Tangente et lecture graphique

Soit $f$ dérivable en $x_0$. La tangente à la courbe de $f$ au point $P_0\big(x_0\,;f(x_0)\big)$ est la droite d'équation

Provenance. Une droite de pente $m$ passant par le point $(x_0;y_0)$ s'écrit $y=m(x-x_0)+y_0$. Pour la tangente, la pente vaut $m=f'(x_0)$ (c'est là tout le sens du nombre dérivé) et le point est $(x_0;f(x_0))$. On remplace : $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.

1. Calculer $f(x_0)$ : l'ordonnée du point de contact.
2. Dériver : calculer $f'(x)$, puis évaluer $f'(x_0)$ (la pente).
3. Remplacer dans $y=(x-x_0)f'(x_0)+f(x_0)$.
4. Développer et réduire pour obtenir $y=mx+p$.

• Tangente horizontale : elle a lieu là où $f'(x_0)=0$. Son équation est simplement $y=f(x_0)$ (souvent un extremum).
• Droites parallèles : même pente, $m_1=m_2$.
• Droites perpendiculaires : produit des pentes $m_1\cdot m_2=-1$, soit $m_2=-\dfrac{1}{m_1}$.
• Retrouver $f'(x_0)$ : si l'on connaît deux points $A$ et $B$ de la tangente, alors $f'(x_0)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ (pente entre deux points).

1. Point : $f(1)=1^2=1$, donc $P_0(1;1)$.
2. Pente : $f'(x)=2x$, donc $f'(1)=2$.
3. Remplacer : $y=(x-1)\cdot 2+1$.
4. Développer : $y=2x-2+1=\boxed{2x-1}$.