Mécanique 2 · Tutoriel

Formulaire de derivation

La mécanique à maîtriser avant de passer aux exercices.

À retenirles six règles de base

Pour deux fonctions dérivables $U$ et $V$ et une constante $a\in\mathbb{R}$ :

N^o	Fonction	Dérivée
1	Constante $\;y=C$	C'=0
2	Variable $\;y=x$	x'=1
3	Puissance $\;y=x^{n}$	(x^n)'=n x^n-1
4	Somme et multiple $\;y=aU+bV$	(aU+bV)'=aU'+bV'
5	Produit $\;y=UV$	(UV)'=U'V+UV'
6	Quotient $\;y=\dfrac{U}{V}$	(UV)'=U'V-UV'V^2

La règle 3 est valable pour tout exposant réel $n$ (entier, négatif ou fractionnaire) : c'est elle qui gère les racines et les inverses.

Méthoderéécrire les racines et les inverses en puissances

Avant de dériver, on transforme toute racine ou tout inverse en une puissance $x^{n}$ , puis on applique $(x^{n})'=n\,x^{n-1}$ :

\sqrt{x}=x^{1/2},\qquad \sqrt[3]{x^{2}}=x^{2/3},\qquad \frac{1}{x^{n}}=x^{-n},\qquad \frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}.

Exemple d'automatisme : $y=\sqrt{x}=x^{1/2}\ \Rightarrow\ y'=\tfrac12\,x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ .
De même $y=\dfrac{1}{x^{3}}=x^{-3}\ \Rightarrow\ y'=-3\,x^{-4}=-\dfrac{3}{x^{4}}$ .

Piègeles deux erreurs classiques

Produit : $(UV)'\neq U'V'$ . Il faut deux termes : $(UV)'=U'V+UV'$ .
Quotient : l'ordre du numérateur est imposé : $\left(\dfrac{U}{V}\right)'=\dfrac{U'V-UV'}{V^{2}}$ , jamais $\dfrac{UV'-U'V}{V^{2}}$ . Le terme qui commence par $U'$ vient en premier, et le dénominateur est $V^{2}$ (le carré du dénominateur, pas de $U$ ).

Exempleun produit : $y=x\sqrt{x}$

On pose $U=x$ et $V=\sqrt{x}=x^{1/2}$ , d'où $U'=1$ et $V'=\tfrac12 x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ .

y'=U'V+UV'=1\cdot\sqrt{x}+x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} =\sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{2}=\frac{3}{2}\sqrt{x}.

Vérification par réécriture directe : $y=x\cdot x^{1/2}=x^{3/2}$ , donc $y'=\tfrac32 x^{1/2}=\tfrac32\sqrt{x}$ .

Exempleun quotient : $y=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+1}$

On pose $U=x^{2}$ et $V=x^{2}+1$ , d'où $U'=2x$ et $V'=2x$ .

y'=\frac{U'V-UV'}{V^{2}} =\frac{2x\,(x^{2}+1)-x^{2}\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{2x^{3}+2x-2x^{3}}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}.

Le terme $U'V$ est bien écrit en premier, et on développe le numérateur avant de simplifier.

Ensuite, 3 niveaux d'exercices :

FacileMoyenDifficile

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