quantite de mouvement

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Facile14 exercices

Exercice 1quantité de mouvement d'un ballon

Un ballon de masse $m=0{,}5\,\mathrm{kilogram}$ se déplace à la vitesse $v=6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Calcule sa quantité de mouvement $p$ (précise l'unité).

p=m\,v=0,5\times6=3\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}.

Exercice 2quantité de mouvement avec conversion

Une voiture de masse $m=1200\,\mathrm{kilogram}$ roule à $v=54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

a)
Convertis la vitesse en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
$v=\dfrac{54}{3,6}=15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Calcule la quantité de mouvement $p$ de la voiture.
$p=m\,v=1200\times15=18000\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 3retrouver la masse

Un objet a une quantité de mouvement $p=24\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et se déplace à $v=8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Calcule sa masse $m$ .

p=m\,v\ \Rightarrow\ m=\frac{p}{v}=\frac{24}{8}=3\,\mathrm{kilogram}.

Exercice 4retrouver la vitesse et son sens

Un chariot de masse $m=5\,\mathrm{kilogram}$ a une quantité de mouvement de norme $p=40\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , dirigée vers l'est.

a)
Calcule la norme de sa vitesse $v$ .
$v=\dfrac{p}{m}=\dfrac{40}{5}=8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Dans quelle direction et quel sens pointe le vecteur vitesse $\vec{v}$ ?
Le vecteur $\vec{p}=m\vec{v}$ a la même direction et le même sens que $\vec{v}$ (car $m>0$ ) : la vitesse pointe donc, elle aussi, vers l'est.

Exercice 5quantité de mouvement d'un cycliste

Un cycliste et son vélo forment un ensemble de masse $m=80\,\mathrm{kilogram}$ roulant à $v=9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Calcule sa quantité de mouvement $p$ (précise l'unité).

p=m\,v=80\times9=720\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}.

Exercice 6scooter : conversion puis quantité de mouvement

Un scooter et son conducteur ont une masse $m=100\,\mathrm{kilogram}$ et roulent à $v=36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

a)
Convertis la vitesse en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
$v=\dfrac{36}{3,6}=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Calcule la quantité de mouvement $p$ du scooter.
$p=m\,v=100\times10=1000\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 7calculer la masse

Un mobile a une quantité de mouvement $p=50\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et avance à $v=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Calcule sa masse $m$ .

m=\frac{p}{v}=\frac{50}{10}=5\,\mathrm{kilogram}.

Exercice 8calculer la vitesse

Un chariot de masse $m=6\,\mathrm{kilogram}$ a une quantité de mouvement de norme $p=90\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Calcule la norme de sa vitesse $v$ .

v=\frac{p}{m}=\frac{90}{6}=15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

Exercice 9la bonne unité

Pour rendre son devoir, un élève écrit que la quantité de mouvement s'exprime en $\mathrm{J}$ . A-t-il raison ? Donne l'unité correcte de la quantité de mouvement.

Non : le joule est l'unité d'énergie. La quantité de mouvement $p=mv$ s'exprime en $\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (kilogramme-mètre par seconde).

Exercice 10une masse en tonnes

Un wagon de masse $m=3\,\mathrm{t}$ est poussé à la vitesse $v=2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

a)
Convertis la masse en $\mathrm{kilogram}$ .
$m=3\,\mathrm{t}=3000\,\mathrm{kilogram}$ .
b)
Calcule la quantité de mouvement $p$ du wagon.
$p=m\,v=3000\times2=6000\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 11direction et sens du vecteur quantité de mouvement

Un palet de masse $m=4\,\mathrm{kilogram}$ glisse vers le nord à la vitesse $v=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (voir figure).

a)
Calcule la norme de la quantité de mouvement $p$ .
$p=m\,v=4\times5=20\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Précise la direction et le sens du vecteur $\vec{p}$ .
$\vec{p}=m\vec{v}$ avec $m>0$ : $\vec{p}$ a la même direction et le même sens que $\vec{v}$ , il pointe donc vers le nord.

Exercice 12comparer à même vitesse

Deux objets se déplacent à la même vitesse $v=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : l'un a une masse $m_1=3\,\mathrm{kilogram}$ , l'autre $m_2=6\,\mathrm{kilogram}$ .

a)
Calcule la quantité de mouvement de chacun.
$p_1=m_1 v=3\times10=30\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $p_2=m_2 v=6\times10=60\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Lequel a la plus grande quantité de mouvement ?
À vitesse égale, $p$ croît avec la masse : c'est le second objet ( $m_2$ ) qui a la plus grande quantité de mouvement ( $p_2=2\,p_1$ ).

Exercice 13si l'on double la masse

Un objet de masse $m=2\,\mathrm{kilogram}$ se déplace à $v=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

a)
Calcule sa quantité de mouvement $p$ .
$p=m\,v=2\times5=10\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
On double sa masse sans changer sa vitesse. Que vaut alors sa quantité de mouvement ?
$p=mv$ est proportionnelle à la masse : doubler $m$ double $p$ , donc $p'=4\times5=20\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 14une balle en grammes

Une balle de masse $m=200\,\mathrm{g}$ est lancée à $v=30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

a)
Convertis la masse en $\mathrm{kilogram}$ .
$m=200\,\mathrm{g}=0{,}2\,\mathrm{kilogram}$ .
b)
Calcule la quantité de mouvement $p$ de la balle.
$p=m\,v=0,2\times30=6\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Moyen14 exercices

Exercice 1une voiture et un camion à la même vitesse

Une voiture de masse $m_1=2000\,\mathrm{kilogram}$ et un camion de masse $m_2=4000\,\mathrm{kilogram}$ roulent à la même vitesse $v=80\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

a)
Convertis la vitesse en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (arrondis à $22{,}2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ).
$v=\dfrac{80}{3,6}\approx22{,}2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Calcule la quantité de mouvement de chacun des deux véhicules.
$p_1=m_1 v=2000\times22,2\approx44400\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $p_2=m_2 v=4000\times22,2\approx88800\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
c)
Par quel facteur la quantité de mouvement du camion dépasse-t-elle celle de la voiture ? Lequel est le plus difficile à arrêter ?
$\dfrac{p_2}{p_1}=\dfrac{m_2}{m_1}=\dfrac{4000}{2000}=2$ : le camion a une quantité de mouvement deux fois plus grande. C'est donc le camion qui est le plus difficile à arrêter.

Exercice 2même quantité de mouvement, vitesses différentes

Une bille de masse $m_1=2\,\mathrm{kilogram}$ et un chariot de masse $m_2=8\,\mathrm{kilogram}$ ont la même quantité de mouvement $p=16\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

a)
Calcule la vitesse de la bille.
$v_1=\dfrac{p}{m_1}=\dfrac{16}{2}=8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Calcule la vitesse du chariot. Que constates-tu par rapport à la bille ?
$v_2=\dfrac{p}{m_2}=\dfrac{16}{8}=2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . À quantité de mouvement égale, le chariot (4 fois plus lourd) va 4 fois moins vite que la bille : la masse et la vitesse se compensent.

Exercice 3quantité de mouvement et énergie cinétique quand la vitesse double

Un mobile de masse $m=2\,\mathrm{kilogram}$ se déplace à $v=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

a)
Calcule sa quantité de mouvement $p$ et son énergie cinétique $E_c$ .
$p=m v=2\times10=20\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $E_c=\tfrac12 m v^2=\tfrac12\times2\times10^2=100\,\mathrm{J}$ .
b)
Sa vitesse double et passe à $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Que valent alors $p$ et $E_c$ ? Par quel facteur chacune a-t-elle été multipliée ?
À $v=20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $p=2\times20=40\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $E_c=\tfrac12\times2\times20^2=400\,\mathrm{J}$ . La quantité de mouvement a été multipliée par $2$ (elle est en $v$ ), l'énergie cinétique par $4$ (elle est en $v^2$ ).

Exercice 4classer trois mobiles

Trois mobiles sont en mouvement :

$A$ : $m_A=1000\,\mathrm{kilogram}$ à $v_A=20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ;
$B$ : $m_B=2000\,\mathrm{kilogram}$ à $v_B=15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ;
$C$ : $m_C=1500\,\mathrm{kilogram}$ à $v_C=18\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Calcule la quantité de mouvement de chacun, puis classe-les de la plus grande à la plus petite.

p_A=1000\times20=20000\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s},\quad p_B=2000\times15=30000\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s},\quad p_C=1500\times18=27000\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}.

Classement décroissant : $p_B>p_C>p_A$ , soit $\mathbf{B}>\mathbf{C}>\mathbf{A}$ .

Exercice 5comparer deux véhicules lancés

Un véhicule $A$ de masse $m_A=800\,\mathrm{kilogram}$ roule à $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; un véhicule $B$ de masse $m_B=1200\,\mathrm{kilogram}$ roule à $54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

a)
Convertis les deux vitesses en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
$v_A=\dfrac{90}{3,6}=25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_B=\dfrac{54}{3,6}=15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Calcule la quantité de mouvement de chaque véhicule.
$p_A=800\times25=20000\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $p_B=1200\times15=18000\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
c)
Lequel est le plus difficile à arrêter ?
$p_A>p_B$ : c'est le véhicule A qui a la plus grande quantité de mouvement, donc le plus difficile à arrêter.

Exercice 6même quantité de mouvement, quelle énergie cinétique ?

Deux mobiles ont la même quantité de mouvement $p=24\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Le premier a une masse $m_1=3\,\mathrm{kilogram}$ , le second $m_2=12\,\mathrm{kilogram}$ .

a)
Calcule la vitesse de chaque mobile.
$v_1=\dfrac{p}{m_1}=\dfrac{24}{3}=8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_2=\dfrac{p}{m_2}=\dfrac{24}{12}=2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Calcule l'énergie cinétique de chacun. À quantité de mouvement égale, lequel possède la plus grande énergie cinétique ?
$E_{c1}=\tfrac12 m_1 v_1^2=\tfrac12\times3\times8^2=96\,\mathrm{J}$ ; $E_{c2}=\tfrac12\times12\times2^2=24\,\mathrm{J}$ . À quantité de mouvement égale, c'est le plus léger ( $m_1$ ) qui a la plus grande énergie cinétique (car $E_c=\dfrac{p^2}{2m}$ ).

Exercice 7de l'énergie cinétique à la quantité de mouvement

Un mobile de masse $m=8\,\mathrm{kilogram}$ possède une énergie cinétique $E_c=256\,\mathrm{J}$ .

a)
Calcule la vitesse $v$ du mobile.
$v=\sqrt{\dfrac{2E_c}{m}}=\sqrt{\dfrac{2\times256}{8}}=\sqrt{64}=8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Calcule sa quantité de mouvement $p$ .
$p=m\,v=8\times8=64\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 8quand la vitesse triple

Un mobile de masse $m=3\,\mathrm{kilogram}$ se déplace à $v=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

a)
Calcule sa quantité de mouvement $p$ et son énergie cinétique $E_c$ .
$p=m v=3\times4=12\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $E_c=\tfrac12\times3\times4^2=24\,\mathrm{J}$ .
b)
Sa vitesse est multipliée par $3$ (elle passe à $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). Que valent alors $p$ et $E_c$ ? Par quel facteur chacune a-t-elle été multipliée ?
À $v=12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $p=3\times12=36\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $E_c=\tfrac12\times3\times12^2=216\,\mathrm{J}$ . La quantité de mouvement est multipliée par $3$ (elle est en $v$ ), l'énergie cinétique par $9$ (elle est en $v^2$ ).

Exercice 9rebond contre un mur

Une balle de masse $m=0{,}5\,\mathrm{kilogram}$ arrive perpendiculairement sur un mur à $v_i=8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et rebondit en sens inverse à $v_f=6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . On oriente l'axe dans le sens du mouvement initial (vers le mur).

a)
Calcule la quantité de mouvement $p_i$ avant le choc.
$p_i=m v_i=0,5\times8=4\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (vers le mur).
b)
Calcule la quantité de mouvement $p_f$ après le choc (attention au signe).
Après le choc, la balle repart en sens inverse : $p_f=m\,(-v_f)=0,5\times(-6)=-3\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
c)
Déduis-en la variation $\Delta p=p_f-p_i$ : donne sa valeur en norme et son sens.
$\Delta p=p_f-p_i=-3-4=-7\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : la variation vaut $7\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en norme, dirigée en sens inverse du mouvement initial (elle s'éloigne du mur).

Exercice 10remonter à la masse et à la vitesse

Un mobile a pour quantité de mouvement $p=30\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et pour énergie cinétique $E_c=90\,\mathrm{J}$ .

a)
À l'aide de la relation $E_c=\dfrac{p^2}{2m}$ , calcule la masse $m$ .
$E_c=\dfrac{p^2}{2m}\ \Rightarrow\ m=\dfrac{p^2}{2E_c}=\dfrac{30^2}{2\times90}=\dfrac{900}{180}=5\,\mathrm{kilogram}$ .
b)
Calcule ensuite la vitesse $v$ du mobile.
$v=\dfrac{p}{m}=\dfrac{30}{5}=6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 11augmenter la vitesse de 20%

Une voiture de masse $m=1000\,\mathrm{kilogram}$ roule à $v=20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

a)
Calcule sa quantité de mouvement $p$ et son énergie cinétique $E_c$ .
$p=1000\times20=20000\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $E_c=\tfrac12\times1000\times20^2=200000\,\mathrm{J}$ .
b)
Sa vitesse augmente de $20\,\%$ . Calcule la nouvelle quantité de mouvement et le pourcentage d'augmentation de $p$ .
Nouvelle vitesse $v'=1,2\times20=24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , donc $p'=1000\times24=24000\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $p$ augmente de $20\,\%$ (comme la vitesse, car $p\propto v$ ).
c)
Calcule la nouvelle énergie cinétique et le pourcentage d'augmentation de $E_c$ .
$E_c'=\tfrac12\times1000\times24^2=288000\,\mathrm{J}$ : l'augmentation est $\dfrac{288000-200000}{200000}=0,44$ , soit $44\,\%$ (car $E_c\propto v^2$ et $1,2^2=1,44$ ).

Exercice 12proportionnalité en masse et en vitesse

Un objet de masse $m=4\,\mathrm{kilogram}$ se déplace à $v=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

a)
Calcule sa quantité de mouvement $p$ .
$p=m v=4\times5=20\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
On double sa masse sans changer sa vitesse : que devient $p$ ?
Masse doublée à vitesse constante : $p$ double, $p'=8\times5=40\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
c)
On revient à la masse initiale mais on double la vitesse : que devient $p$ ? Que peux-tu conclure sur la façon dont $p$ dépend de $m$ et de $v$ ?
Vitesse doublée à masse initiale : $p''=4\times10=40\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . On retrouve le même résultat : $p$ est proportionnelle à la fois à $m$ et à $v$ .

Exercice 13classer trois véhicules (unités mêlées)

Trois véhicules sont en mouvement :

$P$ : $m_P=2000\,\mathrm{kilogram}$ à $v_P=36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ;
$Q$ : $m_Q=1200\,\mathrm{kilogram}$ à $v_Q=25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ;
$R$ : $m_R=3\,\mathrm{t}$ à $v_R=54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Exprime chaque masse en $\mathrm{kilogram}$ et chaque vitesse en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
Calcule la quantité de mouvement de chacun et classe-les du plus difficile au plus facile à arrêter.

$v_P=\dfrac{36}{3,6}=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $m_R=3\,\mathrm{t}=3000\,\mathrm{kilogram}$ , $v_R=\dfrac{54}{3,6}=15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_Q=25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (déjà en SI).
$p_P=2000\times10=20000\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $p_Q=1200\times25=30000\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $p_R=3000\times15=45000\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Classement : $\mathbf{R}>\mathbf{Q}>\mathbf{P}$ .

Exercice 14lecture d'un diagramme de quantités de mouvement

Le diagramme ci-dessous donne la quantité de mouvement (en $\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) de quatre mobiles $A$ , $B$ , $C$ , $D$ .

a)
Quel mobile est le plus difficile à arrêter ? Justifie.
C'est $D$ : il a la plus grande quantité de mouvement ( $p_D=30000\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ), donc il est le plus difficile à arrêter.
b)
Le mobile $D$ se déplace à $v=25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Calcule sa masse.
$m_D=\dfrac{p_D}{v}=\dfrac{30000}{25}=1200\,\mathrm{kilogram}$ .

Difficile14 exercices

Exercice 1vrai ou faux : la voiture et le camion

Une voiture de masse $2000\,\mathrm{kilogram}$ et un camion de masse $4\,\mathrm{t}$ roulent à la même vitesse $80\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

a)
La voiture possède la même quantité de mouvement que le camion.
Le camion ( $4\,\mathrm{t}=4000\,\mathrm{kilogram}$ ) est deux fois plus lourd que la voiture, à la même vitesse : $p_{\text{camion}}=2\,p_{\text{voiture}}$ .
Faux. À vitesse égale, $p=mv$ est proportionnelle à la masse : le camion a une quantité de mouvement deux fois plus grande.
b)
Si les deux freinent, c'est le camion qui sera le plus difficile à arrêter.
Vrai. Le camion a la plus grande quantité de mouvement : il est le plus difficile à arrêter (force ou distance de freinage plus grande).
c)
Si les deux freinent, c'est la voiture qui sera la plus difficile à arrêter.
Faux. C'est le contraire : la voiture, moins « lancée », est plus facile à arrêter.
d)
Plus la vitesse d'un véhicule augmente, plus sa quantité de mouvement augmente, et plus il est difficile à arrêter.
Vrai. $p=mv$ augmente avec $v$ : plus vite $\Rightarrow$ plus grand $p$ $\Rightarrow$ plus difficile à arrêter.

Exercice 2même énergie cinétique, quelle quantité de mouvement ?

Deux mobiles ont la même énergie cinétique $E_c=64\,\mathrm{J}$ . Le premier a une masse $m_1=2\,\mathrm{kilogram}$ , le second $m_2=8\,\mathrm{kilogram}$ .

a)
Calcule la vitesse puis la quantité de mouvement du premier mobile.
$v_1=\sqrt{\dfrac{2E_c}{m_1}}=\sqrt{\dfrac{2\times64}{2}}=\sqrt{64}=8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , d'où $p_1=m_1 v_1=2\times8=16\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Calcule la vitesse puis la quantité de mouvement du second mobile. À énergie cinétique égale, lequel a la plus grande quantité de mouvement ?
$v_2=\sqrt{\dfrac{2\times64}{8}}=\sqrt{16}=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , d'où $p_2=m_2 v_2=8\times4=32\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . À énergie cinétique égale, c'est le plus massif qui a la plus grande quantité de mouvement ( $p_2=2\,p_1$ ).

Exercice 3relier énergie cinétique et quantité de mouvement

On veut relier directement $E_c$ et $p$ sans passer par la vitesse.

a)
En partant de $E_c=\tfrac12 m v^2$ et de $p=m v$ , montre que $E_c=\dfrac{p^2}{2m}$ .
De $p=mv$ on tire $v=\dfrac{p}{m}$ . En reportant dans $E_c=\tfrac12 m v^2$ :
$E_c=\tfrac12 m\left(\frac{p}{m}\right)^2=\tfrac12 m\,\frac{p^2}{m^2}=\frac{p^2}{2m}.$
b)
Un mobile de masse $m=5\,\mathrm{kilogram}$ a une quantité de mouvement $p=20\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Calcule son énergie cinétique avec cette relation, puis vérifie en calculant d'abord $v$ .
$E_c=\dfrac{p^2}{2m}=\dfrac{20^2}{2\times5}=\dfrac{400}{10}=40\,\mathrm{J}$ . Vérification : $v=\dfrac{p}{m}=\dfrac{20}{5}=4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , donc $E_c=\tfrac12\times5\times4^2=40\,\mathrm{J}$ — cohérent.

Exercice 4vrai ou faux : propriétés de la quantité de mouvement

Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

a)
La quantité de mouvement est une grandeur vectorielle.
Vrai. $\vec{p}=m\vec{v}$ : c'est un vecteur (direction et sens de $\vec{v}$ ).
b)
Son unité est le joule.
Faux. Son unité est le $\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (le joule est l'unité d'énergie).
c)
À vitesse égale, l'objet le plus massif a la plus grande quantité de mouvement.
Vrai. À $v$ égal, $p=mv$ croît avec la masse : le plus massif a le plus grand $p$ .
d)
Deux objets qui ont la même énergie cinétique ont nécessairement la même quantité de mouvement.
Faux. À énergie cinétique égale, $p=\sqrt{2mE_c}$ dépend de la masse : deux objets de masses différentes ont des quantités de mouvement différentes (cf. exercice précédent).

Exercice 5projeter la quantité de mouvement

Un palet de masse $m=2\,\mathrm{kilogram}$ se déplace à la vitesse $v=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ faisant un angle $30^{\circ}$ avec l'horizontale (voir figure).

a)
Calcule la norme $p$ de la quantité de mouvement.
$p=m v=2\times10=20\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Calcule ses composantes horizontale $p_x$ et verticale $p_y$ .
$p_x=p\cos30^{\circ}=20\times\dfrac{\sqrt3}{2}=10\sqrt3\approx17{,}3\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $p_y=p\sin30^{\circ}=20\times\dfrac12=10\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
c)
Vérifie que $\sqrt{p_x^2+p_y^2}=p$ .
$\sqrt{p_x^2+p_y^2}=\sqrt{(10\sqrt3)^2+10^2}=\sqrt{300+100}=\sqrt{400}=20\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}=p$ .

Exercice 6un virage à angle droit

Un mobile de masse $m=0{,}5\,\mathrm{kilogram}$ se déplace d'abord vers l'est à $8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , puis, après un virage, vers le nord à la même vitesse $8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

a)
Calcule la norme de la quantité de mouvement avant et après le virage.
Avant : $p_i=m v=0,5\times8=4\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; après : $p_f=0,5\times8=4\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . La norme est inchangée.
b)
Le vecteur $\vec{p}$ a-t-il changé ? Calcule la norme de la variation $\Delta\vec{p}=\vec{p}_f-\vec{p}_i$ .
Oui, le vecteur a changé (la direction n'est plus la même). $\vec{p}_i$ est dirigé vers l'est, $\vec{p}_f$ vers le nord : ces deux vecteurs sont perpendiculaires et de même norme, donc $\|\Delta\vec{p}\|=\sqrt{p_i^2+p_f^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2\approx5{,}66\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
c)
Précise la direction de $\Delta\vec{p}$ .
$\Delta\vec{p}=\vec{p}_f-\vec{p}_i$ a pour composantes $(-4$ vers l'est $,\ +4$ vers le nord $)$ : il pointe vers le nord-ouest, à $45^{\circ}$ de chacun des deux axes.

Exercice 7deux fois la masse, deux fois l'énergie

On rappelle la relation $E_c=\dfrac{p^2}{2m}$ .

a)
Exprime $p$ en fonction de $m$ et $E_c$ .
$E_c=\dfrac{p^2}{2m}\ \Rightarrow\ p^2=2mE_c\ \Rightarrow\ p=\sqrt{2mE_c}$ .
b)
Un mobile $A$ a une masse $m$ et une énergie cinétique $E_c$ . Un mobile $B$ a une masse $2m$ et une énergie cinétique $2E_c$ . Montre, sans calcul numérique, que $p_B=2\,p_A$ .
$\dfrac{p_B}{p_A}=\sqrt{\dfrac{2\,(2m)(2E_c)}{2\,m\,E_c}}=\sqrt{4}=2$ , donc $p_B=2\,p_A$ .
c)
Vérifie avec $m=2\,\mathrm{kilogram}$ et $E_c=9\,\mathrm{J}$ .
$p_A=\sqrt{2\times2\times9}=\sqrt{36}=6\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $p_B=\sqrt{2\times4\times18}=\sqrt{144}=12\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : on a bien $p_B=2\,p_A$ .

Exercice 8des composantes à la vitesse

La quantité de mouvement d'un mobile de masse $m=4\,\mathrm{kilogram}$ a pour composantes $p_x=12\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $p_y=16\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

a)
Calcule la norme $p$ de la quantité de mouvement.
$p=\sqrt{p_x^2+p_y^2}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Déduis-en la norme $v$ de la vitesse du mobile.
$v=\dfrac{p}{m}=\dfrac{20}{4}=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
c)
Calcule l'angle $\alpha$ que fait $\vec{p}$ (donc $\vec{v}$ ) avec l'axe des $x$ .
$\tan\alpha=\dfrac{p_y}{p_x}=\dfrac{16}{12}=\dfrac{4}{3}$ , d'où $\alpha=\arctan\dfrac43\approx53^{\circ}$ .

Exercice 9vrai ou faux : quantité de mouvement contre énergie cinétique

Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

a)
Deux objets qui ont la même quantité de mouvement ont forcément la même énergie cinétique.
Faux. $E_c=\dfrac{p^2}{2m}$ dépend de la masse : à même $p$ , deux masses différentes donnent des énergies cinétiques différentes.
b)
Si l'on double la vitesse d'un objet, sa quantité de mouvement double et son énergie cinétique est multipliée par quatre.
Vrai. $p=mv$ (en $v$ ) double ; $E_c=\tfrac12 mv^2$ (en $v^2$ ) est multipliée par $4$ .
c)
À énergie cinétique égale, un objet plus léger a une quantité de mouvement plus petite.
Vrai. À énergie cinétique égale, $p=\sqrt{2mE_c}$ : plus la masse est petite, plus $p$ est petite.
d)
Deux objets de même masse et de même énergie cinétique ont la même quantité de mouvement (en norme).
Vrai. Même masse et même $E_c$ $\Rightarrow$ même vitesse (en norme) $\Rightarrow$ même quantité de mouvement en norme.

Exercice 10raisonnement littéral d'échelle

Un objet $B$ a une masse trois fois plus grande qu'un objet $A$ , mais une vitesse deux fois plus petite.

a)
Exprime le rapport $\dfrac{p_B}{p_A}$ de leurs quantités de mouvement.
$\dfrac{p_B}{p_A}=\dfrac{m_B v_B}{m_A v_A}=3\times\dfrac12=\dfrac32=1,5$ .
b)
Exprime le rapport $\dfrac{E_{cB}}{E_{cA}}$ de leurs énergies cinétiques.
$\dfrac{E_{cB}}{E_{cA}}=\dfrac{m_B v_B^2}{m_A v_A^2}=3\times\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac34=0,75$ .
c)
Lequel est le plus difficile à arrêter ?
$p_B=1,5\,p_A>p_A$ : c'est l'objet B qui a la plus grande quantité de mouvement, donc le plus difficile à arrêter (bien qu'il ait une énergie cinétique plus faible).

Exercice 11une balle qui rebondit en perdant de la vitesse

Une balle de masse $m=0{,}5\,\mathrm{kilogram}$ tombe et arrive au sol à $v_i=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vers le bas ; elle rebondit à $v_f=6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vers le haut. On oriente l'axe vers le haut.

a)
Calcule les quantités de mouvement $p_i$ et $p_f$ (avec leur signe).
Axe vers le haut : $p_i=m(-v_i)=0,5\times(-10)=-5\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $p_f=m v_f=0,5\times6=3\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
b)
Calcule la variation $\Delta p=p_f-p_i$ (norme et sens).
$\Delta p=p_f-p_i=3-(-5)=8\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , dirigée vers le haut.
c)
Calcule l'énergie cinétique avant et après le rebond. Quelle fraction de l'énergie cinétique initiale a été perdue ?
$E_{ci}=\tfrac12\times0,5\times10^2=25\,\mathrm{J}$ ; $E_{cf}=\tfrac12\times0,5\times6^2=9\,\mathrm{J}$ . Perte : $25-9=16\,\mathrm{J}$ , soit $\dfrac{16}{25}=0,64$ , c'est-à-dire $64\,\%$ de l'énergie cinétique initiale.

Exercice 12vérifier l'unité de

p^2/2m

a)
En partant des unités de $p$ ( $\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) et de $m$ ( $\mathrm{kilogram}$ ), montre que $\dfrac{p^2}{2m}$ s'exprime bien en $\mathrm{J}$ .
$\dfrac{(\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s})^2}{\mathrm{kilogram}} =\dfrac{\mathrm{kilogram}^{2}\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2}}{\mathrm{kilogram}} =\mathrm{kilogram}\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2}=\mathrm{J}$ (car $1\,\mathrm{J}=1\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2}$ ).
b)
Application : un mobile de masse $m=4\,\mathrm{kilogram}$ a une quantité de mouvement $p=12\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Calcule son énergie cinétique par $E_c=\dfrac{p^2}{2m}$ , puis vérifie en passant par la vitesse.
$E_c=\dfrac{p^2}{2m}=\dfrac{12^2}{2\times4}=\dfrac{144}{8}=18\,\mathrm{J}$ . Vérification : $v=\dfrac{p}{m}=\dfrac{12}{4}=3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , donc $E_c=\tfrac12\times4\times3^2=18\,\mathrm{J}$ .

Exercice 13même quantité de mouvement, énergies cinétiques différentes

Quatre mobiles ont les caractéristiques suivantes :

Mobile	masse	vitesse
$A$	$1500\,\mathrm{kilogram}$	$72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$
$B$	$1000\,\mathrm{kilogram}$	$108\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$
$C$	$2\,\mathrm{t}$	$15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$
$D$	$750\,\mathrm{kilogram}$	$40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$

a)
Montre que les quatre mobiles ont la même quantité de mouvement.
$v_A=\dfrac{72}{3,6}=20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_B=\dfrac{108}{3,6}=30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $m_C=2\,\mathrm{t}=2000\,\mathrm{kilogram}$ . On obtient $p_A=1500\times20=30000$ , $p_B=1000\times30=30000$ , $p_C=2000\times15=30000$ et $p_D=750\times40=30000\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : toutes égales.
b)
Calcule l'énergie cinétique de chacun et classe-les par énergie cinétique décroissante.
$E_{cA}=\tfrac12\times1500\times20^2=300000\,\mathrm{J}$ ; $E_{cB}=\tfrac12\times1000\times30^2=450000\,\mathrm{J}$ ; $E_{cC}=\tfrac12\times2000\times15^2=225000\,\mathrm{J}$ ; $E_{cD}=\tfrac12\times750\times40^2=600000\,\mathrm{J}$ . Classement : $D>B>A>C$ .
c)
Que peux-tu conclure en comparant « même $p$ » et « même $E_c$ » ?
Avoir la même quantité de mouvement n'implique pas la même énergie cinétique : comme $E_c=\dfrac{p^2}{2m}$ , à $p$ fixé le mobile le plus léger (et le plus rapide), ici $D$ , a la plus grande énergie cinétique.

Exercice 14quantité de mouvement totale nulle, énergie non nulle

Deux mobiles se déplacent sur une même droite en sens opposés : le mobile $1$ ( $m_1=2\,\mathrm{kilogram}$ ) va vers la droite à $6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , le mobile $2$ ( $m_2=3\,\mathrm{kilogram}$ ) va vers la gauche à $4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

a)
Calcule la norme de la quantité de mouvement de chaque mobile.
$p_1=m_1 v_1=2\times6=12\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (vers la droite) ; $p_2=m_2 v_2=3\times4=12\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (vers la gauche).
b)
En choisissant un axe orienté vers la droite, calcule la quantité de mouvement totale $\vec{p}_1+\vec{p}_2$ (grandeur vectorielle).
Axe orienté vers la droite : $\vec{p}_1\to+12$ et $\vec{p}_2\to-12$ , donc $p_{\text{tot}}=+12-12=0\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
c)
Calcule l'énergie cinétique totale. Commente le fait que $p_{\text{tot}}=0$ alors que $E_{c,\text{tot}}\neq 0$ .
$E_{c,\text{tot}}=\tfrac12\times2\times6^2+\tfrac12\times3\times4^2=36+24=60\,\mathrm{J}$ . La quantité de mouvement est vectorielle : deux vecteurs opposés s'annulent. L'énergie cinétique est scalaire et positive : elle s'ajoute. On peut donc avoir $p_{\text{tot}}=0$ avec $E_{c,\text{tot}}\neq0$ .

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