tournée vers le haut qui coupe l'axe des abscisses en $x=-1$ et $x=2$ .

a)
Donner le signe de $f'$ sur $]-\infty;-1[$ , $]-1;2[$ et $]2;+\infty[$ .
La parabole $\mathcal{C}_{f'}$ est tournée vers le haut et s'annule en $-1$ et $2$ : elle est négative entre ses racines, positive à l'extérieur. Donc $f'>0$ sur $]-\infty;-1[$ , $f'<0$ sur $]-1;2[$ et $f'>0$ sur $]2;+\infty[$ .
b)
En déduire les variations de $f$ et la nature (maximum ou minimum) de chaque extrémum.
$f'>0\Rightarrow f$ croissante ; $f'<0\Rightarrow f$ décroissante. Ainsi $f$ croît, puis décroît, puis croît : elle présente un maximum en $x=-1$ et un minimum en $x=2$ .
c)
On sait de plus que $f(-1)=3$ . Donner l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x=-1$ .
En $x=-1$ (extrémum) la tangente est horizontale, car $f'(-1)=0$ . Son équation est donc $y=f(-1)$ , soit $\boxed{y=3}$ .

Exercice 55 — tangente formant un angle donné

Soit $f(x)=\dfrac{x^2}{2}$ .

a)
Déterminer le point où la tangente à $\mathcal{C}_f$ fait un angle de $45^\circ$ avec l'axe des abscisses (tangente montante), et donner son équation.
Un angle de $45^\circ$ correspond à une pente $\tan 45^\circ=1$ . Or $f'(x)=x$ , donc $f'(x)=1\iff x=1$ . Point : $f(1)=\dfrac12$ , soit $\left(1;\dfrac12\right)$ . Tangente : $y=(x-1)\cdot 1+\dfrac12=\boxed{x-\dfrac12}$ .
b)
Même question pour un angle de $135^\circ$ (tangente descendante).
Un angle de $135^\circ$ correspond à une pente $\tan 135^\circ=-1$ . $f'(x)=x=-1\iff x=-1$ . Point : $\left(-1;\dfrac12\right)$ . Tangente : $y=(x+1)\cdot(-1)+\dfrac12=\boxed{-x-\dfrac12}$ .
c)
Existe-t-il un point où la tangente serait verticale (angle de $90^\circ$ ) ? Justifier.
Une tangente verticale exigerait une pente infinie. Or $f'(x)=x$ est finie pour tout $x\in\mathbb{R}$ ( $f$ est dérivable partout) : il n'existe donc aucune tangente verticale.

Exercice 66 — tangente parallèle à une corde

Soit $f(x)=x^2$ et les deux points $A(1;1)$ et $B(3;9)$ de $\mathcal{C}_f$ .

a)
Déterminer l'équation de la corde $(AB)$ .
Pente de la corde : $\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{9-1}{3-1}=4$ . Elle passe par $A(1;1)$ : $y=4(x-1)+1=\boxed{4x-3}$ .
b)
Déterminer le point de $\mathcal{C}_f$ où la tangente est parallèle à cette corde, et donner l'équation de cette tangente.
Tangente parallèle $\Rightarrow$ même pente : $f'(x)=2x=4\iff x=2$ . Point : $f(2)=4$ , soit $(2;4)$ . Tangente : $y=(x-2)\cdot 4+4=\boxed{4x-4}$ .
c)
Vérifier que ce point a pour abscisse le milieu de $[1;3]$ , et interpréter géométriquement.
Milieu de $[1;3]$ : $\dfrac{1+3}{2}=2$ , qui est bien l'abscisse trouvée. Interprétation : pour une parabole, la tangente parallèle à une corde touche la courbe au point dont l'abscisse est le milieu des abscisses des extrémités de la corde.

Exercice 77 — deux courbes tangentes entre elles

On considère $f(x)=x^2$ et $g(x)=-(x-2)^2+c$ , où $c$ est un réel. On souhaite que les deux courbes soient tangentes : elles se touchent en un point où elles ont la même tangente.

a)
Écrire les deux conditions traduisant « même point de contact » et « même pente ».
Se toucher au même point avec la même tangente s'écrit : $f(x)=g(x)$ (même point) et $f'(x)=g'(x)$ (même pente). Ici $f'(x)=2x$ et $g'(x)=-2(x-2)$ .
b)
En déduire l'abscisse du point de contact, puis la valeur de $c$ .
Même pente : $2x=-2(x-2)\iff 2x=-2x+4\iff x=1$ . Même valeur : $f(1)=g(1)\iff 1=-(1-2)^2+c=-1+c\iff c=2$ . Point de contact : $(1;1)$ , et $g(x)=-(x-2)^2+2$ .
c)
Donner l'équation de la tangente commune.
Pente commune $f'(1)=2$ , point $(1;1)$ : tangente commune $y=(x-1)\cdot 2+1=\boxed{2x-1}$ .

Exercice 88 — reconstituer une fonction cubique

Soit $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ (avec $a\neq 0$ ). On sait que :

$\mathcal{C}_f$ passe par l'origine ;
la tangente en $x=0$ est horizontale ;
la tangente en $x=2$ est horizontale ;
$f(2)=-4$ .

Traduire chacune des conditions (i) à (iv) par une équation portant sur $a,b,c,d$ .
Résoudre le système obtenu.
Donner l'expression de $f$ , la factoriser, et vérifier les deux tangentes horizontales.

On a $f'(x)=3ax^2+2bx+c$ .

(i) $f(0)=0\Rightarrow d=0$ ; (ii) $f'(0)=0\Rightarrow c=0$ ; (iii) $f'(2)=0\Rightarrow 12a+4b+c=0$ ; (iv) $f(2)=-4\Rightarrow 8a+4b+2c+d=-4$ .
De (i)-(ii) : $c=0,\ d=0$ . (iii) devient $12a+4b=0\Rightarrow b=-3a$ . (iv) devient $8a+4b=-4$ , soit $8a-12a=-4\Rightarrow -4a=-4\Rightarrow a=1$ , puis $b=-3$ .
$f(x)=x^3-3x^2=\boxed{x^2(x-3)}$ . Contrôle : $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ s'annule en $x=0$ et $x=2$ : les tangentes y sont bien horizontales.

Exercice 99 — retrouver une parabole à partir de ses tangentes

Soit $f(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$ ). On sait que la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x=1$ est la droite $y=2x$ , et que la tangente au point d'abscisse $x=-1$ est horizontale.

a)
Traduire ces informations par trois équations portant sur $a,b,c$ (attention : « la tangente en $x=1$ est $y=2x$ » fournit deux conditions).
On a $f'(x)=2ax+b$ .
« Tangente $y=2x$ en $x=1$ » signifie que le point est sur la droite et que la pente vaut $2$ : $f(1)=2$ et $f'(1)=2$ . « Tangente horizontale en $x=-1$ » : $f'(-1)=0$ . D'où : $a+b+c=2$ , $2a+b=2$ , $-2a+b=0$ .
b)
Résoudre le système.
Les deux dernières donnent, par soustraction, $4a=2\Rightarrow a=\dfrac12$ , puis $b=2a=1$ . Enfin $a+b+c=2\Rightarrow \dfrac12+1+c=2\Rightarrow c=\dfrac12$ .
c)
Donner l'expression de $f$ , la factoriser, et vérifier les deux conditions de tangence.
$f(x)=\dfrac12 x^2+x+\dfrac12=\dfrac12\left(x^2+2x+1\right)=\boxed{\dfrac12(x+1)^2}$ . Contrôle : $f(-1)=0$ (sommet, tangente horizontale) ; $f(1)=2$ et $f'(x)=x+1$ donne $f'(1)=2$ , donc la tangente en $x=1$ est bien $y=2x$ .

Exercice 1010 — une aire indépendante du point de contact

Soit $f(x)=\dfrac{1}{x}$ et un réel $a>0$ . On note $T_a$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ .

a)
Déterminer l'équation de $T_a$ .
$f(a)=\dfrac1a$ , $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ donc $f'(a)=-\dfrac{1}{a^2}$ . Tangente : $y=-\dfrac{1}{a^2}(x-a)+\dfrac1a=-\dfrac{x}{a^2}+\dfrac1a+\dfrac1a=\boxed{-\dfrac{x}{a^2}+\dfrac{2}{a}}$ .
b)
Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $T_a$ avec l'axe des ordonnées puis avec l'axe des abscisses.
Avec l'axe des ordonnées ( $x=0$ ) : $y=\dfrac2a$ , point $\left(0;\dfrac2a\right)$ . Avec l'axe des abscisses ( $y=0$ ) : $-\dfrac{x}{a^2}+\dfrac2a=0\iff x=2a$ , point $(2a;0)$ .
c)
Montrer que l'aire du triangle formé par $T_a$ et les deux axes ne dépend pas de $a$ , et calculer cette aire.
Le triangle rectangle a pour côtés $2a$ (sur $Ox$ ) et $\dfrac2a$ (sur $Oy$ ). Son aire est $\displaystyle \mathcal{A}=\frac12\cdot 2a\cdot\frac2a=\frac12\cdot 4=\boxed{2}$ , indépendante de $a$ .
Illustration pour $a=1$ : le triangle a bien une aire de $\dfrac12\cdot 2\cdot 2=2$ .

Exercice 1111 — la tangente traverse la courbe

Soit $f(x)=x^3-3x^2+2x$ .

a)
Calculer $f''(x)$ et déterminer l'abscisse du point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ .
$f'(x)=3x^2-6x+2$ , donc $f''(x)=6x-6$ . $f''(x)=0\iff x=1$ , et $f''$ change de signe en $1$ : c'est le point d'inflexion, d'abscisse $x=1$ (avec $f(1)=1-3+2=0$ ).
b)
Donner l'équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ en ce point.
$f'(1)=3-6+2=-1$ . Tangente : $y=(x-1)\cdot(-1)+0=\boxed{-x+1}$ .
c)
Étudier le signe de la différence $f(x)-y_T$ (où $y_T$ est l'ordonnée de $T$ ) et en déduire que $\mathcal{C}_f$ traverse sa tangente au point d'inflexion.
$\displaystyle f(x)-(-x+1)=x^3-3x^2+2x+x-1=x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3$ . Ce cube est $<0$ pour $x<1$ et $>0$ pour $x>1$ : la différence change de signe en $1$ , donc $\mathcal{C}_f$ passe d'un côté à l'autre de $T$ : elle traverse sa tangente au point d'inflexion.

Exercice 1212 — tangentes issues d'un point donné

Soit $f(x)=x^3-3x$ et le point $P(2;2)$ .

a)
Déterminer l'équation de la tangente $T_a$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ .
$f(a)=a^3-3a$ , $f'(a)=3a^2-3$ . Tangente : $y=(3a^2-3)(x-a)+a^3-3a=(3a^2-3)x-3a^3+3a+a^3-3a=\boxed{(3a^2-3)x-2a^3}$ .
b)
Écrire que $T_a$ passe par $P(2;2)$ et montrer que cela conduit à l'équation $a^3-3a^2+4=0$ .
$P(2;2)\in T_a$ : $2=(3a^2-3)\cdot 2-2a^3=6a^2-6-2a^3$ . En réorganisant : $2a^3-6a^2+8=0$ , soit après division par $2$ : $a^3-3a^2+4=0$ .
c)
Résoudre cette équation (vérifier que $a=-1$ en est racine), puis donner les équations des tangentes à $\mathcal{C}_f$ issues de $P$ .
$a=-1$ : $(-1)^3-3(-1)^2+4=-1-3+4=0$ . On factorise : $a^3-3a^2+4=(a+1)(a^2-4a+4)=(a+1)(a-2)^2$ , d'où $a=-1$ ou $a=2$ (double).
$\bullet\ a=-1$ : pente $3-3=0$ , tangente $y=-2(-1)^3=2$ , soit $\boxed{y=2}$ (contact en $(-1;2)$ ).
$\bullet\ a=2$ : pente $12-3=9$ , tangente $y=9x-2\cdot 8=\boxed{9x-16}$ (contact en $(2;2)=P$ ).

Exercice 1313 — une pente jamais atteinte

Soit $f(x)=x+\dfrac{4}{x}$ , définie pour $x>0$ .

a)
Calculer $f'(x)$ et déterminer le point où la tangente à $\mathcal{C}_f$ est horizontale.
$f'(x)=1-\dfrac{4}{x^2}$ . Tangente horizontale : $f'(x)=0\iff x^2=4\iff x=2$ (car $x>0$ ). Point : $f(2)=2+2=4$ , soit $(2;4)$ ; tangente horizontale $\boxed{y=4}$ .
b)
Donner l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x=1$ .
$f(1)=1+4=5$ et $f'(1)=1-4=-3$ . Tangente : $y=(x-1)\cdot(-3)+5=\boxed{-3x+8}$ .
c)
Existe-t-il un point où la tangente est parallèle à la droite $y=x$ ? Justifier.
Parallèle à $y=x$ exigerait $f'(x)=1$ , soit $1-\dfrac{4}{x^2}=1\iff -\dfrac{4}{x^2}=0$ : impossible. Pour tout $x>0$ , $f'(x)=1-\dfrac{4}{x^2}<1$ : la pente $1$ n'est jamais atteinte (elle est seulement approchée quand $x\to+\infty$ ).

Revoir le tutoriel de cette mécanique