conservation energie mecanique

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Facile15 exercices

Exercice 1vitesse en bas d'une chute libre

On lâche sans vitesse initiale une bille d'une hauteur $h=5\,\mathrm{m}$ (sans frottement, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

En utilisant la conservation de l'énergie ( $\tfrac12 m v^2=mgh$ ), calcule la vitesse $v$ à l'arrivée au sol.

$\tfrac12 m v^2=mgh$ : la masse se simplifie, $v^2=2gh=2\times10\times5=100$ , donc $v=\sqrt{100}=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 2hauteur maximale d'un lancer vertical

On lance verticalement vers le haut un objet avec une vitesse $v_0=20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , sans frottement). Au sommet, sa vitesse s'annule. Calcule la hauteur maximale $h_{\max}=\dfrac{v_0^2}{2g}$ qu'il atteint.

h_{\max}=\frac{v_0^2}{2g}=\frac{20^2}{2\times10}=\frac{400}{20}=20\,\mathrm{m}.

Exercice 3conversion de l'énergie potentielle en énergie cinétique

Une bille de masse $m=2\,\mathrm{kilogram}$ est lâchée du repos en haut d'une piste lisse, à une hauteur $h=3\,\mathrm{m}$ au-dessus du bas de la piste ( $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
Que vaut son énergie potentielle en haut (référence $E_p=0$ en bas) ?
$E_p=mgh=2\times10\times3=60\,\mathrm{J}$ .
b)
Sans frottement, toute cette énergie devient cinétique en bas. Quelle est l'énergie cinétique $E_c$ de la bille en bas de la piste ?
Sans frottement, $E_m$ se conserve : en bas $E_p=0$ , donc $E_c=E_m=E_p(\text{haut})=60\,\mathrm{J}$ .

Exercice 4vitesse en bas d'une pente sans frottement

Un objet part du repos et glisse sans frottement le long d'une pente. La dénivellation (hauteur de descente) vaut $h=1{,}8\,\mathrm{m}$ ( $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

Calcule la vitesse $v=\sqrt{2gh}$ en bas de la pente. Ce résultat dépend-il de l'inclinaison ?

$v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times10\times1,8}=\sqrt{36}=6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Non, ce résultat ne dépend pas de l'inclinaison : seule la hauteur de descente $h$ compte (une pente plus douce donne la même vitesse finale, sur une distance plus longue).

Exercice 5l'énergie mécanique se conserve

Au sommet d'une piste lisse, un chariot au repos possède une énergie potentielle $E_p=80\,\mathrm{J}$ et une énergie cinétique nulle. On prend la référence $E_p=0$ en bas.

a)
Que vaut l'énergie mécanique $E_m$ du chariot au sommet ?
Au sommet : $E_m=E_c+E_p=0+80=80\,\mathrm{J}$ .
b)
En bas de la piste, l'énergie potentielle est nulle. Déduis-en l'énergie cinétique $E_c$ en bas, en utilisant la conservation de $E_m$ .
Sans frottement $E_m$ reste égale à $80\,\mathrm{J}$ . En bas $E_p=0$ , donc $E_c=E_m-E_p=80-0=80\,\mathrm{J}$ .

Exercice 6énergie cinétique et énergie mécanique

Un chariot de masse $m=3\,\mathrm{kilogram}$ roule à la vitesse $v=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sur un rail horizontal. On prend la référence $E_p=0$ au niveau du rail.

a)
Calcule son énergie cinétique $E_c=\tfrac12 m v^2$ .
$E_c=\tfrac12 m v^2=\tfrac12\times3\times4^2=\tfrac12\times3\times16=24\,\mathrm{J}$ .
b)
Quelle est son énergie mécanique $E_m=E_c+E_p$ ?
Sur le rail horizontal $E_p=0$ , donc $E_m=E_c+E_p=24+0=24\,\mathrm{J}$ .

Exercice 7énergie mécanique d'un objet en vol

Un drone de masse $m=2\,\mathrm{kilogram}$ vole à l'altitude $h=5\,\mathrm{m}$ à la vitesse $v=6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , référence $E_p=0$ au sol).

a)
Calcule son énergie cinétique $E_c$ .
$E_c=\tfrac12 m v^2=\tfrac12\times2\times6^2=36\,\mathrm{J}$ .
b)
Calcule son énergie potentielle $E_p$ .
$E_p=mgh=2\times10\times5=100\,\mathrm{J}$ .
c)
Déduis-en son énergie mécanique $E_m$ .
$E_m=E_c+E_p=36+100=136\,\mathrm{J}$ .

Exercice 8de quelle hauteur est-il tombé ?

Un objet lâché sans vitesse initiale (sans frottement) arrive au sol à la vitesse $v=20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ). En utilisant la conservation de l'énergie ( $\tfrac12 m v^2=mgh$ ), retrouve la hauteur $h=\dfrac{v^2}{2g}$ de laquelle il est tombé.

$h=\dfrac{v^2}{2g}=\dfrac{20^2}{2\times10}=\dfrac{400}{20}=20\,\mathrm{m}$ .

Exercice 9quelle vitesse pour cette hauteur ?

On veut qu'un objet lancé verticalement vers le haut atteigne exactement $h_{\max}=5\,\mathrm{m}$ (sans frottement, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ). Quelle vitesse initiale $v_0=\sqrt{2g\,h_{\max}}$ faut-il lui donner ?

$v_0=\sqrt{2g\,h_{\max}}=\sqrt{2\times10\times5}=\sqrt{100}=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 10la balançoire

Une balançoire est écartée puis lâchée sans vitesse depuis une hauteur $h=0.8\,\mathrm{m}$ au-dessus de son point le plus bas (frottements négligés, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

Calcule la vitesse $v=\sqrt{2gh}$ au passage par le point le plus bas.

Sans frottement, $\tfrac12 m v^2=mgh$ (la masse se simplifie) : $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times10\times0,8}=\sqrt{16}=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 11énergie stockée dans un ressort

On comprime un ressort de raideur $k=200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ d'une longueur $x=0.1\,\mathrm{m}$ . Calcule l'énergie potentielle élastique $E_p=\tfrac12 k x^2$ ainsi emmagasinée.

$E_p=\tfrac12 k x^2=\tfrac12\times200\times0,1^2=\tfrac12\times200\times0,01=1\,\mathrm{J}$ .

Exercice 12retrouver la vitesse à partir de l'énergie

Sur une piste lisse, l'énergie mécanique d'un mobile de masse $m=2\,\mathrm{kilogram}$ se conserve et vaut $E_m=100\,\mathrm{J}$ . En un point, son énergie potentielle vaut $E_p=36\,\mathrm{J}$ .

a)
Quelle est son énergie cinétique $E_c=E_m-E_p$ en ce point ?
$E_c=E_m-E_p=100-36=64\,\mathrm{J}$ .
b)
Déduis-en sa vitesse $v=\sqrt{2E_c/m}$ .
$v=\sqrt{\dfrac{2E_c}{m}}=\sqrt{\dfrac{2\times64}{2}}=\sqrt{64}=8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 13deux billes de masses différentes

On lâche sans vitesse initiale, de la même hauteur $h=0.8\,\mathrm{m}$ et sans frottement, une bille de $2\,\mathrm{kilogram}$ et une bille de $5\,\mathrm{kilogram}$ ( $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
Calcule la vitesse de chacune en bas ( $v=\sqrt{2gh}$ ).
$v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times10\times0,8}=\sqrt{16}=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pour chacune.
b)
Laquelle arrive avec la plus grande vitesse ?
Elles arrivent à la même vitesse : $v=\sqrt{2gh}$ ne dépend pas de la masse.

Exercice 14à mi-hauteur

Au sommet d'une piste lisse, un chariot est lâché sans vitesse ; son énergie mécanique vaut $E_m=200\,\mathrm{J}$ (référence $E_p=0$ en bas). Lorsqu'il est passé à la moitié de la hauteur de descente :

a)
Que vaut son énergie potentielle $E_p$ ?
Au sommet $E_c=0$ donc $E_p(\text{sommet})=E_m=200\,\mathrm{J}$ . Comme $E_p=mgh$ est proportionnelle à la hauteur, à mi-hauteur $E_p=\tfrac12\times200=100\,\mathrm{J}$ .
b)
Que vaut alors son énergie cinétique $E_c$ ?
$E_c=E_m-E_p=200-100=100\,\mathrm{J}$ (l'énergie est alors répartie moitié-moitié).

Exercice 15un ressort qui propulse une bille

Un ressort comprimé stocke une énergie élastique de $8\,\mathrm{J}$ . En se détendant, il propulse horizontalement une bille de masse $m=0.25\,\mathrm{kilogram}$ sur un rail lisse ; toute l'énergie du ressort devient cinétique.

a)
Quelle est l'énergie cinétique $E_c$ acquise par la bille ?
Toute l'énergie élastique devient cinétique : $E_c=8\,\mathrm{J}$ .
b)
Déduis-en sa vitesse $v=\sqrt{2E_c/m}$ .
$v=\sqrt{\dfrac{2E_c}{m}}=\sqrt{\dfrac{2\times8}{0,25}}=\sqrt{64}=8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Moyen15 exercices

Exercice 1à quelle altitude le skieur atteint-il sa vitesse ?

Un skieur, initialement à l'arrêt au sommet d'une piste située à $2500\,\mathrm{m}$ d'altitude, se laisse glisser sans frottement. On prend $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
Convertis $72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , puis calcule la dénivellation $\Delta h$ nécessaire pour atteindre cette vitesse ( $\tfrac12 v^2=g\,\Delta h$ ).
$v=\dfrac{72}{3,6}=20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Conservation : $\tfrac12 v^2=g\,\Delta h$ , donc $\Delta h=\dfrac{v^2}{2g}=\dfrac{20^2}{2\times10}=\dfrac{400}{20}=20\,\mathrm{m}$ .
b)
À quelle altitude le skieur roule-t-il alors à $72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?
Le skieur a perdu $20\,\mathrm{m}$ d'altitude : il est à $2500-20=2480\,\mathrm{m}$ .

Exercice 2vitesse après une descente sur plan incliné

Un bloc part du repos et glisse sans frottement sur un plan incliné à $\beta=30^{\circ}$ . Il parcourt $L=10\,\mathrm{m}$ le long de la pente ( $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $\sin30^{\circ}=0,5$ ).

a)
Calcule la hauteur de descente $h=L\sin30^{\circ}$ .
$h=L\sin30^{\circ}=10\times0,5=5\,\mathrm{m}$ .
b)
Déduis-en la vitesse $v=\sqrt{2gh}$ après ces $10\,\mathrm{m}$ .
$v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times10\times5}=\sqrt{100}=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 3la balle qui rebondit

Une balle rebondit sur une plateforme située à $3\,\mathrm{m}$ de hauteur. Juste après l'impact, sa vitesse est dirigée vers le haut et vaut $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (frottements négligés, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
De quelle hauteur supplémentaire $\Delta h$ la balle monte-t-elle au-dessus de la plateforme ( $\Delta h=v^2/2g$ ) ?
$\Delta h=\dfrac{v^2}{2g}=\dfrac{10^2}{2\times10}=\dfrac{100}{20}=5\,\mathrm{m}$ au-dessus de la plateforme.
b)
Quelle est la hauteur maximale atteinte par rapport au sol ?
Hauteur maximale par rapport au sol : $3+5=8\,\mathrm{m}$ .

Exercice 4le sac lâché d'une montgolfière

Une montgolfière s'élève à $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ lorsqu'elle est à $120\,\mathrm{m}$ d'altitude. On y lâche un sac de sable (frottements négligés, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
Au moment du lâcher, quelle est la vitesse du sac, et dans quel sens ? De quelle hauteur supplémentaire monte-t-il encore avant de redescendre ?
Au lâcher, le sac possède la vitesse de la montgolfière : $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vers le haut. Il continue donc de monter de $\Delta h=\dfrac{v^2}{2g}=\dfrac{10^2}{2\times10}=5\,\mathrm{m}$ avant de redescendre.
b)
Quelle est la hauteur maximale du sac par rapport au sol ?
Hauteur maximale par rapport au sol : $120+5=125\,\mathrm{m}$ .

Exercice 5le wagon des montagnes russes

Un wagon de montagnes russes part du repos au sommet $A$ , à $h_A=45\,\mathrm{m}$ , sur un rail sans frottement ( $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
Calcule la vitesse au point le plus bas $B$ ( $h_B=0$ ).
Conservation entre $A$ et $B$ : $\tfrac12 m v_B^2=mg\,h_A$ , d'où $v_B=\sqrt{2g\,h_A}=\sqrt{2\times10\times45}=\sqrt{900}=30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Calcule la vitesse au sommet suivant $C$ , situé à $h_C=20\,\mathrm{m}$ .
Entre $A$ et $C$ : $\tfrac12 m v_C^2=mg(h_A-h_C)$ , donc $v_C=\sqrt{2g(h_A-h_C)}=\sqrt{2\times10\times25}=\sqrt{500}\approx22{,}4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 6vitesse à une hauteur donnée

Un objet de masse $m=0.5\,\mathrm{kilogram}$ est lancé verticalement vers le haut à $v_0=20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (sans frottement, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
Calcule son énergie mécanique $E_m$ (référence $E_p=0$ au sol).
$E_m=\tfrac12 m v_0^2=\tfrac12\times0,5\times20^2=\tfrac12\times0,5\times400=100\,\mathrm{J}$ .
b)
Quelle est sa vitesse lorsqu'il passe à la hauteur $h=15\,\mathrm{m}$ ?
Conservation : $\tfrac12 m v_0^2=\tfrac12 m v^2+mgh$ , d'où $v=\sqrt{v_0^2-2gh}=\sqrt{400-2\times10\times15}=\sqrt{400-300}=\sqrt{100}=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 7le pendule

Un pendule de longueur $L=2.5\,\mathrm{m}$ est écarté d'un angle $\theta=60^{\circ}$ par rapport à la verticale, puis lâché sans vitesse (frottements négligés, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $\cos60^{\circ}=0,5$ ).

a)
Montre que la hauteur de descente vaut $h=L(1-\cos\theta)$ et calcule-la.
Le point le plus bas est à la distance $L$ sous le pivot ; à l'angle $\theta$ , le pendule est à $L\cos\theta$ sous le pivot. La hauteur de descente vaut donc $h=L-L\cos\theta=L(1-\cos\theta)=2,5\times(1-0,5)=2,5\times0,5=1{,}25\,\mathrm{m}$ .
b)
Déduis-en la vitesse du pendule au point le plus bas.
$v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times10\times1,25}=\sqrt{25}=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 8franchir une bosse

Un chariot arrive au pied d'une bosse à la vitesse $v_0=8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (rail lisse, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
Quelle est sa vitesse au sommet d'une bosse de hauteur $h=2\,\mathrm{m}$ ( $v=\sqrt{v_0^2-2gh}$ ) ?
$v=\sqrt{v_0^2-2gh}=\sqrt{8^2-2\times10\times2}=\sqrt{64-40}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\approx4{,}9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Quelle est la hauteur maximale de bosse qu'il peut tout juste franchir avec cette vitesse initiale ?
Il franchit tout juste une bosse pour laquelle sa vitesse s'annule au sommet : $h_{\max}=\dfrac{v_0^2}{2g}=\dfrac{64}{20}=3{,}2\,\mathrm{m}$ .

Exercice 9le ressort lanceur

Un ressort horizontal de raideur $k=800\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ est comprimé de $x=0.5\,\mathrm{m}$ contre un bloc de masse $m=2\,\mathrm{kilogram}$ . On libère le bloc, qui part sur un rail lisse puis monte une pente (frottements négligés, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
Calcule l'énergie élastique $E_p=\tfrac12 k x^2$ initialement stockée.
$E_p=\tfrac12 k x^2=\tfrac12\times800\times0,5^2=\tfrac12\times800\times0,25=100\,\mathrm{J}$ .
b)
Jusqu'à quelle hauteur $h$ le bloc monte-t-il ?
Sans frottement cette énergie devient cinétique puis potentielle : $E_p=mgh$ , donc $h=\dfrac{E_p}{mg}=\dfrac{100}{2\times10}=5\,\mathrm{m}$ .
c)
Si la pente fait $30^{\circ}$ avec l'horizontale, quelle distance $L$ parcourt-il le long de la pente ( $h=L\sin30^{\circ}$ ) ?
$L=\dfrac{h}{\sin30^{\circ}}=\dfrac{5}{0,5}=10\,\mathrm{m}$ .

Exercice 10deux points d'un grand huit

Sur un grand huit sans frottement, un wagon de masse $m=2\,\mathrm{kilogram}$ passe au point $A$ (altitude $h_A=10\,\mathrm{m}$ ) à la vitesse $v_A=6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
Calcule l'énergie mécanique $E_m$ du wagon en $A$ .
$E_m=\tfrac12 m v_A^2+mg\,h_A=\tfrac12\times2\times6^2+2\times10\times10=36+200=236\,\mathrm{J}$ .
b)
Quelle est sa vitesse au point $B$ situé à $h_B=2\,\mathrm{m}$ ?
En $B$ : $\tfrac12 m v_B^2=E_m-mg\,h_B=236-2\times10\times2=236-40=196\,\mathrm{J}$ , donc $v_B=\sqrt{\dfrac{2\times196}{2}}=\sqrt{196}=14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (Ou directement $v_B=\sqrt{v_A^2+2g(h_A-h_B)}=\sqrt{36+160}=\sqrt{196}$ .)

Exercice 11pierre lancée vers le bas

Du haut d'une falaise de hauteur $h=10\,\mathrm{m}$ , on lance une pierre vers le bas avec une vitesse initiale $v_0=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (frottements négligés, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
Quelle est la vitesse d'impact au sol ( $v=\sqrt{v_0^2+2gh}$ ) ?
$v=\sqrt{v_0^2+2gh}=\sqrt{5^2+2\times10\times10}=\sqrt{25+200}=\sqrt{225}=15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Quelle aurait été cette vitesse si on avait simplement lâché la pierre sans vitesse ? Commente.
Sans vitesse initiale : $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{200}\approx14{,}1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . La vitesse de lancer n'ajoute qu'environ $0{,}9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : l'essentiel de la vitesse d'impact provient de la chute.

Exercice 12où la vitesse est-elle divisée par deux ?

Une bille est lâchée sans vitesse (sans frottement) du haut d'une piste de hauteur $H=4\,\mathrm{m}$ ( $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
Calcule sa vitesse $v_{\text{bas}}$ en bas de la piste.
$v_{\text{bas}}=\sqrt{2gH}=\sqrt{2\times10\times4}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\approx8{,}9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
À quelle hauteur au-dessus du bas sa vitesse ne vaut-elle plus que la moitié de $v_{\text{bas}}$ ?
Si $v=\tfrac12 v_{\text{bas}}$ alors $E_c=\tfrac14 E_c(\text{bas})=\tfrac14 E_m$ , donc $E_p=\tfrac34 E_m$ et la hauteur vaut $h=\tfrac34 H=\tfrac34\times4=3\,\mathrm{m}$ (la vitesse y vaut $\approx4{,}47\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ).

Exercice 13lancé vers le haut d'une pente

Un palet est lancé vers le haut d'un plan incliné à $\beta=30^{\circ}$ avec une vitesse $v_0=6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (rail lisse, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $\sin30^{\circ}=0,5$ ).

a)
Jusqu'à quelle hauteur $h$ s'élève-t-il ?
$h=\dfrac{v_0^2}{2g}=\dfrac{6^2}{2\times10}=\dfrac{36}{20}=1{,}8\,\mathrm{m}$ .
b)
Quelle distance $L$ parcourt-il le long de la pente avant de s'arrêter ?
$L=\dfrac{h}{\sin30^{\circ}}=\dfrac{1,8}{0,5}=3{,}6\,\mathrm{m}$ (indépendant de la masse).

Exercice 14la hauteur de la colline

Une voiture aborde une colline (sans moteur, frottements négligés) : en bas sa vitesse vaut $v_A=15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , et au sommet $v_B=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
Quelle est la hauteur $\Delta h$ de la colline ?
Conservation : $\tfrac12 m v_A^2=\tfrac12 m v_B^2+mg\,\Delta h$ , donc $\Delta h=\dfrac{v_A^2-v_B^2}{2g}=\dfrac{15^2-5^2}{2\times10}=\dfrac{225-25}{20}=\dfrac{200}{20}=10\,\mathrm{m}$ .
b)
Ce résultat dépend-il de la masse de la voiture ?
Non : la masse se simplifie, $\Delta h$ n'en dépend pas.

Exercice 15monter une côte en roue libre

Une voiture roule à $108\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Le conducteur débraye et la laisse monter une côte sans moteur (frottements négligés, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
Convertis la vitesse en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
$v=\dfrac{108}{3,6}=30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Quelle est la hauteur maximale $h_{\max}$ que la voiture peut gravir ainsi ?
$h_{\max}=\dfrac{v^2}{2g}=\dfrac{30^2}{2\times10}=\dfrac{900}{20}=45\,\mathrm{m}$ .

Difficile15 exercices

Exercice 1énergie dissipée par les frottements de l'air

Une pierre de masse $m=5\,\mathrm{kilogram}$ est lâchée sans vitesse initiale et tombe d'une hauteur $h=10\,\mathrm{m}$ . À cause de la résistance de l'air, elle n'arrive au sol qu'à $v=12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
Calcule l'énergie potentielle de pesanteur perdue ( $mgh$ ) et l'énergie cinétique réellement acquise ( $\tfrac12 m v^2$ ).
$mgh=5\times10\times10=500\,\mathrm{J}$ (énergie potentielle perdue) ; $\tfrac12 m v^2=\tfrac12\times5\times12^2=\tfrac12\times5\times144=360\,\mathrm{J}$ (énergie cinétique acquise).
b)
Déduis-en l'énergie dissipée par les frottements de l'air.
L'écart a été dissipé par l'air : $E_{\text{dissipée}}=mgh-\tfrac12 m v^2=500-360=140\,\mathrm{J}$ .

Exercice 2une descente avec frottement

Un skieur de masse $m=60\,\mathrm{kilogram}$ descend une piste et perd une dénivellation $\Delta h=20\,\mathrm{m}$ . À cause des frottements, il arrive en bas à $v=15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
Quelle vitesse aurait-il eue sans frottement ? (utilise $v=\sqrt{2g\,\Delta h}$ )
Sans frottement : $v=\sqrt{2g\,\Delta h}=\sqrt{2\times10\times20}=\sqrt{400}=20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (au lieu de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ).
b)
Calcule l'énergie mécanique dissipée par les frottements ( $mg\,\Delta h-\tfrac12 m v^2$ ).
$E_{\text{dissipée}}=mg\,\Delta h-\tfrac12 m v^2=60\times10\times20-\tfrac12\times60\times15^2 =12000-6750=5250\,\mathrm{J}$ .

Exercice 3vrai ou faux : conversions d'énergie d'une balle lancée

Une balle de masse $m=0{,}2\,\mathrm{kilogram}$ est lancée du sol verticalement vers le haut à $v_0=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (sans frottement, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ). Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

a)
L'énergie mécanique de la balle vaut $10\,\mathrm{J}$ pendant tout le mouvement.
Énergie mécanique : $E_m=\tfrac12 m v_0^2=\tfrac12\times0,2\times10^2=10\,\mathrm{J}$ .
Vrai. Sans frottement $E_m=10\,\mathrm{J}$ est constante tout au long du mouvement.
b)
La hauteur maximale atteinte est $10\,\mathrm{m}$ .
Faux. $h_{\max}=\dfrac{v_0^2}{2g}=\dfrac{100}{20}=5\,\mathrm{m}$ (et non $10\,\mathrm{m}$ ).
c)
À une hauteur de $2{,}5\,\mathrm{m}$ , l'énergie potentielle vaut $5\,\mathrm{J}$ et l'énergie cinétique $5\,\mathrm{J}$ .
Vrai. $E_p=mgh=0,2\times10\times2,5=5\,\mathrm{J}$ , donc $E_c=E_m-E_p=10-5=5\,\mathrm{J}$ .
d)
Lorsque la vitesse s'annule, l'énergie potentielle a augmenté de $10\,\mathrm{J}$ par rapport au sol.
Vrai. Au sommet $v=0$ : toute l'énergie est potentielle, $E_p=E_m=10\,\mathrm{J}$ , soit une augmentation de $10\,\mathrm{J}$ depuis le sol.

Exercice 4vrai ou faux : l'indépendance de la masse

On néglige tous les frottements. Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

a)
Deux objets de masses différentes lâchés de la même hauteur arrivent en bas à la même vitesse.
Vrai. $v=\sqrt{2gh}$ ne dépend pas de $m$ : même hauteur $\Rightarrow$ même vitesse.
b)
Deux objets lancés verticalement avec la même vitesse initiale montent à la même hauteur, quelle que soit leur masse.
Vrai. $h_{\max}=\dfrac{v_0^2}{2g}$ ne dépend pas de $m$ : même $v_0$ $\Rightarrow$ même hauteur.
c)
Sur une même piste, le skieur le plus lourd arrive en bas avec une vitesse plus grande que le plus léger.
Faux. La vitesse en bas $v=\sqrt{2gh}$ est la même pour les deux skieurs (la masse se simplifie).
d)
La hauteur maximale d'un lancer vertical dépend de la masse de l'objet.
Faux. $h_{\max}=\dfrac{v_0^2}{2g}$ est indépendante de la masse.

Exercice 5capstone : de la pente au ressort

Un bloc de masse $m=2\,\mathrm{kilogram}$ part du repos en haut d'une piste sans frottement, à une hauteur $h=1{,}6\,\mathrm{m}$ . En bas, la piste devient horizontale et le bloc vient comprimer un ressort de raideur $k=1600\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . On prend $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
Calcule l'énergie potentielle de pesanteur du bloc en haut (référence en bas). Que devient-elle en bas de la piste ?
$E_p=mgh=2\times10\times1,6=32\,\mathrm{J}$ . Sans frottement, en bas de la piste cette énergie est intégralement devenue cinétique : $E_c=32\,\mathrm{J}$ .
b)
À la compression maximale, toute l'énergie est stockée dans le ressort ( $mgh=\tfrac12 k x^2$ ). Calcule la compression maximale $x$ .
À la compression maximale, le bloc est arrêté et toute l'énergie est élastique : $mgh=\tfrac12 k x^2$ , donc
$x=\sqrt{\frac{2mgh}{k}}=\sqrt{\frac{2\times32}{1600}}=\sqrt{\frac{64}{1600}}=\sqrt{0,04}=0{,}2\,\mathrm{m}.$

Exercice 6le looping

Un mobile est lâché sans vitesse, sur un rail sans frottement, d'une hauteur $H$ au-dessus du sol. Il aborde ensuite une boucle circulaire verticale de rayon $R=2\,\mathrm{m}$ ( $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
Pour $H=5\,\mathrm{m}$ , calcule la vitesse $v_{\text{bas}}$ au bas de la boucle.
$v_{\text{bas}}=\sqrt{2gH}=\sqrt{2\times10\times5}=\sqrt{100}=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Quelle est alors la vitesse $v_{\text{haut}}$ au sommet de la boucle (altitude $2R$ ) ?
Entre le bas et le sommet, l'altitude augmente de $2R=4\,\mathrm{m}$ : $v_{\text{haut}}=\sqrt{v_{\text{bas}}^2-2g(2R)}=\sqrt{100-2\times10\times4}=\sqrt{20}\approx4{,}47\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
c)
Au sommet, le mobile ne reste en contact avec le rail que si $v_{\text{haut}}^2\ge gR$ . Quelle est la hauteur minimale $H_{\min}$ de lâcher ?
$v_{\text{haut}}^2=2gH-4gR\ge gR\ \Longrightarrow\ 2gH\ge 5gR\ \Longrightarrow\ H\ge \tfrac52 R =2,5\times2=5\,\mathrm{m}$ . Donc $H_{\min}=5\,\mathrm{m}$ (la valeur du a) est le cas limite).
d)
Pour $H=7\,\mathrm{m}$ , quelle est la vitesse au sommet de la boucle ?
$v_{\text{haut}}=\sqrt{2gH-4gR}=\sqrt{2\times10\times7-4\times10\times2}=\sqrt{140-80}=\sqrt{60}\approx7{,}75\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 7de la pente au ressort, en passant par une zone rugueuse

Un bloc de masse $m=1\,\mathrm{kilogram}$ est lâché sans vitesse en haut d'une piste, à une hauteur $h=2\,\mathrm{m}$ . Il descend sans frottement, puis traverse une zone horizontale rugueuse de longueur $d=2\,\mathrm{m}$ où s'exerce une force de frottement constante $f=5\,\mathrm{N}$ , avant de comprimer un ressort de raideur $k=500\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ( $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
Calcule la vitesse du bloc au bas de la piste (avant la zone rugueuse).
Sans frottement sur la piste : $\tfrac12 m v^2=mgh$ , donc $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times10\times2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx6{,}3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (Énergie cinétique en bas : $E_c=mgh=20\,\mathrm{J}$ .)
b)
Quelle énergie est dissipée par les frottements sur la zone rugueuse ?
$E_{\text{diss}}=f\,d=5\times2=10\,\mathrm{J}$ .
c)
Déduis-en la compression maximale $x$ du ressort.
Il reste $20-10=10\,\mathrm{J}$ pour comprimer le ressort : $\tfrac12 k x^2=10\,\mathrm{J}$ , donc
$x=\sqrt{\frac{2\times10}{k}}=\sqrt{\frac{20}{500}}=\sqrt{0,04}=0{,}2\,\mathrm{m}.$

Exercice 8le pendule inversé

Un pendule de longueur $L=1.6\,\mathrm{m}$ passe par son point le plus bas à la vitesse $v_0=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (frottements négligés, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
Quelle hauteur maximale $h$ atteint-il ?
$h=\dfrac{v_0^2}{2g}=\dfrac{4^2}{2\times10}=\dfrac{16}{20}=0{,}8\,\mathrm{m}$ .
b)
En écrivant $h=L(1-\cos\theta)$ , calcule $\cos\theta$ .
$\cos\theta=1-\dfrac{h}{L}=1-\dfrac{0,8}{1,6}=1-0,5=0,5$ .
c)
Déduis-en l'angle maximal $\theta$ dont s'écarte le pendule.
$\theta=\arccos(0,5)=60^{\circ}$ .

Exercice 9lecture d'un diagramme d'énergie

Sur un rail horizontal lisse, un mobile de masse $m=2\,\mathrm{kilogram}$ est lancé depuis $x=0$ . Le graphe donne son énergie potentielle $E_p$ en fonction de la position $x$ (une « colline de potentiel ») ; son énergie mécanique $E_m=100\,\mathrm{J}$ est constante (pointillés).

a)
Quelle est la vitesse du mobile en $x=0$ (où $E_p=0$ ) ?
En $x=0$ , $E_p=0$ donc $E_c=E_m=100\,\mathrm{J}$ : $v=\sqrt{\dfrac{2E_c}{m}}=\sqrt{\dfrac{2\times100}{2}}=\sqrt{100}=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Au sommet de la colline de potentiel ( $E_p=80\,\mathrm{J}$ ), quelle est sa vitesse ?
Au sommet $E_c=E_m-E_p=100-80=20\,\mathrm{J}$ , donc $v=\sqrt{\dfrac{2\times20}{2}}=\sqrt{20}\approx4{,}47\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
c)
Le mobile franchit-il la colline ? Justifie.
Oui : $E_m=100\,\mathrm{J}>E_p^{\max}=80\,\mathrm{J}$ , donc $E_c>0$ partout ; le mobile passe le sommet (avec $\approx4{,}47\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ).
d)
Si on ne lui communiquait qu'une énergie cinétique de $60\,\mathrm{J}$ au départ, franchirait-il la colline ? Où s'arrêterait-il ?
Non : alors $E_m=60\,\mathrm{J}<80\,\mathrm{J}$ . Le mobile s'arrête ( $E_c=0$ ) là où $E_p=60\,\mathrm{J}$ , c.-à-d. avant le sommet, puis rebrousse chemin.

Exercice 10descente avec frottement : force et coefficient

Un surfeur des neiges de masse $m=60\,\mathrm{kilogram}$ part du repos et descend une pente de longueur $L=20\,\mathrm{m}$ inclinée à $\beta=30^{\circ}$ . À cause des frottements, il arrive en bas à $v=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $\sin30^{\circ}=0,5$ , $\cos30^{\circ}\approx0,87$ ).

a)
Quelle vitesse aurait-il eue sans frottement ?
Dénivellation : $h=L\sin\beta=20\times0,5=10\,\mathrm{m}$ .
Sans frottement : $v_{\text{id}}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times10\times10}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}\approx14{,}1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Calcule l'énergie dissipée par les frottements.
$E_{\text{diss}}=mgh-\tfrac12 m v^2=60\times10\times10-\tfrac12\times60\times10^2=6000-3000=3000\,\mathrm{J}$ .
c)
Déduis-en la force de frottement moyenne $f$ (on rappelle $E_{\text{diss}}=f\,L$ ).
$f=\dfrac{E_{\text{diss}}}{L}=\dfrac{3000}{20}=150\,\mathrm{N}$ .
d)
Calcule le coefficient de frottement $\mu=\dfrac{f}{mg\cos\beta}$ .
$\mu=\dfrac{f}{mg\cos\beta}=\dfrac{150}{60\times10\times0,87}=\dfrac{150}{522}\approx0,29$ .

Exercice 11le grand huit : jusqu'où peut-il monter ?

Sur un grand huit sans frottement, un wagon part du repos au sommet $A$ , à l'altitude $H=20\,\mathrm{m}$ ( $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
Calcule sa vitesse au point le plus bas $B$ ( $h_B=0$ ).
$v_B=\sqrt{2gH}=\sqrt{2\times10\times20}=\sqrt{400}=20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Calcule sa vitesse au point $C$ situé à $h_C=15\,\mathrm{m}$ .
$v_C=\sqrt{2g(H-h_C)}=\sqrt{2\times10\times(20-15)}=\sqrt{100}=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
c)
Le circuit comporte plus loin une bosse $D$ de hauteur $h_D=25\,\mathrm{m}$ . Le wagon peut-il l'atteindre ? Justifie.
Non : parti du repos de $20\,\mathrm{m}$ , son énergie mécanique ne correspond qu'à une hauteur maximale de $20\,\mathrm{m}$ . Il ne peut pas dépasser cette altitude, donc n'atteint pas $D$ à $25\,\mathrm{m}$ .
d)
Quelle vitesse minimale faudrait-il lui donner en $A$ pour qu'il atteigne tout juste $D$ ?
Il faut $\tfrac12 m v_A^2+mgH=mg\,h_D$ , soit $v_A=\sqrt{2g(h_D-H)}=\sqrt{2\times10\times5}=\sqrt{100}=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 12le lanceur à ressort vertical

Un ressort vertical de raideur $k=400\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ est comprimé de $x=0.2\,\mathrm{m}$ et maintient à son extrémité une bille de masse $m=0.5\,\mathrm{kilogram}$ . On libère le système (frottements négligés, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
Calcule l'énergie élastique $E_p=\tfrac12 k x^2$ stockée.
$E_p=\tfrac12 k x^2=\tfrac12\times400\times0,2^2=\tfrac12\times400\times0,04=8\,\mathrm{J}$ .
b)
À quelle hauteur $H$ la bille s'élève-t-elle au-dessus de sa position de départ (le point comprimé) ?
Du point comprimé (où $v=0$ ) au sommet (où $v=0$ ), toute l'énergie élastique devient potentielle de pesanteur : $\tfrac12 k x^2=mgH$ , donc $H=\dfrac{8}{0,5\times10}=\dfrac{8}{5}=1{,}6\,\mathrm{m}$ au-dessus du point comprimé.
c)
Un élève affirme que la bille monte à cette même hauteur $H$ au-dessus du ressort détendu. Corrige : quelle est la hauteur réelle au-dessus du ressort détendu ?
Le ressort détendu se trouve déjà à $x=0{,}2\,\mathrm{m}$ au-dessus du point comprimé. La bille monte donc seulement à $H-x=1,6-0,2=1{,}4\,\mathrm{m}$ au-dessus du ressort détendu (le bilan d'énergie compte la montée totale depuis le point comprimé).

Exercice 13la vitesse limite

Un parachutiste de masse $m=80\,\mathrm{kilogram}$ tombe à vitesse constante $v=50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (vitesse limite) sur une portion de chute de hauteur $\Delta h=100\,\mathrm{m}$ ( $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
Quelle est la variation d'énergie cinétique $\Delta E_c$ sur cette portion ?
La vitesse est constante, donc $\Delta E_c=0$ .
b)
Quelle énergie est dissipée par les frottements de l'air sur ces $100\,\mathrm{m}$ ?
$E_{\text{diss}}=mg\,\Delta h-\Delta E_c=80\times10\times100-0=80000\,\mathrm{J}=80\,\mathrm{kJ}$ .
c)
Cette portion est parcourue en $\Delta t=2\,\mathrm{s}$ . Quelle est la puissance dissipée ?
$P=\dfrac{E_{\text{diss}}}{\Delta t}=\dfrac{80000}{2}=40000\,\mathrm{W}=40\,\mathrm{kW}$ .
d)
Où est passée l'énergie potentielle perdue ?
Entièrement dissipée en chaleur par les frottements de l'air : puisque $E_c$ ne change pas, aucune fraction de l'énergie potentielle perdue ne se retrouve en énergie cinétique.

Exercice 14le half-pipe amorti

Dans un half-pipe, un skateur de masse $m=60\,\mathrm{kilogram}$ part du repos d'une hauteur $h_0=2\,\mathrm{m}$ sur un bord et remonte de l'autre côté jusqu'à $h_1=1.5\,\mathrm{m}$ ( $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
Quelle énergie a été dissipée par les frottements lors de cette traversée ?
$E_{\text{diss}}=mg(h_0-h_1)=60\times10\times(2-1,5)=60\times10\times0,5=300\,\mathrm{J}$ .
b)
Quelle fraction de l'énergie mécanique initiale a été perdue ?
Fraction perdue $=\dfrac{h_0-h_1}{h_0}=\dfrac{0,5}{2}=0,25=25\,\%$ .
c)
Si la même fraction est perdue à chaque traversée, à quelle hauteur $h_2$ remonte-t-il à la traversée suivante ?
En perdant à nouveau $25\,\%$ , il remonte à $h_2=0,75\times h_1=0,75\times1,5=1{,}125\,\mathrm{m}$ .

Exercice 15bilan énergétique d'un grand huit

Un wagon de masse $m=500\,\mathrm{kilogram}$ part du repos au sommet d'une descente de hauteur $H=45\,\mathrm{m}$ . Sur ce trajet (longueur $s=150\,\mathrm{m}$ ), les frottements dissipent $20\,\%$ de l'énergie mécanique initiale ( $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
Quelle vitesse le wagon aurait-il en bas sans frottement ?
$v_{\text{id}}=\sqrt{2gH}=\sqrt{2\times10\times45}=\sqrt{900}=30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Calcule l'énergie mécanique au départ, puis l'énergie dissipée et l'énergie cinétique réelle en bas.
$E_m=mgH=500\times10\times45=225000\,\mathrm{J}=225\,\mathrm{kJ}$ ; $E_{\text{diss}}=0,20\times225000=45000\,\mathrm{J}=45\,\mathrm{kJ}$ ; $E_c^{\text{réel}}=225000-45000=180000\,\mathrm{J}=180\,\mathrm{kJ}$ .
c)
Quelle est la vitesse réelle en bas ?
$v=\sqrt{\dfrac{2E_c^{\text{réel}}}{m}}=\sqrt{\dfrac{2\times180000}{500}}=\sqrt{720}\approx26{,}8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
d)
Quelle est la force de frottement moyenne sur le trajet ?
$f=\dfrac{E_{\text{diss}}}{s}=\dfrac{45000}{150}=300\,\mathrm{N}$ .

Revoir le tutoriel de cette mécanique