Variations extremums concavite

Signe de $f'$ $\Longleftrightarrow$ variations.

• $f'(x)>0$ sur un intervalle $\Rightarrow$ $f$ croissante ($\nearrow$).
• $f'(x)<0$ sur un intervalle $\Rightarrow$ $f$ décroissante ($\searrow$).
• $f'$ s'annule en changeant de signe $\Rightarrow$ extremum : $+$ puis $-$ $=$ maximum ; $-$ puis $+$ $=$ minimum.

Signe de $f''$ $\Longleftrightarrow$ concavité.

• $f''(x)>0$ $\Rightarrow$ courbe convexe (concave vers le haut, « bol » $\smile$).
• $f''(x)<0$ $\Rightarrow$ courbe concave (concave vers le bas, « cloche » $\frown$).
• $f''$ s'annule en changeant de signe $\Rightarrow$ point d'inflexion.

1. Domaine de $f$ (valeurs interdites : dénominateur nul, $\ln$ négatif…).
2. Calculer la dérivée $f'(x)$.
3. Résoudre $f'(x)=0$ pour trouver les valeurs critiques.
4. Étudier le signe de $f'$ en factorisant (produit de facteurs, règle des signes).
5. Reporter le signe dans le tableau et tracer les flèches ($\nearrow$ si $+$, $\searrow$ si $-$).
6. Repérer les extremums là où $f'$ change de signe et calculer leur valeur $f(x_0)$.

Il faut un changement de signe de $f'$. Par exemple $f(x)=(3x-1)^2$ ou $f(x)=x^3$ : la dérivée s'annule mais reste du même signe de part et d'autre. Alors aucun extremum (pour $x^3$, c'est un point d'inflexion à tangente horizontale).

Soit $f(x)=x^2-4x+3$ sur $\mathbb{R}$.

• Dérivée : $f'(x)=2x-4$.
• $f'(x)=0 \iff x=2$.
• Signe : $f'(x)<0$ pour $x<2$ ($\searrow$), $f'(x)>0$ pour $x>2$ ($\nearrow$).
• Donc $f'$ passe de $-$ à $+$ : minimum en $x=2$, de valeur $f(2)=4-8+3=-1$.