energies potentielles

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Facile15 exercices

Exercice 1énergie potentielle de pesanteur

Un livre de masse $m=2\,\mathrm{kilogram}$ est posé sur une étagère à une hauteur $h=5\,\mathrm{m}$ au-dessus du sol (référence $E_p=0$ au sol). On prend $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Calcule l'énergie potentielle de pesanteur $E_p$ du livre.

E_p=mgh=2\times10\times5=100\,\mathrm{J}.

Exercice 2énergie potentielle élastique

Un ressort de raideur $k=200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ est comprimé d'une longueur $x=0{,}10\,\mathrm{m}$ . Calcule l'énergie potentielle élastique $E_p$ qu'il emmagasine.

E_p=\tfrac12 k x^2=\tfrac12\times200\times(0,10)^2=\tfrac12\times200\times0,01=1\,\mathrm{J}.

(Comprimé ou étiré, le signe de $x$ n'importe pas : c'est $x^2$ qui intervient.)

Exercice 3variation d'énergie potentielle

On monte une caisse de masse $m=10\,\mathrm{kilogram}$ de l'altitude $h_A=2\,\mathrm{m}$ à l'altitude $h_B=8\,\mathrm{m}$ ( $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
Calcule la variation d'énergie potentielle $\Delta E_p=mg(h_B-h_A)$ .
$\Delta E_p=mg(h_B-h_A)=10\times10\times(8-2)=100\times6=600\,\mathrm{J}$ .
b)
Déduis-en le travail du poids $W(\vec{G})=-\Delta E_p$ . Est-il moteur ou résistant ?
$W(\vec{G})=-\Delta E_p=-600\,\mathrm{J}$ : le travail du poids est résistant ( $W<0$ ), car le corps monte (le poids s'oppose à la montée).

Exercice 4loi de Hooke et énergie

Pour un ressort, on mesure une force de rappel $F=6\,\mathrm{N}$ lorsqu'il est étiré de $x=0{,}02\,\mathrm{m}$ .

a)
Calcule la constante de raideur $k$ à partir de $F=k\,x$ .
$k=\dfrac{F}{x}=\dfrac{6}{0,02}=300\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ .
b)
Calcule l'énergie potentielle élastique $E_p=\tfrac12 k x^2$ à cette élongation.
$E_p=\tfrac12 k x^2=\tfrac12\times300\times(0,02)^2=\tfrac12\times300\times0,0004=0{,}06\,\mathrm{J}$ .

Exercice 5période et fréquence d'un ressort

Un ressort de raideur $k=100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ porte une masse $m=1\,\mathrm{kilogram}$ et oscille. On prend $\pi\approx3,14$ .

a)
Calcule la période $T=2\pi\sqrt{m/k}$ .
$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}=2\times3,14\times\sqrt{\dfrac{1}{100}}=6,28\times0,1=0{,}628\,\mathrm{s}$ .
b)
Déduis-en la fréquence $f=1/T$ .
$f=\dfrac1T=\dfrac{1}{0,628}\approx1{,}59\,\mathrm{Hz}$ .

Exercice 6énergie potentielle et conversion de masse

Une balle de tennis de masse $m=60\,\mathrm{g}$ s'immobilise un court instant à une hauteur $h=5\,\mathrm{m}$ (référence $E_p=0$ au sol, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ). Calcule son énergie potentielle de pesanteur (pense à convertir la masse en kilogrammes).

m=60\,\mathrm{g}=0{,}060\,\mathrm{kilogram},\qquad E_p=mgh=0,060\times10\times5=3\,\mathrm{J}.

Exercice 7retrouver la hauteur à partir de

E_p

Un sac de masse $m=4\,\mathrm{kilogram}$ possède, en haut d'un escalier, une énergie potentielle de pesanteur $E_p=240\,\mathrm{J}$ (référence au sol, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ). À quelle hauteur $h$ se trouve-t-il ?

E_p=mgh\ \Rightarrow\ h=\dfrac{E_p}{mg}=\dfrac{240}{4\times10}=\dfrac{240}{40}=6\,\mathrm{m}.

Exercice 8énergie élastique et conversion en mètres

Un ressort de raideur $k=800\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ est étiré de $x=5\,\mathrm{cm}$ . Calcule l'énergie potentielle élastique qu'il emmagasine (convertis d'abord $x$ en mètres).

x=5\,\mathrm{cm}=0{,}05\,\mathrm{m},\qquad E_p=\tfrac12 kx^2=\tfrac12\times800\times(0,05)^2=400\times0,0025=1\,\mathrm{J}.

Exercice 9force de rappel d'un ressort

Un ressort de raideur $k=150\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ est comprimé de $x=0{,}20\,\mathrm{m}$ . Calcule l'intensité de la force de rappel $F=k\,x$ .

F=k\,x=150\times0,20=30\,\mathrm{N}.

Exercice 10élongation sous une force donnée

On applique une force $F=45\,\mathrm{N}$ à l'extrémité d'un ressort de raideur $k=300\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . Calcule l'élongation $x$ du ressort ( $x=F/k$ ).

x=\dfrac{F}{k}=\dfrac{45}{300}=0{,}15\,\mathrm{m}=15\,\mathrm{cm}.

Exercice 11comparer deux énergies potentielles

Deux objets sont posés en hauteur (référence au sol, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ) : l'objet A de masse $m_A=2\,\mathrm{kilogram}$ à $h_A=6\,\mathrm{m}$ , l'objet B de masse $m_B=3\,\mathrm{kilogram}$ à $h_B=3\,\mathrm{m}$ .

a)
Calcule l'énergie potentielle de pesanteur de chaque objet.
$E_p^{(A)}=m_A g h_A=2\times10\times6=120\,\mathrm{J}$ ; $E_p^{(B)}=m_B g h_B=3\times10\times3=90\,\mathrm{J}$ .
b)
Lequel des deux stocke le plus d'énergie potentielle ?
L'objet A stocke le plus d'énergie potentielle ( $120\,\mathrm{J}>90\,\mathrm{J}$ ), bien qu'il soit moins lourd : sa plus grande hauteur l'emporte.

Exercice 12travail du poids lors d'une chute

Une pomme de masse $m=0{,}2\,\mathrm{kilogram}$ se détache d'une branche située à $h_A=4\,\mathrm{m}$ et tombe jusqu'au sol $h_B=0\,\mathrm{m}$ ( $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
Calcule la variation d'énergie potentielle $\Delta E_p=mg(h_B-h_A)$ .
$\Delta E_p=mg(h_B-h_A)=0,2\times10\times(0-4)=-8\,\mathrm{J}$ .
b)
Déduis-en le travail du poids $W(\vec{G})=-\Delta E_p$ . Est-il moteur ou résistant ?
$W(\vec{G})=-\Delta E_p=+8\,\mathrm{J}$ : le travail du poids est moteur ( $W>0$ ), car le corps descend (le poids accompagne le mouvement).

Exercice 13raideur à partir de la période

Un ressort porte une masse $m=0{,}5\,\mathrm{kilogram}$ et oscille avec une période $T=0{,}314\,\mathrm{s}$ ( $\pi\approx3,14$ ). Sachant que $T=2\pi\sqrt{m/k}$ , donc $k=\dfrac{4\pi^2 m}{T^2}$ , calcule la raideur $k$ du ressort.

k=\dfrac{4\pi^2 m}{T^2}=\dfrac{4\times(3,14)^2\times0,5}{(0,314)^2} =\dfrac{19,72}{0,0986}\approx200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}.

Vérification : $T=2\pi\sqrt{m/k}=6,28\times\sqrt{0,5/200}=6,28\times0,05=0{,}314\,\mathrm{s}$ .

Exercice 14raideur à partir de l'énergie stockée

Un ressort étiré de $x=0{,}10\,\mathrm{m}$ emmagasine une énergie potentielle élastique $E_p=2{,}5\,\mathrm{J}$ . Sachant que $E_p=\tfrac12 kx^2$ , donc $k=\dfrac{2E_p}{x^2}$ , calcule sa raideur $k$ .

k=\dfrac{2E_p}{x^2}=\dfrac{2\times2,5}{(0,10)^2}=\dfrac{5}{0,01}=500\,\mathrm{N}/\mathrm{m}.

Exercice 15une énergie potentielle peut être négative

Un plongeur de masse $m=70\,\mathrm{kilogram}$ se tient sur un plot. On choisit la référence $E_p=0$ au niveau du plot. L'eau se trouve $3\,\mathrm{m}$ en dessous du plot ( $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
Quelle est l'altitude $h$ du plongeur une fois dans l'eau, par rapport à la référence ?
L'eau étant $3\,\mathrm{m}$ sous la référence, l'altitude du plongeur dans l'eau est $h=-3\,\mathrm{m}$ .
b)
Calcule alors son énergie potentielle de pesanteur. Que remarques-tu sur son signe ?
$E_p=mgh=70\times10\times(-3)=-2100\,\mathrm{J}$ . L'énergie potentielle est négative : c'est normal, le plongeur étant sous la référence. Seule la variation $\Delta E_p$ a un sens physique absolu ; le signe de $E_p$ dépend du choix de la référence.

Moyen15 exercices

Exercice 1le choix de la référence est arbitraire

Un drone de masse $m=4\,\mathrm{kilogram}$ est immobile à $3\,\mathrm{m}$ au-dessus du sol. Une table mesure $1\,\mathrm{m}$ de haut. On prend $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
Calcule $E_p$ du drone en prenant la référence ( $E_p=0$ ) au sol.
Référence au sol : $E_p=mgh=4\times10\times3=120\,\mathrm{J}$ .
b)
Calcule $E_p$ en prenant la référence sur le dessus de la table.
Référence sur la table : la hauteur au-dessus de la table est $3-1=2\,\mathrm{m}$ , donc $E_p=4\times10\times2=80\,\mathrm{J}$ .
c)
Le drone descend et se pose sur la table. Calcule $\Delta E_p$ dans chacune des deux références. Que constates-tu ?
Après la descente, le drone est à $1\,\mathrm{m}$ du sol.
- réf. sol : $\Delta E_p=mg(1)-mg(3)=40-120=-80\,\mathrm{J}$ ;
- réf. table : $\Delta E_p=mg(0)-mg(2)=0-80=-80\,\mathrm{J}$ .
Les $E_p$ diffèrent selon la référence, mais la variation $\Delta E_p=-80\,\mathrm{J}$ est la même : seule $\Delta E_p$ a un sens physique.

Exercice 2l'énergie élastique varie comme le carré de l'élongation

Un ressort a une raideur $k=300\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ .

a)
Calcule $E_p$ pour une élongation $x_1=4\,\mathrm{cm}$ .
$x_1=0{,}04\,\mathrm{m}$ : $E_p=\tfrac12\times300\times(0,04)^2=\tfrac12\times300\times0,0016=0{,}24\,\mathrm{J}$ .
b)
Calcule $E_p$ pour une élongation $x_2=8\,\mathrm{cm}$ . Par quel facteur $E_p$ a-t-elle été multipliée quand l'élongation a doublé ?
$x_2=0{,}08\,\mathrm{m}$ : $E_p=\tfrac12\times300\times(0,08)^2=\tfrac12\times300\times0,0064=0{,}96\,\mathrm{J}$ . L'élongation a doublé, $E_p$ a été multipliée par $\dfrac{0,96}{0,24}=4$ (facteur $2^2$ ).

Exercice 3énergie stockée entre deux élongations

Un ressort de raideur $k=500\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ est déjà étiré de $x_1=2\,\mathrm{cm}$ . On l'étire davantage jusqu'à $x_2=6\,\mathrm{cm}$ . Le travail supplémentaire à fournir vaut $W=\tfrac12 k\,x_2^2-\tfrac12 k\,x_1^2$ . Calcule ce travail (pense à convertir en mètres).

Avec $x_1=0{,}02\,\mathrm{m}$ et $x_2=0{,}06\,\mathrm{m}$ :

W=\tfrac12 k\,(x_2^2-x_1^2)=\tfrac12\times500\times\bigl((0,06)^2-(0,02)^2\bigr) =250\times(0,0036-0,0004)=250\times0,0032=0{,}8\,\mathrm{J}.

Exercice 4influence de la masse et de la raideur sur la période

La période d'un ressort est $T=2\pi\sqrt{m/k}$ .

a)
Par quel facteur la période est-elle multipliée si l'on quadruple la masse $m$ (à $k$ constant) ? Justifie avec la formule.
$T\propto\sqrt{m}$ : si $m$ est multipliée par $4$ , alors $T$ est multipliée par $\sqrt{4}=2$ (la période double).
b)
Par quel facteur la période est-elle multipliée si l'on quadruple la raideur $k$ (à $m$ constant) ?
$T\propto\dfrac{1}{\sqrt{k}}$ : si $k$ est multipliée par $4$ , alors $T$ est multipliée par $\dfrac{1}{\sqrt{4}}=\dfrac12$ (la période est divisée par 2).

Exercice 5l'énergie potentielle ne dépend que de la hauteur

On élève une caisse de masse $m=20\,\mathrm{kilogram}$ jusqu'à une hauteur $h=3\,\mathrm{m}$ , une fois en la hissant verticalement, une autre fois en la poussant le long d'une rampe de longueur $6\,\mathrm{m}$ . On prend $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
Calcule la variation d'énergie potentielle $\Delta E_p$ pour atteindre $h=3\,\mathrm{m}$ .
$\Delta E_p=mgh=20\times10\times3=600\,\mathrm{J}$ .
b)
Cette variation dépend-elle du chemin suivi (rampe ou montée verticale) ? Justifie.
Non, $\Delta E_p=mgh$ ne dépend que de la hauteur $h$ (et de $m$ , $g$ ), pas du chemin suivi : la rampe ( $6\,\mathrm{m}$ ) et la montée verticale ( $3\,\mathrm{m}$ ) donnent la même variation d'énergie potentielle. Le poids est une force conservative.

Exercice 6chute libre : vitesse au sol par conservation

Un objet de masse $m=2\,\mathrm{kilogram}$ est lâché sans vitesse initiale d'une hauteur $h=5\,\mathrm{m}$ (chute libre, sans frottement, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , référence $E_p=0$ au sol).

a)
Que vaut son énergie mécanique $E_m$ au départ ?
Au départ, $v=0$ donc $E_c=0$ et $E_m=E_p=mgh=2\times10\times5=100\,\mathrm{J}$ .
b)
En utilisant la conservation de l'énergie mécanique, calcule la vitesse $v$ juste avant l'impact au sol.
Au sol, $E_p=0$ donc $E_c=E_m=100\,\mathrm{J}$ : $\tfrac12 mv^2=100\Rightarrow v^2=\dfrac{2\times100}{2}=100\Rightarrow v=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 7lancer vertical : hauteur maximale

On lance verticalement vers le haut une balle de masse $m=0{,}1\,\mathrm{kilogram}$ avec une vitesse initiale $v_0=20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (sans frottement, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
Calcule son énergie cinétique initiale.
$E_c=\tfrac12 mv_0^2=\tfrac12\times0,1\times20^2=\tfrac12\times0,1\times400=20\,\mathrm{J}$ .
b)
Au sommet, la vitesse est nulle : toute l'énergie cinétique est devenue énergie potentielle. Déduis-en la hauteur maximale $h_{\max}$ atteinte.
$mgh_{\max}=E_c=20\Rightarrow h_{\max}=\dfrac{20}{0,1\times10}=20\,\mathrm{m}$ (soit $h_{\max}=\dfrac{v_0^2}{2g}=\dfrac{400}{20}=20\,\mathrm{m}$ ).

Exercice 8plan incliné lisse : énergie au sommet

Un skieur de masse $m=60\,\mathrm{kilogram}$ gravit une piste rectiligne inclinée de $\alpha=30^{\circ}$ sur une longueur $L=20\,\mathrm{m}$ (référence au bas de la piste, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $\sin30^{\circ}=0,5$ ).

a)
Calcule la hauteur $h$ gagnée ( $h=L\sin\alpha$ ).
$h=L\sin\alpha=20\times0,5=10\,\mathrm{m}$ .
b)
Déduis-en l'énergie potentielle de pesanteur $E_p$ au sommet.
$E_p=mgh=60\times10\times10=6000\,\mathrm{J}=6\,\mathrm{kJ}$ .

Exercice 9pendule : vitesse au point le plus bas

Un pendule de masse $m=0{,}5\,\mathrm{kilogram}$ est écarté puis lâché sans vitesse d'une hauteur $h=0{,}2\,\mathrm{m}$ au-dessus de son point le plus bas (sans frottement, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
Que vaut son énergie mécanique (référence au point le plus bas) ?
$E_m=mgh=0,5\times10\times0,2=1\,\mathrm{J}$ .
b)
Calcule la vitesse de la masse au point le plus bas.
Au point le plus bas, $E_p=0$ donc $E_c=E_m=1\,\mathrm{J}$ : $\tfrac12 mv^2=1\Rightarrow v^2=\dfrac{2\times1}{0,5}=4\Rightarrow v=2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (soit $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times10\times0,2}=\sqrt{4}=2$ ).

Exercice 10masse suspendue à un ressort

On suspend une masse $m=2\,\mathrm{kilogram}$ à un ressort vertical de raideur $k=500\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . À l'équilibre, le poids est exactement compensé par la force de rappel ( $k\,x=mg$ ). On prend $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
Calcule l'allongement $x$ du ressort à l'équilibre.
$k\,x=mg\Rightarrow x=\dfrac{mg}{k}=\dfrac{2\times10}{500}=0{,}04\,\mathrm{m}=4\,\mathrm{cm}$ .
b)
Calcule l'énergie potentielle élastique alors emmagasinée par le ressort.
$E_p=\tfrac12 kx^2=\tfrac12\times500\times(0,04)^2=250\times0,0016=0{,}4\,\mathrm{J}$ .

Exercice 11deux ressorts sous la même force

Deux ressorts sont étirés par la même force $F=20\,\mathrm{N}$ . Le ressort (1) a une raideur $k_1=100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ , le ressort (2) une raideur $k_2=400\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ .

a)
Pour chaque ressort, calcule l'élongation $x=F/k$ puis l'énergie stockée $E_p=\tfrac12 kx^2$ .
Ressort (1) : $x_1=\dfrac{20}{100}=0{,}2\,\mathrm{m}$ , $E_p^{(1)}=\tfrac12\times100\times(0,2)^2=2\,\mathrm{J}$ .
Ressort (2) : $x_2=\dfrac{20}{400}=0{,}05\,\mathrm{m}$ , $E_p^{(2)}=\tfrac12\times400\times(0,05)^2=0{,}5\,\mathrm{J}$ .
b)
Lequel stocke le plus d'énergie ? À force imposée, le ressort le plus raide stocke-t-il plus ou moins d'énergie ?
Le ressort (1), le moins raide, stocke le plus d'énergie ( $2\,\mathrm{J}>0{,}5\,\mathrm{J}$ ). À force imposée, $E_p=\dfrac{F^2}{2k}$ : plus $k$ est grand, moins le ressort stocke d'énergie.

Exercice 12cuvette lisse : où

E_c=E_p

Une bille est lâchée sans vitesse du bord d'une cuvette lisse, d'une hauteur $H=0{,}9\,\mathrm{m}$ au-dessus du fond (sans frottement, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , référence au fond).

a)
À quelle hauteur $h$ l'énergie cinétique est-elle égale à l'énergie potentielle ?
L'énergie mécanique $E_m=mgH$ se conserve. $E_c=E_p$ signifie $E_p=\tfrac12 E_m$ , soit $mgh=\tfrac12 mgH\Rightarrow h=\dfrac{H}{2}=0{,}45\,\mathrm{m}$ .
b)
Calcule la vitesse de la bille à cette hauteur.
$E_c=\tfrac12 E_m=\tfrac12 mgH$ , donc $\tfrac12 mv^2=\tfrac12 mgH\Rightarrow v^2=gH=10\times0,9=9 \Rightarrow v=3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 13comparer les fréquences de deux oscillateurs

Deux systèmes ressort–masse oscillent : le système (1) a $k_1=100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ et $m_1=1\,\mathrm{kilogram}$ ; le système (2) a $k_2=400\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ et $m_2=1\,\mathrm{kilogram}$ . On prend $\pi\approx3,14$ .

a)
Calcule la fréquence $f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{k/m}$ de chaque système.
$f_1=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k_1}{m_1}}=\dfrac{1}{6,28}\sqrt{100}=\dfrac{10}{6,28}\approx1{,}59\,\mathrm{Hz}$ ; $f_2=\dfrac{1}{6,28}\sqrt{400}=\dfrac{20}{6,28}\approx3{,}18\,\mathrm{Hz}$ .
b)
Lequel oscille le plus vite ? Par quel facteur leurs fréquences diffèrent-elles ?
Le système (2) oscille le plus vite. Comme $f\propto\sqrt{k}$ (à même masse), le facteur est $\sqrt{k_2/k_1}=\sqrt{4}=2$ : $f_2=2f_1$ .

Exercice 14vitesse d'une balle à une hauteur donnée

On lance une balle verticalement vers le haut avec $v_0=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (sans frottement, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
À partir de la conservation de l'énergie mécanique (par unité de masse), montre que la vitesse à la hauteur $h$ vérifie $v^2=v_0^2-2gh$ .
Conservation : $\tfrac12 mv_0^2=\tfrac12 mv^2+mgh$ . En divisant par $m$ : $\tfrac12 v_0^2=\tfrac12 v^2+gh$ , d'où $\boxed{v^2=v_0^2-2gh}$ .
b)
Calcule la vitesse de la balle à la hauteur $h=3{,}2\,\mathrm{m}$ .
$v^2=10^2-2\times10\times3,2=100-64=36\Rightarrow v=6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 15retrouver l'élongation à partir de l'énergie

Un ressort de raideur $k=200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ emmagasine une énergie potentielle élastique $E_p=1\,\mathrm{J}$ .

a)
Calcule l'élongation $x$ correspondante ( $x=\sqrt{2E_p/k}$ ).
$x=\sqrt{\dfrac{2E_p}{k}}=\sqrt{\dfrac{2\times1}{200}}=\sqrt{0,01}=0{,}1\,\mathrm{m}=10\,\mathrm{cm}$ .
b)
Calcule l'intensité de la force de rappel à cette élongation.
$F=k\,x=200\times0,1=20\,\mathrm{N}$ .

Difficile14 exercices

Exercice 1compression maximale d'un ressort

Un bloc de masse $m=10\,\mathrm{kilogram}$ glisse sans frottement à $v=36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ et vient heurter un ressort horizontal de raideur $k=1000\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . Le bloc comprime le ressort jusqu'à s'arrêter.

a)
Convertis $v$ en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et calcule l'énergie cinétique du bloc juste avant le contact.
$v=\dfrac{36}{3,6}=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , d'où $E_c=\tfrac12 m v^2=\tfrac12\times10\times10^2=500\,\mathrm{J}$ .
b)
À la compression maximale, toute cette énergie est stockée dans le ressort ( $\tfrac12 m v^2=\tfrac12 k x^2$ ). Calcule la compression maximale $x$ .
$\tfrac12 k x^2=E_c=500$ , donc $x^2=\dfrac{2\times500}{k}=\dfrac{1000}{1000}=1$ , soit $x=1\,\mathrm{m}$ .

Exercice 2lecture d'un graphe force–élongation

On étire un ressort et on relève la force de rappel $F$ en fonction de l'élongation $\Delta x$ (graphe ci-dessous). La position détendue correspond à $x_0=0$ .

a)
Détermine la raideur $k$ du ressort à partir de la pente (utilise le point $F=2{,}5\,\mathrm{N}$ à $\Delta x=10\,\mathrm{cm}$ ).
$x=10\,\mathrm{cm}=0{,}10\,\mathrm{m}$ et $F=2{,}5\,\mathrm{N}$ , donc $k=\dfrac{F}{x}=\dfrac{2,5}{0,10}=25\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ .
b)
Calcule l'énergie potentielle élastique stockée à $\Delta x=10\,\mathrm{cm}$ .
$E_p=\tfrac12 k x^2=\tfrac12\times25\times(0,10)^2=\tfrac12\times25\times0,01=0{,}125\,\mathrm{J}$ (c'est l'aire du triangle sous la droite).
c)
La force de rappel à $\Delta x=4\,\mathrm{cm}$ est-elle supérieure ou inférieure à celle à $\Delta x=10\,\mathrm{cm}$ ?
$F=kx$ croît avec $x$ : la force à $4\,\mathrm{cm}$ ( $F=1\,\mathrm{N}$ ) est inférieure à celle à $10\,\mathrm{cm}$ ( $F=2{,}5\,\mathrm{N}$ ).

Exercice 3un ressort qui propulse un bloc

Sur un rail horizontal sans frottement, un ressort de raideur $k=400\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ est comprimé de $x=0{,}10\,\mathrm{m}$ contre un bloc de masse $m=1\,\mathrm{kilogram}$ . On relâche le ressort.

a)
Calcule l'énergie potentielle élastique stockée par le ressort comprimé.
$E_p=\tfrac12 k x^2=\tfrac12\times400\times(0,10)^2=\tfrac12\times400\times0,01=2\,\mathrm{J}$ .
b)
Cette énergie est intégralement transférée au bloc sous forme d'énergie cinétique. Déduis-en la vitesse de lancement $v$ du bloc.
$\tfrac12 m v^2=E_p=2\Rightarrow v^2=\dfrac{2\times2}{1}=4\Rightarrow v=2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 4vrai ou faux : énergies potentielles

On considère un ressort de raideur $k=25\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

a)
L'énergie potentielle élastique à une élongation $x=10\,\mathrm{cm}$ vaut $0{,}125\,\mathrm{J}$ .
Vrai. $E_p=\tfrac12\times25\times(0,10)^2=0{,}125\,\mathrm{J}$ .
b)
La force de rappel à $x=4\,\mathrm{cm}$ est supérieure à celle à $x=10\,\mathrm{cm}$ .
Faux. $F=kx$ augmente avec $x$ : $F(4\,\mathrm{cm})=1\,\mathrm{N}<F(10\,\mathrm{cm})=2{,}5\,\mathrm{N}$ .
c)
Doubler l'élongation double l'énergie potentielle élastique stockée.
Faux. $E_p\propto x^2$ : doubler $x$ quadruple $E_p$ (facteur $2^2=4$ ).
d)
L'énergie potentielle de pesanteur d'un objet peut être négative selon la référence choisie.
Vrai. $E_p=mgh$ dépend de la référence : si l'on place le « zéro » d'altitude au-dessus de l'objet, sa hauteur $h$ est négative et $E_p<0$ . Seule $\Delta E_p$ a un sens physique absolu.

Exercice 5piste courbe lisse : conservation en plusieurs points

Une bille de masse $m=0{,}5\,\mathrm{kilogram}$ part sans vitesse du point $A$ , situé à une hauteur $h_A=1{,}8\,\mathrm{m}$ sur une piste lisse. Elle passe par le fond $O$ puis remonte une bosse dont le sommet $B$ est à $h_B=1\,\mathrm{m}$ (sans frottement, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , référence $E_p=0$ au fond $O$ ).

a)
Calcule l'énergie mécanique de la bille (elle se conserve tout le long).
$E_m=mgh_A=0,5\times10\times1,8=9\,\mathrm{J}$ (elle se conserve : piste sans frottement).
b)
Calcule la vitesse de la bille au fond $O$ .
En $O$ , $E_p=0$ donc $E_c=E_m=9$ : $\tfrac12\times0,5\times v_O^2=9\Rightarrow v_O^2=36\Rightarrow v_O=6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
c)
Calcule la vitesse de la bille au sommet $B$ de la bosse.
En $B$ , $E_p=mgh_B=0,5\times10\times1=5\,\mathrm{J}$ , donc $E_c=E_m-E_p=9-5=4\,\mathrm{J}$ : $\tfrac12\times0,5\times v_B^2=4\Rightarrow v_B^2=16\Rightarrow v_B=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 6bloc lâché sur un ressort vertical

Un bloc de masse $m=2\,\mathrm{kilogram}$ est lâché sans vitesse d'une hauteur $h_0=0{,}15\,\mathrm{m}$ au-dessus de l'extrémité libre d'un ressort vertical de raideur $k=1000\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ (sans frottement, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ). Le bloc descend, touche le ressort et le comprime d'une longueur $x$ jusqu'à s'arrêter.

a)
Écris la conservation de l'énergie : la perte d'énergie potentielle de pesanteur $mg(h_0+x)$ est intégralement stockée dans le ressort ( $\tfrac12 kx^2$ ).
À l'arrêt, toute l'énergie potentielle de pesanteur perdue est stockée dans le ressort : $mg(h_0+x)=\tfrac12 kx^2$ , soit $20(0,15+x)=500x^2$ .
b)
Montre que $x$ vérifie $500x^2-20x-3=0$ et résous cette équation (compression maximale).
En développant : $3+20x=500x^2$ , d'où $\boxed{500x^2-20x-3=0}$ . Discriminant : $\Delta=(-20)^2-4\times500\times(-3)=400+6000=6400$ , $\sqrt{\Delta}=80$ . La racine positive est $x=\dfrac{20+80}{2\times500}=\dfrac{100}{1000}=0{,}10\,\mathrm{m}$ .
c)
Calcule l'énergie potentielle élastique stockée à la compression maximale.
$E_p^{\text{él}}=\tfrac12 kx^2=\tfrac12\times1000\times(0,10)^2=5\,\mathrm{J}$ (vérification : $mg(h_0+x)=20\times0,25=5\,\mathrm{J}$ ).

Exercice 7du plan incliné au ressort

Un bloc de masse $m=2\,\mathrm{kilogram}$ est lâché sans vitesse en haut d'un plan incliné lisse d'angle $\alpha=30^{\circ}$ et glisse une longueur $L=1{,}6\,\mathrm{m}$ le long de la pente. Au bas, la piste se raccorde à un plan horizontal lisse au bout duquel se trouve un ressort de raideur $k=800\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ( $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $\sin30^{\circ}=0,5$ ).

a)
Calcule la vitesse du bloc en bas de la pente.
Hauteur de descente : $h=L\sin\alpha=1,6\times0,5=0{,}8\,\mathrm{m}$ . Par conservation, $\tfrac12 mv^2=mgh\Rightarrow v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times10\times0,8}=\sqrt{16}=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (soit $E_c=mgh=16\,\mathrm{J}$ ).
b)
Le bloc comprime alors le ressort. Calcule la compression maximale $x$ (toute l'énergie cinétique est stockée dans le ressort).
$\tfrac12 kx^2=E_c=16\Rightarrow \tfrac12\times800\times x^2=400x^2=16\Rightarrow x^2=0,04 \Rightarrow x=0{,}2\,\mathrm{m}$ .
c)
Calcule l'intensité de la force de rappel maximale exercée par le ressort.
$F=kx=800\times0,2=160\,\mathrm{N}$ .

Exercice 8pendule lâché d'un angle

Un pendule est constitué d'une masse $m=0{,}2\,\mathrm{kilogram}$ suspendue à un fil de longueur $\ell=1{,}6\,\mathrm{m}$ . On l'écarte d'un angle $\theta_0=60^{\circ}$ par rapport à la verticale, puis on le lâche sans vitesse (sans frottement, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $\cos60^{\circ}=0,5$ ).

a)
Montre que la hauteur du point de lâcher au-dessus du point le plus bas vaut $h=\ell(1-\cos\theta_0)$ , et calcule $h$ .
Le point le plus bas est à la distance $\ell$ sous le pivot. Écartée de $\theta_0$ , la masse est à la distance $\ell\cos\theta_0$ sous le pivot, donc à $h=\ell-\ell\cos\theta_0=\ell(1-\cos\theta_0)$ au-dessus du point le plus bas. Numériquement : $h=1,6\times(1-0,5)=0{,}8\,\mathrm{m}$ .
b)
Calcule l'énergie mécanique (référence au point le plus bas) puis la vitesse de la masse au point le plus bas.
$E_m=mgh=0,2\times10\times0,8=1{,}6\,\mathrm{J}$ . Au point le plus bas, $E_c=E_m$ : $\tfrac12 mv^2=1,6\Rightarrow v^2=\dfrac{2\times1,6}{0,2}=16\Rightarrow v=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
c)
Si l'on remplace la masse par une masse deux fois plus grande, la vitesse au point le plus bas change-t-elle ? Justifie.
Non : $v=\sqrt{2gh}$ ne dépend pas de la masse. Doubler $m$ double $E_m$ et $E_c$ , mais la vitesse au point le plus bas reste $4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 9un ressort qui lance une bille vers le haut

Un ressort vertical de raideur $k=800\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ est comprimé de $x=0{,}10\,\mathrm{m}$ ; une bille de masse $m=0{,}5\,\mathrm{kilogram}$ est posée sur son extrémité. On relâche : le ressort se détend et propulse la bille vers le haut (sans frottement, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; on néglige la variation de hauteur pendant la détente).

a)
Calcule l'énergie potentielle élastique stockée dans le ressort comprimé.
$E_p^{\text{él}}=\tfrac12 kx^2=\tfrac12\times800\times(0,10)^2=400\times0,01=4\,\mathrm{J}$ .
b)
Cette énergie est intégralement transférée à la bille. Calcule sa vitesse au moment où elle quitte le ressort.
$\tfrac12 mv^2=4\Rightarrow v^2=\dfrac{2\times4}{0,5}=16\Rightarrow v=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
c)
Quelle hauteur maximale $H$ la bille atteint-elle au-dessus du point de lancement ?
Au sommet, toute l'énergie cinétique redevient potentielle : $mgH=4\Rightarrow H=\dfrac{4}{0,5\times10}=0{,}8\,\mathrm{m}$ .

Exercice 10lecture d'un diagramme énergétique

Une bille glisse sans frottement sur une piste. On trace, en fonction de la hauteur $h$ , son énergie potentielle $E_p(h)$ et son énergie cinétique $E_c(h)$ ( $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
Que vaut l'énergie mécanique $E_m$ de la bille ? Pourquoi est-elle constante ?
$E_m=E_c+E_p=4\,\mathrm{J}$ (valeur atteinte par $E_p$ quand $E_c=0$ , et par $E_c$ quand $E_p=0$ ). Elle est constante car la piste est sans frottement.
b)
Lis sur le graphe la hauteur maximale atteinte (là où $E_c=0$ ).
$E_c=0$ en $h_{\max}=0{,}8\,\mathrm{m}$ .
c)
À quelle hauteur a-t-on $E_c=E_p$ ? Quelle est alors la valeur commune ?
Les deux droites se croisent en $h=0{,}4\,\mathrm{m}$ , où $E_c=E_p=2\,\mathrm{J}$ (chacune vaut la moitié de $E_m$ ).
d)
La pente de la droite $E_p(h)$ vaut $mg$ . Déduis-en la masse de la bille.
Pente de $E_p(h)$ : $\dfrac{4}{0,8}=5=mg$ , donc $m=\dfrac{5}{g}=\dfrac{5}{10}=0{,}5\,\mathrm{kilogram}$ .
e)
Calcule la vitesse de la bille au point le plus bas ( $h=0$ ).
En $h=0$ , $E_c=E_m=4$ : $\tfrac12\times0,5\times v^2=4\Rightarrow v^2=16\Rightarrow v=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 11répartition de l'énergie dans un oscillateur

Un solide de masse $m=0{,}5\,\mathrm{kilogram}$ est fixé à un ressort horizontal de raideur $k=200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ sur un plan lisse. On l'écarte de sa position d'équilibre d'une amplitude $A=0{,}10\,\mathrm{m}$ puis on le lâche.

a)
Calcule l'énergie mécanique totale $E=\tfrac12 kA^2$ de l'oscillateur (entièrement élastique aux extrémités).
$E=\tfrac12 kA^2=\tfrac12\times200\times(0,10)^2=100\times0,01=1\,\mathrm{J}$ .
b)
Calcule la vitesse maximale du solide (atteinte au passage par la position d'équilibre).
Au passage par l'équilibre, $E_p=0$ donc $E_c=E$ : $\tfrac12 mv_{\max}^2=1\Rightarrow v_{\max}^2=\dfrac{2\times1}{0,5}=4\Rightarrow v_{\max}=2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
c)
À l'élongation $x=A/2$ , calcule l'énergie potentielle élastique, l'énergie cinétique, puis la vitesse. Quelle fraction de l'énergie totale reste cinétique ?
À $x=A/2=0{,}05\,\mathrm{m}$ : $E_p=\tfrac12 kx^2=\tfrac12\times200\times(0,05)^2=0{,}25\,\mathrm{J}$ (soit $\tfrac14 E$ ). Alors $E_c=E-E_p=1-0,25=0{,}75\,\mathrm{J}$ (soit $\tfrac34 E$ ), et $\tfrac12\times0,5\times v^2=0,75\Rightarrow v^2=3\Rightarrow v=\sqrt3\approx1{,}73\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Il reste donc $\tfrac34$ (soit $75\,\%$ ) de l'énergie sous forme cinétique.

Exercice 12deux trajets vers la même altitude

Un mobile de masse $m=1\,\mathrm{kilogram}$ part du point $D$ (altitude $h=0$ ) avec une vitesse $v_0=6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et rejoint le point $F$ (altitude $h_2=1\,\mathrm{m}$ ) par deux trajets lisses différents (sans frottement, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ). Le trajet 1 passe par un creux (altitude négative) avant de remonter ; le trajet 2 monte plus directement.

a)
Calcule la variation d'énergie potentielle $\Delta E_p$ de $D$ à $F$ . Dépend-elle du trajet suivi ?
$\Delta E_p=mg\,h_2=1\times10\times1=10\,\mathrm{J}$ . Elle ne dépend pas du trajet : le poids est une force conservative, $\Delta E_p$ ne dépend que des altitudes de départ et d'arrivée.
b)
Calcule la vitesse du mobile en $F$ . Est-elle la même pour les deux trajets ?
$E_m=\tfrac12 mv_0^2=\tfrac12\times1\times6^2=18\,\mathrm{J}$ (conservée). En $F$ : $E_c=E_m-\Delta E_p=18-10=8\,\mathrm{J}$ , donc $\tfrac12\times1\times v_F^2=8\Rightarrow v_F^2=16\Rightarrow v_F=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . C'est la même pour les deux trajets (même altitude d'arrivée, énergie mécanique conservée).
c)
Dans le creux du trajet 1, la vitesse du mobile est-elle supérieure ou inférieure à $v_0$ ? Justifie par la conservation de l'énergie mécanique.
Dans le creux, l'altitude est négative, donc $E_p<0$ et $E_c=E_m-E_p>E_m$ : l'énergie cinétique y est plus grande qu'au départ, la vitesse y est donc supérieure à $v_0$ .

Exercice 13vrai ou faux : énergie mécanique et oscillations

On néglige tous les frottements et on prend $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

a)
Pour un pendule qui oscille, l'énergie cinétique et l'énergie potentielle varient au cours du temps, mais leur somme reste constante.
Vrai. Sans frottement, $E_m=E_c+E_p=$ Cte : il y a échange permanent entre $E_c$ et $E_p$ , mais leur somme est constante.
b)
On lance un objet verticalement à $v_0=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : il monte au maximum à $5\,\mathrm{m}$ .
Vrai. $h_{\max}=\dfrac{v_0^2}{2g}=\dfrac{10^2}{2\times10}=5\,\mathrm{m}$ .
c)
Sur un plan incliné lisse, la vitesse en bas d'une bille lâchée sans vitesse dépend de l'angle d'inclinaison de la pente (à même hauteur de départ).
Faux. Par conservation, $v=\sqrt{2gh}$ ne dépend que de la hauteur $h$ , pas de l'angle de la pente : à même hauteur de départ, la vitesse en bas est la même.
d)
Pour un système masse–ressort, si l'on quadruple la raideur $k$ , la période est divisée par $2$ .
Vrai. $T=2\pi\sqrt{m/k}\propto\dfrac{1}{\sqrt{k}}$ : si $k$ est multipliée par $4$ , $T$ est divisée par $\sqrt{4}=2$ .
e)
L'énergie mécanique d'un mobile qui descend une piste avec frottements se conserve.
Faux. Les frottements forment une force non conservative : ils dissipent l'énergie mécanique (en chaleur). $E_m$ diminue, elle ne se conserve pas.

Exercice 14un chariot franchit une bosse

Un chariot de masse $m=2\,\mathrm{kilogram}$ est lancé sur une piste lisse horizontale, puis aborde une bosse dont le sommet $S$ est à la hauteur $h_S=1{,}8\,\mathrm{m}$ (sans frottement, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

a)
Quelle vitesse minimale $v_0$ faut-il donner au chariot pour qu'il atteigne tout juste le sommet $S$ (vitesse nulle au sommet) ?
Au minimum, toute l'énergie cinétique de départ sert à monter jusqu'à $h_S$ : $\tfrac12 mv_0^2=mgh_S\Rightarrow v_0=\sqrt{2gh_S}=\sqrt{2\times10\times1,8}=\sqrt{36}=6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
On lance en fait le chariot à $v_0=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Franchit-il la bosse ? Si oui, quelle est sa vitesse au sommet $S$ ?
$v_0=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}>6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : il franchit la bosse. Au sommet : $v_S^2=v_0^2-2gh_S=100-36=64\Rightarrow v_S=8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
c)
De l'autre côté, la piste redescend jusqu'au niveau de départ. Quelle est la vitesse du chariot quand il repasse à ce niveau (toujours avec $v_0=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) ?
De retour au niveau de départ, l'altitude est la même qu'au lancement : l'énergie mécanique étant conservée, l'énergie cinétique (donc la vitesse) y est identique à celle du départ : $v=v_0=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Revoir le tutoriel de cette mécanique