energie cinetique

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Facile15 exercices

Exercice 1calcul direct de l'énergie cinétique

Un ballon de masse $m=2\,\mathrm{kilogram}$ se déplace à la vitesse $v=3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Calcule son énergie cinétique $E_c$ .

E_c=\tfrac12 m v^2=\tfrac12\times2\times3^2=\tfrac12\times2\times9=9\,\mathrm{J}.

Exercice 2énergie cinétique avec conversion de vitesse

Un cycliste et son vélo ont une masse totale $m=80\,\mathrm{kilogram}$ et roulent à $v=18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

a)
Convertis la vitesse en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
$v=\dfrac{18}{3,6}=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Calcule l'énergie cinétique de l'ensemble.
$E_c=\tfrac12 m v^2=\tfrac12\times80\times5^2=\tfrac12\times80\times25=1000\,\mathrm{J}=1\,\mathrm{kJ}$ .

Exercice 3l'effet du carré de la vitesse

À la vitesse $v$ , un objet possède une énergie cinétique $E_c=20\,\mathrm{J}$ .

a)
Quelle est son énergie cinétique s'il roule à la vitesse $2v$ ?
L'énergie cinétique varie comme $v^2$ : multiplier $v$ par $n$ multiplie $E_c$ par $n^2$ .
À $2v$ : $n=2$ , $n^2=4$ , donc $E_c'=4\times20=80\,\mathrm{J}$ .
b)
Quelle est son énergie cinétique s'il roule à la vitesse $3v$ ?
À $3v$ : $n=3$ , $n^2=9$ , donc $E_c''=9\times20=180\,\mathrm{J}$ .

Exercice 4théorème de l'énergie cinétique à partir du repos

Un palet de masse $m=5\,\mathrm{kilogram}$ , initialement au repos, reçoit un travail total $\sum W=250\,\mathrm{J}$ .

a)
Que vaut l'énergie cinétique finale $E_c$ du palet ?
Au repos $E_c(A)=0$ . Le théorème donne $\sum W=E_c(B)-E_c(A)$ , donc $E_c(B)=\sum W=250\,\mathrm{J}$ .
b)
Déduis-en sa vitesse finale $v$ .
$\tfrac12 m v^2=250\Rightarrow v^2=\dfrac{2\times250}{5}=100\Rightarrow v=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 5retrouver la vitesse à partir de l'énergie cinétique

Une bille de masse $m=5\,\mathrm{kilogram}$ possède une énergie cinétique $E_c=90\,\mathrm{J}$ . En partant de $E_c=\tfrac12 m v^2$ , calcule sa vitesse $v$ .

\tfrac12 m v^2=E_c\ \Rightarrow\ v^2=\frac{2E_c}{m}=\frac{2\times90}{5}=36\ \Rightarrow\ v=\sqrt{36}=6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

Exercice 6énergie cinétique d'une balle (masse en grammes)

Une balle de masse $m=200\,\mathrm{g}$ roule à la vitesse $v=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

a)
Convertis la masse en $\mathrm{kilogram}$ .
$m=200\,\mathrm{g}=0{,}2\,\mathrm{kilogram}$ .
b)
Calcule l'énergie cinétique $E_c$ de la balle.
$E_c=\tfrac12 m v^2=\tfrac12\times0,2\times10^2=\tfrac12\times0,2\times100=10\,\mathrm{J}$ .

Exercice 7qui possède le plus d'énergie cinétique ?

On compare deux mobiles : une moto de masse $m_1=200\,\mathrm{kilogram}$ roulant à $v_1=20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et un chariot de masse $m_2=10000\,\mathrm{kilogram}$ se déplaçant à $v_2=2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

a)
Calcule l'énergie cinétique de la moto.
Moto : $E_c=\tfrac12\times200\times20^2=\tfrac12\times200\times400=40000\,\mathrm{J}=40\,\mathrm{kJ}$ .
b)
Calcule l'énergie cinétique du chariot.
Chariot : $E_c=\tfrac12\times10000\times2^2=\tfrac12\times10000\times4=20000\,\mathrm{J}=20\,\mathrm{kJ}$ .
c)
Lequel des deux possède la plus grande énergie cinétique ?
La moto ( $40\,\mathrm{kJ}$ contre $20\,\mathrm{kJ}$ ). Malgré sa masse bien plus faible, sa vitesse élevée — qui intervient au carré — lui donne le plus d'énergie cinétique.

Exercice 8retrouver la masse

Un chariot possède une énergie cinétique $E_c=400\,\mathrm{J}$ lorsqu'il roule à $v=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . En partant de $E_c=\tfrac12 m v^2$ , calcule sa masse $m$ .

m=\frac{2E_c}{v^2}=\frac{2\times400}{4^2}=\frac{800}{16}=50\,\mathrm{kilogram}.

Exercice 9travail pour lancer un objet depuis le repos

Un palet de masse $m=8\,\mathrm{kilogram}$ , initialement au repos, doit atteindre la vitesse $v=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sur une table horizontale sans frottement.

a)
Quelle est l'énergie cinétique finale $E_c$ du palet ?
$E_c=\tfrac12 m v^2=\tfrac12\times8\times5^2=\tfrac12\times8\times25=100\,\mathrm{J}$ .
b)
En déduire le travail total $\sum W$ que doit fournir la force de lancement.
Départ au repos ( $E_c(A)=0$ ) : $\sum W=E_c(B)-E_c(A)=E_c=100\,\mathrm{J}$ .

Exercice 10à quelle vitesse l'énergie cinétique double-t-elle ?

L'énergie cinétique varie comme le carré de la vitesse.

a)
Par quel facteur faut-il multiplier la vitesse pour que l'énergie cinétique double ?
$E_c\propto v^2$ : pour doubler $E_c$ il faut multiplier $v$ par $\sqrt2\approx1,41$ (car $(\sqrt2)^2=2$ ).
b)
Un objet roule à $v=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . À quelle vitesse son énergie cinétique serait-elle deux fois plus grande ?
$v'=\sqrt2\times10\approx14{,}1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 11lecture graphique de l'énergie cinétique

La courbe ci-dessous donne l'énergie cinétique $E_c=\tfrac12 m v^2$ d'un objet de masse $m=1\,\mathrm{kilogram}$ en fonction de sa vitesse $v$ .

a)
Lis sur le graphe l'énergie cinétique de l'objet lorsqu'il roule à $v=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , puis vérifie par le calcul.
À $v=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ on lit $E_c\approx8\,\mathrm{J}$ ; par le calcul $E_c=\tfrac12\times1\times4^2=8\,\mathrm{J}$ .
b)
À quelle vitesse l'énergie cinétique vaut-elle $32\,\mathrm{J}$ ?
On cherche $v$ tel que $\tfrac12\times1\times v^2=32$ , soit $v^2=64$ et $v=8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 12le mobile ralentit

Un palet de masse $m=2\,\mathrm{kilogram}$ glisse à $v_A=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Des frottements lui retirent un travail total $\sum W=-9\,\mathrm{J}$ .

a)
À l'aide du théorème de l'énergie cinétique, calcule son énergie cinétique finale $E_c(B)$ .
$E_c(A)=\tfrac12\times2\times5^2=25\,\mathrm{J}$ . Le théorème donne $E_c(B)=E_c(A)+\sum W=25+(-9)=16\,\mathrm{J}$ .
b)
En déduire sa nouvelle vitesse $v_B$ .
$\tfrac12\times2\times v_B^2=16\Rightarrow v_B^2=16\Rightarrow v_B=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 13énergie cinétique en kilojoules

Une voiture de masse $m=1500\,\mathrm{kilogram}$ roule à $v=72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

a)
Convertis la vitesse en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
$v=\dfrac{72}{3,6}=20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Calcule l'énergie cinétique de la voiture et exprime-la en $\mathrm{kJ}$ .
$E_c=\tfrac12\times1500\times20^2=\tfrac12\times1500\times400=300000\,\mathrm{J}=300\,\mathrm{kJ}$ .

Exercice 14vitesse d'un camion à partir de son énergie cinétique

Un camion de masse $m=2\,\mathrm{t}$ possède une énergie cinétique $E_c=100\,\mathrm{kJ}$ .

a)
Convertis la masse en $\mathrm{kilogram}$ et l'énergie en $\mathrm{J}$ .
$m=2\,\mathrm{t}=2000\,\mathrm{kilogram}$ et $E_c=100\,\mathrm{kJ}=100000\,\mathrm{J}$ .
b)
Calcule la vitesse $v$ du camion.
$v=\sqrt{\dfrac{2E_c}{m}}=\sqrt{\dfrac{2\times100000}{2000}}=\sqrt{100}=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 15classer par énergie cinétique croissante

Trois objets se déplacent : $A$ ( $m=10\,\mathrm{kilogram}$ , $v=2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ), $B$ ( $m=2\,\mathrm{kilogram}$ , $v=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) et $C$ ( $m=1\,\mathrm{kilogram}$ , $v=8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ).

a)
Calcule l'énergie cinétique de chacun.
$E_c(A)=\tfrac12\times10\times2^2=20\,\mathrm{J}$ ; $E_c(B)=\tfrac12\times2\times5^2=25\,\mathrm{J}$ ; $E_c(C)=\tfrac12\times1\times8^2=32\,\mathrm{J}$ .
b)
Classe les trois objets par énergie cinétique croissante.
Ordre croissant : $A\ (20\,\mathrm{J})<B\ (25\,\mathrm{J})<C\ (32\,\mathrm{J})$ . Le plus léger ( $C$ ) possède la plus grande énergie cinétique, grâce à sa vitesse.

Moyen15 exercices

Exercice 1théorème avec deux vitesses non nulles

Un wagonnet de masse $m=200\,\mathrm{kilogram}$ voit sa vitesse passer de $v_A=2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $v_B=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Calcule le travail total $\sum W$ reçu par le wagonnet entre $A$ et $B$ .

\sum W=E_c(B)-E_c(A)=\tfrac12 m v_B^2-\tfrac12 m v_A^2=\tfrac12\times200\times(5^2-2^2)=100\times(25-4)=2100\,\mathrm{J}.

Exercice 2distance de freinage

Une voiture de masse $m=1200\,\mathrm{kilogram}$ roule à $v=20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . En freinant, les roues exercent une force résistante constante $F=6000\,\mathrm{N}$ jusqu'à l'arrêt.

a)
Écris le théorème de l'énergie cinétique entre le début du freinage et l'arrêt.
Seule la force de freinage travaille (résistante, $\alpha=180^{\circ}$ ). À l'arrêt $v_B=0$ :
$-F\,d=E_c(B)-E_c(A)=0-\tfrac12 m v^2\quad\Longrightarrow\quad F\,d=\tfrac12 m v^2.$
b)
Déduis-en la distance de freinage $d$ .
$d=\dfrac{\tfrac12 m v^2}{F}=\dfrac{\tfrac12\times1200\times20^2}{6000}=\dfrac{240000}{6000}=40\,\mathrm{m}.$

Exercice 3force de frottement à partir de la variation d'énergie cinétique

Un palet de masse $m=0{,}5\,\mathrm{kilogram}$ , lancé à $v=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sur une table horizontale, s'arrête après $d=10\,\mathrm{m}$ à cause des frottements.

a)
Quelle est la variation d'énergie cinétique $\Delta E_c$ entre le lancement et l'arrêt ?
À l'arrêt, toute l'énergie cinétique est perdue : $\Delta E_c=0-\tfrac12 m v^2=-\tfrac12\times0,5\times4^2=-\tfrac12\times0,5\times16=-4\,\mathrm{J}$ .
b)
Ce travail est celui de la force de frottement ( $-F_f\,d$ ). Déduis-en l'intensité $F_f$ .
$-F_f\,d=\Delta E_c=-4$ , donc $F_f=\dfrac{4}{d}=\dfrac{4}{10}=0{,}4\,\mathrm{N}$ .

Exercice 4l'énergie cinétique ne dépend pas de la pesanteur

Un objet de masse $m=3\,\mathrm{kilogram}$ se déplace horizontalement à $v=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

a)
Calcule son énergie cinétique sur la Terre ( $g=9{,}81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).
$E_c=\tfrac12 m v^2=\tfrac12\times3\times10^2=\tfrac12\times3\times100=150\,\mathrm{J}$ .
b)
Sur la Lune, où la pesanteur vaut environ $g/6$ , l'objet se déplace à la même vitesse $v=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Quelle est son énergie cinétique ? Justifie.
Même valeur : $E_c=150\,\mathrm{J}$ . La formule $E_c=\tfrac12 m v^2$ ne fait intervenir que la masse et la vitesse, jamais $g$ : à masse et vitesse identiques, l'énergie cinétique est la même sur la Lune que sur la Terre.

Exercice 5la distance de freinage varie comme le carré de la vitesse

À $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , une voiture s'arrête sur une distance $d_1=25\,\mathrm{m}$ (force de freinage constante).

a)
En freinant avec la même force, la distance d'arrêt est proportionnelle à $v^2$ . Écris le rapport $\dfrac{d_2}{d_1}$ en fonction des vitesses.
Comme $F\,d=\tfrac12 m v^2$ avec $F$ constante, $d\propto v^2$ : $\dfrac{d_2}{d_1}=\left(\dfrac{v_2}{v_1}\right)^2$ .
b)
Déduis-en la distance d'arrêt $d_2$ si la voiture roule à $70\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
$d_2=d_1\left(\dfrac{70}{50}\right)^2=25\times(1,4)^2=25\times1,96=49\,\mathrm{m}$ . Rouler à peine $20\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ plus vite double presque la distance d'arrêt.

Exercice 6force horizontale constante depuis le repos

Une caisse de masse $m=20\,\mathrm{kilogram}$ , initialement au repos, est poussée par une force horizontale constante $F=50\,\mathrm{N}$ sur une distance $d=20\,\mathrm{m}$ , sur un sol horizontal sans frottement.

a)
Calcule le travail de la force $F$ sur le trajet.
$W(\vec{F})=F\,d=50\times20=1000\,\mathrm{J}$ (force et déplacement de même sens).
b)
À l'aide du théorème de l'énergie cinétique, calcule la vitesse atteinte $v$ .
Départ au repos : $W=\tfrac12 m v^2$ , donc $v^2=\dfrac{2W}{m}=\dfrac{2\times1000}{20}=100$ et $v=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 7force motrice contre frottement

Un traîneau de masse $m=50\,\mathrm{kilogram}$ part du repos. Il est tiré par une force motrice horizontale $F=120\,\mathrm{N}$ tandis qu'une force de frottement $F_f=20\,\mathrm{N}$ s'oppose au mouvement, sur une distance $d=25\,\mathrm{m}$ .

a)
Calcule le travail total $\sum W$ (travail moteur + travail résistant).
$\sum W=F\,d-F_f\,d=(F-F_f)\,d=(120-20)\times25=100\times25=2500\,\mathrm{J}$ .
b)
En déduire la vitesse finale $v$ .
$\tfrac12 m v^2=2500\Rightarrow v^2=\dfrac{2\times2500}{50}=100\Rightarrow v=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 8plan incliné sans frottement

Un bloc de masse $m=4\,\mathrm{kilogram}$ part du repos en haut d'un plan incliné lisse (sans frottement) de longueur $L=10\,\mathrm{m}$ et d'angle $\beta=30^{\circ}$ . On prend $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ et $\sin30^{\circ}=0,5$ .

a)
Calcule la hauteur de descente $h$ , puis le travail du poids $W(\vec{G})=mgh$ .
$h=L\sin30^{\circ}=10\times0,5=5\,\mathrm{m}$ ; $W(\vec{G})=mgh=4\times10\times5=200\,\mathrm{J}$ . (La réaction normale ne travaille pas.)
b)
En déduire la vitesse $v$ en bas du plan. Cette vitesse dépend-elle de la masse ?
$\tfrac12 m v^2=200\Rightarrow v^2=\dfrac{2\times200}{4}=100\Rightarrow v=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Comme $v=\sqrt{2gh}$ , cette vitesse ne dépend pas de la masse.

Exercice 9force inclinée par rapport au déplacement

Une luge de masse $m=10\,\mathrm{kilogram}$ , partant du repos, est tirée sur un sol horizontal sans frottement par une corde inclinée d'un angle $\alpha=60^{\circ}$ au-dessus de l'horizontale. La tension vaut $F=80\,\mathrm{N}$ et le déplacement $d=8\,\mathrm{m}$ . On prend $\cos60^{\circ}=0,5$ .

a)
Calcule le travail de la tension $W(\vec{F})=F\cos\alpha\times d$ .
$W(\vec{F})=F\cos\alpha\times d=80\times0,5\times8=320\,\mathrm{J}$ .
b)
En déduire la vitesse finale $v$ de la luge.
$\tfrac12 m v^2=320\Rightarrow v^2=\dfrac{2\times320}{10}=64\Rightarrow v=8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 10retrouver la vitesse avant le freinage

Une voiture de masse $m=1000\,\mathrm{kilogram}$ freine avec une force résistante constante $F=8000\,\mathrm{N}$ et s'arrête après une distance $d=25\,\mathrm{m}$ .

a)
Écris le théorème de l'énergie cinétique entre le début du freinage et l'arrêt.
Seule la force de freinage travaille (résistante). À l'arrêt $v_B=0$ : $-F\,d=0-\tfrac12 m v^2$ , soit $F\,d=\tfrac12 m v^2$ .
b)
En déduire la vitesse $v$ qu'avait la voiture, puis convertis-la en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
$v^2=\dfrac{2F d}{m}=\dfrac{2\times8000\times25}{1000}=400\Rightarrow v=20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , soit $v=20\times3,6=72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Exercice 11accélération puis freinage

Un chariot de masse $m=50\,\mathrm{kilogram}$ part du repos. Il est d'abord poussé par une force horizontale $F=250\,\mathrm{N}$ sur $d_1=10\,\mathrm{m}$ (sans frottement), puis il freine sous l'effet d'une force résistante $F_f=100\,\mathrm{N}$ sur $d_2=9\,\mathrm{m}$ .

a)
Calcule la vitesse $v_1$ à la fin de la phase de poussée.
Phase 1 : $W_1=F\,d_1=250\times10=2500\,\mathrm{J}=\tfrac12\times50\times v_1^2$ , donc $v_1^2=\dfrac{2\times2500}{50}=100$ et $v_1=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Calcule la vitesse $v_2$ à la fin de la phase de freinage.
Phase 2 : $E_c=2500-F_f\,d_2=2500-100\times9=1600\,\mathrm{J}$ , donc $\tfrac12\times50\times v_2^2=1600$ , $v_2^2=64$ et $v_2=8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 12un wagon qui ne s'arrête pas

Un wagon de masse $m=500\,\mathrm{kilogram}$ aborde une portion de rails à $v_A=8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Une force de frottement constante $F_f=700\,\mathrm{N}$ agit sur une distance $d=10\,\mathrm{m}$ sans réussir à l'arrêter.

a)
Calcule l'énergie cinétique en $A$ , puis le travail des frottements sur la distance $d$ .
$E_c(A)=\tfrac12\times500\times8^2=\tfrac12\times500\times64=16000\,\mathrm{J}$ ; $W(\vec{F}_f)=-F_f\,d=-700\times10=-7000\,\mathrm{J}$ .
b)
En déduire la vitesse $v_B$ du wagon à la fin de la portion.
$E_c(B)=E_c(A)+W=16000-7000=9000\,\mathrm{J}$ , donc $v_B^2=\dfrac{2\times9000}{500}=36$ et $v_B=6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 13de combien accélérer pour tripler l'énergie cinétique ?

L'énergie cinétique d'un mobile varie comme le carré de sa vitesse.

a)
Par quel facteur faut-il multiplier la vitesse pour tripler l'énergie cinétique ?
$E_c\propto v^2$ : il faut multiplier $v$ par $\sqrt3\approx1,73$ (car $(\sqrt3)^2=3$ ).
b)
Application : un mobile roule à $v=12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . À quelle vitesse son énergie cinétique est-elle trois fois plus grande ?
$v'=\sqrt3\times12\approx20{,}8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
c)
Inversement, si la vitesse augmente de $50\,\%$ (elle est multipliée par $1,5$ ), par quel facteur l'énergie cinétique est-elle multipliée ?
$E_c$ est multipliée par $(1,5)^2=2,25$ (soit $+125\,\%$ ).

Exercice 14vitesse d'un projectile lancé vers le haut

On lance verticalement vers le haut un objet avec une vitesse initiale $v_0=20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , frottements négligés).

a)
En appliquant le théorème de l'énergie cinétique au poids, montre que $v^2=v_0^2-2gh$ à la hauteur $h$ , puis calcule la vitesse à $h=15\,\mathrm{m}$ .
En montant de $h$ , le poids est résistant : $\tfrac12 m v^2-\tfrac12 m v_0^2=-mgh$ . La masse se simplifie : $v^2=v_0^2-2gh$ . À $h=15\,\mathrm{m}$ : $v^2=20^2-2\times10\times15=400-300=100$ , donc $v=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Quelle hauteur maximale atteint l'objet ?
Au sommet $v=0$ : $0=v_0^2-2gh_{\max}$ , donc $h_{\max}=\dfrac{v_0^2}{2g}=\dfrac{400}{20}=20\,\mathrm{m}$ .

Exercice 15du mouvement uniformément accéléré à l'énergie cinétique

Un mobile de masse $m=3\,\mathrm{kilogram}$ part du repos et accélère uniformément avec $a=2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Sa vitesse croît selon $v=a\,t$ (graphe ci-dessous).

a)
Calcule les vitesses $v_1$ à $t_1=2\,\mathrm{s}$ et $v_2$ à $t_2=5\,\mathrm{s}$ .
$v_1=a\,t_1=2\times2=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_2=a\,t_2=2\times5=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
En déduire la variation d'énergie cinétique $\Delta E_c$ entre ces deux instants.
$\Delta E_c=\tfrac12 m(v_2^2-v_1^2)=\tfrac12\times3\times(10^2-4^2)=1,5\times(100-16)=1,5\times84=126\,\mathrm{J}$ .

Difficile15 exercices

Exercice 1coefficient de frottement cinétique

Un objet lancé sur une surface horizontale à $v=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ s'arrête après une distance $d=10\,\mathrm{m}$ . La force de frottement vaut $F_f=\mu\,mg$ (avec $\mu$ le coefficient de frottement cinétique) et $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
Applique le théorème de l'énergie cinétique entre le lancement et l'arrêt, en écrivant le travail du frottement $-\mu mg\,d$ .
Seul le frottement travaille (résistant). À l'arrêt $v_B=0$ :
$-\mu mg\,d=E_c(B)-E_c(A)=0-\tfrac12 m v^2 .$
b)
Isole $\mu$ (la masse se simplifie) et calcule sa valeur numérique.
La masse se simplifie : $\mu g\,d=\tfrac12 v^2$ , donc
$\mu=\frac{v^2}{2gd}=\frac{4^2}{2\times10\times10}=\frac{16}{200}=0,08 .$

Exercice 2comment varie l'énergie cinétique pendant un lancer vertical ?

On lance verticalement vers le haut un objet de masse $m=0{,}2\,\mathrm{kilogram}$ avec $v_0=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , sans frottement). Pendant la montée, sa vitesse vaut $v(t)=v_0-g\,t$ .

a)
Exprime l'énergie cinétique $E_c(t)=\tfrac12 m\,v(t)^2$ et calcule ses valeurs à $t=0\,\mathrm{s}$ et au sommet ( $t=1\,\mathrm{s}$ ).
$E_c(t)=\tfrac12 m (v_0-gt)^2=\tfrac12\times0,2\times(10-10t)^2=0,1\,(10-10t)^2$ .
- à $t=0$ : $E_c=0,1\times10^2=10\,\mathrm{J}$ ;
- au sommet $t=1\,\mathrm{s}$ : $v=0$ , donc $E_c=0\,\mathrm{J}$ .
b)
Le graphe de $E_c$ en fonction du temps est-il une droite ? Décris sa forme pendant la montée puis la descente.
Non, ce n'est pas une droite : $E_c$ dépend de $(v_0-gt)^2$ , c'est une parabole en $t$ . Pendant la montée, $E_c$ décroît de $10\,\mathrm{J}$ à $0$ ; pendant la descente, elle croît à nouveau symétriquement. (C'est la vitesse $v(t)$ , elle, qui varie linéairement — pas l'énergie cinétique.)

Exercice 3descente d'un plan incliné avec frottement

Un bloc de masse $m=2\,\mathrm{kilogram}$ part du repos et glisse sur $L=5\,\mathrm{m}$ le long d'un plan incliné à $\beta=30^{\circ}$ . Il subit une force de frottement constante $F_f=4\,\mathrm{N}$ . On prend $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ et $\sin30^{\circ}=0,5$ .

a)
Calcule la hauteur de descente $h$ , puis le travail du poids $W(\vec{G})=mgh$ et le travail du frottement $W(\vec{F}_f)=-F_f\,L$ .
$h=L\sin30^{\circ}=5\times0,5=2{,}5\,\mathrm{m}$ . $W(\vec{G})=mgh=2\times10\times2,5=50\,\mathrm{J}$ ; $W(\vec{F}_f)=-F_f\,L=-4\times5=-20\,\mathrm{J}$ ; $W(\vec{N})=0$ .
b)
À l'aide du théorème de l'énergie cinétique ( $\sum W=\tfrac12 m v_B^2$ , départ au repos), calcule la vitesse $v_B$ en bas. Compare-la à la vitesse sans frottement $\sqrt{2gh}$ .
$\sum W=50-20=30\,\mathrm{J}=\tfrac12 m v_B^2$ , donc $v_B^2=\dfrac{2\times30}{2}=30$ , soit $v_B=\sqrt{30}\approx5{,}5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Sans frottement on aurait $\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times10\times2,5}=\sqrt{50}\approx7{,}1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : le frottement a réduit la vitesse d'arrivée.

Exercice 4force de freinage moyenne d'une voiture

Une voiture de masse $m=1000\,\mathrm{kilogram}$ roule à $108\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ et s'arrête sur une distance $d=75\,\mathrm{m}$ .

a)
Convertis la vitesse en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et calcule l'énergie cinétique initiale.
$v=\dfrac{108}{3,6}=30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , d'où $E_c=\tfrac12\times1000\times30^2=\tfrac12\times1000\times900=450000\,\mathrm{J}=450\,\mathrm{kJ}$ .
b)
Déduis-en l'intensité moyenne $F$ de la force de freinage ( $F\,d=E_c$ ).
$F=\dfrac{E_c}{d}=\dfrac{450000}{75}=6000\,\mathrm{N}$ .

Exercice 5vrai ou faux : l'énergie cinétique

Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

a)
L'énergie cinétique d'un objet double lorsque sa vitesse double.
Faux. $E_c\propto v^2$ : si $v$ double, $E_c$ est multipliée par $2^2=4$ (elle quadruple, elle ne double pas).
b)
À masse et vitesse égales, un objet a la même énergie cinétique sur la Lune et sur la Terre.
Vrai. $E_c=\tfrac12 m v^2$ ne dépend pas de $g$ : à $m$ et $v$ identiques, l'énergie cinétique est la même partout.
c)
Si le travail total des forces appliquées est nul, la vitesse du corps est conservée.
Vrai. $\sum W=\Delta E_c=0$ implique $E_c(B)=E_c(A)$ , donc la vitesse (en norme) est conservée.
d)
L'énergie cinétique d'un corps peut être négative.
Faux. $E_c=\tfrac12 m v^2\geq0$ toujours (produit d'un carré par une masse positive).

Exercice 6coefficient de frottement sur un plan incliné

Un bloc de masse $m$ part du repos en haut d'un plan incliné de longueur $L=10\,\mathrm{m}$ faisant un angle $\beta=37^{\circ}$ avec l'horizontale. Il arrive en bas avec la vitesse $v_B=8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . On donne $\sin37^{\circ}=0,6$ , $\cos37^{\circ}=0,8$ et $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . La force de frottement vaut $F_f=\mu\,mg\cos\beta$ .

a)
Calcule la hauteur de descente $h$ et exprime les travaux du poids et du frottement sur le trajet $AB$ .
$h=L\sin\beta=10\times0,6=6\,\mathrm{m}$ . Travail du poids (moteur) : $W(\vec{G})=mgh=m\times10\times6=60\,m$ . Travail du frottement (résistant) : $W(\vec{F}_f)=-\mu mg\cos\beta\,L=-\mu\times m\times10\times0,8\times10=-80\,\mu m$ . La réaction normale ne travaille pas.
b)
Écris le théorème de l'énergie cinétique et montre que la masse se simplifie.
$\sum W=\tfrac12 m v_B^2$ : $60\,m-80\,\mu m=\tfrac12 m\times8^2=32\,m$ . La masse se simplifie : $60-80\mu=32$ .
c)
En déduire la valeur du coefficient de frottement $\mu$ .
$80\mu=28\Rightarrow \mu=\dfrac{28}{80}=0,35$ .

Exercice 7distance parcourue en montée avec frottement

Un palet est lancé vers le haut le long d'un plan incliné d'angle $\beta=37^{\circ}$ avec la vitesse initiale $v_0=8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Le coefficient de frottement vaut $\mu=0,25$ . On donne $\sin37^{\circ}=0,6$ , $\cos37^{\circ}=0,8$ et $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
Pendant la montée, quelles forces travaillent, et avec quel signe ? Exprime le travail total sur une distance $d$ le long de la pente.
En montée, la composante du poids ( $mg\sin\beta$ ) et le frottement ( $\mu mg\cos\beta$ ) s'opposent au mouvement : tous deux résistants. Sur une distance $d$ : $\sum W=-(mg\sin\beta+\mu mg\cos\beta)\,d$ .
b)
À l'aide du théorème de l'énergie cinétique (arrêt au sommet), calcule la distance $d$ parcourue avant l'arrêt.
Arrêt au sommet ( $v=0$ ) : $\sum W=0-\tfrac12 m v_0^2$ . La masse se simplifie :
$d=\frac{v_0^2}{2g(\sin\beta+\mu\cos\beta)}=\frac{8^2}{2\times10\times(0,6+0,25\times0,8)} =\frac{64}{20\times0,8}=\frac{64}{16}=4\,\mathrm{m}.$

Exercice 8freinage dans une descente

Une voiture de masse $m=1000\,\mathrm{kilogram}$ descend une route en pente et roule à $v_0=20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ quand le conducteur freine. Les freins exercent une force résistante constante $F=6000\,\mathrm{N}$ . La pente est telle que $\sin\beta=0,1$ et $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
Sur la distance de freinage $d$ , exprime le travail de la force de freinage et celui du poids (attention au signe de chacun en descente).
Sur la distance $d$ (orientée dans le sens de la descente), la force de freinage est résistante : $W(\vec{F})=-F\,d$ ; la composante du poids le long de la pente est motrice en descente : $W(\vec{G})=+mg\sin\beta\,d$ .
b)
En déduire la distance d'arrêt $d$ .
Théorème de l'énergie cinétique (arrêt, $v_B=0$ ) : $(-F+mg\sin\beta)\,d=-\tfrac12 m v_0^2$ , soit
$d=\frac{\tfrac12 m v_0^2}{F-mg\sin\beta}=\frac{\tfrac12\times1000\times20^2}{6000-1000\times10\times0,1} =\frac{200000}{6000-1000}=\frac{200000}{5000}=40\,\mathrm{m}.$
c)
Compare avec la distance d'arrêt sur route plane (même $v_0$ , même $F$ ). Conclusion ?
Sur le plat, $W(\vec{G})=0$ et $d_0=\dfrac{\tfrac12 m v_0^2}{F}=\dfrac{200000}{6000}\approx33{,}3\,\mathrm{m}$ . En descente, la distance d'arrêt est plus longue ( $40\,\mathrm{m}$ ) : le poids « pousse » la voiture vers l'avant, il faut donc freiner davantage.

Exercice 9deux objets lâchés du haut d'une tour

On lâche sans vitesse initiale, du haut d'une tour de hauteur $h=20\,\mathrm{m}$ , deux objets : $A$ de masse $m_A=6\,\mathrm{kilogram}$ et $B$ de masse $m_B=2\,\mathrm{kilogram}$ . On néglige la résistance de l'air et $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
À l'aide du théorème de l'énergie cinétique, montre que les deux objets arrivent au sol à la même vitesse, et calcule-la.
Seul le poids travaille : $mgh=\tfrac12 m v^2$ . La masse se simplifie, donc $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times10\times20}=\sqrt{400}=20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , identique pour les deux objets.
b)
Calcule l'énergie cinétique de chaque objet en arrivant au sol, puis le rapport $E_c(A)/E_c(B)$ .
$E_c(A)=\tfrac12\times6\times20^2=1200\,\mathrm{J}$ ; $E_c(B)=\tfrac12\times2\times20^2=400\,\mathrm{J}$ ; rapport $\dfrac{E_c(A)}{E_c(B)}=\dfrac{1200}{400}=3=\dfrac{m_A}{m_B}$ (même vitesse).
c)
Les deux objets arrivent-ils au sol en même temps ? Justifie.
Oui, en même temps : la chute libre impose la même accélération $g$ à tous les corps, indépendamment de la masse ; le temps de chute $t=\sqrt{2h/g}=2\,\mathrm{s}$ est le même.

Exercice 10chute puis glissade sur un sol rugueux

Un objet de masse $m=2\,\mathrm{kilogram}$ tombe sans vitesse initiale d'une hauteur $h=5\,\mathrm{m}$ , puis glisse sur un sol horizontal rugueux où il subit une force de frottement constante $F_f=25\,\mathrm{N}$ jusqu'à s'arrêter. On néglige les frottements pendant la chute et $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
Calcule la vitesse $v_1$ de l'objet juste avant de toucher le sol.
Pendant la chute (sans frottement) : $\tfrac12 m v_1^2=mgh$ , donc $v_1=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times10\times5}=\sqrt{100}=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Sur le sol, calcule la distance $d$ parcourue avant l'arrêt.
Au sol, l'énergie cinétique $E_c=\tfrac12\times2\times10^2=100\,\mathrm{J}$ est entièrement dissipée par le frottement : $F_f\,d=E_c$ , donc $d=\dfrac{100}{25}=4\,\mathrm{m}$ .

Exercice 11de l'énergie cinétique à la force motrice

Un solide de masse $m=5\,\mathrm{kilogram}$ part du repos et, sous l'action d'une force horizontale constante $F$ , atteint la vitesse $v=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ après avoir parcouru $d=10\,\mathrm{m}$ (mouvement rectiligne uniformément accéléré, sans frottement).

a)
Calcule l'énergie cinétique du solide au point $B$ .
$E_c(B)=\tfrac12 m v^2=\tfrac12\times5\times10^2=\tfrac12\times5\times100=250\,\mathrm{J}$ .
b)
Sachant que $E_c(B)=F\,d$ , en déduire l'intensité de la force $F$ .
$F=\dfrac{E_c(B)}{d}=\dfrac{250}{10}=25\,\mathrm{N}$ .
c)
En déduire l'accélération $a$ du solide, puis la durée $t$ du trajet.
$a=\dfrac{F}{m}=\dfrac{25}{5}=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Comme $v=a\,t$ (départ au repos), $t=\dfrac{v}{a}=\dfrac{10}{5}=2\,\mathrm{s}$ .

Exercice 12travail d'une force variable : aire sous la courbe

Un chariot de masse $m=2\,\mathrm{kilogram}$ , initialement au repos, se déplace horizontalement sous l'action d'une force $F$ dirigée dans le sens du mouvement mais d'intensité variable. Le graphe ci-dessous donne $F$ en fonction de la position $x$ . Le sol est sans frottement.

a)
Le travail de $F$ sur le trajet est égal à l'aire sous la courbe $F(x)$ . Calcule ce travail entre $x=0$ et $x=10\,\mathrm{m}$ .
L'aire sous la droite (triangle) entre $x=0$ et $x=10\,\mathrm{m}$ vaut $W=\tfrac12\times\text{base}\times\text{hauteur}=\tfrac12\times10\times20=100\,\mathrm{J}$ .
b)
En déduire la vitesse du chariot en $x=10\,\mathrm{m}$ .
Départ au repos : $\tfrac12 m v^2=W$ , donc $v^2=\dfrac{2\times100}{2}=100$ et $v=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 13distance d'arrêt et temps de réaction

Une voiture de masse $m=1000\,\mathrm{kilogram}$ roule à $v_0=20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Le conducteur met un temps de réaction $t_r=1\,\mathrm{s}$ avant de freiner ; le freinage provoque ensuite une décélération constante $a=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
Calcule la distance parcourue pendant le temps de réaction (vitesse constante).
Pendant la réaction, la vitesse est constante : $d_r=v_0\,t_r=20\times1=20\,\mathrm{m}$ .
b)
À l'aide du théorème de l'énergie cinétique, calcule la distance de freinage (la force de freinage vaut $F=ma$ ).
Force de freinage $F=ma=1000\times5=5000\,\mathrm{N}$ . Théorème de l'énergie cinétique (arrêt) : $F\,d_f=\tfrac12 m v_0^2$ , donc $d_f=\dfrac{\tfrac12\times1000\times20^2}{5000}=\dfrac{200000}{5000}=40\,\mathrm{m}$ .
c)
En déduire la distance d'arrêt totale. Que devient-elle si $v_0$ est doublée ?
Distance totale : $d=d_r+d_f=20+40=60\,\mathrm{m}$ . Si $v_0$ double ( $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) : $d_r=40\,\mathrm{m}$ (doublée) mais $d_f=\dfrac{\tfrac12\times1000\times40^2}{5000}=160\,\mathrm{m}$ (quadruplée, car $\propto v_0^2$ ), soit $d=200\,\mathrm{m}$ — bien plus du triple.

Exercice 14descente lisse puis palier rugueux

Une bille de masse $m$ part du repos en haut d'une piste lisse (sans frottement) située à la hauteur $h=1{,}8\,\mathrm{m}$ . Arrivée en bas, elle continue sur un palier horizontal rugueux de coefficient de frottement $\mu=0,3$ où elle finit par s'arrêter. On prend $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
Calcule la vitesse $v$ de la bille en bas de la piste.
Piste lisse, seul le poids travaille : $\tfrac12 m v^2=mgh$ , donc $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times10\times1,8}=\sqrt{36}=6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Calcule la distance $\ell$ parcourue sur le palier avant l'arrêt.
Sur le palier, le frottement $\mu mg$ dissipe l'énergie cinétique : $\mu mg\,\ell=\tfrac12 m v^2=mgh$ . La masse se simplifie : $\ell=\dfrac{h}{\mu}=\dfrac{1,8}{0,3}=6\,\mathrm{m}$ .
c)
Cette distance $\ell$ dépend-elle de l'angle de la piste ? Justifie.
Non : $\ell=\dfrac{h}{\mu}$ ne dépend que de la hauteur $h$ et du coefficient $\mu$ , pas de l'angle. À hauteur $h$ égale, la bille s'arrête à la même distance quelle que soit l'inclinaison de la piste.

Exercice 15deux mobiles de même énergie cinétique

Deux mobiles ont la même énergie cinétique. Le premier a une masse $m$ , le second une masse $4m$ .

a)
Compare leurs vitesses : établis la relation entre $v_1$ (mobile léger) et $v_2$ (mobile lourd).
$\tfrac12 m v_1^2=\tfrac12(4m)v_2^2\Rightarrow v_1^2=4v_2^2\Rightarrow v_1=2v_2$ : le mobile léger va deux fois plus vite.
b)
On les freine avec la même force $F$ . Lequel s'arrête sur la plus grande distance ? Justifie à l'aide du théorème de l'énergie cinétique.
À l'arrêt, $F\,d=E_c$ , donc $d=\dfrac{E_c}{F}$ . Les deux ont la même énergie cinétique et subissent la même force : ils parcourent la même distance d'arrêt. La distance de freinage ne dépend que de l'énergie cinétique, pas de la masse.
c)
Application : leur énergie cinétique commune vaut $E_c=800\,\mathrm{J}$ et $F=400\,\mathrm{N}$ . Calcule la distance d'arrêt de chacun.
$d=\dfrac{E_c}{F}=\dfrac{800}{400}=2\,\mathrm{m}$ pour chacun.

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