travail et puissance

Les trois niveaux s'enchaînent. Clique sur « Corrigé » pour révéler la solution d'une seule question.

Facile15 exercices

Exercice 1travail d'une force horizontale

Un ouvrier pousse une caisse en exerçant une force horizontale $\vec{F}$ constante d'intensité $F=200\,\mathrm{N}$ , dirigée dans le sens du déplacement. La caisse avance de $d=5\,\mathrm{m}$ sur un sol horizontal.

a)
Que vaut l'angle $\alpha$ entre $\vec{F}$ et le déplacement, et donc $\cos\alpha$ ?
La force est parallèle au déplacement et dans le même sens : $\alpha=0^{\circ}$ , donc $\cos\alpha=\cos0^{\circ}=1$ .
b)
Calcule le travail $W$ de la force $\vec{F}$ . Ce travail est-il moteur ou résistant ?
$W=F\times d\times\cos\alpha=200\times5\times1=1000\,\mathrm{J}$ . Comme $\cos\alpha>0$ , le travail est moteur ( $W>0$ ) : la force donne de l'énergie à la caisse.

Exercice 2travail d'une force inclinée

On tire la même caisse à l'aide d'une corde qui fait un angle $\alpha=60^{\circ}$ avec l'horizontale. L'intensité de la force vaut $F=80\,\mathrm{N}$ et la caisse avance de $d=10\,\mathrm{m}$ .

Calcule le travail $W$ de la force $\vec{F}$ sur le déplacement (on prend $\cos60^{\circ}=0,5$ ).

Seule la composante de $\vec{F}$ parallèle au déplacement travaille : $F_x=F\cos60^{\circ}$ .

W=F\times d\times\cos60^{\circ}=80\times10\times0,5=400\,\mathrm{J}.

La force est inclinée : il ne faut pas oublier le facteur $\cos\alpha$ (sinon on trouverait à tort $800\ \mathrm{J}$ ).

Exercice 3une force qui ne travaille pas

Une personne porte une valise de poids $G=120\,\mathrm{N}$ à bout de bras, à hauteur constante, et marche horizontalement sur $d=15\,\mathrm{m}$ .

a)
Quel est l'angle entre le poids $\vec{G}$ (vertical) et le déplacement (horizontal) ?
Le poids est vertical et le déplacement horizontal : ils sont perpendiculaires, $\alpha=90^{\circ}$ .
b)
Déduis-en le travail du poids $W(\vec{G})$ pendant ce trajet.
$W(\vec{G})=G\times d\times\cos90^{\circ}=120\times15\times0=0\,\mathrm{J}$ . Une force perpendiculaire au déplacement ne travaille pas : porter une valise en marchant à l'horizontale ne fournit (idéalement) aucun travail au sens mécanique.

Exercice 4travail résistant du frottement

Un palet lancé sur une patinoire glisse de $d=8\,\mathrm{m}$ avant de s'arrêter. La force de frottement, constante, vaut $F_f=30\,\mathrm{N}$ ; elle est opposée au déplacement.

a)
Que vaut l'angle $\alpha$ entre $\vec{F}_f$ et le déplacement, et donc $\cos\alpha$ ?
Le frottement est opposé au déplacement : $\alpha=180^{\circ}$ , donc $\cos\alpha=\cos180^{\circ}=-1$ .
b)
Calcule le travail $W(\vec{F}_f)$ . Quel est son signe et que traduit-il physiquement ?
$W(\vec{F}_f)=F_f\times d\times\cos180^{\circ}=30\times8\times(-1)=-240\,\mathrm{J}$ . Le travail est négatif (résistant) : le frottement retire de l'énergie au palet et le freine jusqu'à l'arrêt.

Exercice 5de la puissance au travail

Un moteur développe une puissance constante $P=750\,\mathrm{W}$ pendant $\Delta t=20\,\mathrm{s}$ .

a)
Rappelle la relation entre puissance, travail et durée, puis calcule le travail $W$ fourni.
Par définition $P=\dfrac{W}{\Delta t}$ , donc $W=P\times\Delta t=750\times20=15000\,\mathrm{J}$ .
b)
Exprime ce travail en kilojoules ( $\mathrm{kJ}$ ).
$W=15000\,\mathrm{J}=15\,\mathrm{kJ}$ (on divise par $1000$ ).

Exercice 6retrouver l'intensité d'une force

Un treuil tire horizontalement une remorque, dans le sens du déplacement, sur une distance $d=12\,\mathrm{m}$ . Le travail fourni par la force de traction vaut $W=600\,\mathrm{J}$ .

a)
L'angle valant $\alpha=0^{\circ}$ , exprime $W$ en fonction de $F$ et $d$ , puis calcule l'intensité $F$ de la force.
Pour $\alpha=0^{\circ}$ , $\cos\alpha=1$ et $W=F\times d$ . On isole : $F=\dfrac{W}{d}=\dfrac{600}{12}=50\,\mathrm{N}$ .
b)
Ce travail est-il moteur ou résistant ?
$W=600\,\mathrm{J}>0$ : le travail est moteur.

Exercice 7travail du poids à la descente

La cabine d'un ascenseur, de masse $m=800\,\mathrm{kilogram}$ , descend verticalement d'une hauteur $h=15\,\mathrm{m}$ . On prend $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
Quel est l'angle entre le poids $\vec{G}$ et le déplacement (tous deux verticaux, vers le bas) ?
Le poids et le déplacement sont tous deux verticaux et dirigés vers le bas : $\alpha=0^{\circ}$ , donc $\cos\alpha=1$ .
b)
Calcule le travail du poids $W(\vec{G})$ . Est-il moteur ou résistant ?
$W(\vec{G})=mgh\cos0^{\circ}=800\times10\times15=120000\,\mathrm{J}=120\,\mathrm{kJ}$ . Le poids accompagne la descente : le travail est moteur ( $W>0$ ).

Exercice 8travail du poids à la montée

On soulève verticalement, à vitesse constante, un carton de masse $m=5\,\mathrm{kilogram}$ sur une hauteur $h=2\,\mathrm{m}$ . On prend $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
Quel est l'angle entre le poids $\vec{G}$ (vers le bas) et le déplacement (vers le haut) ?
Le poids pointe vers le bas, le déplacement vers le haut : ils sont opposés, $\alpha=180^{\circ}$ , donc $\cos\alpha=-1$ .
b)
Calcule le travail du poids $W(\vec{G})$ . Justifie son signe.
$W(\vec{G})=mgh\cos180^{\circ}=-\,5\times10\times2=-100\,\mathrm{J}$ . Le travail est résistant ( $W<0$ ) : le poids s'oppose à la montée.

Exercice 9du travail à la puissance

Un tapis roulant fournit un travail $W=2400\,\mathrm{J}$ en une durée $\Delta t=8\,\mathrm{s}$ .

a)
Calcule la puissance moyenne $P$ développée.
$P=\dfrac{W}{\Delta t}=\dfrac{2400}{8}=300\,\mathrm{W}$ .
b)
Pour fournir le même travail en seulement $4\,\mathrm{s}$ , quelle puissance faudrait-il ? Commente.
$P'=\dfrac{2400}{4}=600\,\mathrm{W}$ : deux fois moins de temps pour le même travail demande deux fois plus de puissance.

Exercice 10durée d'un transfert d'énergie

Un moteur développe une puissance constante $P=1500\,\mathrm{W}$ . Il doit fournir un travail $W=30000\,\mathrm{J}$ . Combien de temps $\Delta t$ ce transfert dure-t-il ?

De $P=\dfrac{W}{\Delta t}$ on tire $\Delta t=\dfrac{W}{P}=\dfrac{30000}{1500}=20\,\mathrm{s}$ .

Exercice 11puissance et vitesse

Un cycliste exerce sur la chaîne une force utile $F=40\,\mathrm{N}$ , dirigée dans le sens du mouvement, alors qu'il roule à la vitesse $v=6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

a)
Calcule la puissance $P$ développée à l'aide de $P=F\times v$ .
La force est dans le sens du mouvement ( $\alpha=0^{\circ}$ ) : $P=F\times v=40\times6=240\,\mathrm{W}$ .
b)
Si, à force égale, la vitesse doublait, comment varierait la puissance ?
$P=F\times v$ est proportionnelle à $v$ : à force égale, doubler la vitesse double la puissance ( $P=480\,\mathrm{W}$ ).

Exercice 12à travail égal, qui est le plus puissant ?

Deux monte-charges soulèvent des charges en fournissant le même travail $W=6000\,\mathrm{J}$ . Le premier met $\Delta t_1=10\,\mathrm{s}$ , le second $\Delta t_2=40\,\mathrm{s}$ .

a)
Calcule les puissances $P_1$ et $P_2$ .
$P_1=\dfrac{6000}{10}=600\,\mathrm{W}$ et $P_2=\dfrac{6000}{40}=150\,\mathrm{W}$ .
b)
Lequel est le plus puissant, et combien de fois ?
Le premier est le plus puissant. Le travail étant le même, $\dfrac{P_1}{P_2}=\dfrac{\Delta t_2}{\Delta t_1}=\dfrac{40}{10}=4$ : il est 4 fois plus puissant (il va 4 fois plus vite).

Exercice 13une force qui ne travaille pas : la tension du fil

Une petite bille, attachée à un fil, décrit un cercle horizontal à vitesse constante autour du point fixe $O$ . La tension $\vec{T}$ du fil est constamment dirigée vers le centre $O$ .

a)
Quel est l'angle entre la tension $\vec{T}$ et le déplacement (tangent au cercle) ?
Le déplacement est tangent au cercle, tandis que $\vec{T}$ pointe vers le centre (le long du rayon) : les deux sont perpendiculaires, $\alpha=90^{\circ}$ .
b)
Déduis-en le travail de la tension $W(\vec{T})$ sur un tour.
$W(\vec{T})=T\times d\times\cos90^{\circ}=0\,\mathrm{J}$ . Une force constamment perpendiculaire au déplacement ne travaille pas : la tension infléchit la trajectoire sans transférer d'énergie.

Exercice 14travailler avec la composante de la force

Une force $\vec{F}$ d'intensité $F=100\,\mathrm{N}$ tire un objet sur un sol horizontal. Sa composante parallèle au déplacement vaut $F_x=80\,\mathrm{N}$ (le reste est vertical). L'objet avance de $d=5\,\mathrm{m}$ .

a)
Parmi les composantes de $\vec{F}$ , laquelle travaille ?
Seule la composante parallèle au déplacement, $F_x$ , travaille ; la composante verticale (perpendiculaire au déplacement) ne travaille pas.
b)
Calcule le travail $W$ de la force à l'aide de $W=F_x\times d$ .
$W=F_x\times d=80\times5=400\,\mathrm{J}$ .

Exercice 15travail total de deux forces

Une caisse est tirée horizontalement par une force $F=50\,\mathrm{N}$ (dans le sens du mouvement) sur $d=10\,\mathrm{m}$ . Une force de frottement $F_f=20\,\mathrm{N}$ s'oppose au déplacement.

a)
Calcule le travail $W(\vec{F})$ de la traction.
$W(\vec{F})=F\times d\times\cos0^{\circ}=50\times10\times1=500\,\mathrm{J}$ .
b)
Calcule le travail $W(\vec{F}_f)$ du frottement.
$W(\vec{F}_f)=F_f\times d\times\cos180^{\circ}=20\times10\times(-1)=-200\,\mathrm{J}$ .
c)
Déduis-en le travail total $\sum W$ reçu par la caisse.
$\sum W=W(\vec{F})+W(\vec{F}_f)=500+(-200)=300\,\mathrm{J}$ : le travail total est moteur, la caisse accélère.

Moyen15 exercices

Exercice 1travail du poids sur un plan incliné

Un objet de masse $m=20\,\mathrm{kilogram}$ glisse le long d'un plan incliné d'un angle $\beta=30^{\circ}$ sur l'horizontale. Il descend de $A$ à $B$ , la longueur de la pente valant $AB=6\,\mathrm{m}$ . On prend $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ et $\sin30^{\circ}=0,5$ .

a)
Calcule la hauteur de descente $h$ à partir de $AB$ et de $\sin30^{\circ}$ .
$h=AB\times\sin30^{\circ}=6\times0,5=3\,\mathrm{m}$ .
b)
Calcule le travail du poids $W(\vec{G})$ de deux façons : par $W=mgh$ , puis par la composante $W=(G\sin\beta)\times AB$ . Les deux résultats coïncident-ils ?
Poids : $G=mg=20\times10=200\,\mathrm{N}$ .
- par la hauteur : $W(\vec{G})=mgh=20\times10\times3=600\,\mathrm{J}$ ;
- par la composante : $W(\vec{G})=(G\sin30^{\circ})\times AB=(200\times0,5)\times6=600\,\mathrm{J}$ .
Les deux méthodes donnent le même résultat : $W(\vec{G})=600\,\mathrm{J}$ (travail moteur, la descente accélère l'objet).

Exercice 2puissance d'un moteur à vitesse constante

Une voiture roule en mouvement rectiligne uniforme (vitesse constante) à $v=72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . La résultante des forces de frottement, constante, vaut $F_f=400\,\mathrm{N}$ .

a)
Convertis la vitesse en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
$v=\dfrac{72}{3,6}=20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
À vitesse constante, la force motrice compense exactement les frottements. Calcule la puissance $P$ que le moteur doit développer, avec $P=F\times v$ . Exprime-la en $\mathrm{kW}$ .
À vitesse constante, la force motrice est dirigée dans le sens du mouvement et vaut $F=F_f=400\,\mathrm{N}$ . Donc $P=F\times v=400\times20=8000\,\mathrm{W}=8\,\mathrm{kW}$ .

Exercice 3travail comme aire sous la courbe

F(x)

Une force parallèle au déplacement varie avec la position $x$ selon le graphe ci-dessous. Le travail fourni entre $x_A=0\,\mathrm{m}$ et $x_B=4\,\mathrm{m}$ est égal à l'aire comprise entre la courbe $F(x)$ et l'axe des $x$ .

Sachant que la région hachurée est un trapèze (bases $F_A=10\,\mathrm{N}$ et $F_B=30\,\mathrm{N}$ , largeur $4\,\mathrm{m}$ ), calcule le travail $W$ .

L'aire d'un trapèze vaut $\dfrac{(\text{grande base}+\text{petite base})}{2}\times\text{largeur}$ :

W=\frac{F_A+F_B}{2}\times(x_B-x_A)=\frac{10+30}{2}\times4=20\times4=80\,\mathrm{J}.

Le travail d'une force variable est bien l'aire algébrique sous la courbe $F(x)$ .

Exercice 4bilan des travaux sur un trajet horizontal

Une luge est tirée sur un sol horizontal par une corde exerçant $F=100\,\mathrm{N}$ inclinée de $\alpha=60^{\circ}$ . Elle avance de $d=20\,\mathrm{m}$ . Une force de frottement $F_f=25\,\mathrm{N}$ s'oppose au mouvement. On prend $\cos60^{\circ}=0,5$ .

a)
Calcule le travail $W(\vec{F})$ de la force de traction.
$W(\vec{F})=F\times d\times\cos60^{\circ}=100\times20\times0,5=1000\,\mathrm{J}$ .
b)
Calcule le travail $W(\vec{F}_f)$ du frottement.
$W(\vec{F}_f)=F_f\times d\times\cos180^{\circ}=25\times20\times(-1)=-500\,\mathrm{J}$ .
c)
Que valent les travaux du poids et de la réaction normale sur ce trajet ?
Le poids (vertical) et la réaction normale (verticale) sont perpendiculaires au déplacement horizontal : $W(\vec{G})=W(\vec{N})=0\,\mathrm{J}$ .
d)
Déduis-en le travail total $\sum W$ reçu par la luge.
$\sum W=1000+(-500)+0+0=500\,\mathrm{J}$ : le travail total reçu est positif, la luge accélère.

Exercice 5puissance moyenne d'une grue

Une grue soulève verticalement une charge de masse $m=500\,\mathrm{kilogram}$ jusqu'à une hauteur $h=12\,\mathrm{m}$ , en une durée $\Delta t=8\,\mathrm{s}$ . On prend $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
Calcule le travail $W$ fourni par la grue pour élever la charge ( $W=mgh$ ).
$W=mgh=500\times10\times12=60000\,\mathrm{J}=60\,\mathrm{kJ}$ .
b)
Déduis-en la puissance moyenne $P$ développée, en $\mathrm{kW}$ .
$P=\dfrac{W}{\Delta t}=\dfrac{60000}{8}=7500\,\mathrm{W}=7{,}5\,\mathrm{kW}$ .

Exercice 6puissance d'une force inclinée

Un cheval tire une péniche le long d'un canal en exerçant une force $F=200\,\mathrm{N}$ qui fait un angle $\alpha=60^{\circ}$ avec la direction (horizontale) du mouvement. La péniche avance à la vitesse constante $v=10.8\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . On prend $\cos60^{\circ}=0,5$ .

a)
Convertis la vitesse en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
$v=\dfrac{10,8}{3,6}=3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Calcule la puissance développée par le cheval à l'aide de $P=F\times v\times\cos\alpha$ .
$P=F\times v\times\cos60^{\circ}=200\times3\times0,5=300\,\mathrm{W}$ .

Exercice 7travail pour étirer un ressort

Pour étirer un ressort, on exerce une force qui croît proportionnellement à l'allongement, de $0\,\mathrm{N}$ à $F_{\max}=20\,\mathrm{N}$ pendant que l'allongement passe de $0\,\mathrm{m}$ à $x=0.10\,\mathrm{m}$ . Le travail fourni est l'aire sous la courbe $F(x)$ .

a)
La région sous la courbe est un triangle. Rappelle l'expression de son aire.
L'aire d'un triangle vaut $\dfrac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}$ .
b)
Calcule le travail $W$ fourni pour étirer le ressort.
$W=\dfrac{x\times F_{\max}}{2}=\dfrac{0,10\times20}{2}=1\,\mathrm{J}$ .

Exercice 8téléski sur une pente sans frottement

Un téléski tire un skieur de masse $m=70\,\mathrm{kilogram}$ à vitesse constante $v=2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ le long d'une pente inclinée de $\beta=30^{\circ}$ , sans frottement. La force de traction est parallèle à la pente. On prend $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ et $\sin30^{\circ}=0,5$ .

a)
À vitesse constante, la traction équilibre la composante du poids le long de la pente. Montre que $F=mg\sin\beta$ et calcule sa valeur.
À vitesse constante, la force de traction (le long de la pente) compense exactement la composante du poids le long de la pente, $mg\sin\beta$ . Donc $F=mg\sin\beta=70\times10\times0,5=350\,\mathrm{N}$ .
b)
Calcule la puissance développée par le téléski, $P=F\times v$ .
$P=F\times v=350\times2=700\,\mathrm{W}$ .

Exercice 9force motrice à partir de la puissance

Une voiture roule en mouvement rectiligne uniforme à $v=90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Son moteur développe une puissance utile constante $P=30\,\mathrm{kW}$ .

a)
Convertis la vitesse en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
$v=\dfrac{90}{3,6}=25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
À l'aide de $P=F\times v$ , calcule l'intensité $F$ de la force motrice (qui compense les frottements).
$F=\dfrac{P}{v}=\dfrac{30000}{25}=1200\,\mathrm{N}$ .

Exercice 10le travail du poids ne dépend pas du chemin

Un randonneur de masse $m=60\,\mathrm{kilogram}$ gravit une dénivelée $h=200\,\mathrm{m}$ en suivant un sentier en lacets de longueur totale $L=1.5\,\mathrm{km}$ . On prend $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
Le travail du poids dépend-il de la longueur $L$ du sentier ? De quoi dépend-il ?
Le travail du poids ne dépend pas de la longueur $L$ du chemin suivi, mais uniquement de la dénivelée verticale $h$ (le poids est une force conservative).
b)
Calcule le travail du poids $W(\vec{G})$ sur toute la montée.
Montée (la composante verticale du déplacement est opposée au poids) : $W(\vec{G})=-mgh=-\,60\times10\times200=-120000\,\mathrm{J}=-120\,\mathrm{kJ}$ (travail résistant).

Exercice 11travail d'une force en paliers

Une force parallèle au déplacement garde une valeur constante $30\,\mathrm{N}$ de $x=0\,\mathrm{m}$ à $2\,\mathrm{m}$ , puis $10\,\mathrm{N}$ de $2\,\mathrm{m}$ à $5\,\mathrm{m}$ . Le travail est l'aire sous la courbe $F(x)$ .

a)
Calcule le travail $W_1$ sur le premier palier ( $0\to2\,\mathrm{m}$ ).
$W_1=30\times2=60\,\mathrm{J}$ .
b)
Calcule le travail $W_2$ sur le second palier ( $2\,\mathrm{m}\to5\,\mathrm{m}$ ).
$W_2=10\times3=30\,\mathrm{J}$ .
c)
Déduis-en le travail total $W$ .
$W=W_1+W_2=60+30=90\,\mathrm{J}$ (aire totale sous la courbe).

Exercice 12d'une puissance à une hauteur

Un monte-charge de puissance utile $P=4\,\mathrm{kW}$ fonctionne pendant $\Delta t=5\,\mathrm{s}$ pour soulever verticalement, à vitesse constante, une charge de masse $m=1000\,\mathrm{kilogram}$ . On prend $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
Calcule le travail $W$ fourni par le monte-charge.
$W=P\times\Delta t=4000\times5=20000\,\mathrm{J}=20\,\mathrm{kJ}$ .
b)
Ce travail sert à élever la charge ( $W=mgh$ ). Calcule la hauteur $h$ atteinte.
$W=mgh\Rightarrow h=\dfrac{W}{mg}=\dfrac{20000}{1000\times10}=2\,\mathrm{m}$ .

Exercice 13travail et puissance du freinage

Une voiture est arrêtée par une force de freinage constante $F_f=5000\,\mathrm{N}$ , opposée au mouvement, sur une distance $d=20\,\mathrm{m}$ parcourue en $\Delta t=4\,\mathrm{s}$ .

a)
Calcule le travail $W(\vec{F}_f)$ de la force de freinage. Justifie son signe.
Le freinage est opposé au mouvement ( $\alpha=180^{\circ}$ ) : $W(\vec{F}_f)=F_f\times d\times\cos180^{\circ}=-\,5000\times20=-100000\,\mathrm{J}=-100\,\mathrm{kJ}$ (travail résistant, il retire de l'énergie).
b)
Calcule la puissance moyenne de freinage $P=\dfrac{|W|}{\Delta t}$ .
$P=\dfrac{|W|}{\Delta t}=\dfrac{100000}{4}=25000\,\mathrm{W}=25\,\mathrm{kW}$ .

Exercice 14un traîneau tiré par deux cordes

Deux enfants tirent un traîneau à l'aide de deux cordes symétriques, chacune exerçant une force $F=60\,\mathrm{N}$ faisant un angle $60^{\circ}$ avec la direction (horizontale) du mouvement. Le traîneau avance de $d=15\,\mathrm{m}$ . On prend $\cos60^{\circ}=0,5$ .

a)
Calcule le travail d'une seule corde, $W_1=F\times d\times\cos60^{\circ}$ .
$W_1=F\times d\times\cos60^{\circ}=60\times15\times0,5=450\,\mathrm{J}$ .
b)
Déduis-en le travail total des deux cordes.
Les deux cordes sont identiques et symétriques : $W=2\times W_1=900\,\mathrm{J}$ .

Exercice 15bilan des travaux sur une rampe

On pousse une caisse de masse $m=30\,\mathrm{kilogram}$ le long d'une rampe rectiligne (longueur $L=4\,\mathrm{m}$ , hauteur $h=2\,\mathrm{m}$ ) en exerçant une force $F=250\,\mathrm{N}$ parallèle à la rampe. Un frottement $F_f=50\,\mathrm{N}$ s'oppose au glissement. On prend $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
Calcule le travail moteur $W(\vec{F})$ de la poussée.
$W(\vec{F})=F\times L=250\times4=1000\,\mathrm{J}$ (la force est parallèle à la rampe, $\alpha=0^{\circ}$ ).
b)
Calcule le travail du poids $W(\vec{G})$ (utilise la hauteur $h$ ).
$W(\vec{G})=-mgh=-\,30\times10\times2=-600\,\mathrm{J}$ (montée : travail résistant).
c)
Calcule le travail du frottement $W(\vec{F}_f)$ .
$W(\vec{F}_f)=-F_f\times L=-\,50\times4=-200\,\mathrm{J}$ .
d)
Sachant que $W(\vec{N})=0$ , déduis-en le travail total $\sum W$ .
$\sum W=W(\vec{F})+W(\vec{G})+W(\vec{F}_f)+W(\vec{N})=1000-600-200+0=200\,\mathrm{J}$ .

Difficile15 exercices

Exercice 1le travail du poids sur un tour complet

Une personne de masse $m=70\,\mathrm{kilogram}$ est assise dans une nacelle d'une grande roue de rayon $R=20\,\mathrm{m}$ . La roue effectue un tour complet et la personne revient exactement à son point de départ. On prend $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
En comparant l'altitude de départ et l'altitude d'arrivée, que vaut la variation d'énergie potentielle $\Delta E_p$ sur un tour complet ?
Après un tour complet, la personne revient à la même altitude : $h_{\text{arrivée}}=h_{\text{départ}}$ , donc $\Delta E_p=mg(h_{\text{arrivée}}-h_{\text{départ}})=0\,\mathrm{J}$ .
b)
En déduire le travail du poids $W(\vec{G})$ sur ce tour, à l'aide de la relation $W(\vec{G})=-\Delta E_p$ . Le résultat dépend-il de $R$ ou de $m$ ?
$W(\vec{G})=-\Delta E_p=0\,\mathrm{J}$ . Le travail du poids sur toute trajectoire fermée est nul (le poids est une force conservative) : le résultat ne dépend ni de $R$ , ni de $m$ . Sur un demi-tour (montée), $W(\vec{G})<0$ ; sur l'autre demi-tour (descente), $W(\vec{G})>0$ ; les deux se compensent exactement.

Exercice 2monter un meuble : la rampe change la force, pas le travail

Des déménageurs montent un meuble de masse $m=100\,\mathrm{kilogram}$ jusqu'à une hauteur $h=4\,\mathrm{m}$ . Ils utilisent une rampe rectiligne sans frottement de longueur $L=5\,\mathrm{m}$ . On prend $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
Calcule le travail à fournir contre la pesanteur pour élever le meuble de $h$ . Ce travail dépend-il de la longueur de la rampe ?
$W=mgh=100\times10\times4=4000\,\mathrm{J}=4\,\mathrm{kJ}$ . Ce travail ne dépend que de la hauteur $h$ : la longueur de la rampe n'y change rien.
b)
En l'absence de frottement, l'intensité $F$ de la force à exercer le long de la rampe vérifie $F\times L=mgh$ . Calcule $F$ et compare-la au poids $mg$ . Quel est l'intérêt de la rampe ?
$F=\dfrac{mgh}{L}=\dfrac{4000}{5}=800\,\mathrm{N}$ , alors que le poids vaut $mg=1000\,\mathrm{N}$ . La rampe permet de fournir la même énergie ( $4\,\mathrm{kJ}$ ) avec une force plus faible ( $800\,\mathrm{N}<1000\,\mathrm{N}$ ), au prix d'une distance plus longue : c'est le principe de la machine simple.

Exercice 3à quoi sert le travail du moteur d'une moto qui roule à vitesse constante ?

Une moto roule à vitesse constante sur une route rectiligne et horizontale. Sur une distance $d$ , elle subit son poids $\vec{G}$ , la réaction normale $\vec{N}$ , la force motrice $\vec{F}_m$ et la résultante des frottements $\vec{F}_f$ .

a)
La vitesse étant constante, que vaut la variation d'énergie cinétique $\Delta E_c$ entre le début et la fin du trajet ? Qu'impose alors le théorème de l'énergie cinétique à la somme des travaux $\sum W$ ?
La vitesse est constante, donc $E_c$ ne change pas : $\Delta E_c=0\,\mathrm{J}$ . Le théorème de l'énergie cinétique impose alors $\sum W=\Delta E_c=0$ , soit $W(\vec{G})+W(\vec{N})+W(\vec{F}_m)+W(\vec{F}_f)=0$ .
b)
Sur cette route horizontale, que valent $W(\vec{G})$ et $W(\vec{N})$ ? Déduis-en la relation entre le travail de la force motrice $W(\vec{F}_m)$ et celui des frottements $W(\vec{F}_f)$ .
Sur une route horizontale, le poids et la normale sont perpendiculaires au déplacement : $W(\vec{G})=W(\vec{N})=0$ . Il reste $W(\vec{F}_m)+W(\vec{F}_f)=0$ , donc
$W(\vec{F}_m)=-\,W(\vec{F}_f)=\bigl|W(\vec{F}_f)\bigr|.$
Le travail moteur sert intégralement à compenser le travail (négatif) des frottements.

Exercice 4puissance moyenne d'un moteur au démarrage

Une voiture de masse $m=1000\,\mathrm{kilogram}$ passe de l'arrêt à $v=72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ en $\Delta t=10\,\mathrm{s}$ . On néglige les frottements et on suppose le mouvement horizontal.

a)
Convertis $v$ en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , puis calcule l'énergie cinétique acquise $E_c$ .
$v=\dfrac{72}{3,6}=20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , d'où $E_c=\tfrac12 m v^2=\tfrac12\times1000\times20^2=\tfrac12\times1000\times400=200000\,\mathrm{J}=200\,\mathrm{kJ}$ .
b)
Comme $\Delta E_c$ est fourni par le travail du moteur, calcule le travail moteur $W$ puis la puissance moyenne $P=\dfrac{W}{\Delta t}$ . Exprime-la en $\mathrm{kW}$ .
Le moteur fournit $W=\Delta E_c=200000\,\mathrm{J}$ (départ au repos), donc
$P=\frac{W}{\Delta t}=\frac{200000}{10}=20000\,\mathrm{W}=20\,\mathrm{kW}.$

Exercice 5vrai ou faux : le signe et la valeur d'un travail

Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

a)
Le travail du poids d'un wagon qui roule de $10\,\mathrm{m}$ sur des rails horizontaux est nul.
Vrai. Le poids est vertical, le déplacement horizontal : $\alpha=90^{\circ}$ , $W(\vec{G})=G\times d\times\cos90^{\circ}=0$ .
b)
En mouvement circulaire uniforme, le travail de la force centripète est toujours nul.
Vrai. La force centripète pointe vers le centre, le déplacement est tangent au cercle : ils sont perpendiculaires à chaque instant, donc $W=0$ .
c)
Le travail d'une force de frottement de glissement est positif.
Faux. Le frottement de glissement est opposé au déplacement ( $\alpha=180^{\circ}$ ), donc $\cos\alpha=-1$ et $W<0$ : son travail est résistant.
d)
Pour fournir une même quantité de travail, le moteur le plus puissant est celui qui met le plus de temps.
Faux. À travail $W$ égal, $P=W/\Delta t$ : le plus puissant est celui qui met le moins de temps (le plus rapide).

Exercice 6chute freinée par l'air

Une pierre de masse $m=5\,\mathrm{kilogram}$ , lâchée sans vitesse initiale, tombe d'une hauteur $h=10\,\mathrm{m}$ et arrive au sol à la vitesse $v=12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . L'air exerce une force de frottement résistante. On prend $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
Calcule le travail du poids $W(\vec{G})$ pendant la chute.
Le poids accompagne la descente ( $\alpha=0^{\circ}$ ) : $W(\vec{G})=mgh=5\times10\times10=500\,\mathrm{J}$ .
b)
Calcule l'énergie cinétique de la pierre au moment de l'impact.
$E_c=\tfrac12 m v^2=\tfrac12\times5\times12^2=\tfrac12\times5\times144=360\,\mathrm{J}$ .
c)
À l'aide du théorème de l'énergie cinétique, déduis-en le travail des frottements de l'air $W(\vec{F}_f)$ .
Théorème de l'énergie cinétique (départ au repos) : $W(\vec{G})+W(\vec{F}_f)=E_c-0$ , donc $W(\vec{F}_f)=E_c-W(\vec{G})=360-500=-140\,\mathrm{J}$ (résistant).
d)
En supposant la force de frottement constante, calcule son intensité moyenne $F_f$ .
$|W(\vec{F}_f)|=F_f\times h\Rightarrow F_f=\dfrac{140}{10}=14\,\mathrm{N}$ .

Exercice 7travail moteur et puissance au démarrage, avec frottements

Une voiture de masse $m=1000\,\mathrm{kilogram}$ accélère de l'arrêt jusqu'à $v=20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sur une distance $d=100\,\mathrm{m}$ parcourue en $\Delta t=10\,\mathrm{s}$ , sur une route horizontale. La résultante des frottements, constante, vaut $F_f=500\,\mathrm{N}$ .

a)
Calcule la variation d'énergie cinétique $\Delta E_c$ sur le trajet.
$\Delta E_c=\tfrac12 m v^2-0=\tfrac12\times1000\times20^2=200000\,\mathrm{J}=200\,\mathrm{kJ}$ .
b)
À l'aide du théorème de l'énergie cinétique, montre que le travail du moteur vaut $W(\vec{F}_m)=\Delta E_c+F_f\times d$ , et calcule-le.
Théorème de l'énergie cinétique : $W(\vec{F}_m)+W(\vec{F}_f)=\Delta E_c$ avec $W(\vec{F}_f)=-F_f\times d$ . Donc $W(\vec{F}_m)=\Delta E_c+F_f\times d=200000+500\times100=250000\,\mathrm{J}=250\,\mathrm{kJ}$ .
c)
Déduis-en la puissance moyenne du moteur.
$P=\dfrac{W(\vec{F}_m)}{\Delta t}=\dfrac{250000}{10}=25000\,\mathrm{W}=25\,\mathrm{kW}$ .

Exercice 8distance de freinage

Une voiture de masse $m=1200\,\mathrm{kilogram}$ roule à $v=20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . En freinant, elle subit une force résistante constante $F_f=6000\,\mathrm{N}$ jusqu'à l'arrêt.

a)
Calcule l'énergie cinétique initiale de la voiture.
$E_c=\tfrac12 m v^2=\tfrac12\times1200\times20^2=240000\,\mathrm{J}$ .
b)
À l'aide du théorème de l'énergie cinétique, calcule la distance de freinage $d$ .
À l'arrêt l'énergie cinétique finale est nulle. Le frottement seul travaille ( $\alpha=180^{\circ}$ ) : $-F_f\times d=0-E_c$ , donc $d=\dfrac{E_c}{F_f}=\dfrac{240000}{6000}=40\,\mathrm{m}$ .
c)
Si la vitesse initiale doublait, par quel facteur la distance de freinage serait-elle multipliée ? Justifie.
$E_c\propto v^2$ et $d\propto E_c$ : si $v$ double, $E_c$ est multipliée par $4$ , donc la distance de freinage aussi ( $d\to160\,\mathrm{m}$ ).

Exercice 9puissance d'un cycliste dans une côte

Un cycliste (avec son vélo) de masse $m=80\,\mathrm{kilogram}$ monte une côte de pente $\beta=30^{\circ}$ à vitesse constante $v=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . La résultante des frottements vaut $F_f=50\,\mathrm{N}$ . On prend $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ et $\sin30^{\circ}=0,5$ .

a)
À vitesse constante, la force motrice équilibre la composante du poids le long de la pente et les frottements. Montre que $F_m=mg\sin\beta+F_f$ et calcule-la.
À vitesse constante, $\Delta E_c=0$ : la force motrice compense la composante du poids ( $mg\sin\beta$ ) et les frottements. Donc $F_m=mg\sin\beta+F_f=80\times10\times0,5+50=400+50=450\,\mathrm{N}$ .
b)
Calcule la puissance développée par le cycliste, $P=F_m\times v$ .
$P=F_m\times v=450\times4=1800\,\mathrm{W}=1.8\,\mathrm{kW}$ .
c)
Quelle part de cette puissance sert à « monter » (à vaincre le poids) ?
Part « montée » : $P_{\text{poids}}=(mg\sin\beta)\times v=400\times4=1600\,\mathrm{W}$ ; les $200\,\mathrm{W}$ restants compensent les frottements.

Exercice 10travail d'une force variable puis puissance

Une force parallèle au déplacement croît linéairement de $0\,\mathrm{N}$ à $40\,\mathrm{N}$ entre $x=0\,\mathrm{m}$ et $2\,\mathrm{m}$ , puis reste constante à $40\,\mathrm{N}$ jusqu'à $x=6\,\mathrm{m}$ . L'objet se déplace à la vitesse constante $v=3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

a)
Calcule le travail $W_1$ sur la partie croissante (triangle, $0\to2\,\mathrm{m}$ ).
Triangle : $W_1=\dfrac{2\times40}{2}=40\,\mathrm{J}$ .
b)
Calcule le travail $W_2$ sur la partie constante (rectangle, $2\,\mathrm{m}\to6\,\mathrm{m}$ ), puis le travail total $W$ .
Rectangle : $W_2=40\times(6-2)=160\,\mathrm{J}$ , d'où $W=W_1+W_2=200\,\mathrm{J}$ .
c)
Déduis-en la puissance moyenne développée sur tout le trajet.
Durée du trajet : $\Delta t=\dfrac{d}{v}=\dfrac{6}{3}=2\,\mathrm{s}$ , donc $P=\dfrac{W}{\Delta t}=\dfrac{200}{2}=100\,\mathrm{W}$ .

Exercice 11treuil à puissance constante

Un treuil de puissance utile constante $P=6\,\mathrm{kW}$ soulève verticalement une charge de masse $m=200\,\mathrm{kilogram}$ à vitesse constante. On prend $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
À vitesse constante, la force de traction égale le poids. À l'aide de $P=F\times v$ , calcule la vitesse de levage $v$ .
À vitesse constante et montée verticale, $F=mg=200\times10=2000\,\mathrm{N}$ . De $P=F\times v$ : $v=\dfrac{P}{F}=\dfrac{6000}{2000}=3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Calcule la durée nécessaire pour soulever la charge d'une hauteur $h=15\,\mathrm{m}$ .
$\Delta t=\dfrac{h}{v}=\dfrac{15}{3}=5\,\mathrm{s}$ .
c)
Vérifie ta réponse en calculant le travail $W=mgh$ puis $P=\dfrac{W}{\Delta t}$ .
$W=mgh=200\times10\times15=30000\,\mathrm{J}$ et $P=\dfrac{W}{\Delta t}=\dfrac{30000}{5}=6000\,\mathrm{W}=6\,\mathrm{kW}$ : cohérent.

Exercice 12deux pistes, une même dénivelée

Un skieur de masse $m=70\,\mathrm{kilogram}$ descend d'un point $A$ à un point $B$ situé plus bas, la dénivelée valant $h=50\,\mathrm{m}$ . Il peut suivre deux pistes différentes (l'une directe, l'autre sinueuse). On prend $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
Compare les travaux du poids sur les deux pistes. Justifie.
Les deux travaux sont égaux : le travail du poids ne dépend que de la dénivelée $h$ , pas du chemin suivi (force conservative).
b)
Calcule le travail du poids $W(\vec{G})$ entre $A$ et $B$ .
Descente ( $\alpha=0^{\circ}$ pour la composante verticale) : $W(\vec{G})=mgh=70\times10\times50=35000\,\mathrm{J}=35\,\mathrm{kJ}$ .
c)
Les pistes étant sans frottement et le départ au repos, la vitesse en $B$ dépend-elle de la piste choisie ? Calcule-la.
Non : sans frottement, le théorème de l'énergie cinétique donne $\tfrac12 m v^2=mgh$ , soit $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times10\times50}=\sqrt{1000}\approx31.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , identique pour les deux pistes.

Exercice 13toboggan avec frottement

Un enfant de masse $m=30\,\mathrm{kilogram}$ descend, en partant du repos, un toboggan de longueur $L=5\,\mathrm{m}$ dont le sommet est à la hauteur $h=3\,\mathrm{m}$ . Il arrive en bas à la vitesse $v=6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . On prend $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
Calcule le travail du poids $W(\vec{G})$ sur la descente.
$W(\vec{G})=mgh=30\times10\times3=900\,\mathrm{J}$ .
b)
Calcule l'énergie cinétique en bas du toboggan.
$E_c=\tfrac12 m v^2=\tfrac12\times30\times6^2=\tfrac12\times30\times36=540\,\mathrm{J}$ .
c)
À l'aide du théorème de l'énergie cinétique, déduis-en le travail des frottements $W(\vec{F}_f)$ .
Théorème de l'énergie cinétique (départ au repos) : $W(\vec{G})+W(\vec{F}_f)=E_c$ , donc $W(\vec{F}_f)=540-900=-360\,\mathrm{J}$ .
d)
Calcule l'intensité moyenne de la force de frottement le long du toboggan.
$|W(\vec{F}_f)|=F_f\times L\Rightarrow F_f=\dfrac{360}{5}=72\,\mathrm{N}$ .

Exercice 14vrai ou faux : travail et puissance

Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

a)
La puissance $P=F\times v$ ne dépend pas de l'angle entre la force et la vitesse.
Faux. En toute généralité $P=F\times v\times\cos\alpha$ : la puissance dépend de l'angle $\alpha$ (elle est maximale si $\vec{F}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires).
b)
L'aire sous la courbe $F(x)$ est négative lorsque la force s'oppose au déplacement.
Vrai. L'aire est algébrique : quand la force s'oppose au déplacement, sa composante est négative et le travail (donc l'aire comptée) est négatif.
c)
À travail égal, doubler la durée du transfert divise la puissance par deux.
Vrai. $P=\dfrac{W}{\Delta t}$ : à $W$ fixé, doubler $\Delta t$ divise $P$ par deux.
d)
La réaction normale d'un support en mouvement fournit toujours un travail moteur.
Faux. La réaction normale est perpendiculaire au déplacement : son travail est nul, jamais moteur.

Exercice 15de la pente lisse à la zone rugueuse

Un palet de masse $m=2\,\mathrm{kilogram}$ part du repos en haut d'un plan incliné sans frottement, dont le sommet est à la hauteur $h=1.8\,\mathrm{m}$ . Arrivé en bas, il aborde une portion horizontale rugueuse où un frottement constant $F_f=6\,\mathrm{N}$ finit par l'arrêter. On prend $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
Calcule la vitesse du palet en bas de la pente (théorème de l'énergie cinétique, le poids seul travaille).
Sur la pente lisse, seul le poids travaille : $\tfrac12 m v^2=mgh$ , donc $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times10\times1,8}=\sqrt{36}=6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Calcule l'énergie cinétique du palet en bas de la pente.
$E_c=\tfrac12 m v^2=\tfrac12\times2\times36=36\,\mathrm{J}$ (on retrouve $mgh=36\,\mathrm{J}$ ).
c)
Sur la portion horizontale, seule la force de frottement travaille. Calcule la distance $d$ parcourue avant l'arrêt.
Sur l'horizontale, le frottement seul travaille : $-F_f\times d=0-E_c$ , donc $d=\dfrac{E_c}{F_f}=\dfrac{36}{6}=6\,\mathrm{m}$ .

Revoir le tutoriel de cette mécanique