MathématiquesFiche 5 · DérivationNombre derive taux accroissement
Mécanique 1 · Tutoriel

Nombre derive taux accroissement

La mécanique à maîtriser avant de passer aux exercices.

*1. Le taux d'accroissement : une variation moyenne

Soit ff une fonction et x0x_0 un point de son domaine. Quand on part de x0x_0 et qu'on avance d'un petit pas hh (avec h≠0h\neq 0), la fonction passe de f(x0)f(x_0) à f(x0+h)f(x_0+h). Le taux d'accroissement de ff entre x0x_0 et x0+hx_0+h mesure la variation moyenne de ff sur cet intervalle :

τ(h)=f(x0+h)−f(x0)h=variation de la fonctionvariation de la variable.\tau(h)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =\frac{\text{variation de la fonction}}{\text{variation de la variable}}.
À retenirtrois lectures d'un même nombre

Le taux d'accroissement τ(h)\tau(h) se lit de trois façons équivalentes :

  • Variation moyenne de ff entre x0x_0 et x0+hx_0+h ;
  • Pente de la sécante passant par les points A(x0;f(x0))A\big(x_0;f(x_0)\big) et B(x0+h;f(x0+h))B\big(x_0+h;f(x_0+h)\big) ;
  • Vitesse moyenne si f(x)f(x) représente une position au temps xx.

*2. Passage à la limite : le nombre dérivé

Faisons maintenant tendre le pas hh vers 00 : le point BB glisse le long de la courbe et se rapproche de AA. La sécante (AB)(AB) pivote et tend vers une position limite : la tangente à la courbe au point AA. La pente de cette tangente est le nombre dérivé de ff en x0x_0 :

 f′(x0)=lim⁡h→0τ(h)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h \boxed{\,f'(x_0)=\lim_{h\to 0} \tau(h)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\,}

Quand h→0h\to 0 : la sécante (rouge) bascule vers la tangente (verte), et la variation moyenne τ(h)\tau(h) devient la variation instantanée f′(x0)f'(x_0).

À retenirdu moyen à l'instantané

f′(x0)f'(x_0) est à la fois la pente de la tangente en AA, la variation instantanée de ff en x0x_0, et la vitesse instantanée à l'instant x0x_0 si ff est une position.

Méthodecalculer f′(x0)f'(x_0) par la définition, en 4 étapes
  1. Écrire le taux d'accroissement τ(h)=f(x0+h)−f(x0)h\displaystyle\tau(h)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.
  2. Développer et simplifier le numérateur f(x0+h)−f(x0)f(x_0+h)-f(x_0) (le terme constant f(x0)f(x_0) doit disparaître, laissant hh en facteur).
  3. Simplifier par hh (on a le droit car h≠0h\neq 0).
  4. Faire tendre h→0h\to 0 : la limite obtenue est f′(x0)f'(x_0).
Exemplela fonction carré f(x)=x2f(x)=x^2

Étape 1. τ(h)=f(x0+h)−f(x0)h=(x0+h)2−x02h\displaystyle \tau(h)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{(x_0+h)^2-x_0^2}{h}.
Étape 2. On développe le numérateur :

(x0+h)2−x02=x02+2x0h+h2−x02=2x0h+h2=h(2x0+h).(x_0+h)^2-x_0^2=x_0^2+2x_0h+h^2-x_0^2=2x_0h+h^2=h(2x_0+h).

Étape 3. On simplifie par hh (licite car h≠0h\neq0) : τ(h)=h(2x0+h)h=2x0+h\displaystyle \tau(h)=\frac{h(2x_0+h)}{h}=2x_0+h.
Étape 4. On passe à la limite :

f′(x0)=lim⁡h→0(2x0+h)=2x0.f'(x_0)=\lim_{h\to 0} (2x_0+h)=2x_0.

Ainsi la pente de la tangente à la parabole au point d'abscisse x0x_0 vaut 2x02x_0.

Piège

On ne remplace jamais hh par 00 dès l'étape 1 : on obtiendrait 00\frac{0}{0}, forme indéterminée. Il faut d'abord simplifier par hh au numérateur, puis seulement faire h→0h\to 0.

Ensuite, 3 niveaux d'exercices :
FacileMoyenDifficile
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